2017年中考數(shù)學(xué)試卷匯編-圓(帶答案)

圓的有關(guān)性質(zhì)

一、選擇題

1.（2016?山東省濱州市?3分）如圖，。是。。的直徑,C,1是O。上的點(diǎn),且OCWBD,

2。分別與BC,OC相交于點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論：

①ADlBD;②乙AOC二4AEC;③CB平用乙ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥》CE匡&BEDI

其中一定成立的是（）

A\^-o—yB

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】①由直徑所對(duì)圓周角是直角，

②由于NZOC是。。的圓心角，是。。的圓內(nèi)部的角角，

③由平行線得到nOCB=zDBC,再由圓的性質(zhì)得到結(jié)論判斷出n。比LO6C;

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結(jié)論；

⑥得不到△CF尸和△6屹中對(duì)應(yīng)相等的邊,所以不一定全等.

【解答】解：①、?.乂6是。。的直徑，

.?2/06=90°,

：.ADYBD,

②、?.NZOC是。。的圓心角，NZR■是。。的圓內(nèi)部的角角，

:.AAOC^AAEC,

③、

:.AOCB=ADBC,

：OC=OB,

..AOCB=^OBC,

:.乙OBC=ADBC,

.(6平分2/6。，

④、?.Z6是。。的直徑，

.2/06=90°,

：.ADYBD,

：OC\\BD,

:.AAFO=2G0,

,.點(diǎn)。為圓心，

：.AF=DF,

⑤、由④有，"=。尸，

?.點(diǎn)。為Z6中點(diǎn)，

二。廠是的中位線，

：.BD=1OF,

⑥???A作尸和△勿。中，沒有相等的邊，

"CEF與&BED不鈣,

故選。

【點(diǎn)評(píng)】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題

的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì).

2.（2016?山東省德州市-3分）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中

有下列問題"今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？"其意思是："今有直角三角形，

勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)

切圓）直徑是多少？"（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可確定出內(nèi)切圓半徑.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，二2+152=17,

8+15-17

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑匚一三一=3（步），即直徑為6步，

故選C

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，Rt^ABC,三邊長為a,6,c（斜邊），其內(nèi)

切圓半徑片］［；，.

3.（2016?山東省濟(jì)寧市-3分）如圖，在。。中，懣=菽，//。6=40。，貝！U/OC的度

數(shù)是（）

A.40°B.30°C.20°D.15°

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出〃。金"。6=50°,再由圓周角定理即可得出結(jié)

論.

【解答】解：1?在。。中,AB=同，

:.Z.AOC-Z.AOB,

.2/06=40°,

.?.N/OC=40°,

..N/OC=±N/OC=20°,

故選C.

4.（2016?云南省昆明市4分）如圖，26為。。的直徑，26=6,26,弦CD,垂足為G,

用切。。于點(diǎn)6,N/=30°,連接22OQBC,下列結(jié)論不正確的是（）

A.EFWCDB.是等邊三角形

C.CG^DGD.標(biāo)的長為■!〃

【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算；切線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理和垂徑定理判斷力；根據(jù)等邊三角形的判定定理判斷B;根據(jù)

垂徑定理判斷C;利用弧長公式計(jì)算出前的長判斷D.

【解答】解：?.乂6為。。的直徑，h切。。于點(diǎn)6,

：.AB^EF,XAB±CD,

：.EF\\CD,Z正確；

.26,弦。,

??BC=BD，

..NCO6=2NZ=60°,又OC=OD,

是等邊三角形，6正確；

.26,弦。，

；.CG=DG,C正確；

一''的上斗,60xKx36、口

BC的長為：——77——=TT'。1t錯(cuò)di俁，

loU

故選：D.

5.（2016浙江省湖州市-3分）如圖，圓。是的2紀(jì)的外接圓,N/C6=90°,"=25°,

過點(diǎn)C作圓。的切線，交力6的延長線于點(diǎn)D,則N。的度數(shù)是（）

A“.25°B.40℃.50°0D.65°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【分析】首先連接OC,由2/=25。，可求得N6OC的度數(shù),由。是圓。的切線，可得

oa。，繼而求得答案.

【解答】解：連接OC,

.,圓。是6c的外接圓,N/C8=90。，

是直徑，

.N/=25°,

..N6OC=2N/=50°,

是圓。的切線,

:.OCvCD,

.20=90°-N6OC=40°.

故選B.

6.（2016浙江省紹興市4分）如圖，6。是。。的直徑，點(diǎn)AC在。。上，懣=標(biāo),

NZO6=60°,則N6OC的度數(shù)是（）

A.60°B.45℃.35°D.30°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解:連結(jié)OC,如圖,

-AB=BC，

.?.N60C=L/06」X60°=30°.

22

故選D.

7.（2016廣西南寧3分）如圖，點(diǎn)Z,B,C,。在O。上，CDvOA,&O6,垂足

分另（］為D,E,zZ?C￡=40°,則N0的度數(shù)為（）

B

A.140°B.70℃.60°D,40°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：.CDVOA,CEVOB,垂足分別為。，E,』。仁￡=40°,

.-.zZ?(9￡=180o-40°=140°,

:zP=^zDOE=70°.

2

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

8.(2016貴州畢節(jié)3分)如圖，點(diǎn)/,6,C在。。上,N/=36°,N回28°,則28=()

A.100°B.72℃.64°D.36°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】連接04,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC4C=NC=28。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解

答即可.

【解答】解：連接OA,

：OA=OC,

.?.zO4C=zC=28°,

.-.z045=64°,

：OA=OB,

:.AB=AOAB=M°,

9.（2016河北3分）圖示為4x4的網(wǎng)格圖，/,6,CeD,。均在格點(diǎn)上，點(diǎn)。是（）

第9題圖

A.A/。的外心B."6c的外心

C.AZC。的內(nèi)心D."比■的內(nèi)心

答案：B

解析：點(diǎn)。在外，且到三點(diǎn)距離相等，故為外心。

知識(shí)點(diǎn)：外心：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。

內(nèi)心：三角形內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。（也就是內(nèi)切圓圓心）

10.（2016?山東濰坊-3分）木桿26斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端/沿墻壁/V。豎直下滑

時(shí)，木桿的底端6也隨之沿著射線。河方向滑動(dòng).下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)戶隨之下

落的路線，其中正確的是（）

【考點(diǎn)】軌跡；直角三角形斜邊上的中線.

【分析】先連接OP,易知OP是/?智ZO6斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，可得OP=；AB,由于木桿不管如何滑動(dòng)，長度都不變，那么。就是一個(gè)

定值，那么"點(diǎn)就在以。為圓心的圓弧上.

【解答】解：如右圖，

連接OP,由于。。是/?獸2。6斜邊上的中線，

所以O(shè)P='-AB,不管木桿如何滑動(dòng)，它的長度不變，也就是是一個(gè)定值，點(diǎn)Q就在以

。為圓心的圓弧上，那么中點(diǎn)戶下落的路線是一段弧線.

故選D.

11.（2016?陜西-3分）如圖，。。的半徑為4,△/族■是。。的內(nèi)接三角形，連接OB、

OC.若/以「與N6OC互補(bǔ)，則弦6c的長為（）

A

A.3V3B.4A/3C.5/3D.6/3

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】首先過點(diǎn)。作ODLBC于D,由垂徑定理可得BC=2BD,又由圓周角定理，可求

得N6OC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得NOa"的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可

求得答案.

【解答】解：過點(diǎn)。作ODV6c于D,

則BC=2BD，

,?△/6c內(nèi)接于。。，N必C與N6OC互補(bǔ)，

..N6OC=2N/,N6gN/=180°,

.260c=120°,

：OB=OC,

..NO6C=N。終￡=30°,

???。。的半徑為4,

:.BD=OB?cosaOBC=4x1；=2M,

:.BC=AM.

故選：B.

A

12.（2016?四川眉山?3分）如圖,4。是。。上的兩個(gè)點(diǎn),6c是直徑.若公32°,則

A.64°B.58℃.72°D.55°

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出N6及/必。的度數(shù),再由等腰三角形的性質(zhì)求出N048的

度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解:是直徑,/。=32。，

.?.N6=NO=32°,N以C=90°.

：OA=OB,

:zBAO=/B=32。，

:.AOAC^ABAC-NHI（9=90°-32°=58°.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,

都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

13.(2016?四川攀枝花)如圖，點(diǎn)。(0,3),0(0,0),0(4,0)在。/上，6。

是。力的一條弦，則sin乙OBD=()

【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】連接CD,可得出，根據(jù)點(diǎn)。(0,3),0(4,0)，得OD=3,

0c=4,由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出$/7叱。6。即可.

【解答】解：3),6(4,0),

：.OD=3,OC=4,

.2090=90。，

-^=\/32+42=5，

連接。?，如圖所示：

:AOBD=^OCD,

:.sinz.OBD=sinAOCD^^.

CD5

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理、以及銳角三角函數(shù)的定義；熟練掌握?qǐng)A周角定

理是解決問題的關(guān)鍵.

14.（2016?黑龍江龍東?3分）若點(diǎn)。是等腰的外心，且N6OC=60°,底邊BC=2,

則6c的面積為（）

A.2+V3B.與C.2+“室2-6D.4+2反2-,三

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應(yīng)的邊的長度，從而可

以求出不同情況下6c的面積，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，如右圖所示，

存在兩種情況，

當(dāng)紀(jì)為“1歌時(shí)，連接。氏OC,

..點(diǎn)。是等腰A/6C的外心，且N6OC=60。，底邊BC=2,OB=OC,

.”08。為等邊三角形,OB=OC=BC=2,04」交于點(diǎn)。，

■-CD=1,-1~=y/3?

BC-AtD2X（2-V3）.?.^

,^△AJBC-2~2V3,

當(dāng)"I比為"2比■時(shí)，連接。員OC,

???點(diǎn)。是等腰的外心，且N8OC=60°,底邊BC=2,OB=OC,

6c為等邊三角形,OB=OC=BC^2,04」6c于點(diǎn)。，

■-CD=1,OD=^2'-1~-y/3，

-'-S^A2BC=S'BA?-=2X⑵收=2+?,

22

由上可得，“雨的面積為2-b或2+73,

故選C.

15.（2016?黑龍江齊齊哈爾?3分）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

①同位角相等

②經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行

③長度相等的弧是等弧

④順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)平行公理對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等弧的定義對(duì)

③進(jìn)行判斷;根據(jù)中點(diǎn)四邊的判定方法可判斷順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形為平行四

邊形，加上菱形的對(duì)角線垂直可判斷中點(diǎn)四邊形為矩形.

【解答】解：兩直線平行，同位角相等，所以①錯(cuò)誤；

經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，所以②錯(cuò)誤；

在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，所以③選項(xiàng)錯(cuò)誤；

順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，所以④正確.

故選A.

16.（2016?湖北黃石-3分）如圖所示，。。的半徑為13,弦26的長度是24,ON^AB,

垂足為/V,則O/V=（）

UJ

A.5B.7C.9D.11

【分析】根據(jù)。。的半徑為13,弦28的長度是24,可以求得Z/V的長，從而

可以求得O/V的長.

【解答】解：由題意可得，

04=13,z<9/\44=90°,>45=24,

.//V=12,

,',ON=VoA2-AN2=7132-122=5，

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是明確垂徑定理的內(nèi)容，利用垂徑定理解答問題.

17.（2016?湖北荊州?3分）如圖，過。。外一點(diǎn)。引。。的兩條切線以、Q6,切點(diǎn)分別

是48,。尸交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。是優(yōu)弧南上不與點(diǎn)4點(diǎn)。重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接Z。、

CD,若NZ%=80°,貝上《■的度數(shù)是（）

A.15°B.20℃.25°D.30°

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得N6O4,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，根據(jù)圓周角定理,

可得答案.

B

【解答】解；如圖",

由四邊形的內(nèi)角和定理，得

N6O4=360°-90°-90°-80°=100°,

由孩=祕(mì)，得

由圓周角定理，得

NZZ?C=LNZOC=25°,

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)得出孩=竟是解題關(guān)鍵，又利用了圓周角定

理.

二、填空題

1.（2016?重慶市/卷4分）如圖,OA,06是。。的半徑，點(diǎn)C在。。上,連接ZC,

BC,若"06=120°,則NZC6=60度.

【分析】根據(jù)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧

所對(duì)的圓心角的一半可得答案.

【解答】解：

.2/06=120°,

終120°x2=60°,

故答案為：60.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

2.（2016?廣西百色?3分）如圖，。。的直徑26過弦。的中點(diǎn)E,若NC=25。，貝上。=_

65。.

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出N/的度數(shù)，再由垂徑定理求出N/屹的度數(shù)，進(jìn)而可得出

結(jié)論.

【解答】解:.NC=25°,

:.^A=AC=25°.

,??。。的直徑26過弦。的中點(diǎn)E,

：.ABVCD,

..N/￡Z?=90°,

二/。=90°-25°=65°.

故答案為：65°.

3.（2016?貴州安順4分）如圖，Z6是。3的直徑,弦皿08于點(diǎn)E,若28=8,CD=6,

則BE-AF

CD

B

【分析】連接OC,根據(jù)垂徑定理得出CE=ED=CD=3,然后在Rt&。a中由勾股定理求

出的長度,最后由BE=OB-OE,即可求出力的長度.

【解答】解：如圖，連接OC.

■:弦于點(diǎn)E,CD=6,

:.CE=ED^2.CD=3.

.?在Rt^OEC中,NO￡C=90°,CE=3,0c=4,

：.OE==、n

：.BE=OB-OE=4-77.

故答案為4-近.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練的運(yùn)用垂徑定理得出

CE、的長度.

4.（2016海南4分）如圖，Z6是。。的直徑，AQ6c是。。的弦，直徑?？赯C于點(diǎn)

P.若點(diǎn)。在優(yōu)弧'戒上,AB=8,BC=3,貝UDP=5.5.

u

E

【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理.

【分析】解：由Z6和是。。的直徑，可推出04=06=00=4/1=90。，又有DEVAC.

得到OPWBC,于是有A/。氏根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?：/”口OF是。。的直徑，

:.OA=OB=OD=^,￡90°,

又.??？赯C,

:.OP\\BC,

:.^AOP-^ABC,

OPAO

空」

即1~加，

：.OP=1.5.

：.DP=OP+OP=5.5,

故答案為：5.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，平行線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握

圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵.

5.（2016?青海西寧2分）。。的半徑為1，弦AB=?，弦AC=M，則度數(shù)為75°

或15°.

【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.

【分析】連接。4,過。作。以26于E,0aze于F,根據(jù)垂徑定理求出ZE7值，

根據(jù)解直角三角形的知識(shí)求出N046和N04C,然后分兩種情況求出N必C即可.

【解答】解：有兩種情況：

①如圖1所示：連接OA,過。作?？?6于E,OFrAC^-F,

..NO￡4=NO*=90°,

由垂徑定理得：AE=BE^-,AF=CFNZ,

22

cos/OAE=坦=近，cos/OAFf二返,

0A20A2

.?.zO4F=30°,,.2必。=30°+45°=75°;

②如圖2所示:

連接04,過。作?？诹?于E,0aze于F.

..NOE4=Ng=90°,

由垂徑定理得：AE=BE=^,AF=CF=",

券二亞，COSN3G絆二返，

0A20A2

.?.zO4￡=30°,NO4645°,

.-.z^4C=450-30°=15°;

故答案為：75?；?5°.

71

6.（2016?吉林?3分）如圖，四邊形/反■。內(nèi)接于。O,ADAB=130°,連接OC,點(diǎn)。是

半徑OC上任意一點(diǎn)，連接DP,BP,則/6也可能為80度（寫出一個(gè)即可）.

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理.

【分析】連接OB.OD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求

出的度數(shù)，得到NaSF<N6QZ?<N0C>B.

【解答】解：連接OD,

一.四邊形26。內(nèi)接于。。，N246=130°,

:.ADCB=180°-130°=50°,

由圓周角定理得，,。。6=2/。8=100°,

“DCB<ABPD<ADOB,即50°<ABPD<100°,

.可能為80°,

故答案為：80.

7.（2016?四川瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/（1,0）,6（1

-3,0）,「（1+3,0）（3>0）,點(diǎn)。在以。（4,4）為圓心，1為半徑的

圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足N6PC=90。，則a的最大值是6.

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.

【分析】首先證明AB=AC^a,根據(jù)條件可知PA=AB=AC^a,求出。。上到

點(diǎn)Z的最大距離即可解決問題.

【解答】解：X(1,0),5(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

..AB-1-(1-a)=a,CA-a+1-1-a,

：.AB=AC,

?.?N6QC=90°,

..PA-AB-AC-a,

如圖延長交。。于P1,此時(shí)Z?最大，

?./(1,0),。(4,4),

./。=5,

.?.”=5+1=6,

??.a的最大值為6.

故答案為6.

8.(2016?黑龍江龍東?3分)如圖，MN是。。的直徑，MN=4,NZ//V=40°,點(diǎn)6為弧

Z/V的中點(diǎn)，點(diǎn)。是直徑//V上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則必1+外的最小值為，,(3_.

M

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題；圓周角定理.

【分析】過/作關(guān)于直線4/V的對(duì)稱點(diǎn)4連接AB，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知即為PA+PB

的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知同=Qj,再由圓周角定理可求出N4O/V的度數(shù)，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：過Z作關(guān)于直線M/V的對(duì)稱點(diǎn)4,連接AB,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知46即為

勿+%的最小值，

連接OB,OA,44,

.44'關(guān)于直線"N對(duì)稱,

■：AAMN=^°,

.-.zA(9/V=80o,N6CW=40°,

.-.zA<95=120°,

過。作于Q,

在R|A4OQ中，。4'=2,

：.AB=2AQ=2月，

即以+Q6的最小值2%

故答案為:2V3.

三、解答題

1.(2016?四川瀘州)如圖,內(nèi)接于。。，6。為。。的直徑，BD與AC

相交于點(diǎn)H,ZC的延長線與過點(diǎn)6的直線相交于點(diǎn)E,且=.

(1)求證：6P是。。的切線；

(2)已知CGWEB,且CG與BD、84分別相交于點(diǎn)尸、G,若6G?62=48,

FG=近，DF=2BF,求的值.

【考點(diǎn)】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判定.

【分析】(1)欲證明6P是。。的切線，只要證明/￡6。=90°.

(2)由“BJCBG,得E：=年求出6C,再由尸,得BO=BF?BD

求出BF,CF,CG,GB,再通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG^AG,進(jìn)而可以證明CH=CB,

求出ZC即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接CD.

.6。是直徑，

.260=90°,即NO+NC6Z?=90°,

■:乙A:乙D,zA=zEBC,

:.乙CBD+乙EBC=90°,

：.BEX.BD,

二6￡是。。切線.

(2)W：-.CGWEB,

;/BCG=aEBC,

:.Z.A-ABCG,

:zCBG=zABC

:&ABC'-'△CBG,

.?.靛=；,即BC=BG*BA=A2,

:.BC=4R,

■：CG\\EB,

CFVBD,

△BFCs△BCD,

:.BC=BF?BD,

:DF=2BFi

:.BF=4,

2

在RCBCF中，CF=7BC-FB2=472,

CG=CF+FG=5巧,

22=

在/?△6尸G中，BG=VBF+FG3'/2,

?.6G?62=48,

.?.BA=8、，/即AG=5y[2l

CG-AG,

..N/=N/CG=N6CG,ACFH=ACFB=2Q0,

..乙CHF=aCBF,

：.CH=CB"氐'

■：^ABC-△CBG,

,AC=BC

■CG-BG'

./C=CB<G=2OV3

CG3

：.AH=AC-CA=至;.

3

2.(2016?四Jl|攀枝花)如圖，在中,N/O6為直角,04=6,03=8,半徑為2

的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)。出發(fā)，沿著04方向以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)Z出發(fā)，沿著26方向也以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒(0

＜仁5)以。為圓心，PA長為半徑的OP與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D,連結(jié)CD、

QC.

(1)當(dāng)r為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合？

(2)當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)力時(shí)，求。。被06截得的弦長.

(3)若。。與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求「的取值范圍.

B

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】(1)由題意知CD±OA,所以“COSAZ6O,利用對(duì)應(yīng)邊的比求出2。的長度，

若Q與。重合時(shí)，則，AD+OQ=OA,列出方程即可求出f的值；

(2)由于0＜把5,當(dāng)Q經(jīng)過4點(diǎn)時(shí)，OQ=4,此時(shí)用時(shí)為4s,過點(diǎn)。作PEL08于點(diǎn)E,

利用垂徑定理即可求出。。被截得的弦長；

(3)若。。與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種情況，①當(dāng)QU與。。相切時(shí)，計(jì)算

出此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與。重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種情況即可得出［的取

值范圍.

【解答】解：(1).0=6,06=8,

，由勾股定理可求得：力6=10,

由題意知：OQ=AP=t,

：.AC-2t,

是。。的直徑，

.?.NQ?Z=90°,

:.CD\\OB,

：aACD^^ABO,

.AC_AD

,AB^OA)

當(dāng)Q與。重合時(shí)，

AD+OQ=OA,

.哈t+片6,

.上嗎

11

(2)當(dāng)。。經(jīng)過4點(diǎn)時(shí)，如圖1,

OQ=OA-QA=4,

4

■.^Y=45,

..叫=4,

：.BP=AB-%=6,

過點(diǎn)。作PEL08于點(diǎn)E,GP與相交于點(diǎn)F、G,

連接外，

：.PE\\OA,

：aPEBs^AOB,

,PEBP

'OA'TB'

7，

b

..由勾股定理可求得：行=會(huì)假，

5

由垂徑定理可求知：［6=21=卑9;

(3)當(dāng)QC與。P相切時(shí)，如圖2,

止匕時(shí)NQC4=90°,

：OQ=AP=t,

..AQ=6-t,AC-2t,

：AA-AA,

AQCA=AABO,

.^AQC^△ABO,

.AQAC

"ABrOA1

,6-t_2t

"10=6，

??喑

.?.當(dāng)0＜仁圣時(shí)，。P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)QdOA時(shí)，

此時(shí)Q與。重合,

由（1）可知:在得,

二.當(dāng)居＜把5時(shí)，。戶與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)，0P與QC只有一個(gè)交點(diǎn),r的取值范圍為：0＜仁;或得〈仁5.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，圓周角定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，學(xué)生需要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來分析，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

3.（2016?山東濰坊）正方形ABCD內(nèi)接于。O,如圖所示，在劣弧標(biāo)上取一點(diǎn)E,連接

DE、BE,過點(diǎn)。作DFW6F交。。于點(diǎn)F,連接于/，目/尸與相交于點(diǎn)G,求證：

（1）四邊形用尸。是矩形；

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；矩形的判定；圓周角定理.

【分析】（1）直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出

/BED=/BAD=90°,^BFD=ABCD=90°,2￡。尸=90。，進(jìn)而得出答案；

（2）直接利用正方形的性質(zhì)菽的度數(shù)是90。，進(jìn)而得出BE=DF,則BE=DG.

【解答】證明：（1）,.正方形ABCD內(nèi)接于。O,

:.^BED=ABAD=9Q°,zBFD=zBCD=qQ0,

又：DF\\BE,

:zEDF+aBED=180：

:zEDF=90。，

二四邊形E6&9是矩形；

(2))?.正方形26。內(nèi)接于O。，

.?奇勺度數(shù)是90°,

.?2/田=45°,

又.NG。上90°,

:.乙DGF=ADFC=45°,

:.DG=DF,

又,.在矩形EBFD中,BE=DF,

：.BE=DG.

4.(2016?廣西桂林?8分)已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式--

海倫公式5=dp(p-a)(p-b)(p-O(其中8，6,c是三角形的三邊長,

D_〃+「+」，5為三角形的面積)，并給出了證明

P-2

例如：在"比中，a=3,6=4,廠5,那么它的面積可以這樣計(jì)算：

,.a=3,8=4,c-5

.?.S=7p(p-a)(p-b)(p-c)=V6X3X2X1=6

事實(shí)上，對(duì)于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖,在“6C中，6C=5,心6,26=9

(1)用海倫公式求的面積;

(2)求⑼比的內(nèi)切圓半徑/?.

【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；二次根式的應(yīng)用.

【分析】(1)先根據(jù)BC、26的長求出P,再代入到公式S=#(p-a)(p-b)(p-c)

即可求得S的值；

(2)根據(jù)公式5=，，(/C+&7+/6),代入可得關(guān)于「的方程，解方程得廣的值.

【解答】解：(1)."=5,ZC=6,26=9,

BC+AC+AB5+6+9-n

.?尸一?=-=10,

S=Vp(p-a)(p-b)(p-C)=V1OX5X4X1=1072；

故"史的面積10^2；

(2)：S^r[AC+BC+AB),

10施寺(5+6+9),

解得：片血,

故"6c的內(nèi)切圓半徑片近.

5.(2016?廣西桂林?10分)如圖，在四邊形ABCD^,26=6,BC=8,624,AD=26,

N6=90。，以/。為直徑作圓O,過點(diǎn)。作。曰Z6交圓。于點(diǎn)E

(1)證明點(diǎn)「在圓。上；

(2)求用叱。￡的值；

(3)求圓心。到弦的距離.

B

E-----D

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【分析】（1）如圖1,連結(jié)。.先由勾股定理求出AC^W,再利用勾股定理的逆定理證

明A/。是直角三角形,zC=90°,那么OC為斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半得出OC^AD=r,即點(diǎn)C在圓。上;

（2次口圖2延長BC、0P交于點(diǎn)尸/始。=90°根據(jù)同角的余角相等得出在

RfABC中,利用正切函數(shù)定義求出tan^ACB=,貝Utan乙CDE:tan乙ACB二士;

844

（3）如圖3，連結(jié)/巳作OG，￡Z?于點(diǎn)G,則OGllZP,且0G=//￡易證"6aAs?,

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CF7*9,那么BF=BC+CF”119.再證明四邊形任

55

是矩形，得出力￡=6尸=半,所以O(shè)G^AE^y.

525

【解答】（1）證明：如圖1,連結(jié)co.

.26=6,6c=8,N6=90°,

：.AC^W.

又?」辦24,/。=26,102+242=262,

二“。是直角三角形，NC=90°.

?.2。為。。的直徑，

：.AO^OD,。i為月介/C。斜邊上的中線，

：.OC^_AD=r,

二點(diǎn)C在圓。上；

(2)解：如圖2,延長6c交于點(diǎn)F,n6m=90。.

.2筋。=90°,

:.乙CDE+乙FCD=S4°,

又.2/690°,

:.^ACB+AFCD=9G°,

:.ACDE=Z.AC^).

在RfABC中,tan乙ACB=三=3,

84

一3

tan乙CDE-tanz.ACB--;

4

(3)解：如圖3,連結(jié)ZF,作OGLE。于點(diǎn)G,則0GlM巳且OG=；AE.

易證A/6jCTT?,

.AB_AC6_10

■CF-CD'SHnPCF_24'

：CF4,

b

：.BF=BC+CF=^+—=-.

55

???/―/月?=90。，

???四邊形任是矩形，

119

：.AE=BF=^^,

5

：.OG=\AE~,

25

即圓心。到弦￡。的距離為孚.

5

B

E'-----D

圖1

6.(2016?貴州安順口2分)如圖，在矩形26。中，點(diǎn)。在對(duì)角線ACh,以04的長為

半徑的圓。與22ZC分別交于點(diǎn)EF,且/ACBjDCE.

(1)判斷直線2與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

返

(2)若tan4ACB=2,BC=2,求。。的半徑.

【分析】(1)連接欲證直線CE與。。相切，只需證明NC￡C>=90°,即OE工。即可；

(2)在直角三角形Z6C中，根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得AB=、n,然后根據(jù)勾股定理求

得同理知?！?1;

方法一、在RfCOE中,利用勾股定理可以求得綸=。，+6,即（捉-r「="+3,

從而易得/"的值；

方法二、過點(diǎn)。作。例，ZF于點(diǎn)M,在R於AMO中,根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得廣的

值.

【解答】解：（1）直線CE與。。相切.…（1分）

理由如下：

?.四邊形26。是矩形，

：.BC\\AD,AACB=ADAC',

又：LACB=zDCE,

:.乙DAC=ADCE;

連接OE,則/81=/2。=/。8；

;zDCE+zDEC=90°

..N/￡0+NO￡C=90°

.?.z<2￡C=90°,即OErCE.

又OF是。。的半徑，

.?直線小與。。相切.…（5分）

AB返

（2『tanzACB*",BC=2,

:,AB二BC?tan乙ACB=金,

：.AC=4l;

又：zACB=zDCE,

返

:.tan^DCE=tanz-ACB-2,

:.DE-DGtan^DCE-1;

方法一:在RtSE中,C￡=VCD2+DE2=\F3,

連接。段設(shè)。。的半徑為r,則在Rt^COE中,CO=OR+CR,即〔娓一r尸="+3

在

解得：仁工

方法二：AE=AD-DE=\,過點(diǎn)。作于點(diǎn)M,則AM^2/￡=2

AMj_2V6

在/?衿2例。中，04=cosZEAO=2-^76=丁...（9分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；利用勾股定理計(jì)算線段的

長.

7.(2016?黑龍江哈爾濱10分)已知：“6。內(nèi)接于O。，。是上一點(diǎn)，。九比，垂足

為H.

(1)如圖1,當(dāng)圓心。在26邊上時(shí)，求證：AC=2OH;

(2)如圖2,當(dāng)圓心。在“比■外部時(shí)，連接AD、CD,2。與6c交于點(diǎn)P,求證：

乙ACD=^APB;

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接BD,E為O。上一點(diǎn)，連接DE交6c于點(diǎn)Q、交

26于點(diǎn)N,連接OE,6尸為。。的弦，BFVOF于點(diǎn)R交于點(diǎn)G,若-

AABD=2ABDN,ZC=5遙,BN=3、區(qū),tan^ABC^,求6尸的

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【分析】(1)。幾比■可知點(diǎn)H是比■的中點(diǎn)，又中位線的性質(zhì)可得好=2。〃；

(2)由垂徑定理可知：BD=CD，所以n必。=N。。，由因?yàn)镹/6C=N/Z?C,所以

AACD入APB;

(3)由"BD=2/BDN可用NAND=9G°,由tan"BC=士可知A/Q和6Q的長

度，再由6乩?！旰透杩芍狽G8/V=N/6U,所以BG=BQ,連接并延長交。。

于點(diǎn)I,連接后利用圓周角定理可求得兀和//的長度，設(shè)QH=x,利用勾股定理可求

出Q”和〃。的長度，利用垂徑定理可求得的長度，最后利用叱。即可求得

RG的長度，最后由垂徑定理可求得6尸的長度.

【解答】解：(1)1。九交，

二由垂徑定理可知：點(diǎn)H是6c的中點(diǎn)，

,.點(diǎn)。是Z6的中點(diǎn)，

二。”是的中位線，

:.AC=2OH;

(2)：OD±BC,

二由垂徑定理可知：BDROT，

..Z.BAD-Z.CAD,

-AC=AC，

:.Z.ABC-AADC,

.-.180°-n必。-N/6U=180°-ACAD-AADC,

:.AACD=AAPB,

(3)連接2。延長交于。。于點(diǎn)/,連接IC.26與。。相交于點(diǎn)M,

:AACD-乙ABD=2乙BDN,

:.AACD-乙BDN:乙ABD+乙BDN,

■:乙ABD+乙BDN=^AND,

:.AACD-zBDN=zAND,

???N/O+N/6p=180°,

:.乙ABD+zBDN=\8Q°-zAND,

.-.z/l/VP=180o-乙AND，

.?.N//VP=90°,

:tan乙ABC=%,BN=3后,

,WQ=萼，

二由勾股定理可求得：6Q=詈，

:ABNQ=^QHD=3Q°,

:.乙ABC=zQDH,

：OE=OD,

:.AOED=AQDH,

.N￡7?G=9O°,

:.AOED=AGBN,

:.AGBN=AABC,

：AB^ED,

；.BG=BQ=當(dāng)，GN=NQ=^-,

.4是。。直徑，

..N/&90°,

tanZ-AIC-tan^ABC=--,

IC2

:JC=10正,

由勾股定理可求得：AI=25,

連接06,

設(shè)QH=x,

■/tanAABC-tanz.ODE=g,

,QHJ

"HD-2'

：.HD=2x,

:.OH=OD-HD=-2x,

BH=BQ+QH=^+x,

由勾股定理可得:Oa=B印+。印，

??吟）2=（竽+X）2+（與-2x）2,

解得：X=1?或

當(dāng)時(shí)，

-QD-y^QH--,

:.ND=QD+NQ=6顯，

：.MN=3娓,MD=15

-QH=二不符合題意，舍去,

當(dāng)Q2="|時(shí)，

:.QD=、、反QH=；、芯

:.ND=NQ+QD=A?

由垂徑定理可求得:ED=10疾,

:.GD=GN+ND=｝）A,

：.EG=ED-GD=,

■:tan乙OED^,

,RG_1

■ER^2'

:.EG=：\RGi

RG=2

:.BR=RG+BG=12

由垂徑定理可知：BF=2BR=24.

IB

（圖3）

8.（2016河北）（本小題滿分10分）

如圖,半圓。的直徑26=4,以長為2的弦QQ為直徑，向點(diǎn)。方向作半圓M,其中P點(diǎn)、

在ZQ（?。┥锨也慌c力點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與6點(diǎn)重合.

發(fā)現(xiàn)力戶（?。┑拈L與Q6（?。┑拈L之和為定值/,求/；

思考點(diǎn)M與28的最大距離為此時(shí)點(diǎn)P,，間的距離為；點(diǎn)M與AB的

最小距離為此時(shí)半圓例的弧與26所圍成的封閉圖形面積為.

探究當(dāng)半圓M與26相切時(shí)，求力。（?。┑拈L.

（注：結(jié)果保留"，cos35°=--,cos55°=^-）

第25題圖備用圖

解析：圖畫好，就好求。最大距離就是OM,當(dāng)OS45時(shí)，利用角和邊的關(guān)系，AAOP

是等邊三角形，點(diǎn)M與28的最小距離，Q與6重合，面積，扇形減三角形。

相切，兩種情況，左邊和右邊，對(duì)稱的，畫好圖，根據(jù)8535。=嚴(yán)55°=^,

33

以及已知角，求所需要的角。

知識(shí)點(diǎn)：圓

25.解：發(fā)現(xiàn)連結(jié)QP,OQ,則。尸=。0=尸0=2.

NPOg=60°.而的長=^^=y

.,1.lit4n

../=—n-4-----=—......................................2...分................

233

思考立

62三-昱