(6.17)-4.4二次曲面的徑面與奇向

二次曲面的徑面與奇向(1)(2)及直線已知二次曲面S：將(2)式代入(1)式，經(jīng)整理得(3)4.4二次曲面的徑面和奇向二次曲面的徑面和奇向一、二次曲面的徑面1二次曲面的徑面的定義設(shè)是二次曲面(1)的任意一個非漸近方向,為平行于方向的弦的中點,則弦的方程為(2)，弦的兩端點由方程(3)的兩個根所決定.(3)二次曲面的徑面和奇向是弦的中點即把上式中的換成得平行弦中點的軌跡方程為(4’)即(4.4.1)即(4)二次曲面的徑面和奇向由于所以不全為零.為三元一次方程,表示一個平面.由此得定理4.4.1

二次曲面的一族平行弦的中點軌跡在一個平面上.的徑面.

定義4.4.1二次曲面沿非漸近方向的所有平行弦中點所在的平面叫做二次曲面共軛于方向叫做這個徑面的共軛方向.

(4.4.1)式(4.4.1)二次曲面的徑面和奇向推論1

線心二次曲面的任何徑面通過它的中心直線.面心二次曲面的徑面與它的中心平面重合.2二次曲面的徑面的性質(zhì)定理4.4.2

二次曲面的任何徑面必通過它的中心.推論2

從徑面方程(4’)容易看出，如果二次曲面有中心,那么它一定在任何一個徑面上.因此有下列的結(jié)論:(4’)(4.4.1)二次曲面的徑面和奇向(4’)(4.4.1)

如果方向為二次曲面的漸近方向，那么平行于它的弦不存在.假若不全為零,那么方程(4.4.1)

仍表示一個平面.為方便起見，我們把這個平面叫做共軛于漸近方向的徑面.由于可見，此時徑面與其共軛方向平行.二次曲面的徑面和奇向定義4.4.2如果二次曲面的漸近方向滿足二、二次曲面的奇向那么叫做二次曲面的奇異方向，簡稱為奇向.定理4.4.3二次曲面有奇向的充要條件是即推論中心二次曲面且只有中心二次曲面無奇向.定理4.4.4二次曲面的非奇漸近方向且只有非奇漸近方向與共軛于它的徑面平行.二次曲面的徑面和奇向定理4.4.5二次曲面S

的奇向平行于S

的任意徑面.證設(shè)為二次曲面的奇向,即對任意非奇向與之共軛的徑面方程為定理得證.二次曲面的徑面和奇向求單葉雙曲面的徑面.因為單葉雙曲面是中心曲面,所以沒有奇向.任取方向故單葉雙曲面共軛于方向的徑面方程為的徑面方程.類似可得曲面

及例1解有二次曲面的徑面和奇向求橢圓拋物面的徑面.橢圓拋物面是無心曲面，所以它有奇向.因為所以奇向為

任取非奇方向由于非奇向

的徑面方程為類似可得雙曲拋物面的奇向為共軛于非奇向的徑面方程為例2解所以共軛于二次曲面的徑面和奇向求曲面過y

軸的徑面方程及與其共軛的方向.曲面無奇向.

任給方向

與之共軛的徑面方程為由它過y軸得例3解二次曲面的徑面和奇向解得得與之共軛的徑面方程為代入方程證明雙曲拋物面的任意一條直母線必在與該直線的方向共軛的徑面上.證明設(shè)雙曲拋物面的方程為

與之共軛的方向為共軛于非奇向的徑面方程為例4二次曲面的徑面和奇向與該方向共軛的徑面方程為先考慮族直母線

其方向向量為顯然，族直母線在這個徑面上.

同理可證族直母線的情形.

二次曲面的徑面和奇向小結(jié)1二次曲面的徑面方程3二次曲面的奇向2二次曲面的徑面的性