2021年新課標(biāo)七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)第二十講線段

第二十講線段平面幾何是研究平面圖形(planeflgure)性質(zhì)一門學(xué)科，重要是研究平面圖形形狀、大小及位置關(guān)系．構(gòu)成平面圖形基本元素是點(diǎn)和線，在線中，最簡(jiǎn)樸、最常用就是線段、射線或直線，它們概念、性質(zhì)及畫圖是后續(xù)學(xué)習(xí)研究由線段所構(gòu)成比較復(fù)雜圖形(如三角形、四邊形等)基本．幾何中線段、射線、直線等概念是從現(xiàn)實(shí)有關(guān)形象中抽象而來(lái)，它們沒有了實(shí)物中那些諸如寬度、硬度、顏色之類性質(zhì)，但卻為現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決提供了有力工具，使得許多問(wèn)題研究可以轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)要幾何圖形研究．解決與線段有關(guān)問(wèn)題，慣用到中點(diǎn)、代數(shù)化、枚舉與分類討論等有關(guān)概念與辦法．例題【例1】平面內(nèi)兩兩相交6條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為個(gè)，最多為個(gè)．(“但愿杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥畫圖探求，從簡(jiǎn)樸情形考慮，從特殊情形考慮．注：幾何原意是“測(cè)地術(shù)”，相傳來(lái)源于四千近年前土地測(cè)量、面積計(jì)算、器皿制造、房屋建筑、天文歷算等實(shí)踐活動(dòng)需要，公元前三百年左右，古希臘數(shù)學(xué)家歐基里德總結(jié)和整頓了前人和當(dāng)時(shí)幾何知識(shí)，寫成了巨著《幾何原本》．當(dāng)今，幾何巳形成構(gòu)造嚴(yán)密科學(xué)體系，成為數(shù)學(xué)中一種重要分支，是訓(xùn)練邏輯思維能力與空間想象能力最有效學(xué)科之一．求滿足一定條件某種幾何圖形個(gè)數(shù)叫幾何圖形計(jì)數(shù)，慣用到窮舉、歸納、逆推等辦法，讀者思考如下典型問(wèn)題：線段上有n個(gè)點(diǎn)(含兩個(gè)端點(diǎn))共有多少條線段?(2)n條直線兩兩相交直線最多有幾種交點(diǎn)?(3)n條直線最多能把平面提成幾種區(qū)域?【例2】如圖，已知B是線段AC上一點(diǎn)，M是線段AB中點(diǎn)，N是線段AC中點(diǎn)，P為NA中點(diǎn)，Q為MA中點(diǎn)，則MN：PQ等于()．A．1B．2C．3D．4(“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題)思路點(diǎn)撥運(yùn)用中點(diǎn)，設(shè)法把MN、PQ用含相似線段代數(shù)式表達(dá)．【例3】如圖，C是線段AB中點(diǎn)，D是線段AC中點(diǎn)，已知圖中所有線段長(zhǎng)度之和為23，求線段AC長(zhǎng)度．思路點(diǎn)撥引人未知數(shù)，通過(guò)列方程求解．【例4】攝制組從A市到B市有一天路程，籌劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，由于堵車，中午才趕到一種小鎮(zhèn)，只行駛了原籌劃三分之一，過(guò)了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來(lái)休息，司機(jī)說(shuō)，再走從C市到這里路程一半就到達(dá)目地了，問(wèn)A、B兩市相距多少千米?(“華杯賽”試題)思路點(diǎn)撥條件中只有路程，而沒有給出時(shí)間與速度，因此應(yīng)當(dāng)集中注意于名段路程之間關(guān)系，畫線段圖分析，借助圖形思考．【例5】(1)如圖a，已知A、B在直線l兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；(2)如圖b，已知A、B在直線l同側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。?3)如圖c，有一正方體盒子ABCD—A1B1ClDl，在盒子內(nèi)頂點(diǎn)A處有一只蜘蛛，而在對(duì)角頂點(diǎn)C處有一只蒼蠅．蜘蛛應(yīng)沿著什么途徑爬行，才干在最短時(shí)間內(nèi)捕獲到蒼蠅?(假設(shè)蒼蠅在Cl處不動(dòng))思路點(diǎn)撥聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”性質(zhì)，通過(guò)對(duì)稱、考察特殊點(diǎn)等辦法，化曲為直．注：恰當(dāng)設(shè)元，運(yùn)用方程思想，將線段、角計(jì)算問(wèn)題代數(shù)化，是解與線段、角有關(guān)計(jì)算問(wèn)題重要辦法．?dāng)?shù)學(xué)既研究數(shù)，也研究形，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題既可以從代數(shù)角度來(lái)思考，也可以從形角度加以解決．“謀定而后動(dòng)”，解題辦法選取建立在分析基本上，切忌“慌不擇路”，扎進(jìn)“死胡同”．分類思想是一種科學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中各階段都要運(yùn)用到，幾何學(xué)運(yùn)用分類思想時(shí)，總是與圖形位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系有關(guān)．【例6】攝制組從且市到月市有一天路程，籌劃上午比下午多走100km到C市吃午飯．由于堵車，中午才趕到一種小鎮(zhèn)，只行駛了原籌劃三分之一，過(guò)了小鎮(zhèn)，汽車趕了400km，傍晚才停下來(lái)休息，司機(jī)說(shuō)，再走C市到這里路程一半就到達(dá)目地．問(wèn)A、B市相距多少千米?思路點(diǎn)撥畫出線段圖進(jìn)行分析．如圖13—1所示，設(shè)小鎮(zhèn)為D點(diǎn)，傍晚在正點(diǎn)休息．∵GE=2EB，∴GE=BC∵AD=AC，∴DC=AC．∵DC+CE=（BC+AC）=AB∴DE=AB，又DE=400km；∴AB=600km．注：線段圖形比較直觀，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛應(yīng)用．同窗們想一想，“籌劃上午比下午多走100km”這個(gè)條件是必須嗎?如果把司機(jī)話改成“再走C市到這里路程就到達(dá)目地”，需要前面條件嗎?請(qǐng)同窗們自己試完畢解答．【例7】如圖13-7所示，在一條河兩岸有兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋方向與河流垂直，設(shè)河寬度不變，試問(wèn)：橋架在何處，才干使從A到B距離最短?思路點(diǎn)撥雖然A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連結(jié)AB線段不垂直于河岸．如圖13-8，核心在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來(lái)，要用線段公理就要想辦使P與D重疊起來(lái)，運(yùn)用平行四邊形特性可以實(shí)現(xiàn)這一目。如圖13-9，建立在PD處符合題意．注：兩點(diǎn)之間線段最短，但許多實(shí)際問(wèn)題沒這樣簡(jiǎn)樸，需要咱們將某些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等線段代替，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題．當(dāng)前，往往運(yùn)用對(duì)稱性、平行四邊形有關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，后來(lái)還會(huì)學(xué)習(xí)某些線段轉(zhuǎn)化辦法．學(xué)力訓(xùn)練1．如圖，已知B、C是線段AD上兩點(diǎn)，M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，MN=a，BC=b，則線段AD=．2．從哈爾濱開往A市特快列車，途中要?？?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)，如果任意兩站間票價(jià)都不相似，那么有種不同票價(jià)．(黑龍江省中考題)3．如圖，AB＝a，BC＝，CD=c，DE=d，EF=e，以A、B、C、D、E、F為端點(diǎn)所有線段長(zhǎng)度和為．(“數(shù)學(xué)新蕾”邀請(qǐng)賽試題)4．在同一平面內(nèi)有4點(diǎn)，過(guò)每2點(diǎn)畫一條直線，則直線條數(shù)是()．A．1條B．4條C6條D．1條或4條或6條5．如圖，若C是線段AB中點(diǎn)，D是線段AC上任一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，則()．A．AD．DB<AC．BCB．AD．DB=AC．BCC．AD．DB>AC．BCD．它們大小關(guān)系不能擬定(廣州節(jié)中考題)6．線段AB＝1996厘米，P、Q是線段AB上兩個(gè)點(diǎn)，線段AQ=1200厘米，線段BP＝1050厘米，則線段PQ＝()厘米．A．254B．150C．127D．8717．如圖，線段AB=2BC，DA=AB，M是AD中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)，試比較MN和AB十NB大?。?．已知A、B、C三點(diǎn)在同始終線上，若線段AD＝60，其中點(diǎn)為M；線段BC＝20，其中點(diǎn)為N，求MN長(zhǎng)．9．線段AB上有P、Q兩點(diǎn)，AB=26，1P=14，PQ=11，那么BQ=．10．將長(zhǎng)為20cm一條線段圍成一種六邊形，則圍成六邊形中最長(zhǎng)邊取值范疇是．11．如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，D是線段CB中點(diǎn)．已知圖中所有線段長(zhǎng)度之和為12．線段AC長(zhǎng)度與線段CB長(zhǎng)度都是正整數(shù)，則線段AC長(zhǎng)度為．（“但愿杯”邀請(qǐng)賽試題)13．五位朋友a(bǔ)、b、c、d、e在公園約會(huì)，會(huì)面時(shí)握手致意問(wèn)候．已知：a握了4次，b握了1次，e握了3次，d握了2次．到當(dāng)前為止，e握了()次．A．1B．2C．3D．4(重慶市競(jìng)賽題)14．平面內(nèi)有條直線(n≥2)，這n條直線兩兩相交，最多可以得到a個(gè)交點(diǎn)，至少可以得到b個(gè)交點(diǎn)，則a+b值是()．A．n(n一1)B．n2一n+1C．D．15．如圖，小圓圈表達(dá)網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間連線表達(dá)它們之間有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注數(shù)字表達(dá)該網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開沿不同路線同步傳遞，由單位時(shí)間內(nèi)傳遞最大信息量為()．A．19B．20C．24D．26(全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題)16．某公司員工分別住在A、B、C三個(gè)住宅區(qū)，A區(qū)有30人，BN有15人，C區(qū)有10人．三個(gè)區(qū)在一條直線上，位置如圖所示，公司接送車打算在此間只設(shè)一種?？奎c(diǎn)，為要使所有員工步行到?？奎c(diǎn)路程總和至少，那么?？奎c(diǎn)位置應(yīng)在()．A．A區(qū)B．B區(qū)C．C區(qū)D．A、B兩區(qū)之間(江蘇省競(jìng)賽題)17．(1)一條直線可以把子面提成兩個(gè)某些(或區(qū)域)，如圖，兩條直線可以把平面提成幾種某些?三條直線可以把平面提成幾種某些?試畫圖闡明．(2)四條直線最多可以把平面提成幾種某些?試畫出示意圖，并闡明這四條直線位置關(guān)系．(3)平面上有n條直線。每?jī)蓷l直線都正好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處在這種位置n條直線分一種平面所成區(qū)域最多，