2021-2022學年北京市延慶區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷（含解析）

2021-2022學年北京市延慶區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷

注意事項：

i.答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準考證號、姓名等信息.考

生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、

姓名是否一致.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字

筆在答題卡上相應位置書寫作答，在試題卷上答題無效.

3.作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑.

一、選擇題

1.下列圖形都是由兩個全等三角形組合而成，其中是軸對稱圖形的是（）

2.若如圖中的兩個三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長，則/I的度數(shù)為（）

a/10

4o°

A.40°B.50°

若，=一1,則下列分式的值為（）的是（）

下列各式中與四是同類二次根式的是（）

A.\/6B.79D./18

5,下列計算錯誤的是（）

A.y（-3）2=3B.V3XV2=VGc.+=D.瓜?瓜=瓜

6,下列運算正確的是（）

r6B-W1+3x^±y=-i

A.§=D.

V+3yx-y

7.以下列各組數(shù)為邊長，不能構成直角三角形的是（）

A.5,12,13B.1,2,VsC.1,存2D.4,5,6

8.如圖所示在△48。中，邊上的高線畫法正確的是（）

BHC

9.

10.

11.為慶祝建黨100周年，某郵政局推出紀念封系列，且所有紀念封均采用形狀、大小、

質地都相同的卡片，背面分別印有“改革、開放、民族、復興”的字樣，正面完全

相同.如下圖，現(xiàn)將6張紀念封洗勻后正面向上放在桌子上，從中隨機抽取一張,

抽出的紀念封背面恰好印有“改革”字樣的可能性大小是

改革民族開放復興改革復興

12.如圖，線段43,相交于點O,AO=BO,添

加一個條件，能使△40。三△8。0,所添加的條件

的是.

13,等腰三角形一邊長為5,另一邊長為8,則其周長是

14.小明同學在學習了全等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只

用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的

平分線.如圖：一把直尺壓住射線OB,另一把直尺

壓住射線并且與第一把直尺交于點P,小明說:

“射線OP就是的角平分線.“小明的做法,

其理論依據(jù)是.

第2頁，共23頁

15.小麗同學在學習了利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進行如下操作：首

先畫數(shù)軸，原點為O,在數(shù)軸上找到表示數(shù)2的點4,然后過點工作

且4B=1；再以。為圓心，OB的長為半徑作弧，交數(shù)軸正半軸于點P,如圖，

那么點P表示的數(shù)是.

16.在瓦中，/。=90°，Z,B=30°，BC=4,點。是邊的中點，點E

是邊43上的動點，點F是邊4C上的動點，則DE+EF的最小值是.

17.計算：

(1)\/12-^27+|-閨；

⑵2百x;西+4郎.

18.已知：如圖，點4,F,C,。在同一條直線上，點3和點E在直線的兩側,

且=BC//FE,N4=/D.

求證：AB=DE.

E

2x?7

19.解方程:--------1-1=--------

n+3+6

21

20.計算：學習了分式運算后，老師布置了這樣一道計算題：-----甲、乙

兩位同學的解答過程分別如下：

甲同學：

21

X2—1X—1

=------------------①

(X+1)(1—1)X—1

21

=-------------------------------(2)

(2+1)(力—1)(x+1)(①—1)

2-1

=(，+])("1)③

=------------------

(4+1)3-1產(chǎn)

乙同學：

21

X2—1X—1

=------------------------

(1+l)(x—1)X—1°

=_____?____________.+1____②

(力+1)(力-1)(N+1)(N-1)

=2—+1)③

=1-x@

老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學的解答過程都有錯誤.

請你從甲、乙兩位同學中，選擇一位同學的解答過程，幫助他分析錯因，并加以改

正.

第4頁，共23頁

⑴我選擇同學的解答過程進行分析.(填“甲”或“乙”)

⑵該同學的解答從第_____步開始出現(xiàn)錯誤(填序號)，錯誤的原因是

(3)請寫出正確解答過程.

1T+1x—1

21.當，=四一1時，求代數(shù)式______!___________________的值.

x—2*J;2—4a?+4x1

22.如圖，點。是等邊△48。的邊475上一點，過點。作

BC的平行線交47于點石.

(1)依題意補全圖形；

(2)判斷△4DE的形狀，并證明.

23.列方程解應用題：

第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在中國北京和張家口

市聯(lián)合舉行.北京冬奧會的配套設施“京張高鐵”-北京至張家口高速鐵路，已經(jīng)

全線通車，全長約175千米.原京張鐵路是1909年由“中國鐵路之父”詹天佑主持

設計建造的中國第一條干線鐵路，全長約210千米，用“人”字形鐵軌鋪筑的方式

解決了火車上山的問題.京張高鐵的平均速度是原京張鐵路的5倍，可以提前5小

時到達，求京張高鐵的平均速度.

24.如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂點叫做格點，點A,

B,。均落在格點上.

(1)計算線段的長度

⑵判斷的形狀

(3)寫出△48。的面積

⑷畫出△4BC關于直線I的軸對稱圖形△4氏。1.

?-----~\—?r1

!B

第6頁，共23頁

25.如圖，△ABC中，ZABC=45°?F是高4。和高BEA

的父點，AC=y/5，BD=2.

求線段OF的長度.

26.尺規(guī)作圖:

已知：如圖1,直線MN和直線MN外一點P.

P

圖1

求作：直線PQ,使直線PQ〃川N.

小智的作圖思路如下：

①如何得到兩條直線平行？

小智想到，自己學習線與角的時候，有4個定理可以證明兩條直線平行，其中

有“內錯角相等，兩條直線平行”.

②如何得到兩個角相等？

小智先回顧了線與角的內容，找到了幾個定理和1個概念，可以得到兩個角

相等.小智又回顧了三角形的知識，也發(fā)現(xiàn)了幾個可以證明兩個角相等的

定理.最后，小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”.

③畫出示意圖：

M.4N

④根據(jù)示意圖，確定作圖順序.

在直線上取點H-，作射線，作角平分線(尺規(guī)作圖

——?作出P0=R4交45于點°——，作直線PQ

(1)使用直尺和圓規(guī)，按照小智的作圖思路補全圖形1(保留作圖痕跡)；

⑵完成下面的證明：

證明：?「AB平分/PAN,

NPAB=ZNAB.

PA^PQ,

：.NPAB=NPQA().

NNAB=ZPQA.

PQ//MN().

(3)參考小智的作圖思路和流程，另外設計一種作法，利用直尺和圓規(guī)在圖2中完

成.

?P

MN

圖2

(溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明)

第8頁，共23頁

27.如圖，ZAOB=45°,O。是/40B的角平分線，點。是射線OB上的一點，點W

為線段的中點，過點M作OD的垂線，交射線。/于點E,交射線OC于點E,

連接E。，交OC于點G.

(1)依題意補全圖形；

(2)猜想和EG的數(shù)量關系并證明；

(3)求證：ED+EF=2EM.

備用圖

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

8、是軸對稱圖形，故此選項正確；

C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：B.

根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對

稱圖形進行分析即可.

此題主要考查了軸對稱圖形的概念，關鍵是正確找出對稱軸的位置.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

在左圖中，先利用三角形內角和計算出邊。所對的角為50。，然后根據(jù)全等三角形的性

質得到/I的度數(shù).本題考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三

角形的對應角相等.

【解答】

解：在左圖中，邊a所對的角為180°-60°—70°=50°,

因為圖中的兩個三角形全等，

所以/I的度數(shù)為50°.

故選艮

3.【答案】D

【解析】解：/選項，原式=-],故該選項不符合題意；

B選項，x+l=0,分式?jīng)]有意義，故該選項不符合題意；

C選項，原式=—^=2,故該選項不符合題意；

一1

。選項，原式=0,故該選項符合題意；

第10頁，共23頁

故選：D.

根據(jù)分式的值為()的條件是分子等于0且分母不等于0即可得出答案.

本題考查了分式的值為()的條件,掌握分式的值為0的條件是分子等于0且分母不等于0

是解題的關鍵.

4.【答案】C

【解析】解：A.述與否不是同類二次根式；

B.y/9=3與逐不是同類二次根式；

C.y/12=2通與g是同類二次根式；

D=3方與四不是同類二次根式.

故選：C.

先化簡二次根式，再根據(jù)同類二次根式的定義判定即可.

本題考查了同類二次根式，解題的關鍵是二次根式的化簡.

5.【答案】C

【解析】解：4、原式=|—3|=3,所以工選項的計算正確；

B、原式=存公=述，所以B選項的計算正確；

C、通與四不能合并，所以。選項的計算錯誤；

D、原式=及，所以。選項的計算正確.

故選C.

根據(jù)二次根式的性質對4進行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據(jù)二

次根式的加減法對。進行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對。進行判斷.

本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式

的乘除運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二

次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

6.【答案】D

【解析】解：/加3,

二選項A不符合題意;

x2+y2,

---―：—加+y，

x+y

選項8不符合題意；

..N+3/

■y+3

二選項c不符合題意；

-x+y-(x-y)

-------=---------="1

x—yx-y

.??選項。符合題意；

故選：D.

對每個選項逐個判斷，即可得出答案.

本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解決問題的關鍵.

7.【答案】D

【解析】解：4、???52+122=132,二能構成直角三角形，故本選項錯誤；

夙???/+22=(g)2,.?.能構成直角三角形，故本選項錯誤；

C、?.?12+(通)2=22,.?.能構成直角三角形，故本選項錯誤；

；52+42/62,.?.不能構成直角三角形，故本選項正確.

故選：D.

由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長。，b,C滿足a2+/=c2,

那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵.

8.【答案】B

【解析】解：在△43。中，43邊上的高線畫法正確的是3,

故選：B.

直接利用高線的概念得出答案.

此題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關定義是解題關鍵.

9.【答案】H23

第12頁，共23頁

【解析】解：根據(jù)題意得4—320,

解得c23.

故答案為：H23.

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式進行計算即可求解.

本題考查了二次根式有意義的條件，知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

10.【答案】40°

【解析】解：=60°，AB=20°，

ZX=AACD-ZB=60°-20°=40°.

故答案為：40°.

根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.

本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是解題

的關鍵.

11.【答案】1

O

【解析】解：?.?背面印有“改革”字樣的卡片有2張，共有6張卡片，

從中隨機抽取一張，抽出的紀念封背面恰好印有“改革”字樣的可能性大小是:2=1

63

故答案為：

分別求出背面印有“改革”字樣的卡片數(shù)和總的卡片數(shù)，再根據(jù)概率公式計算即可.

此題考查了概率，用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比,是一道基礎題，

比較容易.

12.【答案】CO=DO

【解析】解：添加。。=DO,

(AO=BO

在△40。和ABOD中IAAOC=NBOD,

[CO=DO

故答案為：CO=DO.

添加。0=0。，再加上條件40=30,對頂角/AOC=/3OO,然后利用S4S判

定△AOC三△BO。即可.

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS，

力S4、AAS.HL.

注意：444、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參

與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角.

13.【答案】18或21

【解析】解：當5為底邊時，腰長為8,則這個等腰三角形的周長=5+8+8=21；

當8為底邊時，腰長為5,則這個等腰三角形的周長=5+5+8=18；

故這個等腰三角形的周長是18或21.

故答案為：18或21.

由于等腰三角形的底邊與腰不能確定，故應分5為底邊與8為底邊兩種情況進行討論.

本題考查的是等腰三角形的性質，在解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解.

14.【答案】在角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上

【解析】解：如圖所示：過兩把直尺的交點P作PEL49,PF1.BO,

?.?兩把完全相同的長方形直尺，

PE=PF,

,OP平分角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），

故答案為：在角的內部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

過兩把直尺的交點P作PE_LAO,PF_L80,根據(jù)題意可得PE=P歹，再根據(jù)角

的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，可得0P平分NAOB.

第14頁，共23頁

此題主要考查了角平分線的性質，關鍵是掌握角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這

個角的平分線上.

15.【答案】a

【解析】解：在母△OAB中，。4=2,AB=1,

：,OB=y/OA2+AB2=/22+12=x/5.

以點。為圓心，03為半徑與正半軸交點P表示的數(shù)為西.

故答案為：瓜

根據(jù)勾股定理可計算出OB的長度，即點P在數(shù)軸正半軸表示的數(shù).

本題考查勾股定理的應用及數(shù)軸上點的坐標的表示，根據(jù)題意先計算的長度是解題

關鍵.

16.【答案】3

【解析】解：如圖.作點。關于4B的對稱點。，過點。作。PJ.4C于點E,交AB

于點E,連接OE.

則。E=D'E，DE+EF=D'E+EF=D'F,

當。時，O'F取最小值，即。E+EF取最小值.

?二8。=4,點。是邊的中點，Z.B=30°

:.BD=；BC=2,BC=^>/3,AB=^s/3,

ZB=30°,/C=90°，

=60°,

ZFEA=30°,Z.D'EB=30°-ADEB=30°,

：,DE=BD=2,D'E=2，

EB-y/SBD-2\/3,

EA=AB-BE=|\/3-2瓜=|\/3,

1

FA=—v^3,

o

EF=V3EA=\/3x=1,

o

D'F=D'E+EF=2+1=3.

.?.DE+EF的最小值是3.

故答案為3.

作點。關于43的對稱點。，過點。作。尸，力。于點E,交4B于點E,連接。E.

則DE=D'E,DE+EF=D'E+EF=D'F,當。'FJ_4C時，D'F取最小值，

即。E+EF取最小值，據(jù)此解答即可.

本題考查了最短路線問題，直角三角形的性質，熟練掌握特殊直角三角形的性質是解題

的關鍵.

17.【答案】解：（1）原式=2通—3+遍

=3\/3-3；

（2）原式=2x-x-1/20x5x-

44V5

=1x\/20

O

_\/|

=丁

【解析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性質分別化簡得出答案;

⑵直接利用二次根式的乘除運算法則計算得出答案.

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

18.【答案】證明：???6。〃尸石,

...ZBCA=4DFE.

：AF=DC,

AF+FC=DC^CF.

：,AC=DF.

在△ABC和△OEF中，

第16頁，共23頁

ABCA=4DFE

AC=DF,

AA=AD

/\ABC三/\DEF{ASA).

:.AB=DE.

【解析】根據(jù)已知條件得出△ABC三△OFF,即可得出4B=OE.

本題考查了平行線的性質，全等三角形的性質和判定的應用，關鍵是根據(jù)平行線的性質

和全等三角形的判定解答.

19.【答案】解：去分母得：4l+21+6=7,

移項合并得：6i=1,

解得：2=

6

經(jīng)檢驗，①=1是分式方程的解.

0

【解析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到立的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整

式方程求解.解分式方程一定注意要驗根.

20.【答案】甲②通分時，第二個分式，根據(jù)分式的基本性質，分式的分子也應該乘

以(a;+1)

【解析】解：(1)選擇甲同學或乙同學均可；

故答案為：甲(答案不唯一，也可以填乙)；

(2)甲同學從第②步開始出現(xiàn)錯誤，

其錯誤原因是：通分時，第二個分式，根據(jù)分式的基本性質，分式的分子也應該乘以

(2+1);

故答案為：②，通分時，第二個分式，根據(jù)分式的基本性質，分式的分子也應該乘以

3+1);

乙同學從第③步開始出現(xiàn)錯誤，

其錯誤原因是：同分母分式相減，分母不變，把分子相減；

故答案為：③，同分母分式相減，分母不變，把分子相減；

(3)原式—(力+1)(/一])(/+])(]_1)

2一比一1

(X+1)(/—1)

_1—X

(力+1)(1-1)

]

N+1

⑴分析甲或乙同學的解答過程均可；

⑵根據(jù)分式的基本性質分析甲同學的錯誤，根據(jù)同分母分式加減法運算法則分析乙同

學的錯誤；

⑶先通分，然后再計算.

本題考查異分母分式的加減，掌握通分和約分的技巧是解題關鍵.

21.【答案】解：原式.立立—土二1

x—2x+1x+1

x—2x—1

x+1z+1

]

X+1'

當x=>/2—1時，

【解析】直接利用分式的混合運算法則將原式化簡，再將工的值代入計算可得.

本題主要考查分式的化簡求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要統(tǒng)一為乘

法運算.

22.【答案】解：⑴圖形如圖所示:

(2)結論：△4DE是等邊三角形.

理由：?；△ABC是等邊三角形，

第18頁，共23頁

ZX=ZB=ZC=60%

DE//BC,

：.NADE=ZB=60°,

ZAED=ZC=60°,

ZX=ZADE=ZAED=60°,

.?.△4ZZE是等邊三角形.

【解析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；

（2）結論：△力OE是等邊三角形.根據(jù)三個角是60°的三角形都是等邊三角形證明即可.

本題考查作圖-復雜作圖，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

23.【答案】解：設原京張鐵路的平均速度為立千米/時，則現(xiàn)在京張鐵路的平均速度為

5工千米/時.

210175一

依寇息，1^：---=----F5,

x5x

解得：a;=35,

經(jīng)檢驗：H=35是所列方程的解，并且符合題意.

5z=5x35=175,

答：京張高鐵的平均速度為175千米/時.

【解析】設原京張鐵路的平均速度為c千米/時，則現(xiàn)在京張鐵路的平均速度為5工千米

/時.由題意：原京張鐵路是1909年由“中國鐵路之父”詹天佑主持設計建造的中國第

一條干線鐵路，全長約210千米，用“人”字形鐵軌鋪筑的方式解決了火車上山的問

題.京張高鐵的平均速度是原京張鐵路的5倍，可以提前5小時到達，列出分式方程，

解方程即可.

本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵.

24.【答案】VW等腰直角三角形5

【解析】解：（X）AB=\/12+32=710>

故答案為：v^lO；

⑵根據(jù)網(wǎng)格可知：AB=AC=VW'/BAG=90°,

△AB。是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角三角形；

(2t)/\ABC的面積=—xxy/10=5,

故答案為：5;

⑷如圖，△4BQ1即為所求.

(1)根據(jù)勾股定理即可求出AB的長度；

(2)根據(jù)網(wǎng)格即可判斷ZVIBC的形狀；

⑶結合⑵即可求出LABC的面積；

⑷根據(jù)軸對稱的性質即可畫出△4BC關于直線I的軸對稱圖形.

本題考查了軸對稱變換，勾股定理，勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是掌握軸對稱

的性質.

25.【答案】解：?二和BE是△ABC的高，

AADB=AADC=4BEC=90°.

ZC+ADAC=90°,ZC+ADBF=90°,

ADAC=4DBF,

-1?ZABC=45°,

：.ZDAB=45°.

NABC=NDAB.

：,DA=DB,

在么?!。。與△BDF中，

(NADC=NBDF

<DA=DB,

[ADAC=ZDBF

;./\ADC=