安徽省十五校教育集團2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

十五校教育集團·20232024學年度秋學期高二年級期末聯(lián)考數(shù)學試題卷命題：王聿桁吳維審題：孫全浩文洪予校對：吳韜時間：120分鐘滿分：150分考試范圍：人教A版選修一、二一、單選題（本大題共8小題，每小題5分）1.已知點，空間內一平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結合點到面的距離公式運算求解.【詳解】由題意可得：，平面的法向量為，所以點到平面的距離為.故選：A.2.已知數(shù)列是首項為5，公差為3的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意結合等差數(shù)列通項公式可得，即可得結果.【詳解】由題意可知：，可得，所以.故選：D.3.拋物線上到直線距離最近的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知拋物線的切線與直線平行時，切點到直線距離最小，結合導數(shù)的幾何意義運算求解.【詳解】因為直線的斜率，又因為，則，令，解得，此時，可知拋物線上到直線距離最近的點的坐標是.故選：C.4.若直線把單位圓分成長度為的兩段圓弧，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直線和圓相交于，則根據(jù)較短弧長與較長弧長之比為得到，利用點與直線距離建立條件關系即可．【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，設直線和圓相交于，若較短弧長與較長弧長之比為，則，則圓心到直線的距離，即，解得.故選：B.5.定義：對于數(shù)，，若它們除以整數(shù)所得的余數(shù)相等，則稱與對于模同余或同余于模，記作．已知正整數(shù)滿足，將符合條件的所有的值按從小到大的順序排列，構成數(shù)列．設數(shù)列的前項之和為，則的最小值為（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項及前項和為，再借助單調性求解即得.【詳解】由題意可知：，且，可知數(shù)列是等差數(shù)列，則，可得，當且僅當時，取得最小值16.故選：C.6.已知函數(shù)為連續(xù)可導函數(shù)，的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A.是函數(shù)的極大值 B.是函數(shù)的極小值C.在區(qū)間上單調遞增 D.的零點是和【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結合導數(shù)判斷的單調性，進而逐項分析判斷.【詳解】因為，由圖可知：，；或，；且或，；，；可得或，；，；且函數(shù)為連續(xù)可導函數(shù)，則在內單調遞減，在內單調遞增，可知有且僅有一個極小值，無極大值，故AC錯誤，B正確；由于不知的解析式，故不能確定的零點，故D錯誤；故選：B.7.已知正方體的棱長為2，、分別是側面和的中心．過點的平面與垂直，則平面截正方體所得的截面積S為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量確定截面形狀，再計算截面面積作答.【詳解】正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，側面的中心，側面的中心，且，則，顯然點M在平面與平面的交線上，設為這條交線上任意一點，則，而平面，則，即，令，得點，令，得點，連，平面與平面必相交，設為這條交線上任意一點，則，由，即，令，得點，連，因為平面平面，則平面與平面的交線過點G，與直線FE平行，過G作交于，則，由得，即，顯然平面與平面都相交，則平面與直線相交，令交點為，，由得，連接得截面五邊形，即截面S為五邊形，則，取中點，連接，則，在中，，的面積，在中，，邊上的高，梯形面積，所以S的面積為.故選：B.【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.8.已知，橢圓：與雙曲線：的公共焦點，分別是與的離心率，且是與的一個公共點，滿足，則下列結論中正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.最大值為【答案】D【解析】【分析】由于橢圓與雙曲線共焦點，即可判斷A選項，利用雙曲線和橢圓的定義可得，，由可得，利用勾股定理化簡得到，再利用柯西不等式即可判斷C、D選項，從而得到答案.【詳解】對選項A，由于橢圓與雙曲線共焦點，故，故A不正確；對選項B，不妨設在雙曲線的右支上，因為，則，由于，，所以，，由得，化簡可得，即，故B不正確；對于選項C，由于，由柯西不等式可得，即，當且僅當時等號成立，由于，所以等號不成立，則的無最小值，故C不正確；對選項D，由于,由柯西不等式，即，故，當且僅當時等號成立，所以最大值為,故D正確.故選：D二、多選題（本大題共4小題，每小題5分．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.關于空間向量，以下說法正確的是A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C.設，，是空間中的一組基底，則，，也是空間的一組基底D若，則，是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)共線向量的概念，可判定A是正確的；根據(jù)空間向量的基本定理，可判定B是正確的；根據(jù)空間基底的概念，可判定C正確；根據(jù)向量的夾角和數(shù)量積的意義，可判定D不正確.【詳解】對于A中，根據(jù)共線、共面向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，所以是正確的；對于B中，若對空間中任意一點O，有，根據(jù)空間向量的共面定理的推論，可得P，A，B，C四點一定共面，所以是正確的；對于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的；對于D中，若，又由，所以，所以不正確，故選∶ABC.10.已知直線，其中為常數(shù)，與的交點為，則（）A.對任意實數(shù) B.不存在點，使得為定值C.存在，使得點到原點的距離為3 D.到的最大距離為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由即可判斷得；對于B，結合選項A中的結論，得到M在圓上，由此可求得點P使得為定值；對于C，利用選項B中的結論，結合點到圓上的點的距離的最小值即可判斷；對于D，利用直線到圓上點的距離的最大值即可判斷.【詳解】對于A，因為，則，故A正確；對于B，因為，即，易得直線過定點，直線過定點，因為與的交點為M，則M在以AB為直徑的圓上，而AB的中點為，且，故點M在圓：上，故取點P坐標為，此時為定值，故B錯誤；對于C，因為，圓的半徑為，故M到原點取值范圍為，且，所以存在實數(shù)a，使得M到原點的距離為3，故C正確；對于D，因為過原點O，所以當，且M在直線OC上時，點M到的距離最大且最大值為，故D正確．故選：ACD．11.已知數(shù)列滿足，，則的值可能為（）A.1 B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】化簡原式得到的兩種對應關系，然后分類討論的通項公式，由此可得結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以或，當時，是首項為公比為的等比數(shù)列，所以；當時，可得，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，，成立，當，假設成立，當時，因為，所以，成立，由上可知，成立，此時；當，均在數(shù)列中出現(xiàn)時，由可得，B選項不可能；當，時，最大，此時，，故C不可能.故選：AD.12.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個三次多項式函數(shù)的圖象都只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數(shù)，是的導數(shù)．若函數(shù)圖象的對稱點為，且不等式對任意恒成立，則下列結論正確的是（）A. B. C.的值可能是 D.的值可能是【答案】ABC【解析】【分析】先根據(jù)題意求出的解析式，再對不等式分離參數(shù)轉化為對任意恒成立，通過同構和切線不等式放縮得到即可求解.【詳解】由題意可得，因為，所以，所以，解得，所以．因為，所以等價于對任意恒成立．令，則.設，則，從而在上單調遞增．因為，所以，即，則（當且僅當時，等號成立），從而，所以．故選：ABC．【點睛】方法點睛：分離參數(shù)法破解不等式的恒成立問題的步驟：第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13.已知等差數(shù)列滿足，則的值為_____________________．【答案】3【解析】分析】根據(jù)等差數(shù)列下標和性質運算求解.【詳解】由題意可得：，則，所以.故答案為：3.14.已知為所在平面外一點，是中點，是上一點．若平面，則的值為_________________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質得出線線平行，從而得出結果.【詳解】如圖，連結交于點，連結.因為，E為AD的中點，則，又因為PA∥平面EBF，平面EBF平面PAC，PA平面PAC，則PA∥OF，所以.故答案為：.15.在平面直角坐標系中，橢圓和拋物線交于點A，，點為橢圓的右頂點．若四點共圓，則橢圓離心率為____．【答案】##【解析】【分析】分別求出O、A、P坐標，利用四點共圓可以得到，解方程即可.【詳解】如圖所示，，，，則，，因為O、A、P、B四點共圓，又點關于直線對稱，則，則，將代入得，，由解得，，代入橢圓方程，可得，整理得，所以，即.故答案為：.16.已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點，因為，令，即，可得，令，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，又，作出函數(shù)在上圖象，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為、，且，由圖可知，當或時，，此時，當時，，此時，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題考查極值點問題.根據(jù)題意函數(shù)在上有兩個極值點，轉化為在上有兩個變號零點，即，即有兩個不同的根，即直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可判斷求解.四、解答題（本大題共6小題，第17小題10分，第1822小題每題12分）17.公差不為零的等差數(shù)列中，是和的等比中項，且該數(shù)列前項之和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項之和的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；（2）解不等式，得出滿足條件的正整數(shù)的最大值，再結合等差數(shù)列的求和公式可求得的最小值.【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，因為是和的等比中項，則，即，即，整理可得，①又因為數(shù)列的前項和為，可得②，解得，，所以，.【小問2詳解】解：由，可得，而，所以，滿足條件的的最大值為，因此，數(shù)列的前項之和的最小值為.18.已知函數(shù)．（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；（2）試討論函數(shù)的單調性．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可知：在上恒成立，結合二次函數(shù)分析求解；（2）分和兩種情況，結合導數(shù)以及二次不等式分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，若在上單調遞增，則在上恒成立，且，則，且在上單調遞增，當時，取得最小值，可得，即，所以的取值范圍.【小問2詳解】由（1）可得：，且，當，即時，則，所以在上單調遞增；當，即時，令，解得或；令，解得；所以在，上單調遞增，在內單調遞減；綜上所述：當時，所以在上單調遞增；當時，所以在，上單調遞增，在內單調遞減.19.如圖在平行六面體中，，．（1）求證：直線平面；（2）求直線和夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設，，，則為空間的一個基底，根據(jù)空間向量的線性運算得出，，，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算得出，，從而得出，進而根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明直線平面；（2）根據(jù)空間向量的線性運算得出，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算求得和，，最后根據(jù)異面直線的夾角公式，即可求出直線和夾角的余弦值.【小問1詳解】設，，，則為空間的一個基底，且，，，因為，，則，，可得，，即，且，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）得，則，，即，則，即，設與的夾角為，則，所以直線和夾角的余弦值為.20.已知函數(shù)，其最小值為．（1）求的值；（2）若關于的方程恰有一個實根，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先求導函數(shù)再求出最值求參即可；（2）先把函數(shù)轉化為函數(shù)的交點問題，構造函數(shù)再結合單調性及值域求參即可.【小問1詳解】因，所以，當，則，可知單調遞增；當，則，可知單調遞減；則最小值在處取到，可得，解得，所以的值為1.【小問2詳解】因為，所以，顯然不是方程的根，則.令，則，當，則，可知在和上單調遞增；當，則，可知在和上單調遞減；可知，，，，且，，若有1個不同實根，即使與有一個交點即可，可知或或，所以實數(shù)的范圍為.21.如圖，圓臺的上、下底面圓半徑分別為1，2，圓臺的高為，是下底面圓的一條直徑，點在圓上，且，點在圓上運動（與在的兩側），是圓臺的母線，．（1）求的長；（2）求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓臺的性質可得平面，從而得到，再由，得到平面，即可得到，從而得到，再由銳角三角函數(shù)求出，即可得到為等邊三角形，從而得解；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】依題意平面，平面，則，且，與相交，，平面，所以平面，由平面，則，因為，所以，因為，，，所以，則，所以，所以為等邊三角形，則，可知關于對稱，所以.【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，，，由，所以，可得，，，，設平面的法向量為，則，令，則，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.如圖，設P是上的動點，點D是點P在x軸上的投影