浙江省臺州市東浦中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

浙江省臺州市東浦中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知實數(shù)滿足條件，則不等式成立的概率為．

．

．

．參考答案：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)直線和在區(qū)間上的唯一交點為，則使條件成立的區(qū)域為圖中陰影部分，由定積分和幾何概型的知識得到答案．2.F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點，A是其右頂點，過F2作x軸的垂線與雙曲線的一個交點為P，G是的重心，若，則雙曲線的離心率是（

）

A．2

B．C．3

D．參考答案：C略3.若，則的解集為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C因為,原函數(shù)的定義域為,所以由可得,解得,故選C.4.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：C5.某四棱錐的三視圖所示，已知該四棱錐的體積為，則它的表面積為(

)A.8 B.12 C. D.20參考答案：B【分析】由三視圖可知該四棱柱為正四棱柱，底面為正方形，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)即可求出該四棱柱的表面積.【詳解】由三視圖可知該四棱柱為正四棱柱，如圖所示，底面邊長為2，設(shè)四棱錐的高為，則依題意有所以，所以側(cè)面的高為所以四棱錐的側(cè)面積，所以該四棱錐的表面積為：.故選：B【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，錐體體積公式應(yīng)用，表面積的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.計算的結(jié)果為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B所以選B

7.若數(shù)列{an}滿足﹣=1，且a1=5，則數(shù)列{an}的前100項中，能被5整除的項數(shù)為（）A．42 B．40 C．30 D．20參考答案：B【考點】數(shù)列遞推式．【分析】由﹣=1，數(shù)列{}是以=1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式=n，求得an=2n2+3n，由通項公式分別求得每10項，有4項能被5整除，即可得到數(shù)列{an}的前100項中，能被5整除的項數(shù)．【解答】解：由數(shù)列{an}滿足﹣=1，即﹣=1，∴=1，∴數(shù)列{}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴=n，∴an=2n2+3n，由題意可知：項12345678910個位數(shù)5474509290∴每10中有4項能被5整除，∴數(shù)列{an}的前100項中，能被5整除的項數(shù)40，故答案選：B．8.設(shè)函數(shù)，其中，若僅存在兩個正整數(shù)x0使得，則a的取值范圍是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A9.如圖，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值是(

)A．

B.

C.

D.

參考答案：A10.已知雙曲線的右焦點為，直線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則拋物線的準線方程為(

)

A.x=-1

B.x=-2

C.y=-1

D.y=-2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=x3+2ax2+1在x=1處的切線的斜率為1，則實數(shù)a=，此時函數(shù)y=f（x）在[0，1]最小值為．參考答案：，

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x3+2ax2+1在x=1處的切線的斜率為1，求出a的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)y=f（x）在[0，1]最小值．【解答】解：由f（x）=x3+2ax2+1，得到f′（x）=3x2+4ax，因為函數(shù)f（x）=x3+2ax2+1在x=1處的切線的斜率為1，所以f′（1）=1，即3+4a=1，解得a=．f′（x）=3x2﹣2x，x∈（0，），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（，1），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)y=f（x）在[0，1]最小值為f（）=．故答案為，．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最小值，是個基礎(chǔ)題．12.已知實數(shù)x，y滿足線性約束條件，若x﹣2y≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣6]【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化求解目標函數(shù)的最小值，求出m的范圍即可．【解答】解：實數(shù)x，y滿足線性約束條件的可行域如圖：若x﹣2y≥m恒成立，則m小于等于x﹣2y的最小值．平移直線x﹣2y=0可知：直線經(jīng)過可行域的B時，目標函數(shù)取得最小值，由可得B（2，4），則x﹣2y的最小值為：2﹣8=﹣6，可得m≤﹣6．給答案為：（﹣∞，﹣6]．13.已知在中，角，，的對邊分別為，，，則下列四個論斷中正確的是

．（把你認為是正確論斷的序號都寫上）①若，則；②若，，，則滿足條件的三角形共有兩個；③若，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則為正三角形；④若，，的面積，則.參考答案：①③14.已知函數(shù),若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

．參考答案：(0,1)15.《九章算術(shù)》有這樣一個問題：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和為三百九十里，問第六日所走時數(shù)為里．參考答案：150【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】由題意設(shè)比人從第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，由等差數(shù)列通項公式和前n項和公式求出首項和公差，由此能求出第六日所走里數(shù)．【解答】解：設(shè)該男子第一日走a1里，后一日比前一日多走d里，則由等差數(shù)列的性質(zhì)，得：，解得d=10，a1=100，∴a6=100+50=150．故答案為：150．【點評】本題考查第差數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際運用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．16.已知向量,則的取值范圍是_______.參考答案：答案：

17.已知正四棱錐(底面是正方形且頂點在頂面的射影是底面正方形的中心的棱錐叫做正四棱錐)的體積為，底面邊長為，則正四棱錐內(nèi)切球的表面積為________．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中以為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系.圓，直線的極坐標方程分別為.（I）（II）參考答案：（I） 圓C的直角坐標方程為

直線C的直角坐標方程為x+y-4=0.

解

所以交點的極坐標為，注：極坐標系下點的表示不唯一.（II） （II）由（I）可得，P點與Q點的直角坐標分別為（0,2），（1,3）.故直線PQ的直角坐標方程為x-y+2=0.由參數(shù)方程可得y=.所以

解得,19.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性．參考答案：20.（12分）某中學(xué)剛搬遷到新校區(qū)，學(xué)?？紤]，若非住校生上學(xué)路上單程所需時間人均超過20分鐘，則學(xué)校推遲5分鐘上課．為此，校方隨機抽取100個非住校生，調(diào)查其上學(xué)路上單程所需時間（單位：分鐘），根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如下頻率分布直方圖，其中時間分組為[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]．（Ⅰ）求頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）從統(tǒng)計學(xué)的角度說明學(xué)校是否需要推遲5分鐘上課；（Ⅲ）若從樣本單程時間不小于30分鐘的學(xué)生中，隨機抽取2人，求恰有一個學(xué)生的單程時間落在[40，50]上的概率．參考答案：【考點】：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】：概率與統(tǒng)計．【分析】：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積之和為1，可求出直方圖中的a的值；（Ⅱ）先求出上學(xué)所需時間的平均值，再與20比較即可得到答案；（Ⅲ）根據(jù)分層抽樣確定[30，40）和[40，50）抽取的人數(shù)，列舉任意抽取兩人的基本事件，找出恰有一個學(xué)生的單程時間落在[40，50]上事件包含的基本事件，利用概率公式計算即可．解：（Ⅰ）時間分組為[0，10）的頻率為1﹣10（0.06+0.02+0，003+0.002）=0.15，∴a==0.015，所以所求的頻率直方圖中a的值為0.015．（Ⅱ）100個非住校生上學(xué)路上單程所需時間的平均數(shù)：=0.15×5+0.6×15+0.2×25+0.03×35+0.02×45=16.7，因為16.7＜20，所以該校不需要推遲5分鐘上課．（Ⅲ）依題意滿足條件的單程所需時間在[30，40）中的有3人，不妨設(shè)為a，b，c，單程所需時間在[40，50）中的有2人，不妨設(shè)為A，B，從單程所需時間不小于30分鐘的5名學(xué)生中，隨機抽取2人共有以下10種情況：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）其中恰有一個學(xué)生的單程所需時間落在[40，50]中的有以下6種：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），故恰有一個學(xué)生的單程所需時間落在[40，50]中的概率P==．【點評】：本題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力、運算求解能力以及應(yīng)用意識，考查或然與必然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．21.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）討論函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）單調(diào)區(qū)間；（II）若直線g（x）=﹣ax+b是函數(shù)f（x）=lnx﹣圖象的切線，求b﹣a的最小值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】分類討論；分類法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求得h（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，討論a=0，a＞0，a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)切點（m，lnm﹣），求得切線的方程，對照已知直線y=g（x），可得a，b的式子，令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，t＞0，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），則h′（x）=++a=（x＞0），令y=ax2+x+1

…（2分）（1）當(dāng)a=0時，h′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）（2）當(dāng)a＞0時，△=1﹣4a，若△≤0，即a≥時，h′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2=＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)a＜0時，△=1﹣4a＞1，由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（，+∞）上遞減

…綜上，當(dāng)a≥0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（，+∞）上遞減．…（6分）（Ⅱ）設(shè)切點（m，lnm﹣），則切線方程為y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，亦即y=（+）x+lnm﹣﹣1，令=t＞0，由題意得﹣a=+=t+t2，b=lnm﹣﹣1=﹣lnt﹣2t﹣1，…（8分）令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，則φ′（t）=﹣+2t﹣1=，當(dāng)t∈（0，1）時，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（1，+∞）時，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）