高等數(shù)學(xué)第3版(張卓奎-王金金)第十一章習(xí)題解答

PAGEPAGE20第十一章微分方程習(xí)題11－11．說出下列各微分方程的階數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：（1）一階；（2）二階；（3）三階；（4）一階；（5）二階；（6）一階．2．指出下列各函數(shù)是否為所給微分方程的解：（1）（2）（3）（4）解：（1）∵，代入方程得∴是方程的解．（2）∵，代入方程，得∴是方程的解．（3）∵，代入方程，得∴是方程的解．（4）∵，代入方程，得∴是方程的解．3．在下列各題中，驗(yàn)證所給二元方程所確定的函數(shù)為所給微分方程的解：（1）（2）解：（1）在二元方程的兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得移項(xiàng)后即得故二元方程所確定的函數(shù)是所給微分方程的解．（2）在兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即，代入微分方程，得故所確定的函數(shù)是所給微分方程的解．4．在下列各題中，確定函數(shù)關(guān)系式中所含的參數(shù)，使函數(shù)滿足所給的初始條件：（1）（2）（3）解：（1）∵∴即（2），由，得∴，（3），由，得∴，5．寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程：（1）曲線在點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方；（2）曲線上點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為，且線段被軸平分.解：（1）設(shè)曲線的方程為，則曲線上點(diǎn)處切線的斜率為，由條件知，此即為所求曲線的微分方程.（2）設(shè)曲線的方程為，則曲線上點(diǎn)處法線的斜率為，由條件知線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以的坐標(biāo)為，則有即所求曲線的微分方程為．習(xí)題11－21．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）原方程可寫為，分離變量，得兩端積分，得即，亦即，故通解為（2）原方程可寫為，兩端分離變量并積分，得，故通解為.（3）原方程可寫為,兩端分離變量并積分，得，故通解為.（4）原方程可寫為,兩端分離變量并積分，得，故通解為.（5）分離變量，得，兩端積分，得，，，故通解為，其中為任意常數(shù).（6）分離變量，得，積分，得，即，故通解為．2．求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）分離變量并積分得，，即通解為，由條件，得，，故滿足初始條件的特解．（2）分離變量并積分得，，即，亦即通解為，由條件，得，，故滿足初始條件的特解．（3）分離變量并積分得，，即，亦即通解為，由條件，得，，故滿足初始條件的特解．（4）分離變量并積分得，，通解為，由條件，得，故滿足初始條件的特解．（5）分離變量并積分得，，通解為由條件，得，故滿足初始條件的特解．（6）分離變量并積分得，，通解為由條件，得，故滿足初始條件的特解．3．求下列齊次方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）原方程可寫為，令，則代入原方程，得，即，積分得，即，亦即，原方程的通解．（2）原方程可寫為，令，則代入原方程，得，分離變量積分得，即，亦即，原方程的通解．（3）原方程可寫為，令，則代入原方程，得，分離變量積分得，即，，將代入上式得原方程的通解．（4）原方程可寫為，令，則代入原方程，得，分離變量積分得，即，亦即，其中，將代入上式，得原方程的通解．（5）令，則代入原方程，得，即，將代入上式，得原方程的通解．（6）原方程可寫為，令，則代入原方程，得，分離變量積分得，即，亦即，將代入上式，得原方程的通解4．求下列線性微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）原方程是，的一階非齊次線性方程.由通解公式得原方程的通解為．（2）原方程可化為，它是，的一階非齊次線性方程.由通解公式得原方程的通解為；（3）原方程是，的一階非齊次線性方程.由通解公式得原方程的通解為．（4）原方程是，的一階非齊次線性方程.由通解公式得，即原方程的通解為．（5）原方程可化為，它是，的一階非齊次線性方程.由通解公式得，即原方程的通解為．（6）原方程可化為，它是，的一階非齊次線性方程.由通解公式得．5．求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）（2）（3）（4）.解：（1）由公式可得一階線性微分方程通解為由得，故特解為.（2）由公式可得一階線性微分方程通解為由得，故特解為.（3）由公式可得一階線性微分方程通解為由得，故特解為，即.（4）由公式可得一階線性微分方程通解為由得，故特解為.6．求下列伯努利方程的通解：（1）（2）解：方程兩邊同除以，得令，，則原方程變?yōu)?，故將代入上式，得原方程通解?；（2）方程兩邊同除以，得令，，則原方程變?yōu)?，故將代入上式，得原方程通解為?．用適合的變量代換將下列方程化為可分離變量的方程，然后求出通解：（1）（2）（3）（4）．解：（1）令，則，從而原方程可化為，分離變量積分得，即.將代入，得原方程的通解為，即．（2）令，則，從而原方程可化為，分離變量積分得，即.將代入，得原方程的通解為（其中）．（3）令，則，從而原方程可化為，分離變量積分得，即，亦即，將代入，得原方程的通解為．（4）令，則，從而原方程可化為，分離變量積分得，即.將代入，得原方程的通解為．8．判別下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）這里，，所以（1）是全微分方程．取，根據(jù)公式，有于是全微分方程的通解為．.（2）這里,于是有，所以（2）是全微分方程．取，根據(jù)公式，有于是全微分方程的通解為．（3）這里，，顯然，所以（3）不是全微分方程．（4）．這里，顯然，所以（4）是全微分方程，取，根據(jù)公式，有于是全微分方程的通解為．9．求一曲線的方程，這曲線通過原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于.9．．解：設(shè)曲線的方程為，由題意知，，于是由，得，于是所求曲線的方程為10．質(zhì)量為（克）的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)，這外力和時(shí)間成正比，和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比.在時(shí)，速度等于，外力為，問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少？解：已知，并且時(shí)，，故，從而，因此.又由牛頓定律，即，故，積分得，即，再代入初始條件得，因此所求特解為，當(dāng)時(shí)．11．鐳的衰變有如下的規(guī)律：鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量成正比.由經(jīng)驗(yàn)材料得知，鐳經(jīng)過1600年后，只余原始量的一半.試求鐳的量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解：設(shè)比例系數(shù)，則由題意可得.分離變量積分可得，即，從而，因?yàn)闀r(shí)，所以，即.又因?yàn)闀r(shí)，所以，從而，因此鐳的量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，.時(shí)間以年為單位．12．設(shè)有連結(jié)點(diǎn)和的一段向上凸的曲線弧，對(duì)于上任一點(diǎn)，曲線弧與直線段所圍圖形的面積為，求曲線弧的方程.解：曲線弧的方程為，由題意得兩邊求導(dǎo)得，即，令，則上式可化為，分離變量積分得.將代入，得.由于在曲線上，因此，代入得，從而曲線弧的方程為，；當(dāng)時(shí).13．設(shè)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng).從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向一致、大小與時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數(shù)為）的阻力作用.求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解由牛頓定律知，即，因此由時(shí)得，故，即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為．習(xí)題11－31.求下列各微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）解：（1）原方程變形，得，對(duì)所給方程接連積分兩次，得，，這就是所求的通解.（2）對(duì)所給方程接連積分三次，得.這就是所求的通解.（3）令，原方程可化為，即，積分得，亦即，，所以就是原方程的通解．（4）令,則，原方程化為，即，當(dāng)時(shí)，得原方程的一個(gè)解為，它不是通解；當(dāng)時(shí)，約去，分離變量積分，得，即，從而，積分得，其中，因此原方程的通解為．2．求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）（2）（3）（4）．解：（1），由得，，即，，由得，，即，，由得，，故為原方程的所求特解．令，那末，得，即，積分得，由得，從而，又，可知，即，積分得，由，得，所以為所求特解．（3）令，那末，得，即，積分得，由得，從而，即，亦即，積分得，由，得，所以，原方程特解為．（4）令,則，原方程變?yōu)?，從而，積分得，即，由得，從而，即，即，積分得，再由得，因此所求特解為，即亦即，或（舍去，因?yàn)椋?．試求的經(jīng)過點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線.解：由積分曲線經(jīng)過點(diǎn)知，，又由積分曲線在點(diǎn)與直線相切知，.對(duì)方程積分得，，利用條件，從而，即，再積分得，，利用條件，從而，于是．4．下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)哪些是線性無關(guān)的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）線性無關(guān)．因?yàn)椋簩?duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)與，如果與在區(qū)間上線性相關(guān)，則存在兩個(gè)不全為0的常數(shù)，使得對(duì)于恒有成立，即或恒為常數(shù)．因而如果或均不為常數(shù)，則稱與在區(qū)間上一定線性無關(guān).（1）、（4）、（5）、（6）、（8）中的兩個(gè)函數(shù)之比均不為常數(shù)，所以這五組函數(shù)均線性無關(guān).相反地（2）（3）（7）線性相關(guān)．5．驗(yàn)證及都是方程的解，并寫出該方程的通解.解：因?yàn)?，，，，所以和都是已知方程的?由于不為常數(shù)，因此與線性無關(guān)，所給方程的通解為.6．驗(yàn)證及都是方程的解，并寫出該方程的通解.解：因?yàn)?，，，，所以何都是已知方程的?由于不為常數(shù)，因此與線性無關(guān)，所給方程的通解為.7．求下列微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）．解：（1）特征方程為，解得，故方程的通解．（2）特征方程為，特征根為，故方程的通解為．（3）特征方程為，解得，故方程的通解．（4）特征方程為，特征根為，故方程的通解為．（5）特征方程為，特征根為，故方程的通解為．（6）特征方程為，特征根為，故方程的通解為．8．求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）（2）（3）（4）．解：（1）特征方程為，特征根為，故方程的通解為代入初始條件，得，解之得，從而所求特解為．（2）特征方程為，特征根為，故方程的通解為代入初始條件，得，解之得，從而所求特解為．（3）特征方程為，特征根為，故方程的通解為代入初始條件，得，解之得，從而所求特解為（4）特征方程為，特征根為，故方程的通解為代入初始條件，得，解之得，從而所求特解為．9．寫出下列各微分方程的待定特解的形式（不用解出）：（1）（2）（3）（4）．解（1）特征方程為，解得．又因?yàn)?，是特征根，故待定特解的形式為．?）特征方程為，特征根為．又因?yàn)?，是特征根，故待定特解的形式為．?）特征方程為，特征根為．又因?yàn)?，不是特征根，故待定特解的形式為．?）特征方程為，特征根為．又因?yàn)?，是特征根，故待定特解的形式為?0．求下列二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解：（1）（2）（3）（4）．解：（1）特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因，不是特征根，所以設(shè)原方程的特解為，，，代入原方程得，，即，．故原方程的通解為（2）特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因，不是特征根，所以設(shè)原方程的特解為，代入原方程，得即，．故原方程的通解為（3）特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次的通解為而，是特征方程的單根，故可設(shè)原方程的特解為代入原方程整理得比較系數(shù),得，所以．故原方程的通解為（4）特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因x，不是特征方程的根，所以設(shè)原方程的特解為，代入原方程，得比較兩端系數(shù)得，所以．故原方程的通解為11．設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足求.解：方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得，，從而又該方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為，故齊次方程的通解為通過觀察易知為方程的一個(gè)特解，從而該方程的通解為將初始條件代入,得，故總習(xí)題十一1．單項(xiàng)選擇題：（1）下列微分方程中是線性方程的是（）.（A）（B）（C）（D）（2）下列方程中是一階微分方程的是（）.（A）（B）（C）（D）（3）微分方程的通解是（）.（A）（B）（C）（D）（4）微分方程滿足初始條件的特解是（）.（A）（B）（C）（D）（5）下列函數(shù)是微分方程的解是（）.（A）（B）（C）（D）解：（1）（B）；（2）（A）；（3）（A）；（4）（C）；（5）（D）.2．填空題：（1）以（其中為任意常數(shù)）為通解的微分方程為.（2）以（其中、為任意常數(shù)）為通解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為.（3）微分方程的通解為.（4）方程的通解為.（5）設(shè)方程的三個(gè)特解是，則此方程的通解為.3．求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.解：（1）分離變量積分，得，即，亦即故原方程所求通解為.（2）原方程變形為，這是一階線性方程，其通解為即原方程通解為.（3）原方程變形為，這是一階線性方程，其通解為即原方程通解為.（4）這是的伯努利方程.方程兩端同除以，得，令，便有，此方程為一階非齊次線性方程，其通解為將代入，得原方程的通解為.（5）特征方程為，解得，故方程的通解、．（6）特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次的通解為而，不是特征方程的根，故可設(shè)原方程的特解為代入原方程整理得，所以故原方程的通解為．（7）特征方程為，解得，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為因，是特征根，所以設(shè)原方程的特解為，又，，代入原方程，得，，即，．故原方程的通解為（8