高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的最大值練習(xí)及答案

7/7高中數(shù)學(xué)：函數(shù)的最大值練習(xí)及答案1.函數(shù)y＝kx＋b在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大2，則k的值為（）A.2B.C.－2或2D.－22.若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.3.函數(shù)y＝x＋的最值的情況為（）A.最小值為，無最大值B.最大值為，無最小值C.最小值為，最大值為2D.無最大值，也無最小值4.已知函數(shù)y＝＋的最大值為M，最小值為m，則的值為（）A.B.C.D.5.定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝2f（x），且當(dāng)x∈（0,1]時(shí)，f（x）＝x2－x，則當(dāng)x∈（－1,0]時(shí)，f（x）的最小值為（）A.－B.－C.0D.6.若函數(shù)f（x）＝x＋（x>2）在x＝a處取得最小值，則a等于（）A.1＋B.1＋C.3D.47.若函數(shù)y＝f（x），x∈[－2,2]的圖象如圖所示，則該函數(shù)的最大值、最小值分別為（）A.f，fB.f（0），fC.f（0），fD.f（0），f（2）8.若函數(shù)f（x）＝的最小值為f（0），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]9.函數(shù)f（x）在區(qū)間[－2,5]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）A.－2，f（2）B.2，f（2）C.－2，f（5）D.2，f（5）10.下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是（）A.y＝＋2B.y＝3x－2C.y＝x2D.y＝1－x11.已知函數(shù)f（x）＝，x∈[1，＋∞）.（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求f（x）的最小值；（2）當(dāng)a＝時(shí)，求f（x）的最小值；（3）若a為正常數(shù)，求f（x）的最小值.12.已知函數(shù)f（x）＝.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.13.（1）已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f（x）的最值；（2）已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f（x）的最值；（3）已知函數(shù)f（x）＝x－2－3，求函數(shù)f（x）的最值.14.（1）已知函數(shù)f（x）＝x4－2x2－3，求函數(shù)f（x）的最值；（2）求二次函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；（3）如圖，某地要修建一個(gè)圓形的噴水池，水流在各個(gè)方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系.那么水流噴出的高度h（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數(shù)關(guān)系式為h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流噴出的高度h的最大值是多少？15.函數(shù)f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求a的值.16.函數(shù)f（x）＝x2－4x－4在閉區(qū)間[t，t＋1]（t∈R）上的最小值記為g（t）.（1）試寫出g（t）的函數(shù)表達(dá)式；（2）求g（t）的最小值.17.已知函數(shù)f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在區(qū)間[0,2]上的最大值為g（a），最小值為h（a）（a∈R）.（1）求g（a）和h（a）；（2）作出g（a）和h（a）的圖象，并分別指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各為多少？18.某住宅小區(qū)為了營(yíng)造一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個(gè)八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成面積為200米2的十字形區(qū)域，且計(jì)劃在正方形MNPK上建一座花壇，其造價(jià)為4200元/米2，在四個(gè)相同的矩形上（圖中的陰影部分）鋪花崗巖路面，其造價(jià)為210元/米2，并在四個(gè)三角形空地上鋪草坪，其造價(jià)為80元/米2.（1）設(shè)AD的長(zhǎng)為x米，試寫出總造價(jià)Q（單位：元）關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）問：當(dāng)x取何值時(shí)，總造價(jià)最少？求出這個(gè)最小值.19.已知函數(shù)f（x）＝（x>0）.（1）求證：f（x）在（0,1]上為增函數(shù)；（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值.20.已知函數(shù)f（x）＝＋.（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；（2）設(shè)F（x）＝m＋f（x），求函數(shù)F（x）的最大值的表達(dá)式g（m）.21.已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R，總有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，f（1）＝－.（1）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值與最小值.答案1.函數(shù)y＝kx＋b在區(qū)間[1,2]上的最大值比最小值大2，則k的值為（）A.2B.C.－2或2D.－2【答案】C【解析】當(dāng)k＞0時(shí)，ymax＝2k＋b，ymin＝k＋b，∴2k＋b－（k＋b）＝2，∴k＝2；當(dāng)k＜0時(shí)，ymax＝k＋b，ymin＝2k＋b，∴k＋b－（2k＋b）＝2，∴k＝－2.綜上k＝±2，故選C.2.若函數(shù)y＝x2－3x－4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵f（x）＝x2－3x－4＝2－，∴f＝－，又f（0）＝－4，故由二次函數(shù)圖象可知（如圖）：m的值最小為，最大為3，即m的取值范圍是.故選A.3.函數(shù)y＝x＋的最值的情況為（）A.最小值為，無最大值B.最大值為，無最小值C.最小值為，最大值為2D.無最大值，也無最小值【答案】A【解析】∵y＝x＋在定義域[，＋∞）上是增函數(shù)，∴函數(shù)的最小值為，無最大值，故選A.4.已知函數(shù)y＝＋的最大值為M，最小值為m，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得函數(shù)的定義域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋2·＝4＋2，當(dāng)x＝－1時(shí)，y取得最大值M＝2；當(dāng)x＝－3或1時(shí)，y取得最小值m＝2，∴＝.5.定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝2f（x），且當(dāng)x∈（0,1]時(shí)，f（x）＝x2－x，則當(dāng)x∈（－1,0]時(shí)，f（x）的最小值為（）A.－B.－C.0D.【答案】A【解析】若x∈（－1,0]，則x＋1∈（0,1].因?yàn)楫?dāng)x∈（0,1]時(shí)，f（x）＝x2－x，所以f（x＋1）＝（x＋1）2－（x＋1）＝x2＋x.又f（x＋1）＝2f（x），則f（x）＝x2＋x＝2－，所以當(dāng)x＝－時(shí)，f（x）取得最小值－.故選A.6.若函數(shù)f（x）＝x＋（x>2）在x＝a處取得最小值，則a等于（）A.1＋B.1＋C.3D.4【答案】C【解析】設(shè)2＜x1＜x2，則f（x1）－f（x2）＝－＝（x2－x1）.∵x2－x1＞0，當(dāng)－1＞0時(shí)，即當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函數(shù)f（x）＝x＋為減函數(shù)；當(dāng)x>3時(shí)，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函數(shù)f（x）＝x＋為增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）＝x＋在x＝3處取得最小值，∴a＝3.7.若函數(shù)y＝f（x），x∈[－2,2]的圖象如圖所示，則該函數(shù)的最大值、最小值分別為（）A.f，fB.f（0），fC.f（0），fD.f（0），f（2）【答案】C【解析】函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)f（0），同理，最小值對(duì)應(yīng)f.8.若函數(shù)f（x）＝的最小值為f（0），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]【答案】D【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝（x－m）2，f（x）min＝f（0）＝m2，所以對(duì)稱軸x＝m≥0.當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝x＋＋m≥2＋m＝2＋m，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時(shí)取等號(hào)，所以f（x）min＝2＋m.因?yàn)閒（x）的最小值為m2，所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.9.函數(shù)f（x）在區(qū)間[－2,5]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是（）A.－2，f（2）B.2，f（2）C.－2，f（5）D.2，f（5）【答案】C【解析】由函數(shù)最值的幾何意義知，當(dāng)x＝－2時(shí)，有最小值－2；當(dāng)x＝5時(shí)，有最大值f（5），故選C.10.下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是（）A.y＝＋2B.y＝3x－2C.y＝x2D.y＝1－x【答案】A【解析】B、C在[1,4]上均為增函數(shù)，A、D在[1,4]上均為減函數(shù)，代入端點(diǎn)值，即可求得最值，故選A.11.已知函數(shù)f（x）＝，x∈[1，＋∞）.（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求f（x）的最小值；（2）當(dāng)a＝時(shí)，求f（x）的最小值；（3）若a為正常數(shù)，求f（x）的最小值.【答案】（1）當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）＝x＋＋2，易知，f（x）在[1,2]上是減函數(shù)，在[2，＋∞）上是增函數(shù)，∴f（x）min＝f（2）＝6.（2）當(dāng)a＝時(shí)，f（x）＝x＋＋2.易知，f（x）在[1，＋∞）上為增函數(shù).∴f（x）min＝f（1）＝.（3）函數(shù)f（x）＝x＋＋2在（0，]上是減函數(shù)，在[，＋∞）上是增函數(shù).當(dāng)>1，即a>1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上先減后增，∴f（x）min＝f（）＝2＋2.當(dāng)≤1，即0<a≤1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)，∴f（x）min＝f（1）＝a＋3.12.已知函數(shù)f（x）＝.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，＋∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.【答案】（1）函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上是增函數(shù).證明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝－＝.∵x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0，∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函數(shù)f（x）在[1，＋∞）上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)f（x）在[1,4]上是增函數(shù)，故最大值f（4）＝，最小值f（1）=.13.（1）已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f（x）的最值；（2）已知函數(shù)f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f（x）的最值；（3）已知函數(shù)f（x）＝x－2－3，求函數(shù)f（x）的最值.【答案】（1）∵函數(shù)f（x）＝x2－2x－3開口向上，對(duì)稱軸x＝1，∴f（x）在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，且f（0）＝f（2）.∴f（x）max＝f（0）＝f（2）＝－3，f（x）min＝f（1）＝－4.（2）∵對(duì)稱軸x＝1，①當(dāng)1≥t＋2即t≤－1時(shí)，f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，f（x）min＝f（t＋2）＝（t＋2）2－2（t＋2）－3＝t2＋2t－3.②當(dāng)≤1<t＋2，即－1<t≤0時(shí)，f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3，f（x）min＝f（1）＝－4.③當(dāng)t≤1<，即0<t≤1時(shí)，f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，f（x）min＝f（1）＝－4.④當(dāng)1<t，即t>1時(shí)，f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3，f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3.設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為g（t），最小值為φ（t），則有g(shù)（t）＝φ（t）＝（3）設(shè)＝t（t≥0），則x－2－3＝t2－2t－3.由（1）知y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞）上單調(diào)遞增.∴當(dāng)t＝1即x＝1時(shí)，f（x）min＝－4，無最大值.14.（1）已知函數(shù)f（x）＝x4－2x2－3，求函數(shù)f（x）的最值；（2）求二次函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；（3）如圖，某地要修建一個(gè)圓形的噴水池，水流在各個(gè)方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系.那么水流噴出的高度h（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數(shù)關(guān)系式為h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流噴出的高度h的最大值是多少？【答案】（1）設(shè)x2＝t（t≥0），則x4－2x2－3＝t2－2t－3.y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞）上單調(diào)遞增.∴當(dāng)t＝1即x＝±1時(shí)，f（x）min＝－4，無最大值.（2）∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x＝a，∴當(dāng)a<2時(shí)，f（x）在[2,4]上是增函數(shù)，∴f（x）min＝f（2）＝6－4a.當(dāng)a>4時(shí)，f（x）在[2,4]上是減函數(shù)，∴f（x）min＝f（4）＝18－8a.當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f（x）min＝f（a）＝2－a2.∴f（x）min＝（3）由函數(shù)h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是水流噴出的最高點(diǎn).此時(shí)函數(shù)取得最大值.對(duì)于函數(shù)h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值hmax＝－12＋2×1＋＝.于是水流噴出的最高高度是m.15.函數(shù)f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求a的值.【答案】f（x）＝4（x－）2－2a＋2，①當(dāng)≤0，即a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0,2]上是增函數(shù).∴f（x）min＝f（0）＝a2－2a＋2.由a2－2a＋2＝3，得a＝1±.∵a≤0，∴a＝1－.②當(dāng)0<<2，即0<a<4時(shí)，f（x）min＝f（）＝－2a＋2.由－2a＋2＝3，得a=（0,4），舍去.③當(dāng)≥2，即a≥4時(shí)，函數(shù)f（x）在[0,2]上是減函數(shù)，f（x）min＝f（2）＝a2－10a＋18.由a2－10a＋18＝3，得a＝5±.∵a≥4，∴a＝5＋.綜上所述，a＝1－或a＝5+.16.函數(shù)f（x）＝x2－4x－4在閉區(qū)間[t，t＋1]（t∈R）上的最小值記為g（t）.（1）試寫出g（t）的函數(shù)表達(dá)式；（2）求g（t）的最小值.【答案】（1）f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8.當(dāng)t>2時(shí)，f（x）在[t，t＋1]上是增函數(shù)，∴g（t）＝f（t）＝t2－4t－4；當(dāng)t≤2≤t＋1，即1≤t≤2時(shí)，g（t）＝f（2）＝－8；當(dāng)t＋1<2，即t<1時(shí)，f（x）在[t，t＋1]上是減函數(shù)，∴g（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7.從而g（t）＝（2）g（t）的圖象如圖所示，由圖象易知g（t）的最小值為－8.17.已知函數(shù)f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在區(qū)間[0,2]上的最大值為g（a），最小值為h（a）（a∈R）.（1）求g（a）和h（a）；（2）作出g（a）和h（a）的圖象，并分別指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各為多少？【答案】（1）∵f（x）＝（x－a）2－（a2＋1），又x∈[0,2]，∴當(dāng)a≤0時(shí)，g（a）＝f（2）＝3－4a，h（a）＝f（0）＝－1；當(dāng)0<a≤1時(shí)，g（a）＝f（2）＝3－4a，h（a）＝f（a）＝－（a2＋1）；當(dāng)1<a<2時(shí)，g（a）＝f（0）＝－1，h（a）＝f（a）＝－（a2＋1）；當(dāng)a≥2時(shí)，g（a）＝f（0）＝－1，h（a）＝f（2）＝3－4a.綜上可知g（a）＝h（a）＝（2）g（a）和h（a）的圖象分別為：由圖象可知，函數(shù)y＝g（a）的最小值為－1，函數(shù)y＝h（a）的最大值為－1.18.某住宅小區(qū)為了營(yíng)造一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個(gè)八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成面積為200米2的十字形區(qū)域，且計(jì)劃在正方形MNPK上建一座花壇，其造價(jià)為4200元/米2，在四個(gè)相同的矩形上（圖中的陰影部分）鋪花崗巖路面，其造價(jià)為210元/米2，并在四個(gè)三角形空地上鋪草坪，其造價(jià)為80元/米2.（1）設(shè)AD的長(zhǎng)為x米，試寫出總造價(jià)Q（單位：元）關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）問：當(dāng)x取何值時(shí)，總造價(jià)最少？求出這個(gè)最小值.【答案】（1）設(shè)AM＝y(tǒng)，AD＝x，則x2＋4xy＝200，∴y＝.故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋（0<x<10）.（2）令t＝x2，則Q＝38000＋4000（t＋），且0<t<200.∵函數(shù)u＝t＋在（0,10]上單調(diào)遞減，在[10,200）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)t＝10時(shí)，umin＝20.故當(dāng)x＝時(shí)，Qmin＝118000（元）.19.已知函數(shù)f（x）＝（x>0）.（1）求證：f（x）在（0,1]上為增函數(shù)；（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值.【答案】（1）證明設(shè)x1，x2是區(qū)間（0，＋∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f（x1）－f（x2）＝－＝＝.當(dāng)0<x1<x2≤1時(shí)，x2－x1>0，x1x2－1<0，∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1）<f（x2），∴f（x）在（0,1]上單調(diào)遞增.（2）解當(dāng)1≤x1<x2時(shí)，x2－x1>0，x1x2－1>0，f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2），∴f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞減.∴結(jié)合（1）（2）可知，f（x）max＝f（1）＝，無最小值.20.已知函數(shù)f（x）＝＋.（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；（2）設(shè)F（x）＝m＋f（x），求函數(shù)F（x）的最大值的表達(dá)式g（m）.【答案】（1）要使函數(shù)f（x）有意義，需滿足得－1≤x≤1.故函數(shù)f（x）的定義域是{x|－1≤x≤1}.∵[f（x）]2＝2＋2，且0≤≤1，∴2≤[f（x）]2≤4，又∵f（x）≥0，∴≤f（x）≤2，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇，2].（2）令f（x）＝t，則t2＝2＋2，則＝