高中數(shù)學(xué)第三章三角函數(shù)3.2任意角的三角函數(shù)3.2.2同角三角函數(shù)之間的關(guān)系學(xué)案湘教版必修

3.2.2同角三角函數(shù)之間的關(guān)系[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.能通過三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.3.能運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．[知識鏈接]1．任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)分別是如何定義的？答在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓．銳角α的終邊與單位圓交于P(x，y)點(diǎn)，則有sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x).2．如何利用任意角的三角函數(shù)的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式？答設(shè)點(diǎn)P(x，y)為α終邊上任意一點(diǎn)，P與O不重合．P到原點(diǎn)的距離為r＝eq\r(x2＋y2)>0，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).于是sin2α＋cos2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,r)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,r)))2＝eq\f(y2＋x2,r2)＝1，eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(y,r),\f(x,r))＝eq\f(y,x)＝tanα.即sin2α＋cos2α＝1，tanα＝eq\f(sinα,cosα).[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．任意角三角函數(shù)的定義如圖所示，以任意角α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角α的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)P(x，y)是任意角α終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)．其中，r＝OP＝eq\r(x2＋y2)>0.則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．3．同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形(1)sin2α＋cos2α＝1的變形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的變形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).要點(diǎn)一利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值例1已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．解∵cosα＝－eq\f(8,17)<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).規(guī)律方法已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系．另外也要注意“1”的代換，如“1＝sin2α＋cos2α”．本題沒有指出α是第幾象限的角，則必須由cosα的值推斷出α所在的象限，再分類求解．跟蹤演練1已知tanα＝eq\f(4,3)，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值．解由tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3)，得sinα＝eq\f(4,3)cosα①又sin2α＋cos2α＝1②由①②得eq\f(16,9)cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝eq\f(9,25).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,3)cosα＝－eq\f(4,5).要點(diǎn)二三角函數(shù)代數(shù)式的化簡例2化簡下列各式：(1)eq\r(1－sin240°)；(2)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))；(3)eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))，其中sinα·tanα<0.解(1)eq\r(1－sin240°)＝eq\r(cos240°)＝|cos40°|＝cos40°.(2)eq\f(\r(1－2sin10°cos10°),sin10°－\r(1－sin210°))＝eq\f(\r(cos10°－sin10°2),sin10°－\r(cos210°))＝eq\f(|cos10°－sin10°|,sin10°－cos10°)＝eq\f(cos10°－sin10°,sin10°－cos10°)＝－1.(3)由于sinα·tanα<0，則sinα，tanα異號，∴α是第二、三象限角，∴cosα<0，∴eq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋eq\r(\f(1＋sinα,1－sinα))＝eq\r(\f(1－sinα2,1－sin2α))＋eq\r(\f(1＋sinα2,1－sin2α))＝eq\f(|1－sinα|,|cosα|)＋eq\f(|1＋sinα|,|cosα|)＝eq\f(1－sinα＋1＋sinα,－cosα)＝－eq\f(2,cosα).規(guī)律方法解答這類題目的關(guān)鍵在于公式的靈活運(yùn)用，切實(shí)分析好同角三角函數(shù)間的關(guān)系，化簡過程中常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、余弦的函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)．從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的．(2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的．(4)關(guān)于sinα，cosα的齊次式的求值方法①sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子，分母同時(shí)除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，如eq\f(sinα－cosα,2sinα＋cosα)可化為eq\f(tanα－1,2tanα＋1)，再代入求值．②若無分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，如3sin2α－2cos2α可寫成eq\f(3sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)，進(jìn)一步化為eq\f(3tan2α－2,tan2α＋1)，再代入求值．跟蹤演練2已知tanα＝3，則(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝.答案(1)1(2)1解析(1)eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×3－3,4×3－9)＝1；(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝eq\f(sin2α－3sinαcosα＋sin2α＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2sin2α－3sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α－3tanα＋1,tan2α＋1)＝eq\f(2×32－3×3＋1,32＋1)＝1.要點(diǎn)三三角函數(shù)恒等式的證明例3求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).證明∵右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，∴原等式成立．規(guī)律方法(1)證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)：清除等式兩端的差異，有目的的化簡．(2)證明三角恒等式的基本原則：由繁到簡．(3)常用方法：左?右；右?左；左?中?右．跟蹤演練3已知2cos4θ＋5cos2θ－7＝asin4θ＋bsin2θ＋c是恒等式．求a、b、c的值．解2cos4θ＋5cos2θ－7＝2(1－sin2θ)2＋5(1－sin2θ)－7＝2－4sin2θ＋2sin4θ＋5－5sin2θ－7＝2sin4θ－9sin2θ，故a＝2，b＝－9，c＝0.1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα等于()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(5,13) D.eq\f(12,13)答案A解析利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系計(jì)算．因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).2．已知α是第三象限角，sinα＝－eq\f(1,3)，則tanα＝.答案eq\f(\r(2),4)解析由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα＝－eq\f(1,3)，所以cosα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)則tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4).3．若α是第三象限角，化簡eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).解∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函數(shù)線可知－1<cosα<0.∴eq\r(\f(1＋cosα,1－cosα))＋eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\r(\f(1＋cosα2,1－cos2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\r(\f(1＋cosα2,sin2α))＋eq\r(\f(1－cosα2,sin2α))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋cosα,sinα)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－cosα,sinα)))＝－eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα)＝－eq\f(2,sinα).4．求證：eq\f(tanθ·sinθ,tanθ－sinθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ).證明左邊＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)·sinθ,\f(sinθ,cosθ)－sinθ)＝eq\f(sin2θ,sinθ－sinθcosθ)＝eq\f(1－cos2θ,sinθ1－cosθ)＝eq\f(1－cosθ·1＋cosθ,sinθ·1－cosθ)＝eq\f(1＋cosθ,sinθ)＝右邊．∴原等式成立．

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，它的精髓在“同角”二字上，如sinα＋cosα＝1，eq\f(sin8α,cos8α)＝tan8α等都成立，理由是式子中的角為“同角”．2．已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值時(shí)，要注意公式的合理選擇．一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系．在應(yīng)用平方關(guān)系求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號是由角α所在象限來決定，切不可不加分析，憑想象亂寫公式．3．在三角函數(shù)的變換求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一個(gè)，可以利用方程思想，求出另外兩個(gè)的值．4．在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)倪x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化簡或恒等式證明時(shí)，注意方法的靈活運(yùn)用，常用的技巧有：①“1”的代換；②減少三角函數(shù)的個(gè)數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；③多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(如因式分解、整體思想等)；④對條件或結(jié)論的重新整理、變形，以便于應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系來求解．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．若sinα＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，則tanα的值等于()A．－eq\f(4,3) B.eq\f(3,4)C．±eq\f(3,4) D．±eq\f(4,3)答案A解析α為第二象限角，sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).2．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)答案B解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×eq\f(1,5)－1＝－eq\f(3,5).3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，則sinθcosθ的值是()A.eq\f(3,4) B．±eq\f(3,10)C.eq\f(3,10) D．－eq\f(3,10)答案C解析由題意得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，∴(sinθ＋cosθ)2＝4(sinθ－cosθ)2，解得sinθcosθ＝eq\f(3,10).4．若sinα＋sin2α＝1，則cos2α＋cos4α等于()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析sinα＋sin2α＝1得sinα＝cos2α∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.5．化簡：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝.答案1解析原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝sin2α＋cos2α＝1.6．已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)則tanα＝.答案3或－eq\f(1,3)解析因?yàn)閟inα＋2cosα＝eq\f(\r(10),2)，又sin2α＋cos2α＝1，聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(\r(10),10)，,cosα＝\f(3\r(10),10)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3\r(10),10)，,cosα＝\f(\r(10),10)，))故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,3)，或tanα＝3.7．(1)化簡eq\r(1－sin2100°)；(2)用tanα表示eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α.解(1)eq\r(1－sin2100°)＝eq\r(cos2100°)＝|cos100°|＝－cos100°.(2)eq\f(sinα＋cosα,2sinα－cosα)＝eq\f(\f(sinα＋cosα,cosα),\f(2sinα－cosα,cosα))＝eq\f(tanα＋1,2tanα－1)，sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(\f(sin2α＋sinαcosα＋3cos2α,cos2α),\f(sin2α＋cos2α,cos2α))＝eq\f(tan2α＋tanα＋3,tan2α＋1).二、能力提升8．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(5,4) C．－eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)答案D解析sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，故原式＝eq\f(4＋2－2,4＋1)＝eq\f(4,5).9．已知sinα－cosα＝－eq\f(\r(5),2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)的值為()A．－4B．4 C．－8 答案C解析tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,sinαcosα).∵sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2)＝－eq\f(1,8)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝－8.10．已知直線l的傾斜角是θ，且sinθ＝eq\f(5,13)，則直線l的斜率k＝.答案±eq\f(5,12)解析因?yàn)橹本€l的傾斜角是θ，所以θ∈[0，π)．又因?yàn)閟inθ＝eq\f(5,13)，sin2θ＋cos2θ＝1，所以cosθ＝±eq\r(1－\f(5,13)2)＝±eq\f(12,13)，于是直線l的斜率k＝eq\f(sinθ,cosθ)＝±eq\f(5,12).11．已知tanα＝－eq\f(1,2)，則eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝.答案－eq\f(1,3)解析原式＝eq\f(sinα＋cosα2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－