2023年山西省太原市成考專升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案帶解析)

2023年山西省太原市成考專升本高等數(shù)學(xué)

二自考真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

設(shè)/U)=(l+T，.則/(工)()

A.有極小值B有根大值

C.無極值D.是否有極值不能確定

已知函數(shù)(外在x=l處切導(dǎo),11u(l)—皿==-2?則

A.-2

B.2

C.0

2.D.4

3.

過曲線y=x+】nx上%點的切線平行直線y=2x+3,則切點他的坐標是

()O

A.。，D

B9，e)

c(1.e+1)

e+2)

4.

設(shè)函數(shù)/(M)=((，-1)%,則/(X>有().

A.極大值/B.極大值C.極小值!

D.極小值

5.已知/(x)=e..則/%'(*)&等于()A.l/2B.lC.3/2D.2

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且V(H)WO,若則/等于

VKX)

AU，(X)V(X)+U(X)V，(X)

A,------產(chǎn)五5---------

Ru\x)v(x)—“(z)z/(z)

07(7)

「”'(N)x/(N)+〃(<r)xKz)

ni/(?r)J(a)

D-Gr)

7.設(shè)“2)=/+/.則電鏟+吟尹等于(A.2(x-y)B.2(x+y)C,4D.2

8.下列命題正確的是()o

A.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在的點，一定不是f(x)的極值點

B.若xO為函數(shù)f(x)的駐點，則xO必為f(x)的極值點

C.若函數(shù)f(x)在點xO處有極值，且F(xO)存在，貝IJ必有F(x0)=0

D.若函數(shù)f(x)在點XO處連續(xù)，則1(x0)一定存在

A.OB.lC.e1D.+oo

s設(shè)二元函數(shù)7=淅(%”)，則手等于

10.

A.A.z?cos(zy2)

B-xycos(xyz)

C-y2cos(工y2)

Dy2cos(xj2)

11.設(shè)函數(shù)/(x)在點％處連續(xù)，則F列結(jié)論肯定正確的是

limf3-2必存在

A.A.，TIOx-及

limf(x)=/(Xo)

B.f

「lim/(x)=0

C?IR

limf(x)*f(XQ)

D.一

12.

下列命題肯定正確的是

A.若義工)在點x0處連續(xù),g(1)在點Xo處不連續(xù)，則/'(aO+gG)在點工。處必

不連續(xù)

B.若在點工。處"(H)與g(公均不連續(xù)，則八工)+g(工)在點工。處必不連續(xù)

C.若f(z)在點工。處連續(xù)，則|義工)1在點工。處必不連續(xù)

D.若|八外|在點吊處連續(xù)，則八外在點工。處必連續(xù)

13.

+4—27

設(shè)函數(shù)/(l)=<X在點工=0處連續(xù)，則及等于

kx=0

A.4

G2D-7

14.

設(shè)f(1)是連續(xù)函數(shù)，則[—//(a+6-N)dz等于

A.0R1

C.a+6D.f/(x)dx

1U已知;[/(z')]=！，則/(工)=___________

15.cLrX

16.設(shè)z=產(chǎn),則dz=()。

A.e"dx

B.(xdy+ydx)e"

Qxdy+ydx

D.a+y)產(chǎn)

17.

設(shè)函數(shù)f(工)在區(qū)間［0,11上可導(dǎo)，/(工)<0,并且f(0)>0,f(l)V0,則/(x)

在［0,11內(nèi)

A.至少有兩個零點

R有且僅有一個零點

C.沒有零點

D.零點個數(shù)不能確定

1fi對函數(shù)“乂丫人/^+/，原點(0,0)

JLo?x)o

A.是駐點，但不是極值點B.是駐點且是極值點C.不是駐點，但是極大

值點D.不是駐點，但是極小值點

19.下列等式不成立的是

lim(l+3=e

A.A."-*?n

B.i-n

lim(l+-V)"=e

C-n

D.一n2

20.下列極限計算正確的是【】

lim---=0

AiosinJ

lim

B.一°

—lim

C.一sirur

設(shè)尸"⑵⑺=］口則/2切皿=

A.4cB.2cC.cD.1

21.

22.曲線y=a-(x-b)1/3的拐點坐標為

A.A.(a,0)B,(a,-b)C.(a,b)D,(b,a)

limeJ'=

23.1

A.A.OB.lC.+ooD.不存在且不是+oo

I

l..ime*-l=

XTI

A.0B.1

24C.+D.不存在且不是+?o

25.設(shè)f(x)=x(x+l)(x+2),則f"，(x)=

A.A.6B.2C.lD.O

設(shè)函數(shù)八"在點了處連續(xù).則下列結(jié)論自定正確的是()

A.lim..二必存在

廠FJ4c

Rhm/(x)=0

C當1一6時./(丁)一/(也)不是無窮小吊

26.1)?巧?-*丁時，/(公一八八)必為無窮小質(zhì)

27.

在下列函數(shù)中在給定區(qū)間內(nèi)無界的是

A.j=ln(l+x2)?COtlJ

B.y=3",(—8,0)

C.y=2+x-3x2,(0,+oo)

D.^=2arctanx—3n,(-oot+oo)

,Q函數(shù)y=，4—z+lnlx—1)的定義域是

A,，。*]

B.(l，4]

C.(L4)

D(1,4-00)

29.

下列極限值等于e的是

A.lim(14--)*B.lim(l+x)x

x-*0JCr-*0

C.lim(l+—)xD.lim(l+x)^

設(shè)貝|」照=

30.a”力()o

A2x(1+x2y)exly

口2x(1+x2)ex2y

15.

2x2y

r2ry(l+x)e

2x2y

Dxy(l+x)e

二、填空題（30題）

設(shè)N=十）），則丁

dy

31.）

32.

不定積分JzsinG?+l)dx=.

33.---------------吧("白=------

34.

設(shè)/(X)=，則/(X)=.

35.

下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的為

A.>=x'4-x*+1B.y-r?sior,

C.y工工'-e'*D.y=In1J

設(shè)D是由y.?r.y=_jr和y=/一，所圍成的閉區(qū)域,則

A./(rco^?r?in^)drJ同/(rcos^.rsin^)dr

C.J,叫/(x?y)rdr

36.軻:/(rcos^?rsin^)rdr

(OWll

i.函數(shù)/lr)=,1(1V/<2X的連續(xù)區(qū)間為

而”■(2<x<3)

37.

38.

J：d[Jdlnx]=

39.

若f(x)=x2ex,則/"(x)

40

設(shè)n=arctanJ*,則累

42.

設(shè)z=/Q,v),u=ev,v=ln(x2+y2),，是可微函數(shù)，則坐■三

dx

43.

e

Inzdi=

e

44|(x'cosx+1)dx=

XXNO

設(shè)/(x)={x<°,則J2/(x)dx=

e

45.

46.

jsinxcos2xdx=_________________

47..設(shè)/Cr）的一個原函數(shù)是,---.

48.

不定積分jgos!dz=.

49.

當k時，r興c收斂.

50.

設(shè)2=/工，則奈=_______.

dy

51.

當人―0時,y（x0+3h）—/（xo—入）+2人是人的高階無窮小量,則f（工。）=

52.

y+f

設(shè)f(t)=lim1(----V,則f\t)=.

■?x-t

53.曲線y=x3-x在點(1,0)處的切線方程y=.

當x-0時，若sin，x??X。，則。=

54.

55.設(shè)事件A與B相互獨立，且P(A)=O.4,P(A+B)=O.7,則P(B)=

設(shè)/(幻=/，g(x)=e*,則?(g(/(x)))=.

56.心

sec25xdj'=__________

57.」

lim(l-2x)Jr=

58.

60.

工一1,0Vi41?

設(shè)函數(shù)八m=4在I處間斷是因為

2~x.1<x<3

A./（x）在工=1處無定義B.lim/G）不存在

?廠

C.li嗎/（工）不存在D.lim/5）不存在

#-?1*?*2|

三、計算題（30題）

61求不定枳分/[/+ln(l+.r)](Lr.

62.上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長為

12m,為使窗戶的面積A達到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少？

63設(shè)函數(shù)/（1）=x（1—x）J+■，求/（工）.

64改變積分［d_r［八才~）心+工山，’人工0）打的積分次序.

（1—e

求極限limr旦二

XX

65.

66.計算定積分卜城也改

arcsinjr」

計算不定機分--dx,

67.6+工

68.已知曲線C為y=2x2及直線L為y=4x.

①求由曲線C與直線L所圍成的平面圖形的面積S；

②求曲線C的平行于直線L的切線方程.

計算定枳分■業(yè).

已知曲線y-/.求求，

（1）曲線在點<1.1）處的切蚊方程與法線方程；

70.（2）曲線上騫一點處的切竣與直線》-4工一1平行？

71.

呵!（/+/）匕,其中D為y=/,y=z+a.y="和y=3a（a>0）為邊的平行四

邊形.

求函數(shù)y=21'+3xz-12i+1的單調(diào)區(qū)間?

//?

73.在拋物線y=l-x2與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)作一內(nèi)接矩形ABCD,

其一邊AB在x軸上（如圖所示）.設(shè)AB=2x,矩形面積為S（x）.

①寫出S（x）的表達式;

②求S（x）的最大值.

設(shè)八力為可微函數(shù)且II足方程：

(x+(x>0).

74.求函nt/a).

75.求函數(shù)f(x)=x3-3x-2的單調(diào)區(qū)間和極值.

”計算定枳分「lnG+l)dr

70.J,

已知函數(shù)八工)處處連續(xù),且滿足方程

⑺山=—1+X*+xsin2x+~cos2x.

77."⑴

設(shè)函數(shù)八公=G-a)*(jr),其中力力在點z=a處連續(xù).求/(a).

79.

Isin3jr|djr.

80.

求lim/—■—-]1\

81.…㈠一IF

82.求岬[Mn_告:

求］一di—

83.J向1+I》

設(shè)g=求生.

84.

85求Jer'dxdy.其中D是由直線,=x.y=1及y軸圍成的區(qū)域.

86.求微分方程/-2?'-3y=_re'的通解.

計算二重枳分ry%,其中D是由It物線/-工及直線y=工2圍成.

87.R

求定積分—：(lrur)2cLr.

88.?〃

設(shè)之=），其中f《u）可導(dǎo)?求工累+y器

設(shè)函數(shù)2=廿十/*2九求必與嘉.

>U?

四、綜合題（10題）

91.

設(shè)函數(shù)FCr)=&；二廣)(工＞0),其中/(I＞在區(qū)間h.+8)上連續(xù)./"(工)在

＜a.+oo)內(nèi)存在且大于零.求證，F(xiàn)U)在(a.+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

92.征明，當了＞i時

93求函數(shù)八幻=工一4*的單調(diào)區(qū)間和極值.

94.求由曲線y=(J-1)'和直線上=2所圉成的圖形舞/軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.

95求函數(shù)，■巖的單■區(qū)間、及值及此函數(shù)■線的凹凸區(qū)向、拐點W漸近線?

“證明：當上＞0時，ln(l+f)＞d-.

96.1+r

97.證明方程工'-3工-1=0在1與2之間至少有一個實根?

證明：方程「占山=1在(0.1)內(nèi)恰有一實根.

98」1十，io

證明：方程4彳-1=「在(0?1)內(nèi)僅有一個根.

99.J。1+〃

設(shè)曲數(shù)y(x)=x2arctanx.

(I)求函數(shù)/(.r)的單周區(qū)間和極值，

100.「T\”，，的叫昌區(qū)間和：「

五、解答題(10題)

101.

每次拋擲一枚骰子(6個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6).

連續(xù)拋擲2次，設(shè)4=｛向上的數(shù)字之和為6｝.

求P(A).

102.

已知袋中有8個球，其中5個白球,3個紅理.從中任取一個球，不放回地取兩次,設(shè)事件4=

｛第一次取到白球｝,B=｛第二次取到臼球｝.求P(AB\

103.

求J―dx.

Jcosx

104.

設(shè)某家庭有三個孩子，在已知至少有一個女孩的條件下，求這個家庭至少有一個

男孩的概率.

105.

求曲線＞2=2X+1,八=-2X+1所圍成的區(qū)域的面積A,及此平

面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

106.

計算卜”cose^dx.

I。？設(shè)z=/(2r+3y,e"),求dz.

108.求函數(shù)y=x3-2x2的單調(diào)區(qū)間、極值及此函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間和拐

點。

x

109.當x#時,證明：el+xo

110.

計算J—J

(1-x2)7

六、單選題(0題)

1U曲線y=(1+.rDarctanj"在』=0處的切線方程為

參考答案

1.A

2.C

3.A

本題將四個選項代入等式，只有選項A的坐標使等式成立.

事實上)/=]+l=2得4=1,所以y=l

4.D

答應(yīng)選D.

分析本題主?？蓟蓸O限的充分條件.

-E可以先積分,求出/(x),然后再求其極值.最簡捷的方法是利用變上限定積分先求出

.=：=!>0,所以/⑺有極小值/⑴==*-1)[“=-[??所以

選D.

5.B本題考查的是導(dǎo)函數(shù)的概念和定積分的分部積分法.

Jxf'(x)6x=|xd/(x)=xf(x)J：-jf(x)dx=*e'j：-[e'ch:=e'(x-1)|^=1.

6.B

【解析)因為例：，2)+幽：八=2"2二故選B.

7.B初dr

8.C

根據(jù)函數(shù)在點X0處取極值的必要條件的定理，可知選項C是正確的。

9.C

因為在x=0處f(x)=eI/x-1是連續(xù)的。

10.D

ll.B

12.A

13.B

14.A

15.1/3x

16.B

設(shè)14=.，則e

dzdu

dudx

dzdu

=e“x=xe>7

丫du為

所以dz=^-djr+^dy=ye"9dx+^e10'dy=eje>(ydx+xdy).選B.

axdy

17.B

18.D

由于《3y)=,J,>f&x,y)=/「,

+),24"+y?

顯然，/；(O,0)、4(0,0)均不存在.

在原點的某鄰域內(nèi)，當(x,y)w(O,0)時,總有f3j)=+八0=f(0,0)

所以，原點(0,0)不是駐點,但是極小值點.

19.C

利用第二個重要極限易判定.

A「(.1丫”(.IY

A?hm1+—=hrm|l+—l+—=e?

limI—=[limf1+『=e"?

—I〃)—(-n)

n/?

C,+=lim(l+3)]?=e0=1?

D?]im[l=lim(l+L?)]~*=c°=

故選C.

20.B

時于逸*A,明急.1*0.蠟心時于選項B,如急,I,正心處于選“C,

lim。W1.0候，時于選項D：lim出^■Of1?錯誤.

#**<**sirur**.9jr

[解析J因為[/(-?(X)J*=/(->(X)

所以f("T)(x)=2e24*',/(B)(x)=4e2x+1

21.A則廠)(0)=4e

22.D

函數(shù)的定義域為(-8,+8).

|-?

y*=--(x-6)L

2—

/=-(x-WJ.

9

當x=8時，>不存在.因為函數(shù)/(x)在x=6點處連續(xù)，且

當x<b時，y"<0,曲線y為凸；當x>b時，y”>0,曲線y為凹.

所以x=6是曲線y的拐點橫坐標，y(b)=o.

故曲線的拐點為(b，a).

23.D

因為當“~*1-時，——-00,而當X-1時，——-*+oo

x-1x-l

11

所以當x-1-時，ei—0,而當x-T時，ex",—+?>

i

則limex_|不存在且不是+oo,故選D.

XT1

［解析］因為當X-r時，—-----而當X-「時，——一+OO

x-lX-1

11

所以當時，而當x-1?時，/7——

1

則limeR不存在且不是g,故選D.

24.DI

25.A

因為f(x)=x3+3x2+2x,所以f"'(x)=6。

26.D

27.C

28.B

29.C

30.A

因為牛=內(nèi).2個

OX

所以=(2xyer2>)：=(2x+2xy-x2)e,，=2x(1+x2y)exy

dxdy

31.

1+，)

臣=―;1■z.2y=——0

辦25/jr(x+j>2)｛工〈工+9)

32.

—^-cos(x2+D+C

—l-cos(x2+1)+C

33.

,?c?限u

1111e

34.

1+cOSH

35.B

36.D

37JO.1)U(1.3][0,1)U(1.3]

38.1

Jd(jdlnx)=Jdkix=In：=1

r

f(x)=2ie4+A2e,

39.(2+4x+x2)ex(2+4x+x2)ex解析:-f"(4)=(2+"把、+(2￥+/)€工=(2+4x+W)e*

40.2

41.

2(z+y)J]

11/一步)-2(工+>)7T-

加y2后I

42.

八尸，解析：

dzdzdudzdv濘y+-rX2x

——=+=

dxdudxdvdxdu3vx+y

-f/

43.e2

lardz=xlnx2e2-e-x=2e2-e-e2+e=e2.

44.2

3-e_,

2Q201°

[解析]Jf(x)dx=jexdbr+Jxdr=ex+—x2=(1-e-1)+2=3-e-1

45.''°t2T

46.

xcos2xdx=-fcos2xdcosx=——cos3x+C

J3

47(ic(>sril)e-(r(gr,W+C

48.

-sin—+C

x

-sin—+C

x

49.>1

50?2#/-,27/f

51.-1/2

52.

x+f~^"2，+，

因為/(：)=limY=tHm(l+*-)2，

-X-tXT8x-t

2r—2f

=zlim[(l+—)2f]2(-lim(l+——

XT8X-t人TEX-t

所以//(r)=c2'+te2fx2=(l+20e2r

53.2(x-l).因為y』3x2-l,y'(l)=2,則切線方程為y=2(x-l).

54.

6

…心o□工.?sin3x2...sinx2.1

解析]因為hm=hm(——)3

*-?oxxx

=lim—1=1(當a=6時)

x-?0X。-6

所以當a=6時，有sirPx2?/(XTO).

55.0.5

2M

[解析]因為g(f(x))=e/

所以金(g(/(x)))=2M

56.★

57.1/5tan5x+C

|sec75jdx=4-1sec25Td5zu'5j-1-J5ec2uc/u=+C="力〃5x+C?

58.

59.?(3⑵

60.D

J[/+ln(1+x)Jdj-=y1e2,d(2x)+ln(14-x)dr

=Je'+*ln(l+/)—/T-y--cLr

/JI+jr

=-l-e24+xln(1+?r)—-—[dz

￡J1+x

=*+.rln(l+/)-1+In(l+z)+C.

61.

f[e'+ln(1+z)]cLr=yjend(2x)+ln(1+x)ir

=Je"+jln(1+])一/r-y—dr

4J1十工

=4-e2j+xln(l+幻—-—一jdx

dJ1+JT

=+xln(1+x)-x+In(1+x)+C.

62.

窗戶的面積/!=//!+§「.

3

/和人滿足26+3/=12，得A=6-方/,代人人則有

人小尹+亨匕

當=6-3/+9』=0,

得/=凈豆.

由于實際問題只有唯一的駐點，可知/=普沁（m）為所求

等式兩邊從。到1積分得

J/(x)dx=J1(1—/)；dr+：［/(x)dx.

即/(j)dj-=2Jz(l—x)*Ar

---------2?(1-/)d/=黑

J6￡1

故/<x)=x(l—J-)14-￡.

63.

等式兩邊從0到1積分得

J/(x)dx=J—J-)dr+/(x)dx.

即j7(j-)dj=2jx(l-J->*<Lr

今一?'2「八—jp

J?41

故/(x)=x(l-/+/.

64.

由所給累次枳分畫出原二重枳分的枳分區(qū)域D的示意圖,如圖所示.據(jù)此將D

視作丫型區(qū)域.即

D={(x.y)I0<y<l./y《工42—y).

因此

/(x.y)dy+|dx|/(x.y)<l>fix,y)Ax.

由所給累次積分畫出原二重枳分的積分區(qū)域。的示意圖,如圖所示.據(jù)此將D

視作Y型區(qū)域.即

D=|0&ya1心41M2—y].

因此

JdjrJ/(x.y)d>4-Jdx|/(x.y)d>f(z.y)dr.

65.

由于當工-0時是無窮小量，且卜in：|<1.故可知1岬工，E*=0.

當”0時?1—e""?3x2,故

I-(1-e-'z?)sin2x3x2?sin2x3sin2x

lim------------：-------------hrm--------；------=hrm------；—=30.

■r—OJTx-M>Xj-0X

(1-e-3/：)sin2x,.1n

所以—P—+工4叫詞

由于當工-?時,下是無窮小址,且卜土|

0in41?故可知limj-*sin--=0.

iox

當/0時?1-e-Sj：?3x2?故

-v222

I.(1—e)sinx「312?smx..3sinxo

hm-----------T---------l--i-m------------：------=lim=—=3.

4-0xx，一。x

所以色一葭'：）"，+工，sin3

設(shè)u=COST,則du=—sinjAr?當工=0時〃=h當JT=與時.u=0

/?原式=-Ju'du

66.

設(shè)“=COST,則du=—simrcLr■當工"0時"=1,當工3s彳時.u=0

：?原式二-J/du=-：|=:.

67.

2arcsin.rd(+*)

，1+JT

=2[，】+j*arcsiiu*+2/】一1]+C.

2arcsin_rd(/i+*)

=2[/I+*/rc4nx+2]+C?

68.畫出平面圖形如圖陰影所示

y尸2*2

入J/i

二z

O12X

①s=j(4x-2/)dx=(2x2■Tx，)IT

②設(shè)過點(與,％)的切線平行于y=4孫則)，'(x,,)=4工。=4,所以%=1.%=2.過此點的切線

方程為

y-2=4(x-l).即4x-v-2=0.

原式=-1-jlnxd.r

=打，"卜i■卜4必

=2ln2—xdx=2ln2—"才'

=2ln2-[?

69.4

原式=3Jud/

=llnx?-1J/-1cIJ-

jS

=2ln2-xdx=21n2—■F:

=2ln2-4-

4

70.

（1）根據(jù)號致的幾何意義.曲線y=在點（1.D處切線的斜率為

y\,_,=2?

曲線y=工’在點U.D處法線的斜率為

*—}?

所以切線方程為y-I=2（x-l）,

即

2x-y-1=0.

則法線方程為y-\=--1-（x-l）,

即

■r+2y—3=0i

<2）設(shè)所求的點為曲線y=/在點（工。.”）處切線的斜率為

yI==2*0.

'，■，<,1?-<?

切線與直線-I平行時,它們的斜率相等，即=4,所以4=2,此時M=4,故在

點M/2.4）處的切線與直線y=4i-l平行.

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.曲線y=/在點（1?D處切線的斜率為

We=2.

曲線y=工,在點（1.1）處法線的斜率為

k=T,

所以切線方程為y-l=2（x-l）,

即

2i-y-1==0?

則法線方程為y—1=一1）?

即

工+2y—3=0>

<2）設(shè)所求的點為MJ*.%）,曲線y=??在點（”“,山）處切線的斜率為

yI=2xj=2*o.

切線與直線y=。一1平行時.它們的斜率相等?即2網(wǎng)=4?所以工。=2?此時泗=4?故在

點MN2.4）處的切線與直線y=4?一1平行.

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做y型.則

jj(x24-yl)dzr=Jdyj(xJ+y2)<Lr

=『*+九）dy=14a2.

首先畫出積分區(qū)域D.把它看做y型.則

<.r*)d<r=|(x:4-y)<Lr

dy=14a2.

72.

y=61r?4-6x—12=6(J'4-T—2)=6(7+2)(工一1).令y'=0,得.n=-2.

xt=1.

列表討論如下:

J,(一8?一2)-2(-2.1)1《1?+8》

y+0—0+

yZZ

由表可知單調(diào)遞增區(qū)間是(-8-2］U(1+8］單調(diào)遞減區(qū)間是［-21］。

y=6r*+6x-12=6(xJ+z-2)=6(1+2)(工-1),令y'=0.得力=-2.

JTj=I.

列表討論如F：

Jt(一劃一2)-2(-2.1)1(1?+8)

y+0—0+

yZ

由表可知，單調(diào)遞增區(qū)間是(心，-2]U(1,+8],單調(diào)遞減區(qū)間是[-2,1]。

73.@S(x)=ABBC=2xy=2x(l-x2)(0<x<l).

令1

②S，(x)=2-6/^==0,得舍去負值).

J3

由于只有唯一駐點，根據(jù)實際問題有最大值,所以當X/時,5份)=竽為最大值.

??,/(x)為可微函數(shù)，方程式兩端對才求導(dǎo)得

|(1-=x*/(x),

兩端再對上求導(dǎo)得

(1-x)/(x)=2x/(x)4-x:/(x).

即=(1-3x)/(j),

上式是可分周變量的微分方程.通解為

74./(/)=Cr%為任意常數(shù)).

,//(T)為可微函數(shù)，方程式兩端時J?求導(dǎo)得

f(1—r)=x*/(x).

兩端再對上求導(dǎo)得

(1—x)/(x)=2x/(x)4-x:/，(x).

即=(1-3x)/<x).

上式是可分禹變量的微分方程.通解為

/(x)=Or%入C為任意常數(shù)).

75.函數(shù)的定義域為(-8,+8).

/,(x)=3?-3=0,W*=41.

列表如下：

I(-?,-1)-1(-1.1)1(1)

/,(?).0-0

z、/U”-4z

為極大值為微小值

函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1),(1,+?))；單調(diào)減區(qū)間為(-L1)0極

大值為f(-D=O,極小值為f(l)=-4.

原式=jln(x+1)dx=1?ln(x+1)|—Jx?—-pydx

=In2-J(1—j)dx

=ln2—(x-ln(I4-x))|

76.~In2—(1In2)=21n2—1.

原式=Jln("-1)dz=z?ln(x+1)|—Ji?—ydx

=In2-Rd-----二)業(yè)

Jox+1

=In2-(x—ln(1+1))]

=In2-(l-ln2)=21112T.

方程兩邊關(guān)于才求導(dǎo)?用

/(x)=2*+nin2r+jr?COS2T?2+y(-sin2x)?2

=21+2*cos2”.

「《工》=2+2cos2x+2x?(-2sin2-r)

=2(1+CO52X)-4xsin2x.

77所以，(：)=2<1+cos^)-4XXsm-2-x.

方程兩邊關(guān)于才求導(dǎo),得

/(J)-2*+sin2x+x?cos2x?2+g—sin2x)?2

=2x+2xcos2x.

/(x)=2+2cos2x+21?《-2sin2u-)

=2(1+cos2x)-4xsin2x.

所以/(：)=2(1+cos-y)—4X-■Xsin--工2-x.

令.I=i4?則clr=d“?當[0,2]時?“￡[—1.1],于是

原式二jf(ar—1)dx

=Jf(u)du

=Jf(u)du+J/(u)dtt

J-i14-eJ#1-bx

78.=E(1+e).

令《rI=“，則Ar=d”.當i￡[0,2]時?“￡[—1?1].于是

原式二j/(x-DcLr

=Jf(u)du

=j/(tt)dw4-J/(u)dw

=￡,備"+1：+業(yè)

=ln(1+e).

在x=a處連續(xù)?于是=M(a).

r??

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.知

lim〃?)1/W=lim'―二=limg(x)=g(a)存在,

一■JT-a1r工-a，一

79.故/(/)在i="處可導(dǎo)且/'(a)—?(a).

內(nèi)（才）在.ra處連續(xù),于是limglz）=g（a）.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.知

|淅這二/包=]im@二"木（"一0=limg(x)=g(a)存在.

故/(x)在i=4處可導(dǎo)且f'(a)—g(a).

80.

令3H=f,即h=宗則Ar='!■由,且當j=—時“=-冬;當工=S，=條則有

口，L￡,44

|sin3x|di=

="1?[[sin/dr—sinfd/

=?[-cos/J|—|■[―cos/11=2.

令3/=，，即1=宗則&r=Jdz,且當X=一吊■時“=—如當/=尊」=學(xué)，則有

J3LL￡,C,

手|sin3x|dr=Isin/|dt

=丸*131yl山

皿山一1

sinrd/

?j?[—cos/]|cosll[=2.

wtf‘re'-1-J：y|.C'一1一”

原式=如二行原式qlim――-----

1?工(丫一1》

二Hm,?["J,.一1

=thm-------7U

…e-1卜xe

i?1

=Iim'.一'一=—.=lim—,=

￡"+2/2i。-re+2。2'

2—(x2—z+1)1

原式=lim

82.x3-Fl13+12,

2-(x2-x+l)2-C1-1+1)1

原式lim

x3+lI3+12,

83.

令，7=，，則2/山.故

dxf

dr=2I￡了=2arctanz+C=Zarctan>/x4-C.

G(1+z)

令/F=，，則z=/?.dr=2tdt.故

....-=[—————dr=2f—^―