2021學(xué)年河南省南陽(yáng)市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（附解析）

2021學(xué)年河南省南陽(yáng)市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.設(shè)全集U=R，集合4={久|x<2},B={X|K<1},則集合(C〃l)UB=()

A.(-co,2)B.[2,+oo)

C.(1,2)D.(-8,1)“2,+oo)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+2i）=|4一3”（其中，為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù).z的虛部為（）

A.-2B.—2iC.1D.i

3.化簡(jiǎn)式子cosl5Ocos45。+s譏15。$譏45。的值是（）

_V3

A.-B.@C.--D.

2222

4.已知。=2。qb=log7r3,c=log21^0()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

5.函數(shù)/(%)=(%2+l)sin2x,(-7T<X<7T)的圖象可能是()

6.已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。，且經(jīng)過點(diǎn)P?）,2）,若點(diǎn)尸到該

拋物線焦點(diǎn)的距離為4,則|0P|等于（）

A.2V2B.2A/3C.4D.2V5

7.已知球面上A,2,C三點(diǎn)，。是球心.如果AB^BC=AC=百,且球的體積為竺正兀，

3

則三棱錐。-ABC的體積為（）

A.1B.V3C.如D.2

2

8.在△ZBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,^sinB+2sinAcosC=0,則cosB

的最小值為()

A.V2B.V3C.如D.四

23

9.記函數(shù)g(久)=e*-廠工+s譏久，若不等式g(2x+a)+。(7-1)>o,對(duì)Vxe

[—1,1]恒成立，則。的取值范圍為()

A.[2,+oo)B.(2,+oo)C.(-2,+oo)D.[-2,+oo)

10.先將函數(shù)/(X)=S出3X(3>0)的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位

長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若方程/(%)=g(x)有實(shí)根，則3的值可以為()

A.|B.1C.2D.4

11.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對(duì)稱的陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽(yáng)魚

太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”.整個(gè)圖形是一個(gè)圓形/+

必=4.其中黑色陰影區(qū)域在y軸右側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓，給出以下命題：

①在太極圖中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率是點(diǎn)

②當(dāng)a=-|時(shí)，直線y=ax+2a與白色部分有公共點(diǎn)；

③黑色陰影部分(包括黑白交界處)中一點(diǎn)(久,y),貝h+y的最大值為應(yīng)+1；

④若點(diǎn)P(0,l),MN為圓/+y2=4過點(diǎn)P的直徑，線段AB是圓/+y2=4所有

過點(diǎn)尸的弦中最短的弦，貝！J(翁一麗)?南的值為12.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①③B.③④C.①③④D.①②④

22

12.已知A,B,C是雙曲線京一色=l(a>0,b>0)上的三個(gè)點(diǎn)，直線經(jīng)過原點(diǎn)O,

AC經(jīng)過右焦點(diǎn)凡若品?前=0，且方=[前，則該雙曲線的離心率為()

A.-B.|C.邈D.巫

2332

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

x+y-2之0

13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件％-y+220,貝！Jz=3%+2y的最小值為.

a<1

14.隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(l?2),已知p(f<0)=03,則P(f<2)=.

第2頁(yè)，共20頁(yè)

15.已知（3/+蓑）5的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

16.已知矩形ABC。中，AB=3,BC=4,沿對(duì)角線AC將三角形ABC折起，使得點(diǎn)

B在平面ACD上的射影在線段上，此時(shí)COSABAD的值是.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）

17.已知數(shù)列｛an｝是一個(gè)等差數(shù)列，且a3=3,a2+a5=7,數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)

的等比數(shù)列，且滿足：瓦=3，仇為=三.

z256

（1）求數(shù)列｛5｝與｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)｛%｝列滿足％=廝刈，其前〃項(xiàng)和為求證：Tn<2.

18.如圖，在四棱錐P-力BCD中，四邊形A8CD是直角梯形，AB1AD,AB//CD,

PCABCD,AB=2AD=2CD=4,PC=2a,E是P8的中點(diǎn).

（I）求證：平面瓦4c1平面PBC-

（□）若二面角P-AC-E的余弦值為手，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知尻（一1,0）,直線/：%=-4,點(diǎn)P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過

點(diǎn)尸做直線/的垂線，垂足為點(diǎn)M,且（2嗝一西?（2麗<+而）=0，點(diǎn)尸的軌

跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)6(1,0)，過尸2且與x軸不重合的直線w與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B則

△a4B的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)直線”

的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.已知函數(shù)/(%)=3%2+(6—a)x—alnxQae2).

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1.時(shí)，證明：對(duì)任意的久>0,/(x)+ex>3x2+5x+2.

21.某單位為患病員工集體篩查新型流感病毒，需要去某醫(yī)院檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)

有k(k&N\k>2)份血液樣本，假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本是否為陽(yáng)

性是相互獨(dú)立的，且據(jù)統(tǒng)計(jì)每份血液樣本是陽(yáng)性的概率為p(0<p<1).下面有以下

兩種檢驗(yàn)方案，方案一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)z次；方案二：混合檢驗(yàn)，將左份

血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則左份血液樣本均為

陰性，若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了確定上份血液中的陽(yáng)性血液樣本，則對(duì)上份血液樣

本再逐一檢驗(yàn).逐份檢驗(yàn)和混合檢驗(yàn)中的每一次檢驗(yàn)費(fèi)用都是a(a>0)元，若左份血

液樣本采用混合檢驗(yàn)方案，則需要額外收取:a元的材料費(fèi)和服務(wù)費(fèi).

(1)若k(k&N*,k>2)份血液樣本采用混合檢驗(yàn)方案，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為X,求

X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)①若k=5,0<p<1-W45,以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期

第4頁(yè)，共20頁(yè)

望為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二的合理性；②若P=1-2，采用方案二

總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望低于方案一的，求女的最大值.

(參考數(shù)據(jù):m2~0.7,ln3?1,1,伍7~1.9,ZnlO?2.3,仇1122.4)

22.若以平面直角坐標(biāo)系尤Oy的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，。尤為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立

極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程是0=鬻.

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

x--X+-

(2)若直線/的參數(shù)方程為聒2為參數(shù))，當(dāng)直線/與曲線C相交

于42兩點(diǎn)，求尚%?

23.己知函數(shù)/■(?=|2x—3|+|2x+l|.

(1)解不等式:f(x)>6；

(2)設(shè)％eR時(shí),/(%)的最小值為M.若正實(shí)數(shù)Z?,c滿足a+b+c=M,求ab+be+

ca的最大值.

第6頁(yè)，共20頁(yè)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：U=R,A={x\x<2},B=(x\x<1},

QuA-{x\x>2],(CuA)U8=(-8,1)u[2,+oo).

故選：D.

進(jìn)行補(bǔ)集和并集的運(yùn)算即可.

本題考查了描述法和區(qū)間的定義，補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由z(l+2i)=|4-3i|=J42+(-3)2=5,

得z=4溪好

???復(fù)數(shù)z的虛部為—2.

故選：A.

先求|4-3i|,再把等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)

題.

3.【答案】B

【解析】解：由兩角差的余弦公式可得

cos15°cos450+sinl5osin45o

=cos(45°-15°)=cos30°=y

故選：B

由兩角差的余弦公式可得原式=cos(45°-15。)，計(jì)算可得.

本題考查兩角差的余弦公式，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：a=2°，5>1,6=log兀36(0,1),c=log2|<0.

a>b>c.

故選：D.

利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：/(—x)=(x2+l)sin(-2x)=—(x2+l)sin2x=—f(%),

則函數(shù)/Q)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A,B,

當(dāng)％=T時(shí),植)=磅2+l]sin(2X》=0.排除C,

故選：D.

先判斷函數(shù)的奇偶性，然后利用當(dāng)x=]時(shí)的函數(shù)值為0進(jìn)行排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)性，利用排除

法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意設(shè)拋物線的方程為/=2py(p>0),

拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-弓，

由拋物線的性質(zhì)可得2+：=4,解得p=4,

所以拋物線的方程為/=8y,

將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得瑤=8x2=16,

所以|OP|=禺+22=V16+4=2V5,

故選：D.

由題意設(shè)拋物線的方程，求出焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可得p的值,

然后求出橫坐標(biāo)，再求出|OP|的值，

本題考查拋物線的性質(zhì)，及兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由4B=BC=4C=W，可得△ABC為正三角形，設(shè)其中心為G,

可得其外接圓的半徑r=3—=1,

2sm60°

再設(shè)球的球心為O,半徑為R,連接OG,

由球的體積為婭大得±兀/?3=空四兀，得氏=花，

333

球心到平面ABC的距離為。G=VR2-r2=V5^1=2，

第8頁(yè)，共20頁(yè)

又SAABC=|XV3XV3X^=乎,

〃1373GV3

?，?^O-ABC=5'丁X2=-p

故選：C.

求出三角形ABC的外接圓的半徑，再由球的體積求得球的半徑，由勾股定理求球心到

平面ABC的距離，則三棱錐。-2BC的體積可求.

本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查球的體積與多面體體積的求法，考查空

間想象能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.【答案】C

【解析】1￥：sinB+2sinAcosC—0,

???由正弦定理及余弦定理得：b+2a-a2+b2-c2=o,可得：a2+2b2-c2=0,

2ab

又cosB=。2+小-廬=四汩=四+￡2空,當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)=白，即￡=舊時(shí)取等號(hào)，

2ac4ac4c4a24c4aa

即cosB的最小值為宜.

2

故選：c.

由已知及正弦定理，余弦定理可得小+2匕2—。2=0,利用余弦定理，基本不等式即可

計(jì)算得解.

本題主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)

算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：函數(shù)g(%)=ex-e~x+sinx,

由g(—%)=e~x—ex+sin(—%)=—(e尤—e~x+sinx)——g(%),可得g(%)為奇函數(shù)，

又g'(%)=e%+e~x+cosx,

由e%+g-x>2、ex?L=2,-1<cosx<1,

可得g'(%)>0，g(%)在H上遞增，

由g(2%+a)+g(x2—1)>0,即g(2%+a)>—g(x2—1),

可得g(2%+a)>-g(%2-1)=g(l-%2),

即為2%+a>1—/在久e[—1,1]恒成立，

也即一a<%2+2%—1在久G[—1,1]恒成立，

由y=x2+2x-1在久e遞增，

可得y=x2+2x-1的值域?yàn)閇—2,2],

則—<2<—2,即a>2,

故選：B.

判斷g（x）—1—ex—e~x+s譏x的奇偶性和單調(diào)性，原不等式化為2x+a>1—久2在

xe[-1,1]恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的值域，可得所求范圍.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，不等式恒成立問題解法，考查轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理

能力，屬于中檔題.

10.【答案】C

【解析】解：先將函數(shù)/（x）=sin3久（3>0）的圖象向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=

sin（3久+詈）的圖象；

再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)以久）=sin（3x+等）+2的圖象，

若方程f（x）=g（x）有實(shí)根，即s譏3%=sin（a）x+詈）+2能成立.

當(dāng)3時(shí)，方程即siW=sinC+9+2,它不會(huì)成立.

當(dāng)3=1時(shí)，方程即s譏％=sin（%+：）+2,它不會(huì)成立.

當(dāng)3=2時(shí)，方程即s譏2久=sin（2x+兀）+2=-s譏2x+2,BPsin2x=1,它能成立；

當(dāng)3=4時(shí)，方程即sin4x=sin（4x+2兀）+2=sin4x+2,它不會(huì)成立；

故選：C.

由題意利用函數(shù)丫=As譏?x+0）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函

數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)y=As譏?x+0）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基

礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】解：對(duì)于①，設(shè)黑色陰影部分的面積為Sb，整圓所面積為S,一由對(duì)稱性知，

1

Sm尹

l

所以隨機(jī)點(diǎn)取自黑色陰影部分的概率為：P==￡c=L所以①對(duì)；

1ss2

對(duì)于②，直線方程為y=—|比—|x2,即3x+2y+6=0,下面求（0,0）到此直距離：

d=展^^回=言>2,直線與圓/+/=4相離，y=ax+2a與白色部分沒有公

第10頁(yè)，共20頁(yè)

共點(diǎn)，

所以②錯(cuò)；

對(duì)于③，設(shè)x+y=k,黑色陰影部分的邊界在第一象限的方程為：/+(y—1)2=1,

圓心(0,1),

由點(diǎn)到直線距離公式得，d=|lxt^2-k|=M<^-V2<fc<l+V2,“=”成

Vl2+12V211

立時(shí)，

即/+(y-1)2=1與直線x+y=k在第一象限相切，此時(shí)X+y取最大值四+1,所

以③對(duì)；

對(duì)于④，由于MN為圓/+V=4過點(diǎn)P的直徑,M、N為與y軸交點(diǎn),M(0,2),N(0,-2),

線段A3是圓/+V=4所有過點(diǎn)尸的弦中最短的弦，則AB是平行于x軸的弦，設(shè)

與y軸交點(diǎn)。點(diǎn)，

\AQ\2=\OA\I-\OQ\2,\AQ\^22-l2=V3-X(-V3,l)>B(V3,1)-

AB=(2V3,0)，AM=(0-(一百),2-1)=(V3,l)-BN=(-V3,-2-1)=(-73,-3),

(IM-RM)-AB=(-V3-V3,-3-1)-(2V3,0)=-12，所以④錯(cuò)；

故選：A.

正確求出概率，會(huì)運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，即可判斷.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了概率的基本概念及直線與圓的位置關(guān)系，屬于基

礎(chǔ)題.

12.【答案】D

【解析】解：取雙曲線的左焦點(diǎn)F',可設(shè)4F=3CF=3t,

由雙曲線的定義可得CT'=2a+33AF'=2a+t,

BFVAC,可得四邊形AFBF'為矩形，

可得AAF'C為直角三角形，

即有AF"+"2=CF'2,

即(2a+t)2+16t2=(2a+3t)2,

解得a=t,

即有AF=a,AF'=3a,FF'=2c,

可得4尸2+2尸，2=FFJ

可得a2+9a2=4c2,

即Ida?=4C2,

故選：D.

取雙曲線的左焦點(diǎn)尸，設(shè)4F=t,CF=3t,由雙曲線的定義可得CF'=2a+33AF'=

2a+t,BFLAC,可得四邊形4FB尸為矩形，運(yùn)用勾股定理求得a=3以及a,c的關(guān)

系式，由離心率公式可得所求值.

本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和勾股定理，考查數(shù)形結(jié)合思

想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】4

%+y—220

【解析】解：由約束條件x-y+220作出可行域如圖中陰影部分所示,

X<1

作出直線3x+2y=0并平移，由圖知當(dāng)直線3x+2y-z=0經(jīng)過點(diǎn)4(0,2)時(shí)，

z=3x+2y取得最小值，即Zmin=3xo+2x2=4.

故答案為：4.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

14.【答案】0.7

【解析】

【分析】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查概率的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題,

隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布得到曲線關(guān)于久=1對(duì)稱，根據(jù)曲線的對(duì)稱性得到小

于0的和大于2的概率是相等的，從而做出大于2的數(shù)據(jù)的概率，根據(jù)概率的性質(zhì)得到

結(jié)果.

【解答】

解：隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布

第12頁(yè)，共20頁(yè)

???曲線關(guān)于X=1對(duì)稱，

???P笆<0)=P笆>2)=0.3,

<2)=1-0,3=0.7,

故答案為0.7.

15.【答案】270

【解析】解：根據(jù)題意，令X=1,可得(3+。)5=32,解得。=一1,

所以(3/+“5即(3/一2)5的展開式的通項(xiàng)公式為小］=砥3/)5-『(一=

(-_1)r35-rcrx10-5r)

令10-5r=0,解得r=2,

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-1)233量=270.

故答案為：270.

令比=1,可得(3+a>=32,從而可求得a值，再求出展開式的通項(xiàng)，令尤的指數(shù)為0,

求出r值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).

本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)，特定項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】|

【解析】解：設(shè)點(diǎn)B在平面AC。上的射影在線段上為“，

則8H1平面ADC,

■.AH1DC,又DC1AD,且ADCiB””,

DC1平面ABD,可得CD1BD,

在Rt△BDC中,由BC=4,CD=3,可得BD=CBC?-CD2=“—32=V7；

設(shè)D”=x,貝iMh=4-x,

???BD2-DH2=AB2-AH2,

即7--=7-(4一%)2,解得％=2,

可得cosNBAD=黑=|.

故答案為：|.

設(shè)點(diǎn)8在平面AC￡)上的射影在線段上為H,由平面AOC,可得4"1DC,又

DCLAD,可得DC1平面ABD,可得CD1BD,然后求解三角形可得設(shè)。H=x,

則4”=4一x,由于B￡)2—=4^2—解得X的值，可得AH的值，即可求解

cos/BAD的值.

本題主要考查了線面垂直的判定和性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想和空間想象能力，屬于中檔

題.

17.【答案】解：⑴解：;｛即｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,￡:4d=7,'｛建J

???an=ar+(ji—l)d=n,

???也｝為等比數(shù)列，匕>0,設(shè)公比為9,則q>0,--?為,仇=母=三，?.?/=尚=瓦9九

Zbo16

nn

Q=l>bn=|.(|)-!=(|),即a”=n,bn=(|)n；

(2)證明：由(1)得％=即篇=71XG)n,

7；=1x|+2x(|)2+3x(》3+…+(n_1)x(I)"-1+nx(|尸①，

???|7；=1x(|)2+2x(|)3+3x(|)4+-+(n-l)x(|)"+nx(|)n+1@,

由①一②得：工/+(|)2+GT+…+(|r-n.(|r+i=-n-(|r+i=

2

l-(n+2).(|r+1,

???此=2-0+2).(|)",；工<2.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛5｝的公差為d,等比數(shù)列｛.｝的公比為q,由題設(shè)條件分別列

出d、q的方程，解出d,q,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；

(2)由(1)求得”,利用錯(cuò)位相減法求得前〃項(xiàng)和加,證明結(jié)論.

本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及錯(cuò)位相減法求和在數(shù)列求和中的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(I)PC1平面ABCD,ACu平面ABCD,/.AC1PC.

AB=4,AD=CD=2,AC=BC-2V2.

???AC2+BC2=AB2,：■ACIBC.

又BCCPC=C,ACPBC.

■：ACu平面EAC,

二平面E4C_L平面PBC.

(口)如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，DA,CD，方分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角

坐標(biāo)系，貝心(0,0,0),4(2,2,0),B(2,-2,0).

設(shè)P(0,0,2a)(a>0),則E(l*T,a),CA=(2,2,0),CP=(0,0,2a),CE=(1,-1,a).

取而=(1,一1,0),則記.市=記?標(biāo)=0，沅為面PAC的法向量.

第14頁(yè)，共20頁(yè)

設(shè)元=(x,y,z)為面EAC的法向量，則元?方=元?方=0，

即=0'取久=a,y=-a,z=-2,則元=(a,-a，—2),

依題意，|cos<m,n>\-=-)===—,則a=2.

11|m|-|n|Va2+23

于是71=(2,-2,—2),PA=(2,2,—4).

設(shè)直線PA與平面E4c所成角為。，

貝Us出”|cos<PA，n>\=篙*=f>

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為四.

3

【解析】(I)證明AC1PC.AC1BC.通過直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂

直的判定定理證明平面E4C1平面PBC.

(E)如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，DA，CD.而分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角

坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及面PAC的法向量.面EAC的法向量，通過二面角P-

AC-E的余弦值為軍,求出直線PA的向量，利用向量的數(shù)量積求解直線PA與平面EAC

3

所成角的正弦值即可.

本題考查平面與平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直線與平面所成角的求法,

考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

19.【答案】解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則M(-4,y),

由&(—1,0),則而=(_1_x,_y),PM=(-4-x,0).

2西一麗=(2-久，-2y)，

2~PF[+~PM=(-6-3x,-2y).

???(2麗-麗?(2所+兩)=0，

4(%+I)2+4y2=(%+4)2,

化簡(jiǎn)得：次+乃=1.

43

???所求曲線C的方程為朽+藝=1.

43

(2)設(shè)4(修,乃)，B(久2，丫2)，不妨令%>o，y2<0,

設(shè)AFiAB的內(nèi)切圓半徑為R,則△648的周長(zhǎng)為4a=8,

1

S^F1AB=-(\AB\+\F±B\+\F2B\)R=4R,

由此可知，當(dāng)△0力B的面積最大時(shí)，△&4B的內(nèi)切圓面積最大，

可設(shè)直線n的方程為％=my+1,

(X=my+1

22

聯(lián)立*2必_i得：(3m+4)y+6my—9=0,

143—

，%%-送牙y，2=幕左，則SAFX4B=1內(nèi)尸2I從一I=

6m912Vm2+l

/(---)2+4x---=----—，

'v3?n2+4y3m2+43m2+4

2

令迎2+1=七，則7Tl2=t-l(t>1),

.$_12t_12

??^FrAB—3t2+1-31+表

4/(t)=3t+i(t>l),貝，⑷=3—。

當(dāng)t>1時(shí)，f(t)>o恒成立，貝行(t)=3t+5在［1,+8)上單調(diào)遞增,

/(t)>/(l)=4,即f(t)的最小值為4.

???SAF1AB<3,即當(dāng)t=l時(shí)，SAFMB的面積最大為3,

此時(shí)，△FMB的內(nèi)切圓的最大半徑為R=:,

所以，ABAB的內(nèi)切圓的面積取得最大值為S=TTR2=工

故直線n的方程為久=1,ABAB的內(nèi)切圓的面積最大值為患.

16

【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)PQ,y),則M(-4,y),求出向量的數(shù)量積的向量，化簡(jiǎn)求解即可得

到軌跡方程.

(2)設(shè)4Q1，%),B(x2,y2),不妨令%>0,y2<0,推出當(dāng)A瓦48的面積最大時(shí),△&AB

(X=my+1

的內(nèi)切圓面積最大，設(shè)直線〃的方程為％=my+1,聯(lián)立，/y2r得：(3—+4)必+

VT+T=1

6my-9=0,利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積的表達(dá)式，令=結(jié)合

基本不等式，轉(zhuǎn)化求解，推出直線”的方程為x=1,AF/B的內(nèi)切圓的面積最大值.

本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算

能力，是難題.

20.【答案】解：(1)由題意知,函數(shù)〃%)的定義域?yàn)?0,+8),

由已知得,(%)=6久+(6_a)_?=6/+(6；a)…=叱?(￡+1),

當(dāng)aW0時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)/1(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)八支)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),

當(dāng)a>0時(shí)，由((久)>0,得x>也由((x)<0,得0<x<a

第16頁(yè)，共20頁(yè)

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(也+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0*),

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),

。>0時(shí)，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(出+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,》；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，不等式/(%)+e*〉3%2+5%+2可變?yōu)閑*—Inx—2>0,

令九(%)=ex—Inx—2,則"(%)=ex—

可知函數(shù)"(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

而"G)=—3<0,九'(1)=e-1>0,

所以方程h'Q)=。在(0,+8)上存在唯一實(shí)根%o，即靖。=

當(dāng)％€(O,%o)時(shí),/iz(x)<0,函數(shù)九(%)單調(diào)遞減,

當(dāng)X6(%0,+8)時(shí)，"(%)>0,函數(shù)九(%)單調(diào)遞增；

所以九(%)瓶譏=/i(x)=e"。一"％o—2=’—In2一2=7~+%—2>0,

0與eu%o0

即e*—Inx—2>0在(0,+8)上恒成立》

所以對(duì)任意x>0,/(x)+ex>3久2+5%+2成立.

【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)問題轉(zhuǎn)化為證明e1—"久一2>0,(%>0),令八(x)=e"—)久一2,(%>0),求出

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思

想，分類討論思想，是一道綜合題.

21.【答案】解：(1)X所以對(duì)任意1和k+1P(X=1)=(1-p)k,

P(X=k+1)=1-(1一「)勺

所以隨機(jī)變量x的分布列為：

X1fc+1

p(1-p)k1-(1-p)fc

所以E(X)=lx(l-p)fc+(/c+l)x[l-(1-p)fc]=k+l-/c(l-p)fe.

(2)①設(shè)方案一總費(fèi)用為Z,方案二總費(fèi)用為匕則丫=。*+：口，

所以方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為：E(Y)=aE(X)+；a=a[/c+l-fc(l-p)k]+；a,

44

又k=5,

所以E(Y)—磯6—5(1—p)']H——5(i(l—p)sH—ct,

~4CL—4

又方案一的總費(fèi)用為Z=5a,

所以Z—E(y)=*[5(1-p)5-3，

4

當(dāng)0<p<1—Vo.45時(shí),^-<(1-p)5<1,0<5(1-P)5

1NU44

又a>0,

所以a15(l—p)5—3]>o,

所以z>E(y),

所以該單位選擇方案二合理.

②)由知方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望E(Y)=aE(X)+-a=a[k+1—fc(l—p)fc]+-a,

當(dāng)P=1一七時(shí)，E(Y)=a[k+l-k(f)k+=a(k+：—kef,

又方案一的總費(fèi)用為Z=afc,

k

令E(Y)<Z得，a(k+三一kef<ak，

k

所以a(/c+；-ke~7)<ak，

k

即ke7>2，

4

k

即In(keU)>ln￡

所以"k---In->0,

74

設(shè)/(%)=InxE[2,+8),

74

所以f'(x)=(一2=黑,xe[2,+oo),

令f'(x)>0,得2<x<7,f'(x)<。得x>7,

所以f(x)在區(qū)間[2,7)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(7,+8)上單調(diào)遞減，

f(x)max=f(7)="7—1—2(ln3—Zn2)=0.1>0,

f(8)=3Zn2———2(仇3—仇2)=5,2—2仇3——=1.3—,>0,

QQQ

7(9)=2仇3一:一2(仇3—仇2)