新課標(biāo)理科高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)(四)

導(dǎo)數(shù)〔四〕1．函數(shù)，，且在點〔1，〕處的切線方程為。〔1〕求的解析式；〔2〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；〔3〕設(shè)函數(shù)，假設(shè)方程有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍?！敬鸢浮俊?〕；〔2〕當(dāng)，那么，無解，即無單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)，那么，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)，那么，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；〔3〕【解析】試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點處的導(dǎo)數(shù)值等于該點處曲線切線的斜率，聯(lián)立方程組求解；(2)求導(dǎo)，利用倒數(shù)分析單調(diào)性，注意一元二次不等式根的情形；〔3〕通過導(dǎo)數(shù)對函數(shù)單調(diào)性分析，結(jié)合圖像分析零點的問題試題解析：〔1〕，由條件，得，即，4分〔2〕由，其定義域為，，令，得〔*〕6分①假設(shè)，那么，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；7分②假設(shè)，〔*〕式等價于，當(dāng)，那么，無解，即無單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)，那么，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)，那么，即的單調(diào)遞增區(qū)間為10分〔3〕當(dāng)時，，，令，得，且當(dāng)，在上有極小值，即最小值為11分當(dāng)時，，，令，得，①假設(shè)，方程不可能有四個解；12分②假設(shè)時，當(dāng)，當(dāng)，在上有極小值，即最小值為，又，的圖象如圖1所示，111111圖1從圖象可以看出方程不可能有四個解14分③假設(shè)時，當(dāng)，當(dāng)，在上有極大值，即最大值為，又，的圖象如圖2所示，111111圖2從圖象可以看出方程假設(shè)有四個解，必須，綜上所述，滿足條件的實數(shù)的取值范圍是16分考點：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值2．設(shè)函數(shù)〔其中〕，，它們在處有相同的切線.〔1〕求函數(shù)，的解析式；〔2〕求函數(shù)在上的最小值；〔3〕判斷函數(shù)零點個數(shù).【答案】〔1〕.〔2〕；〔3〕函數(shù)只有一個零點.【解析】試題分析：(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切點處的導(dǎo)函數(shù)值，得切線斜率，建立的方程組.(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根本步驟明確，此題中由于中的不確定性，應(yīng)該對其取值的不同情況加以討論.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，得到.當(dāng)時，在單調(diào)遞增，得到；即.〔3〕由題意求導(dǎo)得，由,確定的單調(diào)區(qū)間：上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減根據(jù)，得到函數(shù)只有一個零點.13分，即得所求.試題解析：(1)，1分由題意，兩函數(shù)在處有相同的切線.，.3分(2)，由得，由得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.4分當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴.5分當(dāng)時，在單調(diào)遞增，；6分〔3〕由題意求導(dǎo)得，8分由得或，由得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減10分11分12分故函數(shù)只有一個零點.13分考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，函數(shù)的零點.3．，，且直線與曲線相切．〔1〕假設(shè)對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；〔2〕當(dāng)時，求最大的正整數(shù)，使得對〔是自然對數(shù)的底數(shù)〕內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立；〔3〕求證：．【答案】〔1〕〔2〕見解析〔3〕見解析【解析】〔1〕設(shè)點為直線與曲線的切點，那么有．〔*〕，．〔**〕由〔*〕、〔**〕兩式，解得，．……………2分由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．設(shè)，，，當(dāng)時，，那么是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，．…5分因此，實數(shù)的取值范圍是．………6分〔2〕當(dāng)時，，，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．要對內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．，解得．因此，的最大值為．………10分〔3〕證明〔法一〕：當(dāng)時，根據(jù)〔1〕的推導(dǎo)有，時，，即．………11分令，得，化簡得，………………13分．………14分〔法二〕數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，左邊=，右邊=，根據(jù)〔1〕的推導(dǎo)有，時，，即．令，得，即．因此，時不等式成立．………………11分〔另解：，，，即．〕假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，那么當(dāng)時,，要證時命題成立，即證，即證．在不等式中，令，得．時命題也成立．………13分根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對一切成立．…14分此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運算法那么、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識，考查學(xué)生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．4．設(shè)函數(shù)〔其中〕，，它們在處有相同的切線.(1)求函數(shù)，的解析式；(2)求函數(shù)在上的最小值；(3)假設(shè)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2)；〔3〕滿足題意的的取值范圍為.【解析】試題分析：(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切點處的導(dǎo)函數(shù)值，得切線斜率，建立的方程組.(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根本步驟明確，此題中由于中的不確定性，應(yīng)該對其取值的不同情況加以討論.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，得到.當(dāng)時，在單調(diào)遞增，得到；即.〔3〕構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化成.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即得所求.試題解析：(1)，1分由題意，兩函數(shù)在處有相同的切線.，.3分(2)，由得，由得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.4分當(dāng)時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴.5分當(dāng)時，在單調(diào)遞增，；6分〔3〕令，由題意當(dāng)7分∵恒成立，8分，9分，由得；由得∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增10分①當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，，不滿足.11分當(dāng)，即時，由①知，，滿足.12分③當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足.綜上所述，滿足題意的的取值范圍為.13分考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、證明不等式，轉(zhuǎn)化與劃歸思想.5．函數(shù)f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝alnx，a∈R.(1)假設(shè)對任意x∈[1，e]，都有g(shù)(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范圍；(2)設(shè)F(x)＝假設(shè)P是曲線y＝F(x)上異于原點O的任意一點，在曲線y＝F(x)上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．【答案】〔1〕(－∞，－1]〔2〕(－∞，0]【解析】(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x..由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等號不能同時取得，所以lnx＜x，x－lnx＞0.從而a≤恒成立，a≤min.(4分)設(shè)t(x)＝，x∈[1，e]．求導(dǎo)，得t′(x)＝.(6分)x∈[1，e]，x－1≥0，lnx≤1，x＋2－2lnx＞0，從而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上為增函數(shù)．所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范圍是(－∞，－1]．(8分)(2)F(x)＝設(shè)P(t，F(xiàn)(t))為曲線y＝F(x)上的任意一點．假設(shè)曲線y＝F(x)上存在一點Q(－t，F(xiàn)(－t))，使∠POQ為鈍角，那么＜0.(10分)①假設(shè)t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.當(dāng)t＝－1時