江蘇省蘇州蘇州星海中學2023-2024學年高考數學倒計時模擬卷含解析

江蘇省蘇州蘇州星海中學2023-2024學年高考數學倒計時模擬卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．82．已知m為實數，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數，若函數在上有3個零點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設i為虛數單位，若復數，則復數z等于()A． B． C． D．05．近年來，隨著網絡的普及和智能手機的更新換代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調查，各主要用途與對應人數的結果統計如圖所示，現有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數；②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數的.其中正確的個數為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．7．函數的單調遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．8．使得的展開式中含有常數項的最小的n為()A． B． C． D．9．設，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件10．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．12．陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，但陀螺這個名詞，直到明朝劉侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1，粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的表面積為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設全集，集合，，則集合______.14．如圖，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則的最小值為.15．利用等面積法可以推導出在邊長為a的正三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值，類比上述結論，利用等體積法進行推導，在棱長為a的正四面體內任意一點到四個面的距離之和也為定值，則這個定值是______16．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.18．（12分）如圖所示，直角梯形ABCD中，，，，四邊形EDCF為矩形，，平面平面ABCD．(1)求證：平面ABE；(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值．(3)在線段DF上是否存在點P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由．19．（12分）已知橢圓的上頂點為，圓與軸的正半軸交于點，與有且僅有兩個交點且都在軸上，（為坐標原點）.（1）求橢圓的方程；（2）已知點，不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與直線的斜率互為相反數.20．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.21．（12分）P是圓上的動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足．（1）求動點M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A，B，求以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程．22．（10分）已知函數u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函數h（x）的單調區(qū)間；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，且滿足1e（e為自然對數的底數）求x1?x2的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．2、A【解析】

根據直線平行的等價條件，求出m的值，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.3、B【解析】

根據分段函數，分當，，將問題轉化為的零點問題，用數形結合的方法研究.【詳解】當時，，令，在是增函數，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數的取值范圍為綜上可得實數的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了函數的零點問題，還考查了數形結合的思想和轉化問題的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

根據復數除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.【點睛】本題考查復數的代數運算，屬于基礎題.5、C【解析】

根據利用主要聽音樂的人數和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結論.【詳解】使用主要聽音樂的人數為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數為，而調查的總人數為，，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統計中相關命題真假的判斷，計算出相應的頻數與頻率是關鍵，考查數據處理能力，屬于基礎題.6、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.7、D【解析】

利用輔助角公式,化簡函數的解析式,再根據正弦函數的單調性,并采用整體法,可得結果.【詳解】因為，由，解得，即函數的增區(qū)間為，所以當時，增區(qū)間的一個子集為.故選D.【點睛】本題考查了輔助角公式,考查正弦型函數的單調遞增區(qū)間,重點在于把握正弦函數的單調性，同時對于整體法的應用,使問題化繁為簡,難度較易.8、B【解析】二項式展開式的通項公式為，若展開式中有常數項，則，解得，當r取2時，n的最小值為5，故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應用．9、B【解析】

解出兩個不等式的解集，根據充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.10、A【解析】

根據指數型函數所過的定點，確定，再根據條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當且僅當時等號成立，即時取得最小值.故選：A【點睛】本題考查指數型函數的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.11、D【解析】

根據題意，求得的坐標，根據點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結果.【詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標為，則，易知點坐標，將點坐標代入橢圓方程得，所以離心率為，故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據題意求得點的坐標，屬中檔題.12、C【解析】

根據三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成，由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，下面圓錐的母線長為，底面周長為，側面積為，沒被擋住的部分面積為，中間圓柱的側面積為.故表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查三視圖還原為原圖，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【點睛】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎題.14、.【解析】.15、【解析】

計算正四面體的高，并計算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結果.【詳解】作平面，為的重心如圖則，所以設正四面體內任意一點到四個面的距離之和為則故答案為：【點睛】本題考查類比推理的應用，還考查等體積法，考驗理解能力以及計算能力，屬基礎題.16、20.2【解析】

分別求出隨機變量ξ1和ξ2的分布列，根據期望和方差公式計算得解.【詳解】設a，b∈{1，2，1，4，5}，則p（ξ1＝a），其ξ1分布列為：ξ112145PE（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1．D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2．ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分別為：1.4，2.3，4.2，5.6，P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列．ξ21.42.34.25.6PE（ξ2）＝1.42.34.25.62.3．∴E（ξ1）﹣E（ξ2）＝0.2．故答案為：2，0.2．【點睛】此題考查隨機變量及其分布，關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據公式準確計算期望和方差.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）將直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，利用一元二次方程根和系數關系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數方程為（t為參數），轉換為直角坐標方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉換為直角坐標方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數方程為（t為參數），代入圓的直角坐標方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點睛】本題考查參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.18、（I）見解析（II）（III）【解析】試題分析：（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，且，據此有，則平面．（Ⅱ）由題意可得平面的法向量，結合(Ⅰ)的結論可得，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（Ⅲ）設，，則，而平面的法向量，據此可得，解方程有或．據此計算可得．試題解析：（Ⅰ）取為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，∴，，設平面的法向量，∴不妨設，又，∴，∴，又∵平面，∴平面．（Ⅱ）∵，，設平面的法向量，∴不妨設，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．（Ⅲ）設，，∴，∴，又∵平面的法向量，∴，∴，∴或．當時，，∴；當時，，∴．綜上，．19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據條件可得，進而得到，即可得到橢圓方程；（2）設直線的方程為，聯立，分別表示出直線和直線斜率，相加利用根與系數關系即可得到.【詳解】解：（1）圓與有且僅有兩個交點且都在軸上，所以，又，，解得，故橢圓的方程為；（2）設直線的方程為，聯立，整理可得，則，解得，設點，，則，，所以，故直線與直線的斜率互為相反數.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，涉及橢圓的幾何性質，關鍵是求出橢圓的標準方程，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【詳解】(1)因為角為鈍角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因為，且，所以，又，則，所以.21、（1）點M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓（2）【解析】

（1）設，根據可求得，代入圓的方程可得所求軌跡方程；根據軌跡方程可知軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓；（2）設，與橢圓方程聯立，利用求得；利用韋達定理表示出與，根據平行四邊形和向量的坐標運算求得，消去后得到軌跡方程；根據求得的取值范圍，進而得到最終結果.【詳解】（1）設，則由知：點在圓上點的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓（2）設，由題意知的斜率存在設，代入得：則，解得：設，，則四邊形為平行四邊形又∴，消去得：頂點的軌跡方程為【點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題，關鍵是能夠利用已知中所給的等量關系建立起動點橫縱坐標滿足的關系式，進而通過化簡整理得到結果；易錯點是求得軌跡方程后，忽略的取值范圍.22、（1）單調遞增區(qū)間是（0，e），單調遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化簡函數h（x），求導，根據導數和函數的單調性的關系即可求出（2）函數f（x）恰有兩個極值點x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣l