受壓構(gòu)件的穩(wěn)定(結(jié)構(gòu)穩(wěn)定原理)

第2章受壓構(gòu)件的穩(wěn)定

2.1軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定

軸心壓桿就其自身的截面形狀和尺寸而言，有較長(zhǎng)細(xì)的桿，也有較中短的桿,

這可用長(zhǎng)細(xì)比4=/?！眮?lái)表達(dá)。對(duì)于長(zhǎng)細(xì)比大的長(zhǎng)細(xì)壓桿，可以認(rèn)為是在彈性范圍

內(nèi)失穩(wěn)；對(duì)于長(zhǎng)細(xì)比小的中短桿件，則可能是在彈塑性范圍內(nèi)失穩(wěn)。因此，應(yīng)該

分別按彈性范圍和彈塑性范圍來(lái)分析理想軸心壓桿的臨界荷載。

2.1.1理想軸心壓桿的彈性穩(wěn)定

用理想軸心壓桿的歐拉荷載4除以桿件的截面積A,可得軸心壓桿歐拉臨界

應(yīng)力%,=絲=3X=坐，式中i為回轉(zhuǎn)半徑，i由此可計(jì)算出應(yīng)力值

22

A(Z0/z)2VA

為材料比例極限5時(shí)的長(zhǎng)細(xì)比左，并以此作為長(zhǎng)細(xì)桿和中短桿的分界；壓桿的長(zhǎng)

細(xì)比大于乙時(shí)稱為長(zhǎng)細(xì)桿或大柔度桿，長(zhǎng)細(xì)比小于4時(shí)稱為中短桿或小柔度桿。

對(duì)于理想軸心壓桿來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)細(xì)桿是在彈性范圍內(nèi)工作的，所以壓桿的穩(wěn)定分

析為彈性穩(wěn)定問(wèn)題。通過(guò)彈性壓桿的靜力平衡條件,可以建立理想軸心壓桿的平衡

微分方程式，解平衡微分方程則可求得軸心壓桿的臨界荷載。下面來(lái)看幾個(gè)邊界

條件不同的理想軸心壓桿的彈性穩(wěn)定分析。

1)一端固定一端錢(qián)接的壓桿I、

(1)用靜力法求解|p

如圖2—1所示一端固定一端較接的等截面軸心受1g__Q

壓彈性直桿，設(shè)其已處于新的曲線平衡形式，則取任'V

意截面的彎矩為

M^-Py+QQ-x)'T?

式中Q為上端支座反力。由/=-七獷'，壓桿撓曲線x7

的平衡微分方程為：/力-y

EIy"^-Py+Q(l-x)圖2一1一端固定一端較接壓桿

即/+—y=-^-(/-x)(2.1)

EIEI

令42=￡,則有

EI

y"+心y=k2-x)(2.2)

此微分方程的通解為

y-Acoskx+Bsinkx+—(l-x)(2.3)

式中A、B為積分常數(shù)，Q/P也是未知的。已知邊界條件為

當(dāng)x=o時(shí)，＞=0和y=o；

當(dāng)％=/日寸，y=0和y"=0.

將邊界條件代入式(2.3),可得關(guān)于A、B、Q/P的齊次方程組

A+?=0

P

Bk-Q=O(2.4)

P

AcosZ/+3sinZ/=0

對(duì)于新的彎曲平衡形式應(yīng)要求A、B、Q/P不全為零，于是齊次方程組(2.4)

的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即

10I

0k-1=0

cosklsink/0

展開(kāi)并整理得穩(wěn)定方程為

tgkl=kl(2.5)

此穩(wěn)定方程為超越方程，可用試算法并結(jié)合圖解法求解，得4=4.493,故

如果以兩端較接軸心壓桿為標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算長(zhǎng)度，則

4.493?￡7//449327t2ElTV2EI

22222

I%2/4.493-(0.699)/?(0.7/)

(2)用能量法求解

23

設(shè)壓桿的撓曲線函數(shù)為y=tz,x(/-x)+a2x(/-x)

求得結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為

?241223

n=-EZ(4ZV+8/%出+一戶婚)——P(—l5af+—lbaa+—Z7^)(2.6)

2521510x235

由式(1.18)可知，—=0和-=0o將式(2.6)代入并經(jīng)整理可得

拉Z]da2

21

23

(4EI-—lP)a]+(4ZEZ--/P)a2=0

(2.7)

(4￡/__L/2p)^+(^/E/_A/3p)fl2=0

由于4、出不全為零，故方程（2.7）的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即

21

4E/——l-P41EI——13P

1510_n

1243-

4E/一一l-P-IEI-—PP

10535

展開(kāi)并整理得

尸―128.P+224(X*)2=o(2.8)

20.92E/

解此方程取最小根，可得臨界荷載為:匕=2

與精確解Pcr=2°」*相比較，大3.6%。

2）兩端固定的壓桿

如圖2—2所示兩端固定等截面軸心受壓彈性直

桿，設(shè)其已處于新的曲線平衡形式，壓桿撓曲線的平

衡微分方程為

EIy"+Py=M()(2.9)

式中為失穩(wěn)變形后壓桿固定端處產(chǎn)生的彎矩，是

未知數(shù)。

22

令左2=f,則y"+ky=k^-(2.10)

-P

方程式(2.10)的通解為：y=AsinZ:x+Bcoskx+-^-

x=0,y=y'=0

根據(jù)邊界條件

x=/,y=y'=0

可得B+”

A%=0

M

AsinZ/+Bcoskl+―-=0

P

同樣應(yīng)要求A、B、不全為零，于是上面齊次方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零,

即

011

k00=0

sinklcoskl1

可得穩(wěn)定方程cos%/=1(2.11)

解此超越方程可得k=2兀/I

則臨界荷載p”型L

位移函數(shù)為y=%(i_cos2竺)

EII

換算為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算長(zhǎng)度，臨界荷載為匕,=互巴

(0.5/)2

3)一端固定一端自由的壓桿

如圖2—3所示一端固定一端自由等截面軸心受壓

彈性直桿，設(shè)其已處于新的曲線平衡形式，壓桿撓曲

線的平衡微分方程為圖2—3一端固定一端自由壓桿

Ely"+Py=P§(2.12)

式中日為失穩(wěn)變形后壓桿自由端處產(chǎn)生的位移，是未知數(shù)。

P

令％2=工，則y"+k2y=k23(2.13)

EI

方程式(2.13)的通解為

y=Asinkx+3cosZx+S

根據(jù)邊界條件x=0yV—:M=0

x=l,y=o

可得B+5=O,6=—3

Ak^O,A=O

AsinA7+6cosA7+3=3,Bcoskl=0,B0

則穩(wěn)定方程為cos%/=0(2.14)

解此超越方程可得kl=兀/2

則臨界荷載

位移函數(shù)為y=6(1-cos多

換算為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算長(zhǎng)度，臨界荷載為p/2EI

“(2/)2

由上面的討論可知，在理想軸心壓桿的彈性穩(wěn)定問(wèn)題中，盡管邊界條件不同,

但臨界荷載均可表達(dá)為

兀2El7T2EI

(2.15)

F0(⑷2

式中稱為軸心壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度。/為壓桿的構(gòu)造長(zhǎng)度；〃為壓桿的長(zhǎng)度系

數(shù)，與壓桿的邊界條件有關(guān)。各種端支承條件下，彈性軸心受壓桿件的長(zhǎng)度系數(shù)〃

見(jiàn)表2—1。

計(jì)算長(zhǎng)度/o的幾何意義是：軸心壓桿失穩(wěn)后，撓度曲線上的兩個(gè)相鄰反彎點(diǎn)之

間的距離。其物理意義為：各種端支承下的軸心壓桿，其臨界荷載與一兩端錢(qián)接

支承的軸心壓桿的臨界荷載相等時(shí)，兩端較接軸心壓桿的長(zhǎng)度。

如前所述，在臨界狀態(tài)下彈性軸心壓桿橫截面上的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力，用?！?/p>

表示，即(2.16)

式中：A—長(zhǎng)細(xì)比，2=/0/z；i—回轉(zhuǎn)半徑，z=V777o

理想軸心壓桿的臨界荷載P/稱為歐拉荷載，其應(yīng)力也稱為歐拉應(yīng)力b"歐拉

應(yīng)力的計(jì)算公式（2.16）,只有在桿件的材料為線彈性時(shí)才適用。設(shè)材料的比例極

限為巴,，則式（2.16）的適用范圍是

當(dāng)軸心壓桿的長(zhǎng)細(xì)比九24時(shí)，稱為長(zhǎng)細(xì)桿，只有長(zhǎng)細(xì)壓桿才能應(yīng)用歐拉公式。

如軸心壓桿采用Q235鋼，則其E和%,的平均值可分別取為E=2.06XlO'MPa和巴,

=200MPa,此時(shí)4=100o

4）任意端支承條件下的穩(wěn)定微分方程

從以上討論可知，軸心受壓桿件的臨界荷載與壓桿兩端的支承條件有關(guān)。對(duì)

于任意邊界條件，也可采用下列方法建立穩(wěn)定微分方程。

如圖2—5所示兩端較接軸心壓桿，桿件的位移有：截面形心的縱向和水平方

向的線位移，及截面的角位移。假設(shè)只考慮水平位移y和截面轉(zhuǎn)角0；微段的變

形中只考慮彎曲變形，則

(2.23)

dxdx

Q+dQ

取微段/如圖2—5b),由于在失穩(wěn)時(shí)荷載P的方向保持不變，因此微段〃，的

截面上剪力和軸力的合力應(yīng)等于P,并沿豎直方向作用。

截面上的軸力N=PcoseXP,N+dN=Pcos(6+d6)aP,故可知軸力的增

量初=0；對(duì)于剪力來(lái)說(shuō)，Q=Psine*Pe,Q+dQ^Psin(0+dd)?P{0+d0),

考慮幾何關(guān)系式(2.23),于是有

dQ=PdO=Pd^~y(2.24)

dx-

因?yàn)椤?也，1。=婦3(2.25)

dxdx~

故可得雪=P”(2.26)

dx~dx

考慮到物理關(guān)系知=-￡勿"，代入式(2.26),得到軸心壓桿任意端支承條件

下的穩(wěn)定微分方程

《(E/R+P雪=0(2.27)

dx2dx2dx2

p

當(dāng)軸心壓桿為等截面時(shí)，其抗彎剛度EI為常數(shù)，可提到括號(hào)外，令心=二,

E1

方程(2.27)可寫(xiě)成夕+左2雪=o(2.28)

dxdx

方程(2.28)是一個(gè)常系數(shù)四階線性齊次微分方程，方程的通解是

y=GsinZx+C2coskx+C3x+C4(2.29)

式中的積分常數(shù)可由兩端支承的邊界條件確定。

常用的桿端支承邊界條件有：

(1)簡(jiǎn)支端時(shí)，丁=0和〈=0；

(2)固定端時(shí)，＞=0和；/=0；

(3)自由端時(shí)，y"=0和y”+/y，=o；

根據(jù)軸心壓桿的上下端支承情況，可得四個(gè)邊界條件，將其代入式(2.29)

可建立四個(gè)線性齊次方程，并組成一個(gè)方程組，用矩陣表示為

“120'

%3。14

0

。23424>或[A]{C}={0}(2.30)

a0

32。33。34

為2〃43“440

式(2.30)中的系數(shù)矩陣［A］是一個(gè)四階方陣，其元素均隨邊界條件而定。為

了得到式(2.30)中積分常數(shù)G的非零解，就要求系數(shù)矩陣［不相應(yīng)的行列式等于

零，即

網(wǎng)=0(2.31)

方程(2.31)是一個(gè)以k為唯一未知量的特征方程或穩(wěn)定方程，解此超越方

程從而可得心值。在無(wú)限個(gè)分根中取最小根，利用式k2=P/EI即可求的軸心壓

桿的臨界荷載巴,。把片的最小根代入式(2.29)中，可以得到軸心壓桿的彈性撓

曲線方程，式中的積分常數(shù)G則由線性齊次方程式(2.30)解出。

由此可知，求解理想軸心壓桿的臨界荷載，在數(shù)學(xué)上是一個(gè)求解特征值的問(wèn)

題，滿足網(wǎng)=0的k值稱為特征值；與k值相應(yīng)的撓曲線函數(shù)y(x)稱作特征向量或

特征函數(shù)。需注意的是：軸心壓桿的彈性撓曲線方程只能給出撓曲線的形狀，而

不能決定其變形的幅度。

具體解題時(shí)，可以從確定邊界條件開(kāi)始，利用式(2.29)和式(2.31)求解,

無(wú)需每次都要先建立微分方程，然后求解。下面利用任意端支承條件軸心壓桿穩(wěn)

定微分方程，求解一端固定一端較接軸心壓桿的臨界荷載。

如圖2—1中所示，一端固定一端錢(qián)接軸心壓桿兩端的邊界條件分別為

當(dāng)％=0時(shí)，y=0和y'=0；

當(dāng)工=/時(shí)，y=0和y"=0°

將邊界條件代入式(2.29)可得

C2+C4=0

kCx+C3=0

C)sink/+C2cosk/+/。3+C4=0

Gsink/+C2cosA/=0

利用第i、2式消去第三式中的c：，、a可得

(sinkl-kl)C]+(cos/r/-l)C2=0

和sinkg+cosHQ=0

因?yàn)閏、c2,c3>a有非零解，由上列兩式的系數(shù)行列式等于零，可得穩(wěn)定方程

tgkl=kl

解此方程，求得kl的最小值kl=4.493

由此求得軸心壓桿的臨界荷載

20.19E/?！鉋I

PC.=HE1=

-(0.7/)2

2.1.2理想軸心壓桿的非彈性失穩(wěn)

1)非彈性失穩(wěn)問(wèn)題

由于假定軸心受壓桿件的材料服從虎克定律，因此，要求壓桿的臨界應(yīng)力低

于材料的比例極限o從歐拉應(yīng)力公式名,.=病￡/匯可知，它僅適用于巴，〈巴，的

長(zhǎng)細(xì)壓桿，因?yàn)樵陂L(zhǎng)細(xì)壓桿材料的彈性模量E是常量。而臨界應(yīng)力在比例極限％與

屈服極限％之間的中短壓桿，它們的彈性模量應(yīng)該是E,,且不是常量，此時(shí)必須

考慮材料的非彈性性能。

對(duì)于短柱，即X特別小的軸心壓桿，其與臨界應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的值必然是屈服極限

%。而中短軸心壓桿的臨界應(yīng)力處在比例極限生，到屈服極限明的范圍內(nèi)，所以中

短壓桿的穩(wěn)定分析屬非彈性穩(wěn)定問(wèn)題。

2）切線模量理論

假設(shè)理想軸心壓桿失穩(wěn)時(shí)為小變形，

仍用y"代表曲率，且壓桿橫截面變形后仍

為平面。隨著軸向荷載的增加，如圖2—6

所示，當(dāng)壓桿中應(yīng)力達(dá)到冬以后，應(yīng)力一

應(yīng)變曲線將不是直線，其斜率為變量，記

作歐=3。E,稱為切線模量，其值隨著

ds

應(yīng)力的變化而變化，已經(jīng)不再是常量。圖2—6切線模量理論

切線模量理論就是假定當(dāng)軸心壓桿的臨界應(yīng)力q,超過(guò)了巴，時(shí)，其彈性模量E

應(yīng)以相應(yīng)于該的切線模量E,來(lái)代替。于是，壓桿截面上的內(nèi)力矩應(yīng)用-耳代

替-E",從而導(dǎo)出非彈性狀態(tài)的臨界荷載，如在兩端較接的軸心壓桿中

(2.32)

由于式（2.32）中E,是一個(gè)變量，具體應(yīng)用時(shí)應(yīng)把式（8.32）寫(xiě)成

P-EJ

(2.33)

A22

并據(jù)此畫(huà)出曲線。必須注意，繪制?！保?-/1曲線時(shí)，由于要利用材料的

應(yīng)力一應(yīng)變曲線來(lái)確定日,因此，所得曲線只能適用于某一種特定的材料。

在軸心壓桿中直接應(yīng)用切線模量公式是困難的，因此，常用熟知的拋物線公

式來(lái)模擬說(shuō)明切線模量理論。設(shè)拋物線有下列形狀

acr=a-b^（2.34）

式（2.34）中。和b是常數(shù)，由軸心壓桿的實(shí)際條件確定。顯然當(dāng)；1=0時(shí)，％,=q；

時(shí)，于是可以確定常數(shù)。和b?？紤]到。=兀管2E，則式（2.34）為

這就是軸心壓桿非彈性失穩(wěn)的拋物線公式，只要知道材料的E、％和q即可得到

非彈性階段的柱子曲線。

3）雙模量理論（折算模量理論）

雙模量理論認(rèn)為當(dāng)軸心受壓桿件彎

曲失穩(wěn)時(shí)，壓桿外凸一側(cè)纖維的應(yīng)力是

降低的，相當(dāng)于卸載，故彈性模量應(yīng)取

E,如圖27所示；而在壓桿內(nèi)凹一側(cè)纖

維的應(yīng)力是增加的，此時(shí)彈性模量應(yīng)是

Evo由于E和E,是不相等的，所以壓桿

截面的中性軸將不與形心軸相重合，這

與軸心壓桿彈性失穩(wěn)和切線模量理論的

結(jié)論不同。圖2—7雙模量理論

折算模量的表達(dá)式如下

人

E_EI\+E(2.36)

式中：I一為整個(gè)壓桿截面對(duì)形心軸的慣性矩；L和L分別為壓桿中性軸以右和以

左的截面對(duì)中性軸的慣性矩。

在折算模量E,中包含了E和E”這樣臨界荷載為

2

7TErl

P,2

臨界應(yīng)力為

（4）=竽

這個(gè)理論就稱為雙模量理論。E,.的大小不僅與壓桿材料的應(yīng)力一應(yīng)變曲線有

關(guān)，還與壓桿的截面形狀有關(guān)。

對(duì)于矩形截面折算模量為E一4附

’（在+厄丫

對(duì)于理想工字形截面折算模量為

由于E>E,>E,,故區(qū)>匕>夕。雙模量理論曾一度被認(rèn)為更為完善，但實(shí)

驗(yàn)證明切線模量理論所得臨界荷載P,更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果；“香雷理論”也證明了后者

的可靠性。

2.2初始缺陷對(duì)臨界荷載的影響

工程實(shí)際中的壓桿，總存在著初彎曲、初偏心或殘余應(yīng)力等初始缺陷，因而

理想軸心受壓桿件在工程實(shí)際中是不存在的。

2.2.1初彎曲的影響

如圖2—8所示，兩端較接壓桿的形心軸在加載之前就已經(jīng)彎曲，假設(shè)其初

彎曲的形狀為

X)"s.i.nh71X

若加教后附加撓度為y,則荷載產(chǎn)生的彎曲應(yīng)

變應(yīng)由曲率y"變化引起，而不是由總曲率+

引起。由靜力平衡條件，x截面處的內(nèi)力矩等于外

力矩，得

-EIy"=P(y+yo)

由%=/oSin9和抬=5，則

IEI

22

y"+ky^-kf^m—(2.37)

方程(2.37)的齊次通解為

yc=Asinkx+Bco&kx(2.38)圖2—8初彎曲軸壓桿

特解為=Csin—+￡)cos—(2.39)

將式(2.39)代入式(2.37),合并同類(lèi)項(xiàng)，可得

-2~|r2~|

222

C(k-^-)+kf0siny+D(kcos亍=0

對(duì)于一切x值，僅當(dāng)正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)前的系數(shù)都為零時(shí)，上式才能滿足。因此

D=0或左2=72〃2

和C=fo=fo=_f^_=

(-)2-l土—1--11-7

kipn

式中〃=P/七,PE為歐拉荷載。如果取左2=萬(wàn)2〃2,則y的解將局限為

P“=dEll,不是所要研究的，因此必須D=0,由此可得

4.1jnfo?

y=y+y=AsinZx+Bncoskx-\-——sin—(2.40)

1-7I

A和B由邊界條件確定。

當(dāng)x=0時(shí)，y=0,可得B=0；

當(dāng)》=/時(shí)，y=O,可得AsinZ/=O,應(yīng)取A=0o

〃上.我

則y=W/oSin7(2.41)

壓桿總的撓度為

“71、c.71X1.71X

…=(1+虧)"7=虧r舊7

從而壓桿中點(diǎn)（x=//2處）的總撓度為

八匕/。=4(2.42)

1一尸/外

上式表明了荷載P與位移S之間的關(guān)系。圖2—9是表示這種關(guān)系的P—b曲線,

從圖2—9中可以看到初彎曲降低了軸心壓桿的承

載力。

初彎曲軸壓桿的特性是：一旦施加荷載，壓桿

即產(chǎn)生彎曲，在P—5曲線圖中，曲線的起始點(diǎn)不

在原點(diǎn)。初彎曲越大，壓桿中點(diǎn)的撓度S也越大,

承載能力的降低也越顯著。由于材料不是無(wú)限彈性

的，圖中曲線只在3<//10時(shí)才有效，而且有初彎

曲的軸壓桿的承載力總是小于歐拉應(yīng)力R。圖2—9初彎曲P—S曲線

2.2.2初偏心的影響

現(xiàn)在討論具有初始偏心的兩端錢(qián)接壓桿，如圖2—10所示，在壓桿任意截面

處，使抵抗力矩-E/y"和相應(yīng)的外力矩Py相等，可得

-Ely"=Py

令火之則y"+k2y=O(2.43)

EI

其通解為y=AsinBcosloc(2.44)

由壓桿邊界條件：》=干//2時(shí)，y=e0

可得A=0,B=0

cos/://2

故y------coskx=esec—coskx

-cosH/2n°2

在壓桿中點(diǎn)x=0處

kl產(chǎn)廠、

Wax=e°secy=%sec(^l—)

由上式可得壓桿中點(diǎn)的最大撓度為

…卜嗎6T(2.45)

圖2—10初偏心軸壓桿

上式表明了荷載P與位移5之間的關(guān)系。

圖2—11是表示這種關(guān)系的P—3曲線，從圖

2-11中可以看到初偏心降低了軸心壓桿的

承載力。這與初彎曲情況相近，圖中曲線②的

初偏心00大于曲線①的初偏心0

圖2—11初偏心P—6曲線

2.2.3殘余應(yīng)力的影響

鋼質(zhì)桿件在制造和加工過(guò)程中，由于局部的塑性變形、不均勻冷卻和冷加工

等的影響，在未受到荷載作用之前，桿件截面上已殘留有自相平衡的應(yīng)力，這種

應(yīng)力稱為殘余應(yīng)力。r。殘余應(yīng)力可以通過(guò)實(shí)際測(cè)量獲得，熱軋型鋼中殘余應(yīng)力的

分布主要取決于截面的幾何形狀和各部分尺寸的比例。圖2—12示出了工字形截

面翼緣的殘余應(yīng)力。

殘余應(yīng)力的存在對(duì)壓桿的臨界荷載有影響，當(dāng)壓桿失穩(wěn)時(shí)的平均應(yīng)力

P/A=cr小于有效比例極限與，時(shí)，壓桿為彈性狀態(tài)，其臨界應(yīng)力與無(wú)殘余應(yīng)力時(shí)

的相同。而當(dāng)平均應(yīng)力。大于有效比例極限與，時(shí)，壓桿截面將出現(xiàn)塑性區(qū)，此時(shí)

壓桿能抵抗彎曲變形的只是桿件截面彈性區(qū)的材料。以圖2-12中工字形截面壓

圖2—12工字形截面翼緣的殘余應(yīng)力

桿為例，由于翼緣出現(xiàn)了塑性區(qū)，截面的有效慣性矩將只是截面彈性區(qū)的慣性矩

Ie,此時(shí)壓桿的臨界荷載為

(2.46)

臨界應(yīng)力為(2.47)

式中：4//一為壓桿臨界荷載的折減系數(shù)，

下面討論工字形截面軸壓桿件殘余應(yīng)力對(duì)壓桿臨界荷載的影響，首先計(jì)算折

減系數(shù)。當(dāng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，假設(shè)壓桿

Ie_2"比2/2_2_

繞強(qiáng)軸(X軸)彎曲時(shí)7-2hth2/2~~\~T(2.48)

繞弱軸(y軸)彎曲時(shí)42^71243

==3=r(2.49)

/2b3t"2A

式中：A一為壓桿截面積；A,一為壓桿彈性部分的截面積。于是壓桿的臨界應(yīng)力為

繞強(qiáng)軸彎曲時(shí)

前=空「3

繞弱軸彎曲時(shí)

由于z<l,上面計(jì)算表明當(dāng)軸壓桿件發(fā)生繞弱軸彎曲失穩(wěn)時(shí)，殘余應(yīng)力對(duì)壓

桿臨界應(yīng)力的影響更大。工是名,.的函數(shù)，T與b”之間的關(guān)系為

區(qū)(1—'

(2.50)

5

將式(8.50)代入式(8.48)和式(8.49),則

2

繞強(qiáng)軸彎曲時(shí)-詈)(2.51a)

3

2

繞弱軸彎曲時(shí)專子)(2.51b)

根據(jù)式(2.51)即可用試算法確定計(jì)入殘余應(yīng)力影響時(shí)軸壓桿的臨界應(yīng)力。

通過(guò)上面的分析可知，殘余應(yīng)力將降低壓桿的剛度，其原因是由于殘余應(yīng)力

的存在，壓桿的部分翼緣提前屈服，使壓桿截面只有彈性部分能夠繼續(xù)承載。殘

余應(yīng)力也將降低承載力，壓桿的承載力降低多少取決于/?//比值的大小。殘余應(yīng)

力的影響與桿件的截面形狀、彈塑性區(qū)各部尺寸的比值、殘余應(yīng)力模式及峰值、

失穩(wěn)的方向等有關(guān)，長(zhǎng)細(xì)比較小的鋼質(zhì)壓桿應(yīng)該考慮殘余應(yīng)力的影響。

2.3軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)

上面所討論的都是軸心壓桿的彎曲失穩(wěn)問(wèn)題，即當(dāng)軸心壓桿失穩(wěn)后只出現(xiàn)彎

曲變形。一般對(duì)于雙軸對(duì)稱界面的軸心壓桿，失穩(wěn)時(shí)可能繞截面的兩個(gè)對(duì)稱軸發(fā)

生彎曲屈曲，但是有些抗扭剛度和抗翹曲剛度較弱的軸心壓桿，除了有可能發(fā)生

繞對(duì)稱軸x或y的彎曲失穩(wěn)外，還有可能發(fā)生繞截面縱軸z轉(zhuǎn)動(dòng)的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。

對(duì)于單軸對(duì)稱截面的軸心壓桿，除了可能發(fā)生繞截面的非對(duì)稱軸x發(fā)生彎曲

失穩(wěn)外，還可能在繞截面的對(duì)稱軸y彎曲的同時(shí)，又繞通過(guò)截面剪心s的縱軸扭

轉(zhuǎn)而發(fā)生彎扭失穩(wěn)。對(duì)于截面不具有對(duì)稱軸的軸心壓桿，因?yàn)榻孛娴男涡暮图粜?/p>

不重合，則只可能發(fā)生彎扭失穩(wěn)。因此，在分析軸心壓桿的穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，除了要

研究其彎曲失穩(wěn)之外，還必須考慮壓桿有無(wú)發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)和彎扭失穩(wěn)的可能性。

2.3.1截面的剪力中心

截面的形心c與剪心s是桿件截面上

的兩個(gè)點(diǎn)。剪心即剪力中心，它是內(nèi)力剪三卷3

I

力在截面上通過(guò)的點(diǎn)，即主扇性極點(diǎn)。一-1二

剪心的位置與截面的對(duì)稱軸有關(guān)，截

面有對(duì)稱軸時(shí)，剪切內(nèi)力通過(guò)對(duì)稱軸，因

此截面的剪心必然在對(duì)稱軸上。雙軸對(duì)稱圖2-12

截面的桿件，剪心在兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)上，并與形心重合。單軸對(duì)稱截面的桿件,

剪心在對(duì)稱軸上，但具體的坐標(biāo)需另外求得。對(duì)于有幾個(gè)狹長(zhǎng)的矩形截面組成，

而且其中心線交于一點(diǎn)的截面，如角形、T形和十字形截面，其剪力中心必通過(guò)此

交點(diǎn)。軸心壓桿截面剪心的位置如圖2—12所示。

根據(jù)剪力流理論，桿件截面的剪應(yīng)力公式為

(2.47)

式中：Q一截面剪力；L—截面對(duì)彎曲主軸

的慣性矩;出-所求剪力處的截面凈矩;

(a)(b)

t-所求剪力處的構(gòu)件壁厚，在翼緣中用t,在腹板中用t,。

現(xiàn)在以槽形截面為例，如圖2—13所示，計(jì)算確定剪力中心S在x軸上的位

置。首先從自由邊計(jì)算，任一距自由邊距離r的截面處的剪應(yīng)力為

7=a=2.2圖2—13

IxtIx2

r*,Qht,Qth2h

P=rtdr---------rdr=------------

JoIx2J。4/v

⑵48）

再計(jì)算腹板中的剪應(yīng)力，可得腹板中剪應(yīng)力的合力就是Q。由截面上力矩平衡

可得

Ph=Qax

將截面對(duì)x軸的慣性矩=2+24!代入式（2.48）,并由/=P〃/Q可得

3必2

%

twh+6th

因此可知，槽形截面的剪力中心S在腹板外側(cè)距腹板中心線處處。

剪力中心具有以下性質(zhì)：

（1）如果壓桿彎曲時(shí)的外力剪力不通過(guò)截面的剪心，則壓桿在彎曲的同時(shí)還

伴隨著產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)；

（2）截面的扭轉(zhuǎn)是繞剪心S發(fā)生而不是繞形心C發(fā)生。

2.3.2自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)

1）自由扭轉(zhuǎn)構(gòu)件變形時(shí)截面翹曲可以自由產(chǎn)生，而又不受任何約束的扭

轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)不產(chǎn)生正應(yīng)力，只產(chǎn)生剪應(yīng)變和剪應(yīng)力。

利用彈性力學(xué)中已導(dǎo)出的自由扭矩加人與扭率，之間的關(guān)系式，可知

MLGIk孚=GIk（P'

az

(2.49)

式中：G—材料的剪切彈性模量；(p—截面的扭轉(zhuǎn)角；人一抗扭慣性矩。

在式(2.49)中的G/,稱為截面的自由扭轉(zhuǎn)剛度。對(duì)于高度為b,厚度為t的

狹長(zhǎng)矩形截面的抗扭慣性矩，可近似地取為

I=—bt3

k*3

對(duì)于有幾個(gè)狹長(zhǎng)矩形截面板件組成的開(kāi)口薄壁構(gòu)件截面，如角形、T形、槽形

和工字形等截面，構(gòu)件總的抗扭剛度可近似地取各板件抗扭剛度之和，即

4=范33

i=]J/=1

式中：。，和，，分別表示第i塊板件的高度和厚度，而n表示組成截面的板件的序號(hào)。

自由扭轉(zhuǎn)使構(gòu)件截面只產(chǎn)生剪應(yīng)力，它在截面的厚度范圍內(nèi)形成封閉的剪力

流。此剪力流的方向與壁厚的中心線平行，而且大小相等，方向相反，成對(duì)地形

成扭矩。剪應(yīng)力在壁厚中心線處為零，在壁厚的外表面最大，沿壁厚按線性變化,

板件的最大剪應(yīng)力為T(mén)k=Mkt/k

2)約束扭轉(zhuǎn)

非圓截面構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)，由于截面受

到約束而不能自由翹曲時(shí)稱為約束扭

轉(zhuǎn)。槽形和工字形等開(kāi)口薄壁截面桿

件，作為壓桿僅受縱向荷載作用時(shí)，失

穩(wěn)時(shí)可能出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)變形，由于約束扭轉(zhuǎn)

桿件中翹曲受到約束，從而產(chǎn)生翹曲扭

矩，翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力。

現(xiàn)以工字形截面構(gòu)件來(lái)說(shuō)明約束圖2-14

扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力，如圖2-14所示，截面上的內(nèi)力必須和外力相平衡，而構(gòu)件上的外

力只有扭矩。把由約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪力。/所組成的扭矩稱為翹曲扭矩，

=Qfh,則內(nèi)力扭矩為M:=Mk+M(0,即

m

M:=GIx(p'-EIm(p

(2.50)

式中：It~為截面的翹曲慣性矩，或扇性慣性矩。

式(2.50)就是約束扭轉(zhuǎn)平衡微分方程。解此方程可求得扭角夕及其對(duì)z的導(dǎo)

數(shù)('、"和",分別代入式(2.49)和式(2.50),即可求得內(nèi)力矩丁人和”3,

進(jìn)而可求出翹曲正應(yīng)力名,和翹曲剪應(yīng)力九。

3)截面扇形幾何特性

在扇性坐標(biāo)系中有：扇性坐標(biāo)G=

扇性靜距創(chuàng)公

扇性慣性積&=￡'coytds\1^,=￡'coxtds

扇性慣性距〃=不儲(chǔ)以s=\a)2dA

式中：CO—為截面上各點(diǎn)的扇性坐標(biāo)；Si是截面中心線的總長(zhǎng)，t是截面的厚度。

對(duì)于不同形狀的截面有不同的翹曲慣性矩，如

J=b3112t=、仔

工字形截面01244/(，

/_b3h2t2ht+3bt

槽形截面w

°-126bt+htw

而由兩個(gè)狹長(zhǎng)矩形相交組成的角形、T形和十字形等截面，/°=0。

4)雙力矩紇

約束扭轉(zhuǎn)的構(gòu)件，上下翼緣的彎矩大小相同，但方向相反，形成一種雙力

矩紇,，B“=一時(shí)，。雙力矩也可以視為以主扇性坐標(biāo)。為力臂所組成的力矩，

B,=[cr.-cotdso

“Jo?

m

翹曲扭轉(zhuǎn)力矩與雙力矩Bl0有如下關(guān)系：M(a=dBm/dz=-EIa(po

2.3.3軸心壓桿的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)

扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)是指軸心壓桿失穩(wěn)后，壓桿的

軸線仍是直線，但是桿件發(fā)生了扭轉(zhuǎn)變形。

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的軸心壓桿，桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)全截

面形成的非均勻扭矩為

\p2dA(p'(2.51)

受力纖維因扭轉(zhuǎn)而傾斜時(shí)，諸分力繞截

面的剪心而形成的扭矩稱為華格納效應(yīng)，

-fp2dA則稱為華格納效應(yīng)系數(shù)。

AJA

對(duì)于雙軸對(duì)稱截面

=+/v圖2-15

而￥=&+/、,)“，是截面對(duì)剪心的極回轉(zhuǎn)半徑。式(2.51)可寫(xiě)為

%=Pi押

(2.52)

由式(2.50)約束扭轉(zhuǎn)平衡微分方程“2=G/"'-?3?！笨傻?/p>

E/"+(*G/.)d=O

(2.53)

令％2=(Pi：—G4)/E/0,則式(2.53)可寫(xiě)作

(p"'+k2(p'=O

(2.54)

式(2.54)的通解為

(P-Cxsinkz+C2coskz+C3

(2.55)

根據(jù)壓桿端部的邊界條件z=0沖=0"=0

可得+。3=0及Gsin%/=0；由紇,=—E//"(0)=0,可知C2=0,故Ca

=0。因?yàn)镚WO,所以只有sink/=O,4/=4,2肛3肛一5不,其中最小值為4=萬(wàn)。

222

由k=(Pi^-GIk)/El(0=7r/l,可得扭轉(zhuǎn)臨界荷載

(2.56)

對(duì)于軸心壓桿，當(dāng)截面的形心與剪心重合時(shí)，如雙軸對(duì)稱的工字形截面，或

點(diǎn)對(duì)稱的Z字形截面，壓桿有可能發(fā)生彎曲失穩(wěn)，也可能發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)。

從上面的討論可知，構(gòu)件扭轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的扭矩與截面的應(yīng)力分布、截面的幾何

性質(zhì)人和〃有關(guān)，這些取決于截面的形狀和尺寸。不同截面的人和〃的差別，將

反映出構(gòu)件抗扭能力的差別。對(duì)于受壓構(gòu)件，他們也將反映出扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)和彎扭失

穩(wěn)性能的差別。構(gòu)件抵抗扭轉(zhuǎn)的能力，可以用扭轉(zhuǎn)剛度參數(shù)K來(lái)衡量，將式(2.56)

寫(xiě)成

pG。4兀E1”、GI卜4K2、

(2.57)

衛(wèi)4,K值越大，說(shuō)明構(gòu)件抗翹曲扭轉(zhuǎn)的能力越高。

式中扭轉(zhuǎn)剛度參數(shù)K

G"

由式(2.56)可以看出，如果軸心受壓構(gòu)件截面的翹曲慣性矩〃很小，如角

形、T形和十字形等截面的〃心0,則這些軸心受壓構(gòu)件的乜與構(gòu)件的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。

由Z:2=(PzJ-GZJ/￡/,?=^2//2,式(2.56)還可以寫(xiě)成

11一兀2EI316-

2=K(Z92E/°+G4)=K

"ozo

1一1戶I

寫(xiě)成通式為p=尸4+GJ_2(/2'

(0*

10%

(2.58)

式中%=7likl,稱為扭轉(zhuǎn)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)；而為扭轉(zhuǎn)計(jì)算長(zhǎng)度，取決于受

壓構(gòu)件兩端的約束條件，且只影響構(gòu)件的翹曲剛度而與抗扭剛度無(wú)關(guān)。

在軸心受壓構(gòu)件中由于扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)決定構(gòu)件臨界荷載的情況很少，通常在解出

扭轉(zhuǎn)臨界荷載P"后，還應(yīng)把它與構(gòu)件的彈性彎曲臨界荷載2或P,作比較，取其中

最小值作為構(gòu)件的臨界荷載。

2.4軸心壓桿的彎扭失穩(wěn)

彎扭失穩(wěn)就是指軸心受壓桿件失穩(wěn)時(shí)，桿件既有彎曲變形同時(shí)也有扭轉(zhuǎn)變

形。對(duì)于具有單軸對(duì)稱截面的軸心受壓構(gòu)件，除可能發(fā)生繞非對(duì)稱軸的彎曲失穩(wěn)

外，還可能發(fā)生繞對(duì)稱軸彎曲的同時(shí)繞縱軸扭轉(zhuǎn)的彎扭失穩(wěn)。對(duì)于無(wú)對(duì)稱軸截面

的軸心壓桿則只可能發(fā)生彎扭失穩(wěn)。

2.4.1單軸對(duì)稱軸心壓桿的彎扭失穩(wěn)

首先建立普遍使用的單軸對(duì)稱截面軸心受壓構(gòu)件在微小彎扭變形時(shí)的平衡方

程。如圖2—16所示單軸對(duì)稱工字形截面軸心受壓構(gòu)件，截面繞對(duì)稱軸有彎曲變

形，繞縱軸有扭轉(zhuǎn)變形。由圖2—16可知平面內(nèi)的彎矩平衡條件為

-EI/"=-EIyu"=P(u+a、(p),即

Eluy"+Pu+PyaTw=0

(2.59)

圖2-16

這時(shí)截面的非均勻扭矩應(yīng)為此=&d+&”，式中幻=(/,+/v)/A+〃,

明為截面剪切中心坐標(biāo)。則扭矩的平衡方程

EIm<p"'+(尸后—GI”+Pa”=0

(2.60)

對(duì)式(2.59)微分二次，對(duì)式(2.60)微分一次后可得

,v

Elvu+Pu"+PaY(p"^O

El"+(尸1；_GIk)(P〃+Pa"=O/

(2.61)

式(2.61)是耦聯(lián)的高階微分方程，適用于任意邊界條件的單軸對(duì)稱截面軸心受

壓構(gòu)件。聯(lián)立求解式(2.61)方程組，可求解軸心壓桿的臨界荷載￡,。

下面以兩端簡(jiǎn)支的單軸對(duì)稱截面軸心受壓桿件為例，求出臨界荷載的計(jì)算公

式。構(gòu)件的邊界條件為M(O)="(/)=M〃(O)=〃"(/)=O,

o(o)=°(/)=。"(0)=(p"(i)=oo

滿足這些邊界條件的變形函數(shù)為〃=Gsin干，°=。25山等，當(dāng)n=l時(shí)

可得到臨界荷載的最小值。將〃=Gsin等和夕=C2sin等代入式(2.61),并令

仁=器和2=4(64+華4,這樣可得

-&6+(2")居=。

(4-P)G-P%G=O

G和1由非零解的條件為其系數(shù)行列式為零，即構(gòu)件的穩(wěn)定方程為

—Pa,(2—P)4

二0n

PyP-PCly

或(A-p)(2—尸)一(％/，o)2尸=0

(2.62)

解式(2.62)可得兩個(gè)根，其中較小的為彎扭臨界荷載，即

/二"+1-，(4+—)2-4松盤(pán).

乙K

(2.63)

式中:4=1一(%"。)2。

實(shí)際中繞非對(duì)稱軸的彎曲失穩(wěn)與繞對(duì)稱軸的彎扭失穩(wěn)都是可能的，軸心壓桿

發(fā)生彈性彎扭失穩(wěn)的條件是［⑷應(yīng)小于繞截面非對(duì)稱軸的彎曲臨界荷載

P,=/￡7,〃2