2024年中考數(shù)學二模試卷（湖南省卷）（全解全析）

年中考第二次模擬考試（湖南省卷）數(shù)學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)定義直接求解即可得到答案，熟記相反數(shù)定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：的相反數(shù)是，故選：D．2．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別．熟練掌握平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形是解題的關鍵．根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，是軸對稱圖形，故選：D．3．2023年全國糧食播種面積17.85億畝，比上年增加954.6萬畝，增長0.5%．將數(shù)據(jù)“17.85億”用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負整數(shù)．【詳解】解：數(shù)據(jù)“17.85億”用科學記數(shù)法表示為．故選：B．4．下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查冪的乘方，同底數(shù)冪的除法，單項式的乘法，完全平方公式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．利用相關法則對各項進行判定即可．【詳解】解：選項A：，正確，選項B：，故錯誤，不符合題意，選項C：，故錯誤，不符合題意，選項D：，故錯誤，不符合題意，故選：A5．如圖，是的平分線，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)可得，，再由角平分線的定義可得，從而可求解．本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．【詳解】解：∵，，∴，，∵是的平分線，∴，∴．故選：D．6．如圖，在中，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線，交于點E．已知，，的面積為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和角平分線的尺規(guī)作圖．作，由題意可知平分，故可得，即可求解的面積．【詳解】解：過點E作，如圖所示：由題意可知：平分，∵，，∴，∴故選：B7．古語有言“逸一時，誤一世”，其意是教導我們青少年要珍惜時光，切勿浪費時間，浪費青春，其數(shù)字諧音為1，1，4，5，1，4，有關這一組數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．中位數(shù)為1B．從1，1，4，5，1，4中隨機抽取一個數(shù)，取得奇數(shù)的可能性比較大C．眾數(shù)是1D．平均數(shù)為【答案】A【分析】本題主要考查了求中位數(shù)，求眾數(shù)，求平均數(shù)以及簡單的概率計算，根據(jù)中位數(shù)的和眾數(shù)的定義即可判斷AC；根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可判斷D；分別求出從1，1，4，5，1，4中隨機抽取一個數(shù)，取得奇數(shù)的概率和取得偶數(shù)的概率即可判斷B．【詳解】解：A、把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，1，1，4，4，5，處在最中間的兩個數(shù)為1，4，則中位數(shù)為，原說法錯誤，符合題意；B、∵一共有6個數(shù)，其中4個是奇數(shù)，2個是偶數(shù)，∴從1，1，4，5，1，4中隨機抽取一個數(shù)抽到奇數(shù)的概率為，抽到偶數(shù)的概率為，∵，∴從1，1，4，5，1，4中隨機抽取一個數(shù)，取得奇數(shù)的可能性比較大，原說法正確，不符合題意；C、∵數(shù)字1出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是1，原說法正確，不符合題意；D、平均數(shù)為，原說法正確，不符合題意；故選：A．8．今年2月，某班準備從《在希望的田野上》《我和我的祖國》《十送紅軍》三首歌曲中選擇兩首進行排練，參加永州市即將舉辦的“唱響新時代，筑夢新征程”合唱選拔賽，那么該班恰好選中前面兩首歌曲的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)概率公式，即可解答．【詳解】解：從三首歌曲中選擇兩首進行排練，有《在希望的田野上》《我和我的祖國》、《在希望的田野上》《十送紅軍》、《我和我的祖國》《十送紅軍》共三種選擇方式，故選到前兩首的概率是，故選：B．【點睛】本題考查了根據(jù)概率公式計算概率，排列出總共可能的情況的數(shù)量是解題的關鍵．9．如圖，在矩形中，．對角線與相交于點，，垂足為，，則的長為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關鍵．設，則，先在和中，利用勾股定理可得和，再在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：∵，∴設，則，∵四邊形是矩形，，∴，在中，，在中，，在中，，即，解得，，則或（不符合題意，舍去），故選：D．10．若三條長度分別為，，的線段能構成三角形，我們就把稱為三角數(shù)組，已知是三角數(shù)組，則下列說法正確的是（

）①一定是三角數(shù)組；②不一定是三角數(shù)組；③一定是三角數(shù)組；④不一定是三角數(shù)組；A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】，且，先證明，即可證明，由此即可判斷①②；根據(jù)是一個三角數(shù)組，不是一個三角數(shù)組即可判斷③④．【詳解】解：∵是三角數(shù)組，∴可設，且，∴，∵，∴，∴一定是三角數(shù)組，故①正確，②不正確；∵是一個三角數(shù)組，，∴不是一個三角數(shù)組，∴當是三角數(shù)組時，不一定是三角數(shù)組，故③錯誤，④正確；故選B．【點睛】本題主要考查了構成三角形的條件，實數(shù)比較大小，正確理解題意是解題的關鍵．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）11．若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是理解二次根式有意義，即被開方數(shù)大于或等于0．12．分解因式：．【答案】【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法是解題關鍵．利用提公因式法和公式法進行因式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．13．不等式組的解集是．【答案】/【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，故答案為：．14．若關于x的分式方程有增根，則m的值是．【答案】1【分析】先將分式方程去分母化為整式方程求出解，再根據(jù)分式方程有增根得，即可求出答案．【詳解】解：將方程去分母，得，整理，得∵關于x的分式方程有增根，∴∴∴故答案為：1．【點睛】此題考查了利用分式方程的根的情況求參數(shù)，正確掌握分式方程的解法及增根的意義是解題的關鍵．15．設a，b是方程的兩個實數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系，先根據(jù)一元二次方程的解得到，利用根與系數(shù)關系得到，則，再利用整體代入的方法計算即可．熟練掌握一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．【詳解】∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴，∴故答案為：．16．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點A，B，O在網(wǎng)格線的交點上，則的值是．【答案】/【分析】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，圓的概念及性質(zhì)，構造直角三角形是解題的關鍵．連接并延長交于點，連接，則，利用勾股定理求解的長，再解直角三角形可求解．【詳解】解：連接并延長交于點，連接，則，故答案為：．17．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的交點，已知點A，，在坐標軸上，，的面積為16，則．

【答案】【分析】由平行四邊形面積轉化為矩形面積，在得到矩形面積，應用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的意義即可．【詳解】解：如圖，過點做軸于點．

四邊形為平行四邊形，，又軸，為矩形，，，為對角線交點，軸，四邊形為矩形面積為8，即，設點坐標為，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)k的幾何意義以及平行四邊形的性質(zhì)，理解等底等高的平行四邊形與矩形面積相等是解題的關鍵．18．勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，我國古代把直角三角形的直角邊中較小者稱為“勾”，另一長直角邊稱為“股”，把斜邊稱為“弦”．觀察下列勾股數(shù)：；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：…，若此類勾股數(shù)的勾為，則其弦是．【答案】【分析】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），根據(jù)所給的二組數(shù)找規(guī)律可得結論．【詳解】根據(jù)規(guī)律可得，如果a,b,c是符合同樣規(guī)律的一組勾股數(shù)，（m為偶數(shù)且），則另一條直角邊，弦．則弦為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）19．計算：．【答案】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握絕對值化簡，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪的運算法則；根據(jù)絕對值化簡，特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪的運算法則解題即可．【詳解】解：．20．先化簡，后計算：，其中是滿足條件的合適的非負整數(shù)．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的運算，化簡求值，先通分計算分式的加減，再將除法變?yōu)槌朔ㄓ嬎悴⒒癁樽詈啠詈筮x擇適合的數(shù)值代入計算即可．【詳解】原式，．根據(jù)題意可知1，0，，將代入，原式．21．如圖1是某商場的入口，它是由立桂、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，如圖2是它的示意圖，點在同一水平線上，經(jīng)過測量，支架的立柱與地面垂直，米，支撐桿于點且，從點觀測點的仰角為，又測得米．

(1)求該支架的邊的長；(2)求支架的邊的頂端點到地面的距離．（結果保留根號）【答案】(1)該支架的邊的長為米；(2)【分析】（1）在中，，根據(jù)已知可得，即可求解．（2）由代入數(shù)據(jù)求得，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴是直角三角形，在中，，∵，∴，即該支架的邊的長為米；

（2）根據(jù)已知可得，在，中，且，∴，即，解得：，在矩形中，，∴米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．22．4月22日是“世界地球日”，某校為調(diào)查學生對相關知識的了解情況，從全校學生中隨機抽取n名學生進行測試，測試成績進行整理后分成五組，并繪制成如下的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．

(1)n＝，補全頻數(shù)分布直方圖；(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“70﹣80”這組的扇形圓心角為°；(3)若成績達到80分以上為優(yōu)秀，請你估計全校1200名學生對“世界地球日”相關知識了解情況為優(yōu)秀的學生人數(shù)．【答案】(1)50，圖見解析(2)72(3)672【分析】（1）根據(jù)80～90的人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的學生人數(shù)，然后即可計算出90～100這一組的人數(shù)，從而可以將頻數(shù)分布直方圖補充完整；（2）根據(jù)（1）中的結果，可以計算出70﹣80所對應的扇形圓心角的度數(shù)；（3）根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)，可以估計全校1200名學生對“世界地球日”相關知識了解情況為優(yōu)秀的學生人數(shù)．【詳解】（1）本次調(diào)查共抽測了名學生，90～100的學生有：人），補全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示：

故答案為：50．（2）70﹣80所對應的扇形圓心角的度數(shù)是，故答案為：72．（3）估計全校1200名學生對“世界地球日”相關知識了解情況為優(yōu)秀的學生人數(shù)為（名）．答：相關知識了解情況為優(yōu)秀的學生672人．【點睛】本題考查了樣本容量計算，條形統(tǒng)計圖的完善，圓心角的計算，樣本估計總體，熟練掌握樣本容量計算，圓心角的計算，樣本估計總體是解題的關鍵．23．為了培育“一鎮(zhèn)一特，一村一品”，加快農(nóng)民脫貧致富步伐．近年來，長沙某鎮(zhèn)依托地域優(yōu)勢創(chuàng)辦了優(yōu)質(zhì)葡萄種植基地，該基地對外銷售種植的A，B兩種不同品種的葡萄，A品種葡萄每千克的售價比B品種葡萄每千克的售價的2倍少4元，3千克A品種葡萄比4千克B品種葡萄多賣4元．(1)問葡萄種植基地銷售的A，B兩種葡萄每千克的售價各是多少元？(2)某超市計劃從葡萄種植基地購進400千克葡萄，其中A品種葡萄不少于80千克，且總費用不超過3600元，超市對購進的葡萄進行包裝銷售（如下表），全部包裝銷售完，當包裝A品種葡萄多少包時，所獲總利潤最大？最大總利潤為多少元？葡萄品種A品種B品種每包中葡萄重量（千克）12售價（元/包）1820每個包裝盒的成本（元）32【答案】(1)A，B兩種葡萄每千克的售價各是12元，8元．(2)當包裝A品種葡萄100包時，所獲總利潤最大，最大總利潤為元【分析】本題考查二元一次方程組及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程組和函數(shù)關系式．（1）設葡萄種植基地銷售的A，B兩種葡萄每千克的售價各是x元，y元，根據(jù)“A品種葡萄每千克的售價比B品種葡萄每千克的售價的2倍少4元，3千克A品種葡萄比4千克B品種葡萄多賣4元．”列方程組并解方程組即可；（2）設包裝A品種葡萄m包，則包裝B品種葡萄包，設總利潤為w元，列不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設葡萄種植基地銷售的A，B兩種葡萄每千克的售價各是x元，y元，根據(jù)題意，得，解得答：A，B兩種葡萄每千克的售價各是12元，8元．（2）設包裝A品種葡萄m包，則包裝B品種葡萄包，設總利潤為w元，則，解得，總利潤，∵，∴w隨著m的增大而增大，∵，∴當時，得到最大值，∴當包裝A品種葡萄100包時，所獲總利潤最大，最大總利潤為元24．如圖，已知的內(nèi)接銳角三角形中，、、所對的邊分別記作，，．(1)如圖①，若在直徑的延長線上取一點，使，求證：是的切線；(2)如圖①，在（1）的條件下，若，，求的長度；(3)如圖②，若設的半徑為，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）如圖①，連接，由是直徑，可得，證明，則，即，由，可得，則，即，進而結論得證；（2）設，則，，由，可得，即，解得，（舍去），則，，，在中，由勾股定理得，即，計算求解滿足要求的值即可；（3）證明：如圖②，連接并延長交于，連接，由知，，則，即，連接并延長交于，連接，連接并延長交于，連接，同理可證，，進而結論得證．【詳解】（1）證明：如圖①，連接，∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：設，則，，∵，∴，即，解得，（舍去），∴，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，（舍去），∴的長度為；（3）證明：如圖②，連接并延長交于，連接，則，∵，∴，∴，即，如圖②，連接并延長交于，連接，則，同理可得，即，如圖②，連接并延長交于，連接，則，同理可得，即，∴．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，同弧所對的圓周角相等，正弦等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．25．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形稱為“等補四邊形”．(1)下列選項中一定是“等補四邊形”的是________；A．平行四邊形；B．矩形；C．正方形；D．菱形(2)如圖1，在邊長為a的正方形中，E為邊上一動點（E不與C、D重合），交于點F，過F作交于點H．①試判斷四邊形是否為“等補四邊形”并說明理由；②如圖2，連接，求的周長；③若四邊形是“等補四邊形”，求的長．【答案】(1)C(2)①四邊形是等補四邊形，見解析；②；③或者【分析】（1）在平行四邊形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的鄰邊相等且對角互補，符合等補四邊形的定義，即可得到問題的答案；（2）①先證A、B、H、F四點共圓，利用圓周角定理可得，進而求出，利用等角對等邊得出，最后利用“等補四邊形”的定義即可證明；②將繞A點逆時針旋轉得到，證明，再證，得出，即可求出的周長；③根據(jù)，四邊形是“等補四邊形”可得四邊形有一組鄰邊相等，然后分、、、四種情況討論即可．【詳解】（1）解：在平行四邊形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的鄰邊相等且對角互補，∴正方形是等補四邊形，故選：D．（2）解：①四邊形是“等補四邊形”，理由如下：∵為正方形的對角線，∴，又，，∴A、B、H、F四點共圓，∴，∴，∴，又，∴四邊形是“等補四邊形”．②將繞A點逆時針旋轉得到，∴，，∴E、D、L三點共線，由①得，∴，在和中∴，∴，∴的周長；③∵，四邊形ECHF是“等補四邊形”，∴還需要一組鄰邊相等，分以下四種情況討論：情況1：，連接，由題意知∶，，又，∴，∴，則為正三角形，∴，∴，∴，；情況2：，則，∴，同情況1，；情況3：，由②得的周長．設，則，有，∴，即；情況4：，連接，則，則HF垂直平分AE，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴，又，，∴，∴