福建省福州市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

（在此卷上答題無效）2023—2024學(xué)年福州市高三年級(jí)4月末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（完卷時(shí)間120分鐘；滿分150分）友情提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．設(shè)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則其焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A． B．2 C．4 D．4．若，則（）A． B． C． D．5．已知非零復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B． C． D．6．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C．34 D．747．?dāng)?shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為，后三項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為．若第2項(xiàng)等于2，第1項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于10，第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于30，則（）A．1 B．2 C．3 D．48．四棱錐的頂點(diǎn)均在球的球面上，底面為矩形，平面平面，，，，則到平面的距離為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環(huán)數(shù)如下表，則下列說法正確的是（）甲乙87909691869086928795A．甲選手射擊環(huán)數(shù)的極差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的極差B．甲選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)等于乙選手射擊環(huán)數(shù)的平均數(shù)C．甲選手射擊環(huán)數(shù)的方差大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的方差D．甲選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)大于乙選手射擊環(huán)數(shù)的第75百分位數(shù)10．已知函數(shù)滿足，且，則（）A． B．C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間單調(diào)遞減11．已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，則（）A． B．實(shí)數(shù)的取值范圍為C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若向量在向量上的投影向量為，則等于______．13．傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為______．14．如圖，六面體的一個(gè)面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于________，表面積等于______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列滿足，（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．16．（15分）甲企業(yè)生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件尺寸的誤差服從正態(tài)分布，規(guī)定的零件為優(yōu)等品，的零件為合格品．（1）從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件，估計(jì)抽到合格品但非優(yōu)等品的個(gè)數(shù)（精確到整數(shù)）；（2）乙企業(yè)擬向甲企業(yè)購買這批零件，先對(duì)該批零件進(jìn)行質(zhì)量抽檢，檢測的方案是：從這批零件中任取2個(gè)作檢測，若這2個(gè)零件都是優(yōu)等品，則通過檢測；若這2個(gè)零件中恰有1個(gè)為優(yōu)等品，1個(gè)為合格品但非優(yōu)等品，則再從這批零件中任取1個(gè)作檢測，若為優(yōu)等品，則通過檢測；其余情況都不通過檢測．求這批零件通過檢測時(shí)，檢測了2個(gè)零件的概率（精確到0.01）．（附：若隨機(jī)變量，則，，）17．（15分）如圖，以正方形的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)120°形成的面圍成一個(gè)幾何體．設(shè)是上的一點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）點(diǎn)是橢圓：（）上（左、右端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別是的左、右焦點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，證明為定值，并求出這個(gè)定值；（2）的重心與內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）分別為，，已知直線垂直于軸．（?。┣髾E圓的離心率；（ⅱ）若橢圓的長軸長為6，求被直線分成兩個(gè)部分的圖形面積之比的取值范圍．19．（17分）記集合，集合，若，則稱直線為函數(shù)在上的“最佳上界線”；若，則稱直線為函數(shù)在上的“最佳下界線”．（1）已知函數(shù)，．若，求的值；（2）已知．（ⅰ）證明：直線是曲線的一條切線的充要條件是直線是函數(shù)在上的“最佳下界線”；（ⅱ）若，直接寫出集合中元素的個(gè)數(shù)（無需證明）．2023~2024學(xué)年福州市高三年級(jí)4月份質(zhì)量檢測參考答案與評(píng)分細(xì)則一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分40分．1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．B8．A二、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題6分，滿分18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．ABC10．BC11．ACD三、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分15分．12．13．814．6，22四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【考查意圖】本小題主要考查遞推數(shù)列與數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力等；考查分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性．滿分13分．解：（1）因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，．?）由（1）可知，，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以?6．【考查意圖】本小題主要考查正態(tài)分布、全概率公式、條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力等，考查分類與整合思想、概率與統(tǒng)計(jì)思想等，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性．滿分15分．解：（1）依題意得，，，所以零件為合格品的概率為，零件為優(yōu)等品的概率為，所以零件為合格品但非優(yōu)等品的概率為，所以從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件，估計(jì)抽到合格品但非優(yōu)等品的個(gè)數(shù)為．（2）設(shè)從這批零件中任取2個(gè)作檢測，2個(gè)零件中有2個(gè)優(yōu)等品為事件，恰有1個(gè)優(yōu)等品，1個(gè)為合格品但非優(yōu)等品為事件，從這批零件中任取1個(gè)檢測是優(yōu)等品為事件，這批產(chǎn)品通過檢測為事件，則，且與互斥，所以，所以這批零件通過檢測時(shí)，檢測了2個(gè)零件的概率為．答：這批零件通過檢測時(shí)，檢測了2個(gè)零件的概率約為0.61．17．【考查意圖】本小題主要考查直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)定理、平面與平面的夾角、空間向量、三角函數(shù)的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．滿分15分．解法一：（1）在正方形中，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，分別為線段，中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以．又因?yàn)槊妫?，所以面．?）依題意得，面，又因?yàn)槊?，所以．又因?yàn)?，，，面，所以面，又面，所以，所以，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．不妨設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則即取，得，，所以平面的一個(gè)法向量是，又平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．解法二：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槊?，面，所以面．?）同解法一．解法三：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)槊?，面，所以面．因?yàn)槊?，面，所以面．又因?yàn)?，面，面，所以面面，又因?yàn)槊妫悦妫?）同解法一．18．【考查意圖】本小題主要考查圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．滿分17分．解法一：（1）依題意，．設(shè)，則，，所以，所以，又，所以，，所以，所以，即為定值，且這個(gè)定值為．（2）（?。┮李}意，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)檩S，所以，所以，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋獾糜桑?）得，所以，所以橢圓的離心率．（ⅱ）由，得，又，所以，，所以橢圓的方程為．根據(jù)橢圓對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限或軸正半軸上，即，，又，，所以直線的方程為，設(shè)直線與交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，的面積與的面積之比為，令（），則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，，所以的值域是，所以，所以，根?jù)對(duì)稱性，被直線分成兩個(gè)部分的圖形面積之比的取值范圍是．解法二：（1）同解法（2）（?。┮李}意，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)檩S，所以，所以，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與軸切于點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，得所以兩式平方后取差，得?duì)任意成立，所以橢圓的離心率．（ⅱ）同解法解法三：（1）同解法（2）（?。┮李}意，，因?yàn)檩S，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可求直線方程為，則點(diǎn)到直線的距離，即，化簡得，①同理，由點(diǎn)到直線的距離等于，可得，②將式①－②，得，則．將代入式①，得，化簡得，得，所以橢圓的離心率．（ⅱ）同解法19．【考查意圖】本小題主要考查集合、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力、直觀想象能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．滿分17分．解：（1）依題意，因?yàn)?，所以，，且，，令，，則，且，所以所以，即，解得或．（2）（?。┫茸C必要性．若直線是曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為，即（*）一方面，，所以，，另一方面，令，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，所以．即，，所以，即是函數(shù)在上的“最佳下界線”．再證充