2025版高考數(shù)學一輪總復(fù)習考點突破第6章數(shù)列第1講數(shù)列的概念與簡單表示法考點2

由an與Sn的關(guān)系求通項公式角度1已知Sn求an問題1.若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n，則此數(shù)列的通項公式為an＝2n－11.[解析]當n＝1時，a1＝S1＝1－10＝－9；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.當n＝1時，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.故填2n－11.2．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1，則此數(shù)列的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2n－1n≥2)).[解析]當n＝1時，a1＝S1＝21＋1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.綜上有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2n－1n≥2.))故填eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＝1，,2n－1n≥2.))3．(2023·福州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,2n)(n∈N*).[解析]∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝eq\f(n,2)，①∴當n≥2時，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝eq\f(n－1,2)，②①－②得，2n－1an＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,2n)(n≥2)，③又∵a1＝eq\f(1,2)也適合③式，∴an＝eq\f(1,2n)(n∈N*).角度2由Sn與an的關(guān)系求anSn是各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－14，則an＝(A)A.eq\f(n＋7,2) B．n＋3C.eq\f(n＋9,2) D．eq\f(n＋8,3)[解析]由題得Sn＝aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an－14，Sn－1＝aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1－14(n≥2)，兩式相減得an＝aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－eq\f(1,2)an－1(n≥2)，所以aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)－eq\f(1,2)an－eq\f(1,2)an－1＝0(n≥2)，所以(an－an－1)(an＋an－1)－eq\f(1,2)(an＋an－1)＝0(n≥2)，所以(an＋an－1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an－an－1－\f(1,2)))＝0(n≥2).因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以an＋an－1>0，所以an－an－1－eq\f(1,2)＝0(n≥2)，所以an－an－1＝eq\f(1,2)(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以a1為首項，以eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列.令n＝1得a1＝aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1－14，解得a1＝4或－eq\f(7,2)(舍去)，所以an＝4＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋7,2).故選A.名師點撥：已知Sn求an的一般步驟1．當n＝1時，由a1＝S1，求a1的值.2．當n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達式.3．檢驗a1的值是否滿足2中的表達式，若不滿足，則分段表示an.4．寫出an的完整表達式.Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化.1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式.2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.【變式訓練】1．(角度1)(2023·福建三明一中期中)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式(B)A.an＝2n B．a(chǎn)n＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))C.an＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1[解析]由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.當n＝1時，a1＝S1＝3；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))故選B.2．(角度2)(2023·遼寧部分重點高中高三聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2an－1，則{an}的通項公式為(B)A.an＝2n－1 B．a(chǎn)n＝2n－1C.an＝2n－1 D．a(chǎn)n＝2n＋1[解析]當n＝1時，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2).又n＝1時，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故選B.3．(角度1)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3).則an＝eq\f(1,3n).[解析]因為a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝eq\f(n,3)，①則當n≥2時，a1