2022-2023學(xué)年人教中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型分類(lèi)必刷題 03 全等三角形壓軸題真題（解析版）

專(zhuān)題03高分必刷題-全等三角形壓軸題真題(解析版)

題型一：全等三角形小壓軸題

考向1：多項(xiàng)選擇題

1.如圖，已知AB=AC,AF=AE,/E4/=/BAC,點(diǎn)C、D、E、尸共線.則下列結(jié)論，其中正確的是

()

?△AFB^AAEC；②BF=CE；③NBFC=NEAF；?AB=BC.

A

rr---------------^CA.①②③B.①②④c

.①②D.①②③④

【解答】解：,:NEAF=/BAC,J.ZBAF^ZCAE,'：AF=AE,A8=/AC,：./\FAB^/\EAC(SAS),故

①正確，.,.BFuEC,故②正確，.../ABFuNACE,,：.ZBFC^ZDAC,'：/DAC=

ZEAF,:.NBFC=NEAF,故③正確，無(wú)法判斷A8=8C,故④錯(cuò)誤，

故選：A.

;…

TT-------------------*C2.如圖，ZkABC中，ZC=二90°、是角平分線，E為AC邊上的點(diǎn)，DE=DB,

③；④四邊形

下列結(jié)論：①NOE4+/B=180°；②NCDE=z1cA&AC=￡(AB+AE)ABQE，

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為()

ABA.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【解答】解:如圖，過(guò)Z)作QF_LA8于F,

VZC=90°,4。是角平分線，：.DC=DF,NC=NDFB,

又,：DE=DB,.*.RtACDE^RtAFDB,：.ZB=ZCED,ZCDE=ZFDB,CE=BF,又,：NDEA+NDEC

=180°,.,./￡>E4+/8=180°,故①正確；,:NC=NDFB,NB=NB,:.NBDF=NBAC,：.ACDE

=ZCAB,故②正確；'：AD是角平分線，，/。。:/必。，又,：NC=NAFD,AD=AD,

△AFC,：.AC=AF,：.AB+AE=(AF+FB)+(AC-CE)=AF+AC=2AC,

.\AC=-^(ABME),故③正確；

'/RtACDE^RtAFDB,:?S&CDE=S&FDB，四邊形ABDE=S四邊形ACD/，又???△ACOg/XAF。，

***SMCD=S^ADF，*,?SAADC="^S四邊形ACW=*S四邊形AE)E，故④正確；

故選：A.

AF53.如圖，直線AC上取點(diǎn)8,在其同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△A8D和△BCE,

連接AE,CD與GF,下列結(jié)論正確的有()

?AE=DC-,②NAHC=120°；③^AGB四△OFB；④8〃平分/4HC；?GF//AC.

D

*'BCA.①②④B.①③?C.①③④⑤D.①②

③④⑤

【解答】解：?.?△A8O和△BCE都是等邊三角形，：,BA=BD,BE=BC,NABD=NCBE=60°,

VZDBE=180°-60°-60°=60°,ZABE=ZDBC=120°,,:BA=BD,NABD=NDBC,BE=

BC,

:./\ABE沿/\DBC(SAS),：.AE=DC,所以①正確；NBAE=/BDC,,:NBDC+NBCD=NABD=60°,

：.ZBAE+ZBCD=60a,：.ZA//C=180°-(NBAH+NBCH)=180°-60°=120°,所以②正確；

■:NBAG=NBDF,BA=BD,ZABG=ZDBF=60°,.*.△AGB絲△。尸B(ASA)；所以③正確；:△ABE

絲/XOBC,和。C邊上的高相等，即B點(diǎn)到AE和。C的距離相等，.?.3,平分NAHC,所以④正確；

：.BG=BF,尸=60°,二ASG尸為等邊三角形，二/BGF=60°,:.NABG

=ZBGF,J.GF//AC,所以⑤正確.故選：D.

考向2：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

4.如圖，已知△A8C中，NB=NC,BC=8cm,BD=6cm,如果點(diǎn)尸在線段BC上以1C/M/S的速度由2

點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停

止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)。的速度為xcvn/s,則當(dāng)△8PO與△CQP全等時(shí)，x=1或可

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為rs,則8P=r,PC=8-t,CQ^tx,,:NB=NC,：.當(dāng)BD

3

=CQ,8P=CP時(shí)，△BPDQ4CPQ(SAS),即a=6,t=8-t,解得f=4,；當(dāng)BD=CP,BP=CQ

時(shí)，ABPD沿/XCQP(SAS),即8-f=6,t=tx,解得f=2,x=l；

33

綜上所述，x的值為1或字故答案為1或李

5.如圖，AB=4cm,AC=BD=3cm./CAB=區(qū)4=60°，點(diǎn)P在線段AB上以la〃/s的速度由點(diǎn)A向

點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段8。上由點(diǎn)B向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s).設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速

度為xcm/s,若使得△ACP與△BPQ全等.x的值為1或15.

【解答】解：要使△ACP與△BPQ全等，有兩種情況：①AP=8Q,:點(diǎn)尸在線

段AB上以la〃/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。在線段8。上由點(diǎn)B向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間為r(s).設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為xc〃?/s,，x=l；

1123

@AC=BQ=3cmfAP=BP=—AB=—X4cm=2c/n,，時(shí)間為y=2秒，即％=彳=1.5,

所以工的值是1或15

題型二：全等三角形的大壓軸題

6.根據(jù)全等多邊形的定義，我們把四個(gè)角，四條邊分別相等的兩個(gè)凸四邊形叫做全等四邊形，記作：四

邊形ABC。四四邊形A\B\C\D\.

奧口口

圖1圖2(1)若四邊形ABCC絲四邊形

A\B\C\D\,已知AB=3,BC=4,AO=CO=5,NB=90°,/￡>=60°，則4出=5,NBi=90°,

ZAi+ZCi=210°.(直接寫(xiě)出答案)；

(2)如圖1,四邊形A8EF絲四邊形CBEQ,連接A。交BE于點(diǎn)O,連接OF,求證：ZAOB=ZFOE；

(3)如圖2,若AB=Ai8i，BC=BiCi，CD=C\D\,AD=A\D\,NB=NBi，求證：四邊形A8C。名

四邊形481GO1.

【解答】解：(1)?.?四邊形A8CO絲四邊形481。。，.?.4。=4￡)：=5,ZBi=ZB=90°,ZD=ZDi

=60°,NA=NA”ZC=ZCi,VZA+ZC=160°-90°-60°==210°,：.ZAi+ZCi=210°,

故答案為5,90°,210°.

(2)如圖1中，

圖1?.,四邊形ABEF絲四邊形CBEZ),，EF=EQ,ZFEO=ZDEO,'：EO=EO,；.△

FEO-DEO(SAS),:.NEOF=NDOE,VZAOB=4DOE,：.NAO8=/EOF.

DDx

I

BC51Cl

(3)如圖2中，連接AC,AICI.圖2

9

：AB=A\B\fNB=NBi，BC=B\C\,.*.△ABC絲△4BiCi，：.AC=AiCi，ZBAC=ZB\A\C\,ZBCA

=ZBiCiAi,VAD=AiDi，CD=C\D\t：.△ADC^AAiDiCi(SSS),：.ZD=ZDi，ZDAC=ZD\A\C\,

：

ZACD=ZA\C\D},.ZBAD=^BAA\D\,ZBCD=ZB\C\D\f

：.四邊形ABC拉空四邊形48iG5.

7.(1)如圖1,已知NEOF=120°,0M平分/EOF,A是OM上一點(diǎn)，ZBAC=60Q,且與OF、OE

分別相交于點(diǎn)8、C,求證：AB=AC；

(2)如圖2,在如上的(1)中，當(dāng)/BAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得點(diǎn)8落在。尸的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)

中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由；

(3)如圖3,已知NAOC=/BOC=/B4C=60°,求證：①AA8c是等邊三角形；②OC=OA+OB.

(1)證明：過(guò)A作4GJ_OF于G,AHLOE于H,則N4HO=NAGO=90°,VZEOF=120°,AZ

/MG=60°=NBAC,AZHAG-ZBAH^Z.BAC-ZBAH,：,NBAG=4CAH,平分/EOF,AG

rZAGB=ZAHC

LOF,AHLOE,：.AG=AH,在△BAG和△C4”中，V<AG=AH,

ZBAG=ZCAH

：./\BAG^ACAH(A5A),."8=4C；

(2)結(jié)論還成立，證明：過(guò)A作AGJ_。尸于G,AH_LOE于”，與(1)證法類(lèi)似根據(jù)4sA證

CAH(ASA),則A8=AC；

(3)證明：①如圖，NFOA=180°-120°=60°,NFOC=60°+60°=120°,即。例平分NC。尸，

由(2)知：AC^AB,'：ZCAB=60°,△ABC是等邊三角形；

②在OC上截取8O=ON,連接8N,?.?/CO8=60°,...△BCW是等邊三角形，...。汽:。'/O8N=60°,

..?△ABC是等邊三角形，.?.NA8C=60°=ZNBO,；.都減去NA8N得：NABO=NCBN,

fBC=AB

在△AOB和△CNB中NCBN=/OBA,.,.△AOB絲△CA?(SAS),：.NC=OA,

,BN=OB

...OC=CW+CN=OB+OA,即OC=OA+OB.

fE

三象限作等腰RlAABC.

（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2,P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)尸點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，雨為腰作

等腰RtZsAPO,過(guò)。作￡>EJ_x軸于E點(diǎn)，求OP-OE的值；

（3）如圖3,已知點(diǎn)尸坐標(biāo)為（-2,-2）,當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt△尸GH,

始終保持NG/77=90°,FG與），軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0,優(yōu)），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點(diǎn)”（〃，0）,當(dāng)G

點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證m+n為定值，并求出其

【解答】解：（1）過(guò)C作CMLx軸于M點(diǎn)"如圖1,

圖］

VCM1OA,ACLAB,：.ZMAC+ZOAB=90a,/CM8+/O8A=90°,則

ZMAC=ZOBA,

<ZCMA=ZAOB=90°

在△MAC和△08A中，,NHAO/OBA,???△MAC絲△08A(AA5)

AC=BA

：.CM=0A=2,M4=OB=4,???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-6,-2)；

(2)如圖2,過(guò)。作DQJ_OP于。點(diǎn)，

丁個(gè)

Ji\0E>

Hx

\0

圖2VDQLOP,DELOE,NPOE=90°二四邊形OED。是矩形，：.OE=QD,DE

=OQ，

AOP=PQ+OQ=DE+PQ,'：ZAPO+ZQPD=90°,ZAPO+ZOAP=90°,：.ZQPD=ZOAP,

，ZAOP=ZPOD=90°

在△AOP和中，，NQPD=NOAP，：./\AOP^/\PDQCAAS),：.QP=AO=2,

AP=PD

：.OP-DE=2；

(3)結(jié)論②是正確的，m+n=-4,理由如下：如圖3,過(guò)點(diǎn)尸分別作尸軸于S點(diǎn)，F(xiàn)TUy軸于T

點(diǎn),

:.FS=FT=2,NFHS=NHFT=NFGT,在和aFTG中，

<ZFSH=ZFTG=90°

<ZFHS=ZFGT,:ZSgAFTG(A4S)：,GT=HS,

FS=FT

又；G(0,m),H(n,0),點(diǎn)尸坐標(biāo)為(-2,-2),：.OT—OS=2,OG=\m\=-m,OH=n,：.GT

=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2,：.-2-m=n+2,

/.m+n=-4.

9.在△ABC中，AB=AC,CGJ_8A交34的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，

該三角尺的直角頂點(diǎn)為F,一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)民

(1)在圖1中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量3F與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫(xiě)出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證

明你的猜想；

(2)當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角

邊交8c邊于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。ELBA于點(diǎn)￡此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量￡>E、OF與CG的長(zhǎng)度，猜想

并寫(xiě)出OE+OF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

(3)當(dāng)三角尺在(2)的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置(點(diǎn)尸在線段AC上，且點(diǎn)尸與

點(diǎn)C不重合)時(shí)，若AG：AB=5：13,BC=4JF，求。E+DF的值.

G

圖1圖2圖3【解答】解：(1)猜想：

BF=CG.理由：如圖1.'：BF±AC,CG±AB,：.S^ABC=-^AC^BF=-^AB-CG.'：AB=AC,:.BF=CG；

(2)猜想：DE+DF=CG.理由：連接AO,如圖2.'：DF±AC,DELAB,CG±AB,

99

?-S^CD=^AC*DF,S^ABD='^AB*DE1S^ABC=^ABCG.S^ACD+S^BD=S^ABC^^~^AC*DF^AB

乙乙乙乙乙

DE=-^AB-CG.,：AB=AC,:.DF+DE=CG；

(3)連接AO,如圖3.同(2)可得：DF+DE=CG.設(shè)AG=5x,VAG：48=5：13,AB^AC,

：.AC=AB=\3x.：.ZG=90°,AGC=VAC2-AG2=1在RtZ\8GC中，

VBG=AB+AG=13x+5x=18x,GC=\2x,BC=4Vl3.二(18x)2+(12x)2=(4A/13)2

9

解得：x=~,：.DE+DF=CG=12x=8.

在平面直角坐

標(biāo)系中，A(-2,0)、B(0,5),A8=AO,/ABC+/A￡>C=180°,BCJLCD.

(I)求證：ZABO=ZCAD；

(2)求點(diǎn)求坐標(biāo);

(3)如圖2,若OC=OB=5,E為/8CO的鄰補(bǔ)角的平分線上的一點(diǎn)，且/BEO=45°,OE交BC

NBAC+/CAO=90°,又：NE4C+/48O=90°.

，ZABO=ZCAD.

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)。作。G_LAC,.?.NAGQ=NBOA=90°,XVZABO=ZCAD,AB=AD,.?.△AB。

^/XDAG(AAS),：.DG=AO=2,AG=BO=5,：.OG=AG-AO=3,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,-2)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作8c于點(diǎn)”，作EG

軸丁點(diǎn)G,點(diǎn)在N8C。的鄰補(bǔ)角的平分線上,

：.EH=EG.又：NBCO=NBEO=45°，：.ZEBC=ZEOC.：./\EBH^/\EOGCAAS),

:.EB=EO.又：/8EO=45°,:.NEBO=NEOB=675",VZOBC=45°,

:.NBOE=NBFO=615°.：.BF=BO=5.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)8、C在y軸上，且點(diǎn)8與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)。在線段

AB上，點(diǎn)E為該坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn).

①如圖1,若點(diǎn)E在線段AC上，求證：CD=BE；

②如圖2,若點(diǎn)E在線段8c上，且NOEA=/ABC,求證：ZACO=2ZOAE.

(2)如圖3,已知BO=AE,點(diǎn)E在線段C4的延長(zhǎng)線上，尸為CD中點(diǎn)，且NOAB=30°,求證：BF

±￡F.

【解答】證明：(1)①：點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，：.AB=AC,：.ZCBD=ZBCE,在△C8。和△BCE

'BD=CE

中，，ZCBD=ZBCE,.?.△C8D絲△BCE(SAS),：.CD=BE；

BC=BC

②；NDEA+NDEB=NACB+NCAE,ZDEA=ZABC=NACB,

fZDEB=ZCAE

:./DEB=NCAE,在△BEO和△CAE中，ZEBD=ZACE,：./\BED^/\CAE(AAS),

BD=CE

：.BE=AC=AB,:.NBEA=NBAE,?點(diǎn)8和點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，：.AB=AC,OB=OC,

：.ZBAO=ZCAO,：,NBAE=2/CAO-NEAC=2N0AE+NEAC,"：ZDEB=ZCAE,

：.ZDEA^2ZOAE,,：ZDEA=ZABC=ZACO,：.ZACO^2ZOAE：

(2)延長(zhǎng)8尸到點(diǎn)G,使8B=FG,連接CG、EG、BE,如圖3所示：：點(diǎn)8和點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，

：.AB=AC,OB=OC,：.ZOAB=ZOAC=30°,/.ZBAC=60°,；.△48C是等邊三角形，：.CB=AB,

'BF=FG

ZBC4=60°,為OC中點(diǎn)，:.DF=CF,在△8D廠和△GCF中，，ZBFD=ZGFC,

DF=CF

:.ABDF必GCF(SAS'),：.CG=BD=AE,NCGF=NDBF,J.BD//CG,

：.ZGCA=ZBAC=60°,AZBCG=ZBCA+ZGCA=600+60°=120°,

VZBAE=180°-ZOAB-ZE<r=180°-ZOAB-ZOAC=180°-30°-30°=120°,

fCB=AB

.?./8CG=N8AE,在ABCG和△BAE中，，ZBCG=ZBAE..\^BCG^/^BAE(SAS\：.ZCBG^ZABE,

CG=AE

BG=BE,；NC8G+NGBA=60°,AZABE+ZGBA=60°,即NG8E=60°,，△GBE是等邊三角形,

是8G的中點(diǎn)，J.EFLBG,：.BFVEF.

圖3

12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(a-1,a+b),B(a,0),且Va+b-3+(a-2b)2=0,C為

x軸上點(diǎn)B右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，以AC為腰作等腰△AC。，使AD=AC,/C4O=直線08交)，軸于

點(diǎn)尸.

(1)求證：AO=AB\

(2)求證：OC=BD；

222

(2,0),.,.OA—12+2=,AB^^I(2-1)+3?,-OA=AB；

(2)VZCAD-ZOAB,：.ZCAD+ZBAC^ZOAB+ZBAC,即NOAC=/BAO,在△OAC和△344中,

，OA=AB

<Z0AC=ZBAD,：.^OAC^^BAD(SAS),：.OC=BD；

AC=AD

(3)點(diǎn)尸在)，軸上的位置不發(fā)生改變.

理由：設(shè)N4OB=/48O=a,?由(2)知△AOCgAABO,；.NABD=NAOB=a,'：OB=2,/OBP=

180°-NA8。-NA8/)=180°-2a為定值，YNPO8=90°,長(zhǎng)度不變，...點(diǎn)P在y軸上的位置

不發(fā)生改變.

13.在△4BC中，ZA<60°,以48,AC為邊分別向外作等邊△ABD,△ACE,連接。C,8E交于點(diǎn)4.(如

圖1)

(1)求證：△DACWXBAE：

(2)求DC與BE相交的的度數(shù)；

(3)又以8c邊向內(nèi)作等邊三角形△BCF,連接OF(如圖2),試判斷AE與。F的位置與數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

E

【解答】(1)證明：如圖1中,

:AABD、都是等邊三角形，：.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZCAE=60°,：.ZDAC=ZBAE,

在△D4C和△BAE中，

，AD=AB

<ZDAC=ZBAE,：./\DAC^/\BAE.

AC=AE

(2)如圖1中，AZADC=ZABE,,:/AOD=NBOH,ZAOD+ZADC+ZDAO=

180°,/8O〃+/OHB+N48E=180°,；./O"B=/ZMO=60°,:.NDHB=60°.

(3)結(jié)論4E=O尸，AE//FD.如圖2中，連接ER；△A8/),△BCF,△△(?￡：都是等邊三角形，

：.BD=BA=AD,BF=BC,CA=CE=AE,NABD=NCBF=NBCF=NACE=60°,：.NDBF=NCBA,

rAB=AD

NBCA=NECF,在△ABC和/中，，ZABC=ZDBF,:.△ABg8DBF,

BF=BC

同理△/WCgZkEFC,：.DF=AC=AE,EF=AB=AD,四邊形ADFE是平行四邊形，

：.DF=AE,DF//AE.

14.已知，AABC是等腰直角

三角形，BC=AB,A點(diǎn)在x負(fù)半軸上，直角頂點(diǎn)8在)，軸上，點(diǎn)C在x軸上方.

圖1若A的

坐標(biāo)是（-3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0,1）,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)C作COJLy軸于。，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OA,OD,C。之間等量關(guān)系;

（3）如圖3,若x軸恰好平分NBAC,BC與x軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CFLr軸于F,問(wèn)CF與AE有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)作軸于H,如圖1,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,0),點(diǎn)5的坐標(biāo)是(0,1),，0A=3,08=1,

*.,△A8c是等腰直角三角形，：.BA=BC,ZABC=90°,:.NABO+NCBH=90°,

'/A0B=/BHC

'.'ZABO+ZBAO=90°,：.ZCBH^ZBAO,在△ABO和△3C77中，ZBA0=ZCBH.