論極限與微分的關系

論積分與極限、微分、級數(shù)的聯(lián)系摘要本文主要是針對積分與極限等重要的數(shù)學分析概念的聯(lián)系與區(qū)別這個問題進行的討論與研究。本文由極限定義出發(fā)，從定義，性質(zhì)，應用等角度，分析積分與微分（導數(shù)）、極限、以及級數(shù)的聯(lián)系，從而更深刻的理解各個章節(jié)在數(shù)學分析中的地位，反思概念的本質(zhì)，為今后更好的引深到其他內(nèi)容打好基礎。問題描述回顧數(shù)學分析全冊，我們是先由極限展開到多元微分，積分學，一直到級數(shù)，而積分學正是整個數(shù)學分析的最為重要的枝干之一，但它與前后面的諸多內(nèi)容究竟那些有聯(lián)系，那些沒有聯(lián)系,聯(lián)系幾何？我們也常常遇到這樣的問題:求這顯然定積分相關★關鍵詞：定積分不定積分極限微分級數(shù)二．問題分析極限與導數(shù)。導數(shù)定義：設函數(shù)y=f(x)在點Xo處的某領域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱該極限為函數(shù)f在點Xo處的導數(shù)，記作導數(shù)的實質(zhì)是函數(shù)增量Δy與自變量ΔX之比的極限極限與微分由微分定義可知，Δy=AΔx+o(Δx),若函數(shù)在xo處可微，則滿足f在xo處可導且A=。微分是導數(shù)的變形積分與導數(shù)不定積分的定義：設函數(shù)f與F在區(qū)間I上都有定義。若則稱F為f在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。不難看出不定積分與導數(shù)是類似于加減法的逆運算積分與極限定積分的定義--曲邊梯形的面積：分割：設閉區(qū)間上有n-1個點，依次為<X1<X2<…<Xn-1<=b分為n份近似：ΔSi=f(εi)△Xi求和：令取極限：=J,存在，則稱極限J為f(x)在上的定積分，記作定積分就是積分和式的極限，其本質(zhì)上是極限問題積分與級數(shù)廣義積分包括無窮限反常積分，與無界函數(shù)反常積分（暇積分）暇積分可轉(zhuǎn)化為無窮限反常積分，故在此只講無窮限反常積分定義比較反常積分：若f(x)在有定義，且在任意[a,b]上存在，且其極限J存在，則稱J為f(x)在[a,+∞)上的反常積分,記作數(shù)項級數(shù):給定一個數(shù)列對它的各項一次用"+"號連接起來的表達式稱為數(shù)項級數(shù)=S[收斂于S}兩者定義本質(zhì)均為無窮求和運算，不過前者是對連續(xù)變量的求和，對函數(shù)求極限；后者是對離散變量的求和，對數(shù)列求極限。收斂性比較本質(zhì)上都是對數(shù)列極限與函數(shù)極