2024數(shù)學(xué)核按鈕考點(diǎn)突破第六章 數(shù)列

第六章數(shù)列

6.1數(shù)列的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

通過(guò)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖

象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.數(shù)列的概念

概念含義

數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1項(xiàng)也叫首項(xiàng)

通項(xiàng)公式如果數(shù)列｛%?｝的第n項(xiàng)右與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子

來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式

前n項(xiàng)和數(shù)列｛an｝從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱(chēng)為數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)

和，記作Sn

2.數(shù)列的分類(lèi)

分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型含義

及俯財(cái)右史新石ll項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列

按項(xiàng)的變遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有即+1>an

化趨勢(shì)(neN*)

遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列，即恒有即+i<即

(neN*)

常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列，即恒有廝+1=即(neN*)

按其他標(biāo)周期數(shù)列一般地，對(duì)于數(shù)列｛&J，若存在一個(gè)固定的正整數(shù)T，使得

準(zhǔn)0n+r=加恒成立，則稱(chēng)｛即｝是周期為r的周期數(shù)列

按其他標(biāo)有界(無(wú)任一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一正數(shù)的數(shù)列稱(chēng)為有界數(shù)列，EPBMe

準(zhǔn)界)數(shù)列

R,|nn|<M,否則稱(chēng)為無(wú)界數(shù)列

擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)

列

3.數(shù)列的表示法

表示法定義

列表法列出表格表示九與%1的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖象法把點(diǎn)(弭QQ畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中

公式法通項(xiàng)公式=的)

遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)

表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.如a”4=

/(an)，即=/(an-i，an+i)(n22)等

40M與S”的關(guān)系

數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)與與前n項(xiàng)和又之間的關(guān)系為

(Si，n=1,

@n=]

(S九—Sn_1,n>2.

5.常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)

(1)1,2,3,4,...的一個(gè)通項(xiàng)公式為&=n.

(2)2,4,6,8,的一個(gè)通項(xiàng)公式為冊(cè)=力.

(3)3,5,7,9,...的一個(gè)通項(xiàng)公式為a“=2n+1.

(4)2,4,8,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為a”=22.

(5)-1,1-1,1的一個(gè)通項(xiàng)公式為冊(cè)=(一1尸.

(6)1,0,1,0的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=匕""I-

(7)a,b,a,b,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(*切+二)…?！?.

(8)9,99,999的一個(gè)通項(xiàng)公式為冊(cè)=10。一1.

【常用結(jié)論】

6.累加法與累乘法

(1)已知的且0n-an_j=f(n)(n>2)，可以用"累加法"得：an=

ai+f(2)+f(3)+-??+f(n-1)+f(ri).

(2)已知的且當(dāng)"=/(n)(n>2),可以用“累乘法”得：a=%

an-ln

/(2)-/(3)?...-f(n-1)-/(n).

注：以上兩式要求｛f(n)｝易求和或積.

7.數(shù)列最值：若吃黑二生22),則4最大；若｛露''(心2),則%

最小.

自主評(píng)價(jià)?牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”.

(1)1,2,1,2是一個(gè)數(shù)列.(V)

(2)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.(X)

(3)一個(gè)數(shù)列只能有一個(gè)通項(xiàng)公式.(X)

(4)任何一個(gè)數(shù)列，不是遞增數(shù)列就是遞減數(shù)列.(X)

(5)若數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為治,則對(duì)任意九GN*,都有斯=Sn—Sn_i.

(X)

2.（教材例題改編）已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=品，那么密是它的（A）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

［解析解由題知日2，n23+n=20,解得ri=4或九=—5（舍去）.故選

3

3.（教材題改編）已知數(shù)列1,一11》…照此規(guī)律，數(shù)列的第8項(xiàng)為

142

(B)

A.-iC.--D.--

8B?一記6432

3145

［解析］解：1=去-錄,…，設(shè)此數(shù)列為

T=F4216

n+198―-巳故選B.

{an},WJan=(-l),則08=(-1)

4.試寫(xiě)出一個(gè)先減后增的數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式以=於-6?1（答案不唯一）.

［解析］解：若數(shù)列｛an｝先減后增，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析，數(shù)列

｛對(duì)3的通項(xiàng)公式可以為%=M-6n,an=n+：等.

故填足一6n（答案不唯一）.

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一由前n項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

（1）-1,7,-13,19,...

［答案］解：偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故通項(xiàng)公式正負(fù)性可用（-1尸調(diào)節(jié)，觀察

各項(xiàng)的絕對(duì)值，后一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6,故數(shù)列的一個(gè)通

n

項(xiàng)公式為0n=（-l）（6n—5）.

（2）2土2且W

、乙），，，，，???

315356399

［答案］這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1x3,3x

5,5x7,7X9,9X11,,每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積.故數(shù)列的一

個(gè)通項(xiàng)公式為與2n

(2n-l)(2n+l)

(3)5,55,555,5555,..

［答案］將原數(shù)列改寫(xiě)為,X9,|x99,gX999,…，易知數(shù)列9,99,999,

...的通項(xiàng)為10'-1,故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為冊(cè)=|(10n-1).

(4)0,V2,2,V6,2V2,...

［答案］原數(shù)列為W,V2,V4,V6,V8，…，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為%=,2(九一1).

(5)-1,1,-2,2,-3,3,

［答案］根據(jù)題意，當(dāng)？1=2/c-1時(shí)，a“=-k=-等：當(dāng)n=2k時(shí)，%=k=

Zl+1x|AEZ-

一三,71為奇數(shù),

J，得“

錄九為偶數(shù).

【點(diǎn)撥】給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，主要從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①熟悉一

些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，如{九},{2n},{(-l)n},{2n},{n2},{2n-1}等;②分式形

式的數(shù)列，分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系;③若

第71項(xiàng)和第九+1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么用符號(hào)(-1尸或(-1尸+】來(lái)適配;④對(duì)于較復(fù)

雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，可使用變形、添項(xiàng)、通分、分割等方法，將數(shù)列的各項(xiàng)分

解成若干個(gè)常見(jiàn)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納;⑤注意

通項(xiàng)公式的形式不一定是唯一的，如數(shù)列1,0,1,0,…的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成

即=丁或a…isin^),甚至分段形式與=等.

變式1.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

(1)3,5,9,17,33

n

［答案］解:an=2+l.

(2)210_1726

3'’7、9'll5…

［答案］由于一1=一?，故分母為3,5,7,9,11,...,即{2九+1},分子為

2,5,10,17,26,...,即{/+1}.符號(hào)看作各項(xiàng)依次乘1,-1,1,-1,...,即

尸，故】?嘉.

{(—1+1}an=(—1)"

(3)0,8,0.88,0.888,..

［答案］將數(shù)列變形為式1一0.1)，1(1-0.01),1(1-0.001)..........所以葉=

黑1

(4)1,2,V7,><10,V13,...

［答案］根據(jù)題意，數(shù)列即VI,V4,V7,710,V13,,故通項(xiàng)公式為an=

\!3Tl—2?

⑸1,0.?0,0,。，…

［答案］把數(shù)列改寫(xiě)成;，；，；，3339..........分母依次為1,2,3,

123456/0

,而分子1,0,1,0,...周期性出現(xiàn)，因此數(shù)列的通項(xiàng)可表示為冊(cè)=筆詈.

考點(diǎn)二由冊(cè)與5?的關(guān)系求通項(xiàng)公式

例2

(1)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和又=2"-2,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為(D)

nn-1

A.an=2B.an=2

Cf=Q\n>2D.即二2

n

［解析］解：當(dāng)n22時(shí)，an=Sn-Sn_i=(2-2)-(2“T-2)=.

當(dāng)九=1時(shí)，a】=Si=21一2=0,不符合上式.

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為冊(cè)=｛祟2

故選D.

(2)記又為數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和.若%=1,即=魯，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公

式為a,=n.

［解析］解：因?yàn)樗?/，貝ij(n+l)an=2Sn,①

所以(n+2)an+i=2Sn+i,②

②-①可得，(?1+2)an+1-(n+l)an=2an+1,nan+1=(n+1)即，即鬻=

生，所以%=%曰=—=.??=也=也=1,即冊(cè)=ri.故填=n.

nnn-1n-221"“

(3)已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)的=2,其前n項(xiàng)和為無(wú).若Sn+i=2Sn+1,則

_(2,n=1,

=(3-2n-2,n>2.,

［解析］解：由%+1=2Sn+l,有%=2Sn_t+l(n>2),

兩式相減得an+i=2an,

=a1+a2—2al+1,a2—3,

所以數(shù)列｛即｝從第二項(xiàng)開(kāi)始成等比數(shù)列，

所以每=｛源￡”故喏二二n”

【點(diǎn)撥】任何一個(gè)數(shù)列，它的前n項(xiàng)和無(wú)與通項(xiàng)冊(cè)都存在關(guān)系：an=

、「若為適合%-Sn-i,則應(yīng)把它們統(tǒng)一起來(lái)，否則就用分段

函數(shù)表示.另外一種快速判斷技巧是利用So是否為0來(lái)判斷：若S°=0,則由

適合Sn-S^i，否則不符合，這在解小題時(shí)比較有用.

變式2.

(1)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為%,且滿足%=|(4n-l)(nGN*),則｛時(shí)｝

的通項(xiàng)公式為a”=2x4“T.

［解析］解：當(dāng)ri=1時(shí)，4=Si=2；

由演=Sn-Sn_i(n>2),

可得斯=|(仆一1)一|(4nT-1)=2X4時(shí)1,

當(dāng)n=1時(shí)，的=2x41-1=2,滿足.

所以數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式an=2X空t.

故填斯=2x471T.

(2)已知數(shù)列｛Q八｝滿足+…+曰％=2n+5,貝！J數(shù)列｛a九｝

的通項(xiàng)公式為(B)

14,n=1,

n

A.an=2+1B.an=

X.2n+i,n>2

14,n=1,

D.a=2n+2

2n,n>2n

［解析］解：由題意，設(shè)％=+京g+或+…+金冊(cè)=2九+5,①

當(dāng)九之2時(shí),S71T=酒+去的+套。3+…+狹--1=2(九一1)+5,②

n+1

①-②得，|^=2n+5-2(n-l)-5=2,所以an=2.

當(dāng)九=1時(shí)，的=14,不滿足上式.

綜上可知，an=Hn；i故選B.

(2n+1,n>2.

(3)已知數(shù)歹中，的=2,。2=3，其前兀項(xiàng)和又滿足：5?+1+SnT=

2szi+l(n>2,neN*)則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為自=n+1.

［解析］解：由已知可得(S催+i-Sn)-(Sn-Syi)=l(n>2,neN*),即時(shí)+】—

an=l(n>2,neN*),S.a2—ar=1,

所以數(shù)列｛即｝是以的=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即冊(cè)=幾+1.故填

an=n+1.

(4)設(shè)%是數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且為=—1,an+1=SnSn+1,則的=

—l,n=1,

—1-,n>2.

Vn(n-l)

9

［解析］解：因?yàn)镼n+i=S71szi+i,所以。九+i=S九+i—=^n^n+1所以

S，1：n=*-T—=1，即^---*=,乂%=-1，即==，=一］,所以

^n+ibn>n^n+1?n+iai

數(shù)歹U｛5｝是首項(xiàng)和公差均為—1的等差數(shù)列，所以5=-l-lx(n-l)=

，n5n

ii(-l,n=1,

一九，所以Sn==Sn-SnT=啟~不522).故填1

nn(n-1)1許32.

考點(diǎn)三由遞推公式求通項(xiàng)公式

例3寫(xiě)出下面各數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式.

(1)a1—2,Q?i+1=+幾+1；

［答案］解：由題意得，當(dāng)幾32時(shí)，Qn—Q71T=n,

所以61n=Qi+(。2-%)+(。3—。2)+…+("九一dn-i)=2+(2+3+…+

幾)=2+。一)(2+72)_…+1)+］

/-2-2?

又的=2=ix(7)+1,適合上式，

因此的^二也羅+1.

/c、dn+2

(2)ai=1,an+i=—?n

［答案］由題設(shè)知冊(cè)*0，則肝=%,

4

a2Q3Q45

-X--X--X-X-XX

2

a1a2a33

Qn+i_(九+l)(n+2)

的一2'

乂%=1，則冊(cè)+】=怨1n+2),故即=獨(dú)羅.

(3)a1=1,a?i+i=3a九+2；

［答案］(方法一)(累乘法)

即+1=3an+2,得即+1+1=3(an+1),即嗎?=3,

所以H=3，—=3=3，…，^^=3.

。1+1Qz+l。3+1。九+1

將這些等式兩邊分別相乘得照色=3n.

。1+1

因?yàn)?=1,所以"詈=3。，

即即+i=2x3n-l(n>1),

71

所以0n=2x3T-l(n>2),

又％=1也適合上式，

故數(shù)列｛an｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2x3-1-1.

(方法二)(迭代法)

a

n+i=3an+2?

3

即an+i+1=3(an4-1)=3?(0n+1)=3(an_2+1)

='?-=3n(a1+1)=2x3n(n>1),

所以an=2x3正1-l(n>2),

又%=1也滿足上式，

故數(shù)列｛冊(cè)｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為冊(cè)=2x3n-1-1.

a,

(4)a11=2,ann++11=-'-.

l+3an

［答案］&+1=總」，易知即羊0,兩邊取倒數(shù)得」一=3+上，即一二一三

l+3a?=a

n+1anan+1an

3,所以數(shù)列或是%為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所%=3”

2

，所以?xún)?cè)=

I6n—5

【點(diǎn)撥】已知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求

解.當(dāng)出現(xiàn)時(shí)=%1-1+771時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)出；=xan_i+y時(shí)，構(gòu)造

等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)冊(cè)=冊(cè)_1+/（九）時(shí)，一般用累加法求通項(xiàng)；當(dāng)出現(xiàn)國(guó)=

an-i

f（n）時(shí)，一般用累乘法求通項(xiàng).根據(jù)形如（4,8,C為常數(shù)）的遞

推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，一般對(duì)遞推式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，當(dāng)AHC時(shí)，化為上+

an+l

x=￡（2.+x）的形式，可構(gòu)造公比為？的等比數(shù)列｛2+%｝,其中用待定系數(shù)法求

%是關(guān)鍵;當(dāng)/=C時(shí),可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.注意檢驗(yàn)71=1時(shí)，是否適合所求.

變式3.寫(xiě)出下面各遞推公式表示的數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

（1）%=2，a,n+1=an+"（n+i）；

［答案］解：因?yàn)楫?dāng)九22時(shí)，冊(cè)-an-i

所以當(dāng)幾之2時(shí)，an=（Qn—Qn-1）+（%1.1—%1-2）+…+（。2—。1）+=

（土一》+（；^一三）+?。?9+（1一勺+2=3-，當(dāng)〃=1時(shí)，適合?

故冊(cè)=3-；.

n

(2)a1=1,an+1=2an；

［答案］因?yàn)?=2n,所以幺=21,9=22,,工=2nT,

anaia2an-i

將這71-1個(gè)等式疊乘，

_n(n-l)n(n-l)

鷲=2l+2+-+(n-l)=2丁一，所以g=21一.

n(n-l)

當(dāng)JI=1時(shí)，適合.故斯=2—2一.

（3）a］—1,a^+］—2a^+1；

［答案］由題意知an+i+l=2（5+1）,所以數(shù)列｛出+1｝是以2為首項(xiàng)，2為

n

公比的等比數(shù)列，所以0n+1=2",所以an=2-l.

⑷的=：，CLn+l=

oa7］I4

［答案］由冊(cè)+1=生知瑪聲0,兩邊取倒數(shù)得」--三=3所以｛三｝是以，為

a2a2

an+2Qn+1nn

首項(xiàng)，;為公差的等差數(shù)列，所以上=5+(71—l)X；=字，冊(cè)=三.

，dflNN2Tl*i2

考點(diǎn)四數(shù)列的單調(diào)性與最值

例4

(1)已知數(shù)列｛an｝中，an=1+a+2；-i)(九eN*,aeR,且a=0).

(I)若a=-7,求數(shù)列｛a"中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；

［答案］解：因?yàn)閍=-7,所以即=1++.

結(jié)合函數(shù)/(%)=1+￡的單調(diào)性，

可知1>的>a2>,a5>a6>a7>???>an>l(nE,N*).

所以數(shù)列｛a"中的最大項(xiàng)為&5=2，最小項(xiàng)為=0.

(II)若對(duì)任意的neN*,都有每工。6成立，求a的取值范圍.

［答案懈：與=1+能與=1+.?

因?yàn)閷?duì)任意的n6N*，都有與<a6成立，結(jié)合函數(shù)f(%)=1+的單調(diào)

X~T

性，知5<號(hào)<6,所以一10<a<—8.故a的取值范圍為(一10,-8).

n

(2)在數(shù)列｛每｝中，an=(n+l)(^)(neN*).

(I)若4>an_x(n>2)，求71的最大值；

10

［答案］解：因?yàn)閮?cè)>0,則工21522),即零？2］，整理得5n2

an-i九(五)

M解得九W10.所以71的最大值是10.

(II)求數(shù)列的最大項(xiàng).

［答案］解：令221,即上狐整理得安之三，解得7129.則數(shù)

fln+i(n+2)(罵)n+in+211

列從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)開(kāi)始遞減，又。9=%0=翳，故數(shù)

列｛斯｝的第9,10項(xiàng)最大，為牛丁.

【點(diǎn)撥】數(shù)列是特殊函數(shù)，研究其性質(zhì)一般都離不開(kāi)函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.解

決數(shù)列單調(diào)性的方法主要有：作差比較、作商比較及結(jié)合相應(yīng)函數(shù)直觀判斷,

求最大項(xiàng)可通過(guò)列不等式組求.

變式4.

(1)已知數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式為=-彥+5n+32.

(I)數(shù)列的第幾項(xiàng)最大，最大項(xiàng)為多少？

［答案］解：因?yàn)槊?-(n—1)2+詈(ri€AT),所以當(dāng)n=2或n=3時(shí)，an

最大.

又=38,故數(shù)列｛斯｝的第2,3項(xiàng)最大，最大項(xiàng)為38.

(II)若a7n<0,求正整數(shù)加的最小值.

［答案］解：因?yàn)楹瘮?shù)f(%)=-x2+5%+32的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸方程為

5

所以數(shù)列｛斯｝從第3項(xiàng)起單調(diào)遞減.

又%=36>0,a2==38〉0,a8=8>0,a9=—4<0,所以若<

0,則m>9.

即正整數(shù)zn的最小值是9.

(2)已知首項(xiàng)為X1的數(shù)列｛功｝滿足馬+1=—(a為常數(shù)).

(I)若對(duì)于任意的修。-1，有%n+2=xn對(duì)于任意的neN*都成立，求a

的值；

a.山2

ax+i%n+ia如

［答案懈:因?yàn)?+2=n

“n+1+l翳+】axn+xn+l

2

所以。2打=(a+1)埠+%71n(a—l)xn=(a+1),呼，令九=1,得(M—

1)%1=(a+l)xf,

〃2_［=(')

一'解得。=一1.

!Q+1=0,

(II)當(dāng)a=l時(shí)，若%>0,數(shù)列｛*“｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

［答案］解：數(shù)列｛^｝是遞減數(shù)列.

因?yàn)?gt;0,xn+1=，所以/i>0(n6N*).

xn+l

又因?yàn)閄n+1-/一如=一」三<0(71eN*),故數(shù)列｛丐｝是遞減數(shù)列.

%n+l%n+l

考點(diǎn)五數(shù)列的周期性

例5已知數(shù)列｛冊(cè)｝的首項(xiàng)為2,且數(shù)列｛時(shí)｝滿足a”+i="，數(shù)列｛冊(cè)｝的前九

an+l

項(xiàng)的和為Sn,則S1OO8=(C)

A.504B.294C.-294D.-504

a+ia2=；,a?-1,

［解析］解:因?yàn)?=2,n=3=，所以=「=a4=

Q九+15-4-12

1a71T］

~T—=-3，又斯+2=滬1+；=an-1=，所以?xún)?cè)+4=-~~=an?所以

ahlaa

--￡.+1n+i-a-九-十rir+1nn+2

數(shù)列｛a｝的一個(gè)周期為4,且為+a2+a3+a4=,

因?yàn)?008+4=252,所以Sioo8=252x（-3=-294.故選C.

6

【點(diǎn)撥】解決數(shù)列周期性問(wèn)題，一般先寫(xiě)出前幾項(xiàng)確定周期，再依據(jù)周期求解.

待求式中出現(xiàn)較大下標(biāo)或已知條件中有關(guān)鍵恒等式，都是周期數(shù)列的“信號(hào)”.

如本例中冊(cè)+1=筆，即/"(%+1)=續(xù)二，由函數(shù)周期性相關(guān)結(jié)論可知該數(shù)列

an+l/(x)+l

的一個(gè)周期為4.

變式5.【多選題】已知又是｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和，a=2,a=1———,則下列

xnan-l

結(jié)論正確的是(ABD)

A.@2023=2B.S2023=1013

C.a371a371+1。3n+2=1D.｛an｝是以3為周期的周期數(shù)列

［解析］解：因?yàn)榈?2，所以的二1一工a3=1——=—1,a4=1—

—=2,...,=1---—-1----=1-------=1-：~=an?所以

a3an+21----1----F1一。三

an+i1---an-1

°n

｛即｝是以3為周期的周期數(shù)列，故D正確；

a2023=a3x674+1=@1=2，故A正確;

$2023=674（。1+g+。3）+%=674x（2+^—1）+2=1013,故B正確；

a3na3n+la3n+2=a3ala2=（一DX2X1=-1,故C錯(cuò)誤.故選ABD.

能151國(guó)D知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.數(shù)列|,］的一個(gè)通項(xiàng)公式為（D）

Af福B.a=C.a=2D.a=-^―

n2n+ln2n-ln2n+l

［解析］解：根據(jù)題意，數(shù)列|,I,I,I,,

斯=磊.故選D.

n2

2.已知數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為an=(-l)(n-1),則06=(A)

A.35B.11C.-11D.-35

［解析］解:依題意，a6=(—1)6(62-1)=35.故選A.

3.若數(shù)列｛an｝滿足a2n=a2n_i+a2n+1(n6N*),則稱(chēng)｛&J為“丫型數(shù)列”，

則下列數(shù)列不可能是“丫型數(shù)列”的是(B)

A.-1,0,1,0,—1,0,1,...B.1,2f193,592,3,...

C.0,0,0,0,0,0,0,D.2,1,-1,0,1,2,1,

［解析］解：因?yàn)閿?shù)列的每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)都等于其相鄰兩項(xiàng)的和，故不符合條件的只

有B.故選B.

4.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為加，且滿足a”=2Sn-n,則CI5=(B)

A.0B.1C.5D.6

［解析］解:當(dāng)n=1時(shí)，的=1，當(dāng)九>2時(shí),即_1=2Sn_j-(n-1)，與已知式子

聯(lián)立作差得的+an_i=1，故(Z5=1.故選B.

5.［2023屆河北秦皇島高三上開(kāi)學(xué)摸底］已知數(shù)列｛%｝中,%=1,且0n+i=

fl+—,n<3,.3

Ian則的022=?

I—an_2,九之4,

［解析］解：由題意知02=1+—=2,a3=1+—=1,

a22

d.15。

1+—~,@5——@2—_乙，

35

aaa=

6-~3=一鼻，7"a4=一丁

r3

CLQ=—Q5=2,Q9=。6=&,???

觀察可得數(shù)列｛a"從第2項(xiàng)開(kāi)始是以6為周期的數(shù)列，故42022==-|.

故填—I.

6.【多選題】關(guān)于數(shù)列｛&J,下列說(shuō)法正確的是(ABD)

A.若的=2,an+1=an+ln(l+-),則冊(cè)=2+Inn

n+1

B.若的=1,an+1=2an+3，則an=2—3

C.若電=1,an>0，且(n+l)W+i-na^+an+1an=0，則an=——

nn-1

D.若%=1,an+1=2an+2，則冊(cè)=n-2

［解析］解：對(duì)于A,a—a=ln(l+2),累加得%i+i-=In(上^?——

n+1nnnn—L

1)=ln(n+1)，則%!=2+Inn，正確.

n+1

對(duì)于B,(an+14-3)=2(On+3)，得0n=2-3，正確.

對(duì)于C,原式化為Kn+l)a+i_na］(a+a)=0,a>0，則%13,可

nnn+1nndu7l+1

得冊(cè)=\錯(cuò)誤?

對(duì)于D,第=|^+|，故既｝是等差數(shù)列，得即=n?2。-1,正確.故選ABD.

7.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%，%=1,Sn=2an+1,則數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公

fl,n=1,

式為廝=X(力1-2m22.

［解析］解：因?yàn)?=2an+1,①

%=1,當(dāng)71=1時(shí)，Si=Cl］=2a2,所以。2=1?

當(dāng)n22時(shí)，Sn_i=2an,②

①-②得a催=2an+1-2an,即皿=f(n>2).

n2n2

所以當(dāng)n22時(shí)，an=a2-(|)-=|x(|)~,

故冊(cè)=&'(|尸-2,九22.

rl,n=1,

故填外!=gx(|)n-2,n>2.

8.(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)fQ)=等，設(shè)數(shù)列｛每｝的通項(xiàng)公式為&=

/(n),其中71eN+.

(1)求。2的值；

［答案］解：由題意得冊(cè)=平=2-；，所以02=2-：=/

(2)求證：1Wa。<2；

［答案］證明：由(1)知，0n=2—；，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以nNl,0<；Wl,

即1W2—工<2,所以1<a<2.

nLn

(3)判斷｛即｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，并說(shuō)明理由.

［答案］｛冊(cè)｝是遞增數(shù)列.

證明：廝=2-；,即+1-冊(cè)=；一?=就>0,所以｛an｝是遞增數(shù)列?

【綜合運(yùn)用】

9.若數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=舄藐①eN*),則這個(gè)數(shù)列中的最大項(xiàng)是

(C)

A.第12項(xiàng)B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng)D.第15項(xiàng)

［解析］解：=2\,=-4?6，而n+—>2In■—=28,當(dāng)且僅當(dāng)n=14

“nz+196n+--nyjn

時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)九=14時(shí)，』取得最大值白，即最大項(xiàng)是第14項(xiàng).故

71+——7128

選C.

10.九連環(huán)是我國(guó)從古到今廣泛流傳的一種益智游戲.它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，

以解開(kāi)為勝.據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)擦，解

之為二，又合而為一.”在某種玩法中，用0n表示解下ndW9,neN*)個(gè)圓環(huán)

所需的移動(dòng)量的最少次數(shù)，｛。兀｝滿足=1，且當(dāng)7122時(shí)，=

［2%1T-1,"為?則解下4個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為(A)

l2an_i+2,ri為奇數(shù),

A.7B.10C.12D.22

［解析］解：根據(jù)題意，a2=2al-1=1；a3=2a2+2=4;a4=2a3—1=

7,即解下4個(gè)圓環(huán)最少移動(dòng)7次.故選A.

11.R023屆浙江名校協(xié)作體高三上開(kāi)學(xué)考試］已知數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，前九項(xiàng)

和品=n2+n+A,則實(shí)數(shù)；I的取值范圍是(B)

A.(—00,2]B.(—00,2)C.(—00,0]D.(―oo,0)

22

[解析]解：當(dāng)n22時(shí)，CLn=Sn_Sn_]=7l+71+A-[(n-l)+(n-1)+

A]=2n,故當(dāng)九22時(shí)，｛斯｝單調(diào)遞增，故｛即｝為遞增數(shù)列只需滿足a2>

的,即4>2+4=X<2.故選B.

12.已知正項(xiàng)數(shù)列的前71項(xiàng)和為%,且%=1,柢;+信工=an(n>

2),則06=!!.

［解析］解：由題意得病+疝二=5n-5計(jì)1=(后-用工)(扃+

VS^7)(n>2),可得離一區(qū)二=1,又店=%=1,所以{向}是以1為首

2

項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以/^=九，Sn=n,則<16=$6—S5=6?-

52=11.故填11.

2

13.已知數(shù)歹U{aJ的前ri項(xiàng)和為無(wú),2Sn+n+2n+3=an.

(1)求an；

［答案］解：由25元+必+2九+3=每，

2

得25^+1+(n+I)+2(n+1)+3=an+1>

兩式相減得2即+1+2n+3=czn+1—an,

HP(zn+1+an=-2?i-3,

所以Cln+2+%i+i=-2.71—5,所以CZn+2~an=-2.

令71=1,可得=—6；令71=2,可得=1.

所以71為奇數(shù)時(shí)，%,=—6—2(^--1)=—n—5;

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，5=1一2(1-1)=—n+3,

(一幾一5,兀為奇數(shù)，

即Bn0={

n1一71+3,71為偶數(shù).

(2)若b=\a2n\,對(duì)任意的1<n<10,neN：bn+^->t,求t的取值

范圍.

［答案］%=|a2nl=|3-2n|,瓦=1,

當(dāng)nN2時(shí)，bn=2n—3.

令Gi=匕+￡，則當(dāng)九22時(shí)，cn+1-cn=bn+1+-(bn+^)=2n-1+

-----(2n-3H-----J)=2-----------.所以C4<C3<02=q,

2n-l'2n-3(2n-l)(2n-3)4321

當(dāng)九24時(shí)，cn+1>cn,所以扇的最小值為。4=Y，

所以tW裝.

【拓廣探索】

14.[2022年全國(guó)乙卷]嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成

為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日

周期的比值，用到數(shù)列{%}：bl=l+la1,無(wú)=1H---1，b3=1+

一一，…，依此類(lèi)推，其中以€N*（/c=.則（D）

?i+--r

&2+西

A.瓦<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

［解析］解：（方法一）因?yàn)榕c€/a=1,2廠..），所以的<的+工，->

a2

—1，得到瓦>b，同理的+—>H---1，可得⑦<b,b>b,又

%+不2a?a?+通313

因?yàn)楣?gt;---1—,a1H---V<CZjH-----—,故匕2〈人4，人3〉/；

aaa---T~

2-*--。--3-+--詬T~2^"Z3~2^?3+^

以此類(lèi)推，可得瓦>b3>b5>b7>???,b7>b8,故A錯(cuò)誤；

b3>b7>b8,故B錯(cuò)誤；

—>-----i—,得電<b6,故C錯(cuò)誤；

?2a+----r

2底3+…詬

aH----1一>?1H----二一，得/<b,故D正確.

r做+--rQ+----r7

°3+西甌+西

（方法二）令ak=l（k=1,2,...），則瓦=2,b=l，b=|,b=l，b=^,b=

2N33435o6

卷/7=字匕8=字得為Vg.

故選D.

6.2等差數(shù)列

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前72項(xiàng)

和公式的關(guān)系.

3.能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題.

4.體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.

必備知識(shí)溫故知新

【教材梳理】

1.等差數(shù)列的概念

（1）等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的

前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等

差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示，即即一0nT=d（neN+,Kn>

2）或許+i-&；=d（neN+）.

（2）等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差

數(shù)歹U.這時(shí),4叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=2上

b.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

（1）通項(xiàng)公式：an=%+（71—l）d.該式又可以寫(xiě)成0n=nd+@—d）,

這表明d#0時(shí)，即是關(guān)于n的一次函數(shù)，且d>0時(shí)是增函數(shù)，d<0時(shí)是減

函數(shù).

（2）前71項(xiàng)和公式：571=&詈應(yīng)=九如+四/九該式又可以寫(xiě)成上=

|n2+-1）n,這表明dAO時(shí)，是關(guān)于八的二次函數(shù)，且d>0時(shí)圖象

開(kāi)口向上，d<0時(shí)圖象開(kāi)口向下.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

（1）與項(xiàng)有關(guān)的性質(zhì)

①等差數(shù)列｛an｝中，若公差為d,則冊(cè)=a7n+（九一m）d,當(dāng)九。m時(shí)，

d——n-a7n

n-m.

②在等差數(shù)列｛冊(cè)｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qGN*）,則a,”+a“=

%+ctq.特別地，若7n+n=2p,則a%+冊(cè)=24.

③若數(shù)列｛旬｝是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列｛入每+外（A,b為常數(shù)）是

公差為四的等差數(shù)列.

④若數(shù)列｛an｝,｛與｝是公差分別為四,d2的等差數(shù)列，則數(shù)列｛入冊(cè)+

X2bn）（乙,%為常數(shù)）也是等差數(shù)列，且公差為；1屈1+42d2.

⑤數(shù)列｛即｝是公差為d的等差數(shù)列，則從數(shù)列中抽出項(xiàng)以,ak+m,ak+2m,

,組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列，公差為血.

（2）與和有關(guān)的性質(zhì)

①等差數(shù)列中依次k項(xiàng)之和品,S2k-Sk33k-S2k組成公差為囚的等差

數(shù)列.

②記S偶為所有偶數(shù)項(xiàng)的和，S奇為所有奇數(shù)項(xiàng)的和.若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

2n（n6N*），則S2n=n（an+an+1）,5偶一S奇=血,”=蜉（S奇牛0）;若等差

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-l（nGN*），則$2正1=（2n-l）an（an是數(shù)列的中間

項(xiàng)）6奇一5偶=冊(cè)，￡=?（S奇豐0）.

奇

③｛即｝為等差數(shù)列今｛曰｝為等差數(shù)列.

④兩個(gè)等差數(shù)列｛&J，｛%｝的前幾項(xiàng)和土，7；之間的關(guān)系為詈=等三

。0,「2n-l。。）?

【常用結(jié)論】

4.關(guān)于an的結(jié)論

（1）在等差數(shù)列｛%｝中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除

外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，表示為廝+1=K產(chǎn)，等價(jià)于

0n+an+2=2a?+1，以及冊(cè)+1—an=0n+2—%i+i-

（2）若a兀=pn+q（p,q為常數(shù)）,則｛an｝一定是公差為p的等差數(shù)列.

5.關(guān)于的結(jié)論

（1）等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值與｛3J的單調(diào)性有關(guān).

①若%>0,d<0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正項(xiàng)（或0）,所以將這些項(xiàng)

相加即得％的最大值.

②若的<0,d>0,則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)（或0）,所以將這些項(xiàng)

相加即得％的最小值.

③若的>0,d>0,則｛S"是遞增數(shù)列，Si是｛Sn｝的最小值；若的<

0,d<0,則｛S"是遞減數(shù)列，S1是｛Sn｝的最大值.

22

（2）｛a?｝是等差數(shù)列0sn=An+Bn（/,B是常數(shù)）.若%=An+

Bn+C且CH0，則｛與｝從第2項(xiàng)起成等差數(shù)列.

自主評(píng)價(jià)

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”.

（1）若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足。3-。2=-,則｛an｝是等差數(shù)列.（X）

（2）已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)