2023新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)任意角練習新人教A版必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

知識

知識點一與任意角有關的概念辨析

1.把一條射線繞著端點按順時針方向旋轉240。所形成的角是（）

A.120°B.-120°C.240°D.-240°

答案D

解析由定義，知順時針方向旋轉240°即―240°.

2.已知中學生一節(jié)課的上課時間一般是45分鐘，那么，經(jīng)過一節(jié)課，分針旋轉形成的

角是（）

A.120°B.-120°C.270°D.-270°

答案D

解析分針旋轉形成的角是負角，故所求分針旋轉形成的角是（一360。）X—=-2700.

o0

3.射線力繞端點。逆時針旋轉120°到達如位置，由段位置繞端點。旋轉到達0C位

置，得—150。，則射線如旋轉的方向與角度分別為（）

A.逆時針，270°B.順時針，270°

C.逆時針，30°D.順時針，30°

答案B

解析由題意可知，N408=120°,設4B0C=9,所以/加C=/AOB++

。=—150°,解得。=—270°,故需要射線/繞端點。順時針旋轉270°.

知識點二終邊相同的角與象限角

4.與1303°終邊相同的角是（）

A.763°B.493°C.-137°D.-47°

答案C

解析因為1303°=4X360°-137°,所以與1303°終邊相同的角是一137°.

5.若a=-60°,則a是（）

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

答案D

解析因為a=—60°=-1X360°+300°,故a是第四象限的角.

6.集合〃=｛。|。=公90°,4GZ｝中，各角的終邊都在（）

A.x軸正半軸上

B.y軸正半軸上

C.x軸或y軸上

D.x軸正半軸或y軸正半軸上

答案C

解析集合〃表示終邊在坐標軸上的角，故選C.

7.（多選）下列各對角中，終邊相同的是（）

A.270°和公360°-270°（AeZ）

B.72°和792°

C.-140°和220°

D.1200°和2440°

答案BC

解析若兩角的終邊相同，則兩角需相差4?360°（4GZ）,經(jīng)驗證，792°=2X360°

+72°,220°=360°+（—140°）,故選BC.

8.已知角。的終邊過點尸（（一2），log2sin30°）,則角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案C

-1

解析V（-2）=—1,log2sin30°=log[=-1,.?.點尸的坐標為卜一1）,點尸

在第三象限，.?.角a是第三象限角.

9.—2020°是第象限角.

答案二

解析一2020°=-6X360°+140°,140°是第二象限角，所以一2020°為第二象限

角.

10.下列說法中，正確的是（填序號）.

①終邊落在第一象限的角為銳角；②銳角是第一象限的角；③小于90°的角一定為銳角；

④角a與一a的終邊關于x軸對稱.

答案②④

解析終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400。的角是第一象限的角，但不是銳

角，故①說法錯誤；小于90°的角不一定為銳角，比如負角，故③說法錯誤，②④顯然正確.

11.寫出終邊在直線了=小了上的角的集合.

解解法一：終邊在y=/x（x>0）上的角的集合S={a|a=60°+k?360°,AGZ}；

終邊在尸/x（x〈0）上的角的集合S={a|a=240°+^-360°,MZ}.

于是，終邊在直線尸小才上的角的集合S=SUW={a|。=60°+人360°,k^Z}

U{aIa=240°+k?360°,AeZ)={a\a=60°+2k?180°,AEZ}U{a\a=60°+

(2^+1)?180°,"CZ}={a|a=60°+k-180°,AEZ}.

解法二：在0°?180°范圍內，當終邊在y=/x(x〉0)上時，對應角為60°；旋轉180°

后，終邊落在y=/x(x〈0)上；再旋轉180。，終邊回到了=/x(x>0)上，故終邊在直線y

上的角的集合S={a|a=60°+A,180°,k^Z].

a

12.已知。是第三象限的角，則彳是第幾象限的角？

解解法一：：a是第三象限的角，

：.k-360°+180°<a<k-360°+270°(AeZ),

a

：.k^120°+60°<—<k*120°+90°(A￡Z).

o

???當A=3勿(R￡Z)時，下■為第一象限的角；

O

a

當A=3勿+1(RGZ)時，k為第三象限的角；

U

a

當A=3必+2EGZ)時，彳為第四象限的角.

故?為第一或第三或第四象限的角.

解法二：把各象限分為3等份，再從x軸的正方向的上方起按逆時針順序依次將各區(qū)域

標上一、二、三、四，一、二、三、四，…，如圖，則標號為三的區(qū)域為9的終邊所在的區(qū)

,a

域.由圖可知，可是第一或第三或第四象限的角.

13.在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.

(1)最大的負角;(2)最小的正角;⑶360。~720°的角.

解(1)與10030°終邊相同的角的一般形式為S=k?360°+10030°(AeZ),由一

360°<A-360°+10030°<0°,得一10390°<k?360°<-10030°,解得#=—28,故所求

的最大負角為￡=—50。.

（2）由0°<^-360°+10030°<360°，得一10030°<k?360°<-9670°，解得孑=-27,

故所求的最小正角為￡=310°.

（3）由360°<^?360°+10030°<720°,得一9670°〈"?360°<-9310°,解得"=一

26,故所求的角為8=670。.

知識點三區(qū)域角的表示

14.如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是（）

A.{a|-45°W）

B.{ff|120°WaW315°}

C.{a\k>360°-45°a?360°+120°,k^Z}

D.{a\k>360°+120°WaWA?360°+315°,AGZ}

答案C

解析陰影部分的角從一45°到90°+30°=120°,再加上360°的整數(shù)倍，即

k'360°-45°WaW4?360°+120°,kH.

15.集合{a|"T80°+45°WaWAT80°+90°,?GZ}中的角。的終邊在圓中的

位置（陰影部分）是（）

答案C

解析當A=2A,時，〃?360°+45°WaW〃?360°+90°,〃GZ；當A=2〃+l,

時，n-360°+225°WaW〃?360°+270°,〃GZ.故選C.

16.如圖，終邊落在勿的位置上的角的集合是；終邊落在"的位置上，且在

-360°?360。內的角的集合是；終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是

答案{a|a=120°+k-360°,"eZ}{315°,一45°}{ff|-45°+

k-360°WaW120°+A?360°,AeZ)

解析終邊落在OA的位置上的角的集合是{a|a=120°+4?360。，AEZ).終邊落

在"的位置上的角的集合是{aIa=315°+A?360°,"GZ},取"=0,—1得a=315°,

—45°.故終邊落在神的位置上，且在一3600~360°內的角的集合是{315°,—45°}.終

邊落在陰影部分的角的集合是{a-45°+A-360°Wa(120°+A-36O0,4GZ}.

17.已知，如圖所示.

（1）分別寫出終邊落在勿，如位置上的角的集合；

（2）寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.

解（1）終邊落在的位置上的角的集合為{。|。=90°+45°+A-360°,4eZ}=

{|<z=135°+A?360°,次GZ},終邊落在出位置上的角的集合為{￡|￡=—30°+

360°,Aez}.

（2）由圖可知，陰影部分角的集合是由所有介于［—30。，135。］之間的所有與之終邊相

同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{a1—30°+A-360°WaW135°+A-36O0,反

Z）.

18.如圖所示的圖形中，陰影部分（包括邊界）表示的終邊相同的角的集合如何表示？

解在0°~360°范圍內，陰影部分（包括邊界）表示的范圍是150°WaW225°,則滿

足條件的角。為{。|人360°+150°WaWA?360°+225°,AGZ}.

易錯特別練

易錯點一以偏概全致錯

若a是第一象限的角，則一］是（）

A.第一象限的角B.第四象限的角

C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角

易錯分析利用a的特殊情形解答本題時，易考慮不全面.如令。=60°,則一券=

-30°,為第四象限的角，錯選B.

答案D

a

正解解法一：由題意知，人360°<360°+90°,k^Z,貝Uk-180°<y

<k-180°+45°,

a

所以一4?180°-45°<--<-A>180°,kGZ.

aa

當人為偶數(shù)時，一2為第四象限的角；當人為奇數(shù)時，一萬為第二象限的角.

解法二：由幾何法易知1"為第一象限的角或第三象限的角，根據(jù)一1■與1"的終邊關于x

軸對稱，知一方為第四象限的角或第二象限的角.

易錯點二解角的終邊問題時忽略討論才致錯

已知。是第一象限的角，￡是第二象限的角，試確定甘殳角的終邊所在的位置.

易錯分析本題易因忽略討論次值而得到如下錯解：

由已知得4?360°<<z<90°+k-360°,AGZ,①

90°+k>360°<￡<180°+k-360°,AeZ.②

①+②，得90°+24?360°<a+￡〈270°+2A-360°,k^l,

a+￡

.?.45°+4?360°<―--<135°+k-360°,k^Z.

d+B

由上式知，一^角的終邊在第一象限或第二象限或y軸的正半軸上.

正解由己知得在?360°<ff<90°+Ai?360°,AeZ,①

90°+A-2?360°〈￡〈180°+4?360°,&GZ.②

①+②，得90°+（A+A2）-360°<。+￡<270°+（左+左）-360°,鼠,左eZ,

Q+B

???45°+（左+在）-180°<―--<135°+（左+左）-180°,左，k2^Z.

Q+BG+B

當人+左=2M〃eZ）時，45°+;?-360°<―--<135°+??360°,―--角的終邊在

第一象限或第二象限或y軸的正半軸上；

CL+Ba+B

當左+在=20+1①￡Z）時，225°+勿?3600<---<315°+勿?360°,---角的終

邊在第三象限或第四象限或y軸的負半軸上.

課時綜合練

一、單項選擇題

1.下列說法中，正確的是()

A.第二象限的角都是鈍角

B.第二象限角大于第一象限的角

C.若角a與角￡不相等，則a與￡的終邊不可能重合

D.若角。與角￡的終邊在一條直線上，則0—￡=4?180°(AGZ)

答案D

解析A錯誤，495°=135°+360°是第二象限的角，但不是鈍角；B錯誤，a=135°

是第二象限角，￡=360°+45°是第一象限的角，但a〈￡；C錯誤，a=360°,￡=720°,

但二者終邊重合；D正確，a與￡的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差

180°的整數(shù)倍，故。一￡="?180°("GZ).

2.若角a的終邊經(jīng)過點”(0,-3),則角a()

A.是第三象限角

B.是第四象限角

C.既是第三象限角，又是第四象限角

D.不是任何象限的角

答案D

解析因為點〃(0,—3)在y軸負半軸上，所以角a的終邊不在任何象限.

3.集合A={a\a=A?90°—36°,k《Z},6={￡|一180°〈￡〈180°},則AA6=

()

A.{-36°,54°}

B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}

D.{-126°,54°}

答案C

解析令A=—1,0,1,2,則48的公共元素有一126°,-36°,54°,144°.

4.若a是第四象限的角，則270°-a是()

A.第一象限的角B.第二象限的角

C.第三象限的角D.第四象限的角

答案D

解析?:a是第四象限的角，+A-360°<a〈A?360°,k^Z,貝U270°一

k-360°<270°—a〈360°~k-360°,4eZ,故270°―。是第四象限的角.

5.角a=45°+k-180°,4GZ的終邊落在()

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限

答案A

解析當"為偶數(shù)時，。的終邊在第一象限；當A為奇數(shù)時，a的終邊在第三象限，故

選A.

6.若角a與￡的終邊關于x軸對稱，則有（）

A.。+￡=90°

B.。+￡=90°+A-360°,kGZ

C.aP—2k,180°,孑eZ

D.a+￡=180°+A?360°,k^1

答案C

解析?：a與目的終邊關于x軸對稱，；.￡=2A?180°-a,"GZ.a+￡=

2A?180°,2dZ.故選C.

7.如圖，a,￡分別是終邊落在射線的，如位置上的兩個角，且。=60°,￡=315°,

則終邊落在陰影部分（不包括邊界）的角的集合為（）

A.{y\k-360°-45°<r<A?360°+60°,AeZ}

B.{y\k-360°-135°<r<A?360°+120°,#ez}

C.{r|7f?180°-45°<y<k>180°+60°,AEZ}

D.{r|A?180°+45°<180°+135°,k^l}

答案A

解析因為一45°角是與￡終邊相同的一個角,所以陰影部分（不包括邊界）所表示的角

的集合為{川#.360°-45°<360°+60°,AeZ}.

8.已知角2a的終邊在x軸的上方，那么。是（）

A.第一象限角B.第一或第二象限角

C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角

答案C

解析因為角2a的終邊在x軸的上方，所以A?360°〈2?！??360°+180°,MZ,

則有彳780°<a<k-180°+90°,4GZ.故當4=2”，時，n?360°<a<n-360°+

90°,a為第一象限角；當次=2〃+1,時，n-360°+180°<a<n-360°+270°,

a為第三象限角.故選C.

二、多項選擇題

9.關于角度，下列說法正確的是（）

A.時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉過的角度是60。

B.鈍角大于銳角

C.三角形的內角必是第一或第二象限角

D.若￡=（?+4?360°（"GZ）,則角a與角￡終邊相同

答案BD

解析對于A,時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉過的角是一60°,故錯誤；對于B,鈍角一定

大于銳角，顯然正確；對于C,若三角形的內角為90°,是終邊在y軸正半軸上的角，故錯

誤；對于D,兩個角的終邊相同，則兩個角相差360。的整數(shù)倍，故正確，故選BD.

a

10.已知a是第三象限角，則萬可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案BD

解析因為a是第三象限角，所以八360°+180°<360°+270°,k^T,所

以4780°+90°180°+135°,AGZ.當“為偶數(shù)時，￡?是第二象限角；當人為奇

數(shù)時，最?是第四象限角，故選BD.

11.下列四個選項正確的是（）

A.-75°角是第四象限角B.225°角是第三象限角

C.475°角是第二象限角D.-315°角是第一象限角

答案ABCD

解析對于A,如圖1所示，一75°角是第四象限角；對于B,如圖2所示，225°角是

第三象限角；

對于C,如圖3所示，475°角是第二象限角；對于D,如圖4所示，一315。角是第一象

限角.故選ABCD.

12.若角a的終邊在直線y=—x上，則角a的取值集合為（）

A.{a\a=k-360°-45°,AdZ}

B.{ff|a=k?360°+135°,4GZ}

C.{a[a=4?180。+135°,"ez}

D.{a[a=h180°—45°,k^z}

答案CD

解析直線y=一x過原點，它是第二、四象限角的平分線所在的直線，故在0°?360。

范圍內終邊在直線尸一x上的角有兩個：135°,315。.因此，終邊在直線y=—x上的角的

集合S={a|a=135°+"?360",k^Z}U{a|a=315°+A?360°,"GZ}={a|a=

135°+2A?180°,"dZ}U{a|a=135°+(2^+1)?180°,"GZ}={a|a=135°+

k-180°,AeZ}.或者表示為S={a|a=h180°-45°,AeZ}.故選CD.

三、填空題

13.-378°是第象限角.

答案四

解析—378。=-360°—18°,因為一18°是第四象限角，所以一378。是第四象限角.

14.50。角的始邊與x軸的非負半軸重合，把其終邊按順時針方向旋轉3周，所得的角

是.

答案一1030。

解析順時針方向旋轉3周轉了一(3X360°)=—1080°,又50°+(—1080°)=一

1030°,故所得的角為一1030°.

9

15.若角&的終邊與60°角的終邊相同，則在0°?360。內終邊與彳角的終邊相同的

角為.

答案20°,140°,260°

6

解析由題意設。=60°+A-360°("GZ),則可=20°+A-120°(AeZ),則當孑=

0

0,1,2時，彳=20°,140°,260°.

16.已知集合A={a\k>180°+30°<a<k-180°+90°,k^l},集合B=

{￡h?360°-45°<￡〈A?360°+45°,AeZ},則/C8=,AUB=.

答案{。|30°+4?360°〈夕〈45°+k-360°,4eZ}{y\k-360°-

45°<360°+90°或4?360°+210°<r<A-360°+270°,AeZ}

解析集合4集合6表示的角的區(qū)域如圖所示，則AC8={/30°+A-360°<"45°

+"?360°,AeZ},AU{r\k-360°-45°<360°+90°或360°+

210°<y<k>360°+270°,AeZ}.

四、解答題

17.在一晝夜中，鐘表的時針和分針有幾次重合？幾次形成直角？時針、分針和秒針何

時重合？請寫出理由.

解時針每分鐘走0.5。，分針每分鐘走6。，秒針每分鐘走360。，本題為追及問題.

(1)一晝夜有24X60=1440(分鐘)，時針和分針每重合一次間隔的時間為罟分鐘，

6—0.5

1440

所以一晝夜時針和分針重合的次數(shù)為一k=22.

360

6-0.5

(2)假設時針不動，分針轉一圈與時針兩次形成直角，但一晝夜時針轉了兩圈，則少了4

次垂直，于是一晝夜時針和分針形成直角的次數(shù)為24X2-4=44.

(3)秒針與分針每重合一次間隔的時間為獸宗分鐘，由于房［與含7的“最小公倍

數(shù)”為720,而72