第五章分析力學(xué)

第五章

分析力學(xué)

平衡力學(xué)體系的虛功原理以能量為基礎(chǔ)的拉格郎日方程哈密頓原理及其應(yīng)用正則變換§5.0分析力學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史§5.0發(fā)展簡(jiǎn)史

在以前四章中，牛頓運(yùn)動(dòng)定律為解決所有問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，物體的受力分析是解決問(wèn)題的必備過(guò)程。對(duì)于較為復(fù)雜的體系，用牛頓定律求解，會(huì)有相當(dāng)大的困難(未知的約束反力，大量的二階微分方程)。1788年━━拉格郎日━━《分析力學(xué)》(拉格郎日)Lagranges

個(gè)獨(dú)立變量描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，二階微分方程。1834年━━哈密頓(Hamilton)━━哈密頓正則方程2s

個(gè)獨(dú)立變量描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)：s

個(gè)坐標(biāo),s

個(gè)動(dòng)量,一階微分方程。1843年━━哈密頓(Hamilton)━━哈密頓原理……

莫培督(Maupertuis)、歐拉(Euler)、泊松(Poisson)、高斯(Gauss)、雅可畢(Jacobi)§5.1約束與廣義坐標(biāo)

一、約束的概念§5.1約束與廣義坐標(biāo)一、約束的概念和分類體系：一群質(zhì)點(diǎn)，其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都與其它質(zhì)點(diǎn)的位置和運(yùn)動(dòng)相關(guān)，這個(gè)集合成為力學(xué)體系。(質(zhì)點(diǎn)組)N

個(gè)質(zhì)點(diǎn)→個(gè)坐標(biāo)數(shù)目約束：限制質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件。如平面，軌道等。數(shù)學(xué)上，表示為一個(gè)關(guān)于位置、速度、時(shí)間的方程。xyzzk

個(gè)約束方程：剩個(gè)自由坐標(biāo)例子：N個(gè)質(zhì)點(diǎn)被限制在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，那么該平面是一個(gè)約束，約束方程就是該平面的方程：自由坐標(biāo)數(shù)目：3N3N-k3N-N=2N個(gè)

一條空間曲線，需要幾個(gè)方程描述？一個(gè)空間曲面呢？

約束的分類約束的分類穩(wěn)定約束f(x,y,z)=0不穩(wěn)定約束f(x,y,z;t)=0(1)按約束方程是否顯含時(shí)間:(2)質(zhì)點(diǎn)是否可以脫離約束：不可解約束f(x,y,z;t)=0可解約束f(x,y,z;t)≥0有時(shí)，微分約束可以通過(guò)積分變?yōu)橥暾s束。而不能通過(guò)積分而改變的微分約束叫不完整約束。例如：(可化為完整約束)(不完整約束)(3)約束是否與速度相關(guān)：幾何約束(完整約束)f(x,y,z;t)=0運(yùn)動(dòng)約束(微分約束)完整系：只受幾何約束的力學(xué)體系。(主要內(nèi)容)不完整系：約束中包括不完整約束的力學(xué)體系。二、廣義坐標(biāo)二、廣義坐標(biāo)N

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，k

個(gè)約束No.1No.2No.n剩下獨(dú)立變量數(shù)目(自由度)：s=3n-

k另外選用s

個(gè)獨(dú)立參數(shù)

q1,q2,…，qn來(lái)描述力學(xué)體系：廣義坐標(biāo)：相互獨(dú)立的s

個(gè)坐標(biāo)q1,q2,…，qn不一定是長(zhǎng)度，可以是角度等其他物理量。例：質(zhì)點(diǎn)(x,y,z)限制在球殼x2+y2+z2=r2上運(yùn)動(dòng)。廣義坐標(biāo)：q

和j§5.2虛功原理

一、實(shí)位移與虛位移§5.2虛功原理一、實(shí)位移與虛位移1.實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)實(shí)際上所發(fā)生的位移，以dr

表示2.虛位移：不是由于時(shí)間變化而引起，僅僅是根據(jù)質(zhì)點(diǎn)位置和約束條件而可能發(fā)生的位移。以dr

表示xy軌跡軌跡軌跡drxy軌跡dr(平面約束)(線約束)(只有兩個(gè)可能方向)dr(沒(méi)有約束)二、理想約束3.特點(diǎn)：☆

實(shí)位移具有唯一性，而虛位移則不唯一，甚至無(wú)限多；☆

在穩(wěn)定約束的情況下，實(shí)位移是虛位移的一種情況；☆

在非穩(wěn)定約束下，虛位移并不包含實(shí)位移。二、理想約束1.虛功：作用在質(zhì)點(diǎn)上的力(含約束反力)

F

在任意虛

位移

dr

中所做的功，叫做虛功。2.理想約束：作用在一力學(xué)體系上的諸約束反力在任意虛位移

dr

中所做的虛功之和為0.(光滑曲線，光滑面剛性桿，光滑鉸鏈等)drdr虛位移不包含實(shí)位移的情況此時(shí)，約束反力始終垂直于約束線或面三、虛功原理力學(xué)體系處于平衡時(shí)：三、虛功原理(不可解約束的情況)一個(gè)力學(xué)體系，具有n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，k

個(gè)約束方程。Fi

：主動(dòng)力的合力Ri：約束力的合力讓每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置作一次虛位移，相應(yīng)的虛功為：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：=0(理想約束)平衡條件：力學(xué)體系的各主動(dòng)力的虛功之和為零。虛功原理

廣義力虛功原理:無(wú)約束時(shí)：有約束時(shí)：dri

之間并不互相獨(dú)立。將dri

變成互相獨(dú)立的變量。對(duì)n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，k

個(gè)約束

:獨(dú)立變量s=3n-k廣義力:[例題][例題]：兩條均勻桿，用鉸鏈?zhǔn)孜蚕嘟?，然后把一端通過(guò)鉸鏈固定在墻上。在桿的自由端施以力

F,試計(jì)算桿的張角。[解]根據(jù)虛功原理，主要考慮主動(dòng)力和主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移。主動(dòng)力：P1,P2,F相應(yīng)的作用點(diǎn)

(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)P1點(diǎn)：P2點(diǎn)：F點(diǎn)：總的虛功：?jiǎn)栴}：

x1,x2,y3

相互獨(dú)立嗎？(不!)FabABP1P2l1l2xy(續(xù))自由度數(shù)目：4-2=2，選a,b為獨(dú)立變量。寫出x1,x2,y3

與獨(dú)立變量的關(guān)系：FabABP1P2l1l2xy于是：[例題]解題步驟：

1.

找出體系中所有的主動(dòng)力；在固定點(diǎn)建立坐標(biāo)系；

2.

根據(jù)受力點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出主動(dòng)力的虛功；

3.

找出能夠描述體系位置的獨(dú)立變量；

4.

將坐標(biāo)虛位移通過(guò)約束方程變?yōu)閺V義坐標(biāo)的虛位移；

5.

令廣義力為零，求得平衡的條件。[例題]

一均質(zhì)棒斜靠在半徑為r的半球形碗中，碗內(nèi)長(zhǎng)度為c.證明棒全長(zhǎng)為4(c2-2r2)/c.

qPmg[解]主動(dòng)力：mg作用力點(diǎn)：P(x,y)yx虛功：描述木棒位置的獨(dú)立變量：q約束方程：結(jié)論━━━②━━━━━§5.3拉格郎日方程

一、基本形式的拉格朗日方程§5.3拉格郎日方程一、基本形式的拉格郎日方程出發(fā)點(diǎn)：對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律化動(dòng)為靜：動(dòng)力學(xué)問(wèn)題靜力學(xué)問(wèn)題兩邊標(biāo)乘dri，然后對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和：(理想約束)現(xiàn)在的目的：將坐標(biāo)的虛位移變?yōu)楠?dú)立廣義坐標(biāo)的虛位移:?基本形式的拉氏方程保守系統(tǒng)的拉氏方程(推導(dǎo))(1)(1)(2)(2)因?yàn)槔窭扇辗匠藤|(zhì)點(diǎn)總動(dòng)能：由Pa=Qa，有基本形式的拉格郎日方程基本概念：廣義坐標(biāo)：qa廣義速度：廣義力：Qa廣義動(dòng)量：廣義坐標(biāo):q廣義動(dòng)量:廣義速度:廣義力:主動(dòng)力做虛功：二、保守系的拉格郎日方程二、保守系的拉格郎日方程(xi,yi,zi)廣義力：一共N

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)與第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力為Fij。若其為保守力，則對(duì)應(yīng)一個(gè)勢(shì)能函數(shù)：Vij(xi,yi,zi;xj,yj,zj)。體系總勢(shì)能：相應(yīng)第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)：從V的表達(dá)式看出，V

只是坐標(biāo)的函數(shù)(續(xù))

三、循環(huán)積分定義

拉格郎日函數(shù)

L=T-V(動(dòng)能-勢(shì)能)拉氏方程：三、循環(huán)積分在拉氏方程中，若L

不包含qb，那么循環(huán)坐標(biāo)：qb對(duì)的積分稱為循環(huán)積分?0四、能量積分

五、拉格郎日方程的應(yīng)用四、能量積分(自學(xué))在穩(wěn)定約束的條件下，可以由拉氏方程得到：五、拉格郎日方程的應(yīng)用條件：理想約束或沒(méi)有約束缺點(diǎn)：無(wú)法計(jì)算約束反力(1)根據(jù)基本形式的拉氏方程寫出動(dòng)力學(xué)方程基本過(guò)程：(I)找出描述體系的廣義坐標(biāo)；

(II)寫出相對(duì)于靜止坐標(biāo)系的動(dòng)能；

(III)應(yīng)用基本形式的拉格郎日方程。[例1]OxhzxyzwFP[例1]：一坐標(biāo)系O-xyz繞靜止坐標(biāo)系O-xhz

的z軸以恒定角速度w

旋轉(zhuǎn)，質(zhì)點(diǎn)P

受力F

的作用。計(jì)算P點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程。[解]設(shè)P

在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y,z)那么P

的絕對(duì)速度[例2][例2]：試寫出球坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程。[解]jqrxyzijkP在質(zhì)點(diǎn)P

對(duì)應(yīng)處，i,j,k方向的速度為因此質(zhì)點(diǎn)P

動(dòng)能為廣義坐標(biāo)：r,q,j(續(xù))即：①②③[例3][例3]：如圖所示，由兩個(gè)滑輪和三個(gè)砝碼組成滑輪組。略去摩擦及滑輪重量，求每個(gè)砝碼的加速度。(2)根據(jù)保守力系的拉氏方程求解運(yùn)動(dòng)規(guī)律[解](1)

確定體系自由度，選取廣義坐標(biāo)三個(gè)砝碼的位置并不是相互獨(dú)立的。選取如圖所示的兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)：q1和q2。(2)

寫出力學(xué)體系的動(dòng)能和勢(shì)能砝碼m1:動(dòng)能：勢(shì)能：m1m2m3q1q2xl1l2砝碼m2:(續(xù))砝碼m3:m1m2m3q1q2xl1l2(3)

寫出拉格郎日函數(shù)(C:所有不包含變量的常數(shù)項(xiàng)之和)(4)

將L

代入拉格郎日方程，求解方程(續(xù))結(jié)果：三個(gè)砝碼的加速度：━━━③━━━━━§5.5哈密頓正則方程

一、勒讓德變換§5.5哈密頓正則方程一、勒讓德變換(LegendreTransform)拉氏函數(shù)本質(zhì)上，拉格郎日方程是一個(gè)二階微分方程：變換的目的：將方程由二階變?yōu)橐浑A。將廣義動(dòng)量視為一個(gè)獨(dú)立變量：代入拉氏函數(shù)，L就是qa

和pa的函數(shù)。(續(xù))這組2s

維的動(dòng)力學(xué)方程并不對(duì)稱。s

維s

維勒讓德變換

就是將一組獨(dú)立變量變換為另外一組獨(dú)立變量的變換。[舉例]如何得到形式對(duì)稱的勒讓得變換。一函數(shù)f=f(x,y,z),自變量為x,y,z。其全微分：利用此即相當(dāng)于一組新變量：u,v,z和一個(gè)新函數(shù)-f+ux+vy(續(xù))含義：將一組變量的部分變?yōu)榱硗庖唤M同等數(shù)量的變量后，為了保持全微分的對(duì)稱形式，需定義另外一個(gè)函數(shù)。新函數(shù)的形式：?把

x,y看成未知數(shù)，其它的看成已知數(shù)。定義g=-

f+ux+vy=g(u,v,z)二、正則方程二、正則方程(Canonicalequations)將勒讓德變換應(yīng)用到拉氏函數(shù)中：定義新函數(shù)：哈密頓函數(shù)(續(xù))于是得到一組方程：(a=1,2,…,s)哈密頓正則方程正則變量：正則方程則給出了正則變量隨時(shí)間變化的情況。2s

維相空間在H

的定義中包含項(xiàng)。該變量通過(guò)求解方程組而替換掉。三、能量積分與循環(huán)積分

1.穩(wěn)定約束：H不顯含時(shí)間三、能量積分與循環(huán)積分1.穩(wěn)定約束與

T,L,H是否顯含

t

的關(guān)系對(duì)于n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么可用3n

個(gè)變量描述：若約束穩(wěn)定(不顯含時(shí)間)，那么k個(gè)約束表示為：由此可以確定出可以自由變動(dòng)的3n-k

個(gè)不顯含時(shí)間的廣義坐標(biāo)：體系總動(dòng)能：(質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的變化由廣義坐標(biāo)隨時(shí)間的變化給出)2.能量積分對(duì)于穩(wěn)定的力學(xué)體系，勢(shì)能也不是時(shí)間的顯函數(shù)。因此，L=T–V也不是時(shí)間t

的顯函數(shù)。相應(yīng)地，pa

，及與之相關(guān)的H

也不是時(shí)間t的顯函數(shù)。即對(duì)于穩(wěn)定約束：2.能量積分(1)H

的物理含義因

L中的

V不顯含qa故

L

被替換成為

T.即在穩(wěn)定約束的情況下，H

為體系的總能量。(續(xù))

3.循環(huán)積分(2)能量積分在穩(wěn)定約束的情況下，H

只是qa,pa

的函數(shù)。于是：即：T+V=常量3.循環(huán)積分(qa:廣義坐標(biāo)，pa:廣義動(dòng)量)若H

不顯含qa，那么dpa/dt≡0即：pa

為守恒量。(例題1)例題：設(shè)電荷為–e

的電子，在電荷為Ze

的核力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，Z

為原子序數(shù)。試用正則方程研究電子的運(yùn)動(dòng)。[解]用正則方程研究的關(guān)鍵點(diǎn)：寫出哈密頓量H.選擇廣義坐標(biāo)為：r,q,j寫出動(dòng)能：寫出勢(shì)能：拉格郎日函數(shù)(續(xù))計(jì)算與廣義坐標(biāo)相應(yīng)的廣義動(dòng)量：寫出哈密頓量：(在約束與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，也可直接應(yīng)用H=T+V.在應(yīng)用正則方程前，應(yīng)將廣義速度變換為廣義動(dòng)量。)(續(xù))根據(jù)正則方程，可以得到：討論：此即關(guān)于r

和q

的運(yùn)動(dòng)方程。(若初始時(shí)刻體系限制在

j=0的體系內(nèi)，那么以后體系始終在此平面內(nèi)。)①②③①②③(例題2)[例]

質(zhì)量為M

的小環(huán)，套在半徑為a

光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動(dòng)。如圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度w

繞圓圈上某點(diǎn)O

轉(zhuǎn)動(dòng)，試求小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。xyqalv牽v相2q[解]用正則方程求解的中心工作：找到哈密頓函數(shù)H.(1)找出描述小環(huán)的廣義坐標(biāo)：q(2)寫出質(zhì)點(diǎn)的拉氏函數(shù)L.相對(duì)速度牽連速度小環(huán)速度包括v牽v相q(3)找出pq

與的關(guān)系(續(xù))(4)寫出哈密頓函數(shù)(5)利用正則方程，寫出運(yùn)動(dòng)規(guī)律。將pq

換掉用正則方程求解問(wèn)題：確定體系自由度數(shù)，選定廣義坐標(biāo)；寫出體系的動(dòng)能和勢(shì)能，得到拉氏函數(shù)；通過(guò)拉氏函數(shù)得到廣義動(dòng)量與廣義速度的關(guān)系；寫出哈密頓函數(shù)，將廣義速度全部轉(zhuǎn)換為廣義動(dòng)量；寫出正則方程，計(jì)算廣義動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商及偏微分；將廣義動(dòng)量轉(zhuǎn)換為廣義速度，得到動(dòng)力學(xué)方程。━━━④━━━━━§5.6泊松括號(hào)與泊松定理

一、泊松括號(hào)

1.定義§5.6泊松括號(hào)與泊松定理一、泊松括號(hào)(Poissonbracket)理論物理，特別是量子力學(xué)中要用到的符號(hào)。一個(gè)力學(xué)量j

是正則變量pa,qa(a=1,2,…,s)及時(shí)間t的函數(shù):那么定義:泊松括號(hào)1.定義2.性質(zhì)2.與守恒量的關(guān)系正則方程的簡(jiǎn)單形式：(a=1,2,…,s)

對(duì)于一個(gè)力學(xué)體系，若一個(gè)力學(xué)量j

與時(shí)間無(wú)關(guān)，那么它是很有價(jià)值的一個(gè)力學(xué)量，稱為運(yùn)動(dòng)積分。其與哈密頓量的關(guān)系運(yùn)動(dòng)積分j[證明](QM)3.推廣3.泊松括號(hào)的推廣通過(guò)類比，可以推廣泊松括號(hào)：基本性質(zhì)：將j

或y

或q

換成H,同樣適用。(廣義坐標(biāo)與廣義動(dòng)量)(QM)(例題)例題：如果j

是坐標(biāo)和動(dòng)量的任意標(biāo)量函數(shù)，即其中a,b,c

為常數(shù)。證明：

[解]

先分析清楚選用什么坐標(biāo)系----直角坐標(biāo)系x,y,z寫出j

和Jz

的具體形式：于是：①②③①+②+③=0二、泊松定理二、泊松定理(Poissontheorem)定理目的：從兩個(gè)守恒量得到第三個(gè)守恒量。假定下列兩個(gè)量守恒：根據(jù)(泊松定理)即：若兩個(gè)量為守恒量，那么它們的泊松括號(hào)也為守恒量。(續(xù))例題理想情況：但實(shí)際上，在很多情況下，只能給出原有積分的線性組合或恒等式。[例]：一組質(zhì)點(diǎn)在內(nèi)保守力的作用下運(yùn)動(dòng)，如果x,y

方向的兩分動(dòng)量矩為常數(shù)，那么z

方向的動(dòng)量矩也是常數(shù)。證明之。[證明]根據(jù)動(dòng)量矩定義，有根據(jù)泊松定理，下面計(jì)算(續(xù))由于Jx,Jy

是常數(shù)，根據(jù)泊松定理，Jz

也是常數(shù)。=0=0=0=0§5.7哈密頓原理

一、變分運(yùn)算的幾個(gè)法則

1.變分的引入§5.7哈密頓原理一、變分運(yùn)算的幾個(gè)法則1.變分的引入歷史上的三個(gè)經(jīng)典問(wèn)題最速降線問(wèn)題：T=T[y(x)]ABxy即：在過(guò)A、B

兩點(diǎn)的一切函數(shù)中，選取一個(gè)函數(shù)，使得質(zhì)點(diǎn)從A

到B

所花時(shí)間最小。這里，時(shí)間是函數(shù)y(x)

的函數(shù)，即泛函。求時(shí)間T的最小值，就是求T

的變化為0，即dT=0短程線問(wèn)題：L=L[y(x)]設(shè)j(x,y,z)=0為一已知曲面，計(jì)算曲面上

A,B之間距離最短的曲線。xyzAB顯然，A、B

間的距離是曲線的函數(shù)，即是y(x)的函數(shù)。短程線問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上表示為dL=0(續(xù))等周問(wèn)題:S=S[r(q)]用給定長(zhǎng)度的一線段，圍出面積最大的一個(gè)區(qū)域。此時(shí)，面積是曲線r=r(q)的函數(shù)，即泛函。qr周長(zhǎng)=L泛函：對(duì)每一函數(shù)y(x)，集合l

中都有一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，那么l叫做依賴于函數(shù)y(x)的泛函，記為l=l[y(x)].例：一個(gè)函數(shù)j(p,q,t)做一微小變化，得到y(tǒng)(p,q,t)，那么它們之間的差被稱為函數(shù)j(p,q,t)的變分。變分：將函數(shù)y(x)做微小變化，從而引起泛函l[y(x)]的微小變化。記為dy,dl.函數(shù)：對(duì)與每一個(gè)數(shù)值x

，都有一個(gè)數(shù)值y

與之對(duì)應(yīng)，那么y

叫做x的函數(shù)，記為y=y(x).微分：將x做一微小變化，那么函數(shù)y(x)做相應(yīng)微小變化。這一微小變化稱為微分，記為dx,dy2.變分與微分的比較

3.變分的基本性質(zhì)3.變分的基本性質(zhì)2.變分與微分的比較函數(shù)與泛函相同點(diǎn)：結(jié)果都對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)。不同點(diǎn)：自變量類型不同函數(shù)自變量為數(shù)值，泛函的自變量為函數(shù)。變分與微分變分為一函數(shù)，而微分為一數(shù)值。微分：變分：xyy(x)y+dydxdy4.變分與微分的交換性4.變分與微分的交換性

如圖示，一函數(shù)f(x)，作變分后得到函數(shù)f+df。因此：ff+dfd(f+df)dfABA

B

xx+dx由圖可得，B

與B的微分的差就是df

的變分：即，微分與變分的次序可以交換：注意：等時(shí)變分：dt=0不等時(shí)變分：dt

0━━━⑤━━━━━

二、哈密頓原理

1.體系狀態(tài)的描述二、哈密頓原理

假設(shè)：n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的力學(xué)體系受到k

個(gè)幾何約束。其自由度s=3n–

k.拉氏方程……………即：時(shí)間確定之后，整個(gè)力學(xué)體系就確定了。把每個(gè)自由度看成是一維空間，那么s

個(gè)自由度構(gòu)成s

維空間。力學(xué)體系的某個(gè)狀態(tài)就是s

維空間中的一個(gè)點(diǎn)。隨著時(shí)間的連續(xù)變化，力學(xué)體系在

s維空間中形成一條曲線。q1q2qiqs1.體系狀態(tài)的描述2.哈密頓原理體系從

A

點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

B

點(diǎn)，

哪條路徑是真實(shí)的？(t1)(t2)AB2.哈密頓原理(限保守力系)保守力系拉氏方程對(duì)第a

個(gè)自變量qa

做變分：dqa，乘到拉氏方程兩邊：將dqa

乘到方括號(hào)中化簡(jiǎn)(續(xù))=0,因?yàn)閠1

和t2

處為固定端點(diǎn)，如何理解

d

L？因?yàn)榇肷享?yè)末式(深入理解)哈密頓原理其中，稱為作用函數(shù)，有時(shí)也叫主函數(shù)。深入理解力學(xué)體系的狀態(tài)

s維空間中的一個(gè)點(diǎn)。q1q2qiqst

假定體系通過(guò)

A

點(diǎn)和B

點(diǎn)。那么AB兩點(diǎn)之間不同的曲線意味著不同的變化規(guī)律：沿曲線C1：沿曲線C2：(t1)(t2)ABC1C2C3t不同的曲線對(duì)應(yīng)著不同的S

值。即：對(duì)應(yīng)一個(gè)真實(shí)的路徑，對(duì)應(yīng)的變分等于零。(續(xù))真實(shí)軌道具有的性質(zhì)：d

S=0結(jié)論：從哈密頓原理就可以得到真實(shí)的軌道，即若軌道C，將其軌道作變分后得到的主函數(shù)都變大(或變小)，那么軌道C

就是一條真實(shí)的軌道。滿足拉氏函數(shù)的真實(shí)軌道哈密頓原理d

S=0(微分形式)(積分形式)哈密頓原理文字表述：

保守的、完整的力學(xué)體系在相同時(shí)間內(nèi)，由某一初位移轉(zhuǎn)移到另一已知位形的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)具有穩(wěn)定值，即對(duì)于真實(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)講，主函數(shù)的變分等于零。(例題1)評(píng)價(jià)：哈密頓原理是一個(gè)非?；镜脑恚c牛頓運(yùn)動(dòng)定律等價(jià)。從該原理可以推得拉氏方程等其他原理、定律，甚至是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。[例]：試由哈密頓原理導(dǎo)出正則方程。[解]哈密頓原理以拉氏函數(shù)

L

為基礎(chǔ)，正則方程則以哈密頓函數(shù)H

為基礎(chǔ)，二者關(guān)系是：哈密頓原理變分與積分可交換?(續(xù))=0合并相同的變分由于dpa

與dqa

任意，而且相互獨(dú)立，因此等時(shí)變分(例題2)例：半徑為

a

光滑圓形鋼絲，以勻速度w

繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，圓圈上套著一質(zhì)量為m

的小環(huán)。起始時(shí)，小環(huán)自圓圈的最高點(diǎn)無(wú)初速地沿著圓圈下滑。試用哈密頓原理求小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。v

v0問(wèn)題：哈密頓原理的關(guān)鍵是什么？[解](2)寫出拉氏函數(shù)L=T

–

V(1)選用廣義坐標(biāo)：q相對(duì)速度牽連速度小環(huán)的絕對(duì)速度qw勢(shì)能零點(diǎn)哈密頓原理下面的目的是將上式中的變成.(續(xù))由于q

的任意性，根據(jù)前面得到的拉氏函數(shù)(自由度為1時(shí)的拉氏方程)━━全章復(fù)習(xí)━━━第五章

復(fù)習(xí)(1)一、幾個(gè)重要的約束：1.

穩(wěn)定約束與不穩(wěn)定約束2.

幾何約束與微分約束3.

完整系與非完整系二、幾個(gè)重要概念1.

實(shí)位移:由于時(shí)間的改變而引起的位移；2.

虛位移:假象的根據(jù)位置和約束而可能發(fā)生的位移；4.

廣義坐標(biāo):用于確定體系狀態(tài)的、獨(dú)立變化的參數(shù)；5.

自由度:獨(dú)立變化的廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。一個(gè)體系的自由度是固定的，但廣義坐標(biāo)的選取卻不唯一。對(duì)非完整系，獨(dú)立變化的坐標(biāo)數(shù)目可能小于3n-k.因此本章理論都只適用于完整系。(2)三、虛功原理1.虛功：力（包括主動(dòng)力和約束反力）在任意虛位移下所作的功。2.理想約束：所有約束反力所做的虛功之和為零。虛功原理：在理想約束的條件下(不能含摩擦力等)力學(xué)體系平衡主動(dòng)力虛功之和為零(光滑面，鉸鏈，不可伸長(zhǎng)、壓縮等物)求解要點(diǎn)：建坐標(biāo)系；寫出虛功原理；找出獨(dú)立廣義坐標(biāo)；(3)四、拉格朗日方程實(shí)質(zhì)：關(guān)于廣義坐標(biāo)的一組微分方程；目的：求解廣義坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律，等同于F=ma；出發(fā)點(diǎn)：力學(xué)體系的總動(dòng)能?；拘问降睦戏匠蹋罕Ｊ亓ο档睦戏匠蹋宏P(guān)鍵：找出廣義坐標(biāo)；寫出拉氏函數(shù)(4)重要概念：練習(xí)：寫出上述物