rb數(shù)學(xué)教案資料

第一章基本初等函數(shù)(Ⅱ)1.●三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)理解任意角(正角、負(fù)角、零角)的概念、象限角與區(qū)間角的概念.(2)掌握終邊相同角的表示方法，會(huì)用角的集合表示一些實(shí)際問(wèn)題中的角.2.過(guò)程與方法借助于角、直角坐標(biāo)系和單位圓等工具來(lái)引導(dǎo)學(xué)生了解任意角的概念，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)認(rèn)識(shí)問(wèn)題.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過(guò)對(duì)角的概念的探究提高學(xué)生的推理能力.(2)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書(shū)寫(xiě).難點(diǎn)：終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書(shū)寫(xiě).課前自主導(dǎo)學(xué)：課標(biāo)解讀1.了解角的概念的推廣，能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.理解象限角的概念..3.掌握終邊相同的角的表示方法，并能判斷角所在的位置.(重點(diǎn))角的概念【問(wèn)題導(dǎo)思】如圖將射線(xiàn)OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？【提示】有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向.(1)角的形成：角可以看成是一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.圖1－1－1(2)角的表示：如圖1－1－1∠AOB中，O表示頂點(diǎn)，OA表示始邊，OB表示終邊.(3)角的分類(lèi)按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類(lèi)：①正角：按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角.②負(fù)角：按照順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角.③零角：當(dāng)射線(xiàn)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫做零角.象限角【問(wèn)題導(dǎo)思】把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角.1.其終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？2.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，旋轉(zhuǎn)的角的大小與90°有什么關(guān)系？【提示】1.終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi).2.大小是90°的整數(shù)倍.平面內(nèi)任意一個(gè)角都可以通過(guò)移動(dòng)，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸正半軸重合，這時(shí)角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角.特別地，終邊在坐標(biāo)軸上，這個(gè)角不屬于任何象限.終邊相同的角【問(wèn)題導(dǎo)思】30°，390°，750°，…，30°＋k·360°(k∈Z)的角的終邊有什么關(guān)系？【提示】相同.設(shè)α表示任意角，所有與α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.課堂互動(dòng)探究：角的基本概念例1：下列命題①第一象限角一定不是負(fù)角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中不正確的序號(hào)為_(kāi)_______.【思路探究】解答本題可根據(jù)角的大小特征，位置特征進(jìn)行判斷.【自主解答】①－330°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以①不正確.②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，顯然390°＞120°，所以②不正確.③480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以③不正確.④0°角是小于180°角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④不正確.【答案】①②③④規(guī)律方法：1.解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于正確理解象限角及銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴(yán)格辨析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.2.判斷結(jié)論正確與否時(shí)，若要說(shuō)明結(jié)論正確，需要嚴(yán)格的推理論證，若要說(shuō)明結(jié)論錯(cuò)誤，只需舉出反例即可，如②.變式訓(xùn)練：下列說(shuō)法正確的是()A.銳角是第一象限角B.鈍角比第三象限角小C.三角形的內(nèi)角必為第一、二象限角D.小于90°的角都是銳角【解析】－100°是第三象限角，但－100°<90°，故B錯(cuò)；90°角是直角三角形的內(nèi)角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C錯(cuò)；－30°小于90°，不是銳角，故D錯(cuò).【答案】A終邊相同的角例2：已知角α＝2010°(1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.【思路探究】先求出β，判斷角α所在的象限，用終邊相同的角表示θ滿(mǎn)足的不等關(guān)系，求出k和θ.【自主解答】(1)由2010°除以360°，得商為5，余數(shù)為210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α為第三象限角.(2)與2010°終邊相同的角：k·360°＋2010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2010°<720°(k∈Z)，解得－6eq\f(7,12)≤k<－3eq\f(7,12)(k∈Z).所以k＝－6，－5，－4.將k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值為－150°，210°，570°.規(guī)律方法：1.把任意角化為α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(α的絕對(duì)值較小)，也可用除法.2.(1)要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.(2)終邊相同角常用的三個(gè)結(jié)論①終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.②終邊在同一直線(xiàn)上的角之間相差180°的整數(shù)倍.③終邊在相互垂直的兩直線(xiàn)上的角之間相差90°的整數(shù)倍.變式訓(xùn)練：圖1－1－2如圖1－1－2，寫(xiě)出終邊在直線(xiàn)y＝eq\r(3)x上的角的集合.【解】終邊在y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}.于是，終邊在直線(xiàn)y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.象限角與區(qū)域角的表示例3：如圖1－1－3，終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合是()A.{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|k·180°＋150°<α<k·180°＋225°，k∈Z}C.{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}D.{α|k·360°＋30°<α<k·180°＋45°，k∈Z}圖1－1－3【思路探究】找出0°～360°內(nèi)陰影部分的角的集合eq\o(→,\s\up15(＋k·360°),\s\do15(k∈Z))適合題意的角的集合【自主解答】在0°～360°內(nèi)落在陰影部分角的范圍為大于150°而小于225°，所以在R上落在陰影部分角集合為{α|k·360°＋150°<α<k·360°＋225°，k∈Z}.【答案】C規(guī)律方法：1.先在－360°～360°范圍內(nèi)確定區(qū)域角起止邊界處角，再把端點(diǎn)處加上360°的整數(shù)倍即得.2.區(qū)域角的表示問(wèn)題，遵循先從特殊再到一般的規(guī)律寫(xiě)出，即先選擇一個(gè)合適的角度為360°區(qū)間，寫(xiě)出落在陰影部分的角的集合，然后再在端點(diǎn)處加上周角的整數(shù)倍表示終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合.注意結(jié)果盡量表示為一個(gè)連續(xù)區(qū)間.變式訓(xùn)練：寫(xiě)出下圖1－1－4中陰影部分(不含邊界)表示的角的集合.圖1－1－4【解】在－180°～180°內(nèi)落在陰影部分角集合為大于－45°小于45°，所以在實(shí)數(shù)集R上落在陰影部分角集合為{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.忽視象限角范圍致誤典例：(2014·山東師大附中檢測(cè))若α是第二象限角，試確定2α、eq\f(α,2)是第幾象限角.【錯(cuò)解】由題意得90°<α<180°，所以有180°<2α<360°，45°<eq\f(α,2)<90°.故2α為第三象限角、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角，eq\f(α,2)為第一象限角.【錯(cuò)因分析】致錯(cuò)原因是把α是第二象限角范圍誤認(rèn)為是大于90°小于180°，實(shí)際上應(yīng)是{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}才完整.【防范措施】正確理解象限角的含義及范圍是避免此類(lèi)錯(cuò)誤的關(guān)鍵.已知角α所在象限，應(yīng)熟練掌握eq\f(α,2)所在的象限.α第一象限第二象限第三象限第四象限eq\f(α,2)第一或第三象限第二或第四象限區(qū)域如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則eq\f(α1,2)、eq\f(α2,2)、eq\f(α3,2)、eq\f(α4,2)的分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略).熟記該圖，解有關(guān)問(wèn)題就會(huì)方便許多.【正解】(1)由題意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，①∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z).故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸非正半軸上的角.(2)由(1)得45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n(n∈Z)，得45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)，故eq\f(α,2)是第一象限角.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)得45°＋180°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，即225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)，故eq\f(α,2)為第三象限角.綜上可知eq\f(α,2)為第一或第三象限角.課堂小結(jié)：1.理解任意角的概念要抓住四個(gè)要素：頂點(diǎn)、始邊、終邊和射線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)方向.2.象限角的確定依賴(lài)于角的終邊位置的確定，要注意對(duì)表達(dá)式中的k進(jìn)行分類(lèi)討論，以確定角的終邊的位置.3.熟練掌握終邊相同的角的公式及應(yīng)用，明確象限角的概念與內(nèi)涵是解題的依據(jù).當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)：1.(2014·定西高一檢測(cè))－510°在第幾象限()A.一B.二C.三D.四【解析】－510°＝－720°＋210°＝－720°＋180°＋30°，∴－510°在第三象限.【答案】C2.下列各角中，與角330°的終邊相同的角是()A.510°B.150°C.－150° D.－390°【解析】與330°終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，當(dāng)k＝－2時(shí)，β＝330°－720°＝－390°，故選D.【答案】D3.將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________.【解析】－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.【答案】195°＋(－3)×360°4.如果θ為小于360°的正角，θ的4倍角的終邊與θ的終邊重合，求θ的值.【解】依題意4θ＝k·360°＋θ，且0°<θ<360°，∴θ＝k·120°.取k＝1或k＝2，∴θ＝120°或θ＝240°.課后知能檢測(cè)：一、選擇題1.(2013·福州高一月考)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，下列四個(gè)命題：①A＝B＝C；②AC；③C＝A；④A∩C＝B.其中正確的命題個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.【解析】對(duì)于①，第一象限角包含負(fù)角，∴①錯(cuò).對(duì)于②，若α＝400°，是第一象限角，但400°＞90°，故A?C，∴②錯(cuò).同理③錯(cuò).對(duì)于④，∵三個(gè)集合都包含0°到90°之間的角，∴A∩C＝B，故選A.【答案】A2.把－1485°轉(zhuǎn)化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A.45°－4×360°B.－45°－4×360°C.－45°－5×360°D.315°－5×360°【解析】B、C選項(xiàng)中α不在0°～360°范圍內(nèi)，A選項(xiàng)的結(jié)果不是－1485°，只有D正確.【答案】D3.若α是第二象限角，則180°－α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】可借助于取特殊值法，取α＝120°，則180°－120°＝60°.【答案】A4.(2014·青島高一檢測(cè))若角α的終邊和函數(shù)y＝x的圖象重合，則角α的集合S＝()A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}D.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}【解析】由于y＝x的圖象是第一、三象限的角平分線(xiàn)，故要使角α的終邊與y＝x的圖象重合，角α在0°～360°內(nèi)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為45°及225°，從而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故選D.【答案】D5.以下命題正確的是()A.若α是第一象限角，則2α是第二象限角B.A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，則ABC.若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，則α為第一或第二象限角D.終邊在x軸上的角可表示為k·360°(k∈Z)【解析】A不正確，如α＝30°時(shí)，2α＝60°為第一象限角.在B中，當(dāng)k＝2n，k∈Z時(shí)，β＝n·180°，n∈Z.∴AB，∴B正確.又C中，α為第一或第二象限角，或在y軸的非負(fù)半軸上，∴C不正確.顯然D不正確.【答案】B二、填空題6.與－2002°終邊相同的最小正角是________.【解析】與－2002°終邊相同的角的集合為{β|β＝－2002°＋k·360°，k∈Z}，與－2002°終邊相同的最小正角是當(dāng)k＝6時(shí)，β＝－2002°＋6×360°＝158°.【答案】158°7.(2014·臨汾高一檢測(cè))已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是第________象限角.【解析】由條件可知，k·360°＜2α＜k·360°＋180°，∴k·180°＜α<k·180°＋90°，∴α在第一、三象限.【答案】一、三8.在四個(gè)角－20°，－400°，－2000°，600°中，第四象限的角的個(gè)數(shù)是________.【解析】－20°是第四象限的角；－400°＝－360°－40°，也是第四象限的角；－2000°＝(－6)×360°＋160°，是第二象限的角；600°＝360°＋240°，是第三象限的角.所以第四象限的角的個(gè)數(shù)是2個(gè).【答案】2個(gè)三、解答題9.(2014·蘭州高一檢測(cè))若角θ的終邊與168°角的終邊相同，求在0°～360°上終邊與角eq\f(θ,3)的終邊相同的角.【解】由于θ＝k·360°＋168°，k∈Z，故eq\f(θ,3)＝k·120°＋56°，k∈Z.依題意得0°≤k·120°＋56°＜360°，當(dāng)k＝0,1,2時(shí)，k·120°＋56°在[0°～360°)上，所以在0°～360°上與角eq\f(θ,3)的終邊相同的角有56°，176°，296°.10.在與530°終邊相同的角中，求滿(mǎn)足下列條件的角.(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角.【解】與530°終邊相同的角為k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大負(fù)角為－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角為170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角為－550°.11.如圖1－1－5所示.圖1－1－5(1)分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【解】(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}.終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由題圖可知，終邊落在陰影部分(包括邊界)角的集合是由大于或等于－30°而小于或等于135°范圍內(nèi)的所有與之終邊相同的角組成的集合，故終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合為{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}.備選例題：已知α是第一象限角，求2α，eq\f(α,2)，eq\f(α,3)所在的象限.【思路探究】先寫(xiě)出終邊落在第一象限的角，再表示出2α，eq\f(α,2)，eq\f(α,3)，根據(jù)k的取值得到結(jié)論.【自主解答】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.①2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°，k∈Z，則2α是第一或第二象限角，或是終邊在y軸非負(fù)半軸上的角.②k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第一象限角，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第三象限角，∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角.③k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°，k∈Z.當(dāng)k＝3n(n∈Z)時(shí)，n·360°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋30°，n∈Z，∴eq\f(α,3)是第一象限角；當(dāng)k＝3n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋120°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋150°，n∈Z，∴eq\f(α,3)是第二象限角；當(dāng)k＝3n＋2(n∈Z)時(shí)，n·360°＋240°＜eq\f(α,3)＜n·360°＋270°，n∈Z，∴eq\f(α,3)是第三象限角；∴eq\f(α,3)為第一或第二或第三象限角.規(guī)律方法：1.解決此類(lèi)問(wèn)題，要先確定α的范圍，進(jìn)一步確定出nα或eq\f(α,n)的范圍，再根據(jù)k與n的關(guān)系進(jìn)行討論.2.一般地，要確定eq\f(α,n)所在的象限，可以作出n等分各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的射線(xiàn)，它們與坐標(biāo)軸把圓周等分成4n個(gè)區(qū)域，從x軸的正半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬?n個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上號(hào)碼1、2、3、4，則標(biāo)號(hào)是n的區(qū)域就是α為第幾象限時(shí)，eq\f(α,n)的終邊也可能落的區(qū)域.備選變式：若α是第三象限角，則180°－α是第幾象限角？【解】∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，－270°－k·360°＜－α＜－180°－k·360°，k∈Z，－90°－k·360°＜180°－α＜－k·360°，k∈Z.∴180°－α是第四象限角.1.●三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)理解弧度的意義.(2)了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間可建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.(3)熟記特殊角的弧度數(shù).2.過(guò)程與方法能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過(guò)新的度量角的單位制(弧度制)的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神.(2)通過(guò)對(duì)弧度制與角度制下弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的對(duì)比，讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)及扇形面積公式在弧度制下的簡(jiǎn)潔美.●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：弧度的概念.弧長(zhǎng)公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明.難點(diǎn)：“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系.課前自主導(dǎo)學(xué)：課標(biāo)解讀1.了解弧度制，能熟練地進(jìn)行弧度制與角度制之間的換算.2.掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式.(重點(diǎn))度量角的兩種單位制【問(wèn)題導(dǎo)思】1.在初中學(xué)過(guò)的角度制中，把圓周角等分成360份，其中的一份是多少度？【提示】1度.2.在給定半徑的圓中，弧長(zhǎng)一定時(shí)，圓心角確定嗎？【提示】確定.(1)角度制：用度作單位來(lái)度量角的制度叫做角度制，規(guī)定周角的eq\f(1,360)為1度的角.(2)弧度制：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.以弧度為單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制.角度制與弧度制的換算【問(wèn)題導(dǎo)思】角度制和弧度制都是度量角的單位制，它們之間如何進(jìn)行換算呢？【提示】利用1弧度角的定義進(jìn)行換算.(1)角度制與弧度制的換算(2)特殊角的弧度數(shù)角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0eq\f(π,12)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(5,12)πeq\f(π,2)eq\f(2,3)πeq\f(3,4)πeq\f(5π,6)角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度πeq\f(7,6)πeq\f(5π,4)eq\f(4π,3)eq\f(3,2)πeq\f(5π,3)eq\f(7,4)πeq\f(11π,6)2π弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)及面積公式(1)弧度數(shù)公式：α＝eq\f(l,r)；(2)弧長(zhǎng)公式：l＝αr；(3)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2.課堂互動(dòng)探究：角度制與弧度制的互化例1：將下列各角度與弧度互化.(1)67.5°(2)112°30′(3)eq\f(9,4)π(4)3【思路探究】依據(jù)換算關(guān)系πrad＝180°，逐個(gè)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【自主解答】(1)67.5°＝eq\f(π,180)rad×67.5＝eq\f(3π,8)rad.(2)112°30′＝112.5°＝eq\f(π,180)rad×112.5＝eq\f(5π,8)rad.(3)eq\f(9,4)πrad＝eq\f(9,4)×180°＝405°.(4)3rad＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝57.30°×3＝171.90°.規(guī)律方法：角度制與弧度制換算時(shí)應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題(1)用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度(rad)”可以省略不寫(xiě)；如果以度(°)為單位表示角的大小時(shí)，度(°)不能省略.(2)度化為弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化為度，再化為弧度.(3)有些角的弧度數(shù)是π的整數(shù)倍時(shí)，如無(wú)特別要求，不必把π化成小數(shù).變式訓(xùn)練：將下列各角度與弧度互化：(1)eq\f(5,12)π(2)－eq\f(7,6)π(3)－157°30′【解】(1)eq\f(5,12)πrad＝eq\f(5,12)×180°＝75°；(2)－eq\f(7,6)πrad＝－eq\f(7,6)×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(7,8)πrad.用弧度表示終邊相同的角例2：已知角α＝2010°.(1)將α改寫(xiě)成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角.【思路探究】(1)可將α改寫(xiě)成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，根據(jù)β與α終邊相同判斷.(2)關(guān)鍵在于由－5π≤β＋2kπ＜0求出k的取值.【自主解答】(1)2010°＝2010×eq\f(π,180)＝eq\f(67π,6)＝5×2π＋eq\f(7π,6)，又π＜eq\f(7π,6)＜eq\f(3π,2)，所以α與eq\f(7π,6)終邊相同，是第三象限的角.(2)與α終邊相同的角可以寫(xiě)為γ＝eq\f(7π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴當(dāng)k＝－3時(shí)，γ＝－eq\f(29,6)π；當(dāng)k＝－2時(shí)，γ＝－eq\f(17,6)π；當(dāng)k＝－1時(shí)，γ＝－eq\f(5,6)π.規(guī)律方法：用弧度來(lái)表示終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的集合用弧度可表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，這里α應(yīng)為弧度數(shù).變式訓(xùn)練：(1)(2014·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))把－1125°化為2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式是()A.－6π－eq\f(π,4)B.－6π＋eq\f(7π,4)C.－8π－eq\f(π,4) D.－8π＋eq\f(7π,4)【解析】－1125°＝－eq\f(25,4)π＝－8π＋eq\f(7π,4).【答案】D(2)已知α＝1690°.①把α寫(xiě)成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；②求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π).【解】(2)①1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.②∵θ與α終邊相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z).又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋eq\f(25,18)π＜4π，∴－eq\f(97,36)＜k＜eq\f(47,36)(k∈Z).∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.扇形的弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用例3：已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【思路探究】先用半徑r表示弧長(zhǎng)，再建立扇形面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求出最大值.【自主解答】設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S.則l＝20－2r，∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10).∴當(dāng)半徑r＝5cm時(shí)，扇形的面積最大，為25cm2.此時(shí)α＝eq\f(l,r)＝eq\f(20－2×5,5)＝2(rad).∴當(dāng)它的半徑為5cm，圓心角為2rad時(shí)，扇形面積最大，最大值為25cm2.規(guī)律方法：1.弧度制中求扇形弧長(zhǎng)和面積的關(guān)鍵在于確定半徑r和扇形圓心角弧度數(shù)α，解題時(shí)通常要根據(jù)已知條件列出方程，運(yùn)用方程思想求解.2.本例面積的最值問(wèn)題是通過(guò)轉(zhuǎn)化為面積關(guān)于r的二次函數(shù)問(wèn)題解決的，這種方法是此類(lèi)問(wèn)題常用的方法.變式訓(xùn)練：(1)(2014·杭州高一檢測(cè))設(shè)扇形的周長(zhǎng)為8cm，面積為4cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是________.(2)(2014·綿陽(yáng)高一月考)經(jīng)過(guò)一刻鐘，長(zhǎng)為10cm的分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積是________.【解析】(1)設(shè)扇形的半徑為rcm，圓心角為αrad，弧長(zhǎng)為lcm，由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)l·r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝4，,r＝2，))又由l＝α·r，所以α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2(rad).(2)設(shè)分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的圓心角為α，弧長(zhǎng)為l，則所掃過(guò)的面積是S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,2)×102＝25π(cm2).【答案】(1)2(2)25πcm2因角度制與弧度制混用而出錯(cuò)典例：將－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為_(kāi)_______.【錯(cuò)解】因?yàn)椋?485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，所以－1485°化為2kπ＋α形式應(yīng)為－10π＋315°【答案】－10π＋315°【錯(cuò)因分析】只考慮了將－1485°寫(xiě)成了“2kπ”的組合形式，而忽視了對(duì)α的要求，忽視了角度和弧度在同一表達(dá)式中必須統(tǒng)一形式，這是初學(xué)者極易犯的一個(gè)錯(cuò)誤.【防范措施】在同一式子中，兩種單位不能混用，如45°＋2kπ(k∈Z)與k·360°＋eq\f(π,6)都是不允許的.表示角時(shí)，要么全用角度制，要么全用弧度制.【正解】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示為－10π＋eq\f(7,4)π.【答案】－10π＋eq\f(7,4)π課堂小結(jié)：1.明確1弧度的含義是掌握本節(jié)問(wèn)題的關(guān)鍵.2.弧度制與角度制的互化是一種比例關(guān)系的變形，具體變化時(shí)，可牢記以下公式：eq\f(π,180)＝eq\f(弧度,角度)，只要將已知數(shù)值填入相應(yīng)位置，解出未知的數(shù)值，再添上相應(yīng)的單位即可.3.弧度制下的扇形面積公式可類(lèi)比三角形的面積公式來(lái)記憶.4.引入弧度制后，就有兩種度量角的單位制，不僅使扇形的弧長(zhǎng)和面積公式變得更加簡(jiǎn)潔，也建立了角與實(shí)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)的定義打下了基礎(chǔ).當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)：1.下列敘述中正確的是()A.1弧度是1度的圓心角所對(duì)的弧B.1弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.1弧度是1度的弧與1度的角之和D.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，它是角的一種度量單位【解析】根據(jù)弧度制的定義知D項(xiàng)正確.【答案】D2.(2014·衡水高一月考)2弧度的角所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】∵eq\f(π,2)＜2＜π，∴2弧度的角是第二象限角，故選B.【答案】B3.把22°30′化為弧度的結(jié)果是________.【解析】22°30′＝22.5°＝eq\f(22.5,180)π＝eq\f(π,8).【答案】eq\f(π,8)4.已知一扇形的圓心角是72°，半徑等于20cm，求扇形的面積.【解】設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，∵72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5)(rad)，∴l(xiāng)＝|α|r＝eq\f(2π,5)×20＝8π(cm).∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×8π×20＝80π(cm2).課后知能檢測(cè)：一、選擇題1.已知α＝eq\f(6,7)π，則α的終邊在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】α＝eq\f(6,7)π∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴α的終邊在第二象限.【答案】B2.(2014·梅州高一檢測(cè))－690°化為弧度是()A.－eq\f(5π,3)B.－eq\f(7π,3)C.－eq\f(23π,6)D.－eq\f(13π,6)【解析】－690°＝－690×eq\f(π,180)＝－eq\f(23,6)π.【答案】C圖1－1－63.若角α的終邊在如圖1－1－6所示的陰影部分，則角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＜α＜\f(π,3)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＜α＜\f(7π,6)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))≤α≤\f(7π,6)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)))≤α≤2kπ＋\f(7π,6)，k∈Z))【解析】易知陰影部分的兩條邊界分別是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)的終邊，所以α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α2kπ＋\f(2π,3)))≤α≤2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z.【答案】D4.若角α、β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α、β的關(guān)系一定是()A.α＋β＝πB.α－β＝eq\f(π,2)C.α－β＝(2k＋1)π(k∈Z)D.α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)【解析】角α、β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)分別有一、二象限以及三、四象限兩種情形，由畫(huà)圖可知，α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)，D選項(xiàng)正確；也可以用特殊值方法，例如取α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(3π,4)，或α＝－eq\f(π,4)，β＝－eq\f(3π,4)，結(jié)合選項(xiàng)可知，選D.【答案】D5.已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A.2B.sin2C.2sin1D.eq\f(2,sin1)【解析】設(shè)圓的半徑為R，則sin1＝eq\f(1,R)，∴R＝eq\f(1,sin1)，故所求弧長(zhǎng)為l＝α·R＝2·eq\f(1,sin1)＝eq\f(2,sin1).【答案】D二、填空題6.eq\f(π,12)rad＝________度，________rad＝－300°.【解析】eq\f(π,12)＝eq\f(180°,12)＝15°.－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3).【答案】15－eq\f(5π,3)7.若角θ的終邊與eq\f(8π,5)的終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與eq\f(θ,4)角的終邊相同的角是________.【解析】θ＝eq\f(8π,5)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.當(dāng)k＝0,1,2,3時(shí)，eq\f(θ,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)且eq\f(θ,4)∈[0,2π].【答案】eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)8.(2014·沈陽(yáng)高一檢測(cè))已知圓上的一段弧長(zhǎng)等于該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段弧所對(duì)的圓周角的弧度數(shù)為_(kāi)_______.【解析】設(shè)圓的半徑為r，則其內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)r.當(dāng)弧長(zhǎng)為eq\r(2)r時(shí)，圓心角的大小為eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2)，∴圓周角為eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)三、解答題9.把下列角化為2kπ＋α(0≤α＜2kπ，k∈Z)的形式：(1)eq\f(16π,3)；(2)－315°.【解】(1)eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3).∵0≤eq\f(4π,3)＜2π.∴eq\f(16π,3)＝4π＋eq\f(4π,3).(2)∵－315°＝－315×eq\f(π,180)＝－eq\f(7π,4)＝－2π＋eq\f(π,4)，∵0≤eq\f(π,4)＜2π，∴－315°＝－2π＋eq\f(π,4).10.(1)將－1485°表示成2kπ＋α，k∈Z的形式，且0≤α<2π.(2)已知角α的終邊與角eq\f(π,3)的終邊相同，在[0,2π)內(nèi)哪些角的終邊與角eq\f(α,3)的終邊相同？【解】(1)∵－1485°＝－5×360°＋315°，315°＝315×eq\f(π,180)＝eq\f(7,4)π，∴－1485°＝－10π＋eq\f(7π,4).(2)∵角α的終邊與角eq\f(π,3)的終邊相同，∴α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴eq\f(α,3)＝eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z).又0≤eq\f(α,3)＜2π，∴0≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)＜2π(k∈Z)，∴當(dāng)k＝0,1,2時(shí)，有eq\f(α,3)＝eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9)滿(mǎn)足條件.11.圖1－1－7如圖1－1－7已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6，求(1)eq\x\to(AB)的長(zhǎng)；(2)扇形所含弓形的面積.【解】(1)∵120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，∴l(xiāng)＝6×eq\f(2,3)π＝4π，∴eq\x\to(AB)的長(zhǎng)為4π.(2)∵S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如題中圖所示有S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD(D為AB中點(diǎn))＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×6sin30°＝9eq\r(3).∴S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).即弓形的面積是12π－9eq\r(3).備選例題：【知識(shí)拓展】(1)時(shí)鐘問(wèn)題在解決時(shí)鐘中的時(shí)針與分針有關(guān)的角度問(wèn)題時(shí)，要注意它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)各轉(zhuǎn)了多少圈.例如：2小時(shí)40分鐘后，則分針?biāo)D(zhuǎn)的弧度數(shù)為_(kāi)_____.【解析】首先注意到分針轉(zhuǎn)的方向?yàn)轫槙r(shí)針，即為負(fù)角.又2小時(shí)40分鐘＝eq\f(8,3)小時(shí)，而1小時(shí)分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為2π.故分鐘轉(zhuǎn)了－2π×eq\f(8,3)＝－eq\f(16,3)π.【答案】－eq\f(16,3)π(2)角的“周期現(xiàn)象”一個(gè)角每旋轉(zhuǎn)一周(順時(shí)針或逆時(shí)針)，終邊就又回到了原來(lái)的位置，終邊相同的角周而復(fù)始地出現(xiàn)，這正是三角函數(shù)具有周期性的本質(zhì)原因，也是解決某些問(wèn)題的關(guān)鍵，而且這種周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用.例如：今天是星期一，則100天后是星期幾？【解】由于星期幾也具有周期性，因而可類(lèi)似于角的問(wèn)題來(lái)解決，即100＝7×14＋2,100天后是星期三.1.●三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)掌握任意角的三角函數(shù)的定義.(2)已知角α終邊上一點(diǎn)，會(huì)求角α的各三角函數(shù)值.(3)記住三角函數(shù)的定義域、值域.2.過(guò)程與方法(1)通過(guò)直角三角形中三角函數(shù)定義到單位圓中三角函數(shù)定義，最后到直角坐標(biāo)系中一般化的三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法和能力.(2)樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).(3)通過(guò)對(duì)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問(wèn)題的能力.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式.(2)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神.●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號(hào)).難點(diǎn)：利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)三角函數(shù).課前自主導(dǎo)學(xué)：課標(biāo)解讀1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解任意角余切、正割、余割的定義.(難點(diǎn))2.會(huì)根據(jù)三角函數(shù)的定義來(lái)求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域，并知道三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào).(重點(diǎn))任意角的三角函數(shù)【問(wèn)題導(dǎo)思】使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.1.角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？【提示】sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2.對(duì)于確定的銳角α，sinα、cosα、tanα的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？【提示】不會(huì).3.在問(wèn)題1中，取|OP|＝1時(shí)，sinα，cosα，tanα的值怎樣表示？【提示】sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanx＝eq\f(y,x).在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)O的距離是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0).三角函數(shù)定義定義域名稱(chēng)sinαeq\f(y,r)R正弦cosαeq\f(x,r)R余弦tanαeq\f(y,x){α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}正切secαeq\f(r,x){α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}正割cscαeq\f(r,y){α|α≠kπ，k∈Z}余割cotαeq\f(x,y){α|α≠kπ，k∈Z}余切三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)【問(wèn)題導(dǎo)思】三角函數(shù)在各象限的符號(hào)由什么來(lái)確定？【提示】由三角函數(shù)的定義知三角函數(shù)在各象限的符號(hào)由角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)確定.課堂互動(dòng)探究：用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值例1：(1)(2013·石家莊高一檢測(cè))已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3,4)，則sinα的值等于()A.－eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.－eq\f(4,5)(2)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)，且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，求cosθ與tanθ的值.【思路探究】(1)直接利用定義求解.(2)可由定義求出m的值，再求cosθ與tanθ的值.【自主解答】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義，r＝eq\r(－32＋42)＝5，∴sinα＝eq\f(4,5).【答案】(1)C(2)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r＝eq\r(－\r(3)2＋m2)＝eq\r(3＋m2)，∴sinθ＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2),4)m，解得m＝0或m＝±eq\r(5).①當(dāng)m＝0時(shí)，cosθ＝eq\f(－\r(3),\r(3))＝－1，tanθ＝0.②當(dāng)m＝eq\r(5)時(shí)，cosθ＝eq\f(－\r(3),\r(8))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(\r(5),－\r(3))＝－eq\f(\r(15),3).③當(dāng)m＝－eq\r(5)時(shí)，cosθ＝eq\f(－\r(3),\r(8))＝－eq\f(\r(6),4)，tanθ＝eq\f(－\r(5),－\r(3))＝eq\f(\r(15),3).規(guī)律方法：1.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.2.解決此類(lèi)問(wèn)題有兩種方法：(1)先利用直線(xiàn)與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值；(2)注意到角的終邊為射線(xiàn)，取射線(xiàn)上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a)(a≠0)變式訓(xùn)練：1.(2014·天津高一檢測(cè))已知角α的終邊經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P(1，a)且cosα＝eq\f(1,3)，則a＝________.【解析】r＝eq\r(1＋a2)，∵cosα＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1,\r(1＋a2))＝eq\f(1,3)，解得a＝±2eq\r(2).【答案】±2eq\r(2)2.已知角α的終邊在直線(xiàn)y＝eq\r(3)x上，求sinα，cosα，tanα的值.【解】因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線(xiàn)y＝eq\r(3)x上，所以可設(shè)P(a，eq\r(3)a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn).則r＝eq\r(a2＋\r(3)a2)＝2|a|(a≠0).若a＞0，則α為第一象限角，r＝2asinα＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).若a＜0，則α為第三象限角，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r(3)a,－2a)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(a,－2a)＝－eq\f(1,2)，tanα＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\r(3).三角函數(shù)符號(hào)的判斷例2：判斷下列各式的符號(hào)：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5·cot6.【思路探究】確定各角所在的象限，進(jìn)而確定各式中每部分的符號(hào)，最后確定整個(gè)式子的符號(hào).【自主解答】(1)∵145°是第二象限的角，∴sin145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限的角，∴cos(－210°)＜0.∴sin145°·cos(－210°)＜0.(2)∵eq\f(π,2)＜3＜π，∴3是第二象限的角，∴sin3＞0.同理知：cos4＜0，tan5＜0，cot6＜0.∴sin3·cos4·tan5·cot6＜0.規(guī)律方法：1.解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確判斷角的終邊的位置.(2)熟記三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)法則.2.符號(hào)法則將為后面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系中的開(kāi)平方及誘導(dǎo)公式服務(wù)，一定要記準(zhǔn)記牢.變式訓(xùn)練：判斷下列式子的符號(hào)：sin320°·cos385°·tan155°·tan(－480°).【解】由于385°＝360°＋25°，－480°＝－2×360°＋240°，四個(gè)角分別在第四、第一、第二、第三象限，則sin320°＜0，cos385°＞0，tan155°＜0，tan(－480°)＞0.∴sin320°·cos385°·tan155°·tan(－480°)＞0.三角函數(shù)的定義域例3：求下列函數(shù)的定義域.(1)f(x)＝eq\r(sinx·tanx)；(2)f(x)＝lgsinx＋eq\r(9－x2).【思路探究】根據(jù)各解析式的特點(diǎn)，求使式子有意義的x的取值范圍即可.【自主解答】(1)∵要使函數(shù)f(x)有意義，∴sinx·tanx≥0，∴sinx與tanx同號(hào)或sinx·tanx＝0，故x是第一、四象限的角或終邊在x軸上的角.∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ－eq\f(π,2)＜x＜2kπ＋eq\f(π,2)或x＝(2k＋1)π，k∈Z}.(2)由題意，要使f(x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞0，,9－x2≥0.))由sinx＞0得2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，①由9－x2≥0得－3≤x≤3，②由①②得：f(x)的定義域?yàn)閧x|0＜x≤3}.規(guī)律方法：1.求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過(guò)解不等式或不等式組求得.對(duì)于三角函數(shù)的定義域問(wèn)題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制.2.要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無(wú)限多段的集合的交集時(shí)，可以用取特殊值把不固定的集合寫(xiě)成若干個(gè)固定集合再求交集.變式訓(xùn)練：求函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(sinx)＋lgcosx,tanx)的定義域.【解】要使f(x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx＞0，,tanx≠0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，,2kπ－\f(π,2)＜x＜2kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,x≠kπ＋\f(π,2)，x≠kπ，k∈Z.))解得：2kπ＜x＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ＜x＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}.求三角函數(shù)值時(shí)，忘記討論典例：(2013·日照高一檢測(cè))已知角α的終邊上一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，求α的余弦值.【錯(cuò)解】∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4t，－3t)，且t≠0，∴r＝|OP|＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5t.cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5).【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中沒(méi)有對(duì)t≠0這一條件加以分析，去根號(hào)后沒(méi)有加絕對(duì)值，從而造成漏解.【防范措施】(1)含有字母參數(shù)的在化簡(jiǎn)過(guò)程中要注意符號(hào).(2)對(duì)字母參數(shù)要注意分類(lèi)討論，做到不重不漏.(3)對(duì)三角函數(shù)的定義要把握準(zhǔn)確.尤其是比值問(wèn)題一定要記準(zhǔn)分子和字母所代表的量.【正解】∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4t，－3t)，且t≠0，∴r＝|PO|＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|.當(dāng)t>0時(shí)，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t.cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)；當(dāng)t<0時(shí)，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5).課堂小結(jié)：1.三角函數(shù)的定義是以后學(xué)習(xí)一切三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)，要充分理解其內(nèi)涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關(guān)，與所選取的點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)這一關(guān)鍵點(diǎn).2.三角函數(shù)值的符號(hào)主要涉及開(kāi)方、去絕對(duì)值等計(jì)算問(wèn)題，同時(shí)也要注意終邊在坐標(biāo)軸上的角的三角函數(shù)值情況，因角的終邊經(jīng)過(guò)的點(diǎn)決定了三角函數(shù)值的符號(hào)，所以當(dāng)點(diǎn)的位置不確定時(shí)注意進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想.當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)：1.已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ是()A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角【解析】由cosθtanθ＜0知，cosθ與tanθ異號(hào)，所以θ在第三或第四象限.【答案】C2.(2014·包頭高一檢測(cè))已知α＝600°，且角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－4，a)，那么a的值為()A.4eq\r(3)B.－4eq\r(3)C.±4eq\r(3) D.eq\r(3)【解析】由于α＝600°與240°所在的終邊相同，故其終邊所在的直線(xiàn)為y＝eq\r(3)x(也可以根據(jù)直角三角形)，因點(diǎn)P(－4，a)也在此直線(xiàn)上，故a＝－4eq\r(3).【答案】B3.在角α的六個(gè)三角函數(shù)中，與y＝tanα的定義域相同的是________.【解析】由定義知y＝tanα與y＝secα的定義域相同，為{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}.【答案】y＝secα4.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(5，a)，且tanα＝－eq\f(12,5)，求sinα＋cosα的值.【解】∵角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(5，a)且tanα＝－eq\f(12,5)，∴eq\f(a,5)＝－eq\f(12,5)，∴a＝－12.因此r＝|OP|＝eq\r(52＋a2)＝13，sinα＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(5,13)，故sinα＋cosα＝－eq\f(12,13)＋eq\f(5,13)＝－eq\f(7,13).課后知能檢測(cè)：一、選擇題1.已知角α終邊經(jīng)過(guò)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則cosα＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.±eq\f(1,2)【解析】由三角函數(shù)定義可知，角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為角α的余弦值，故cosα＝eq\f(\r(3),2).【答案】B2.(2014·西安高一檢測(cè))sin2cos3tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在【解析】∵eq\f(π,2)＜2＜π.eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.應(yīng)選A.【答案】A3.如果點(diǎn)P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么θ在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析】由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθcosθ＜0,2cosθ＜0))，∴sinθ＞0且cosθ＜0，故θ在第二象限.【答案】B4.(2014·許昌高一檢測(cè))若角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(－4a,3a)(a≠0)，則sinθ＋cosA.－eq\f(1,5)B.eq\f(1,5)C.±eq\f(1,5)D.不能確定，與a的值有關(guān)【解析】r＝5|a|.∴sinθ＋cosθ＝eq\f(3a,5|a|)－eq\f(4a,5|a|)＝－eq\f(a,5|a|)＝±eq\f(1,5).【答案】C5.α是第二象限角，則sinα，sin2α，sineq\f(α,2)中必取正數(shù)的個(gè)數(shù)有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【解析】∵α是第二象限角，即sinα＞0，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，k∈Z，kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(α,2)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z∴sin2α＜0，sineq\f(α,2)的正負(fù)不確定.綜上知選B.【答案】B二、填空題6.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(2)，－eq\r(2))，則sinα＝______，cosα＝________，tanα________.【解析】由題意x＝eq\r(2)，y＝－eq\r(2)，∴r＝2.∴sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(\r(2),2)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(\r(2),2)，tanα＝eq\f(y,x)＝－1.【答案】－eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)－17.(2014·臨沂高一檢測(cè))設(shè)點(diǎn)P(x,2)是角α終邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足條件sinα＝eq\f(2,3)，則x＝________.【解析】由題意得r＝eq\r(x2＋4)，由sinα＝eq\f(2,3)，得eq\f(2,\r(x2＋4))＝eq\f(2,3)，解得x＝±eq\r(5).【答案】±eq\r(5)8.(2014·鎮(zhèn)江高一檢測(cè))已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα≤0，,sinα＞0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2＞0，))解得－2＜a≤3.【答案】－2＜a≤3三、解答題9.設(shè)P是角α終邊上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(6),3)))，求sinα的值；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，eq\r(3))，且cosα＝eq\f(1,3)，求x的值.【解】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinα＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2))＝eq\f(\r(6),3).(2)由題意知，cosα＝eq\f(x,\r(x2＋3))＝eq\f(1,3)，得x＝±eq\f(\r(6),4)，∵cosα＝eq\f(1,3)＞0，∴x＞0.所以x＝eq\f(\r(6),4).10.求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(cosx·cotx)；(2)f(x)＝lgsin2x＋eq\r(x)＋eq\r(3－x).【解】(1)由cosx·cotx≥0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≥0，,cotx≥0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤0，,cotx≤0，))∴2kπ<x<π＋2kπ或x＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z.∴f(x)＝eq\r(cosx·cotx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ<x<π＋2kπ或x＝\f(3,2)))π＋2kπ，k∈Z)).(2)由f(x)有意義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＞0，,x≥0，,3－x≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＜2x＜2kπ＋πk∈Z，,x≥0，,x≤3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＜x＜kπ＋\f(π,2)，,x≥0，,x≤3，))∴0＜x＜eq\f(π,2).∴f(x)＝lgsin2x＋eq\r(x)＋eq\r(3－x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(π,2))))).11.若角α的終邊與直線(xiàn)y＝3x重合，且sinα＜0，又P(m，n)是角α終邊上一點(diǎn)，且|OP|＝eq\r(10)，求m－n的值.【解】由題意，P(m，n)是角α終邊上一點(diǎn)，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(n,\r(m2＋n2))＜0，∴n＜0.又角α的終邊與y＝3x重合，故n＝3m＜0，∴m＜0，由OP＝eq\r(10)，則m2＋n2＝10，10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1，∴n＝－3，m－n＝－1－(－3)＝2.備選例題：已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－3，－1)，求sinα，cosα，tanα，cotα，secα，cscα的值.【思路探究】由已知x、y先求得r的值，然后用三角函數(shù)的定義嘗試求值.【自主解答】∵x＝－3，y＝－1，∴r＝eq\r(－32＋－12)＝eq\r(10).∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－3,\r(10))＝－eq\f(3\r(10),10)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－1,－3)＝eq\f(1,3)，cotα＝eq\f(x,y)＝eq\f(－3,－1)＝3，secα＝eq\f(r,x)＝eq\f(\r(10),－3)＝－eq\f(\r(10),3)，cscα＝eq\f(r,y)＝eq\f(\r(10),－1)＝－eq\r(10).規(guī)律方法：1.求所給角的三角函數(shù)值涉及三個(gè)量：角的終邊上異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y及點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r，只要解出這三個(gè)量，便可以用定義求值.2.本類(lèi)問(wèn)題一般有兩種形式出現(xiàn)：(1)若所給點(diǎn)的坐標(biāo)P(a，b)不含參數(shù)(如本例)，則先求出r＝eq\r(a2＋b2)，然后由定義求值.(2)若所給點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù)，則一般要討論參數(shù)的取值.備選變式：本例若把P點(diǎn)的坐標(biāo)改為(－4a,3a)(a≠0)，試求sinα，cosα，tanα【解】r＝eq\r(－4a2＋3a2)＝5|a|，若a＞0，r＝5a，角α為第二象限的角，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(3a,5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4a,5a)＝－eq\f(4,5).tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(3a,－4a)＝－eq\f(3,4).若a＜0，r＝－5a，α為第四象限的角，∴sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).1.2.2單位圓與三角函數(shù)線(xiàn)●三維目標(biāo)1.知識(shí)與技能使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線(xiàn)段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值，并能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題.2.過(guò)程與方法借助數(shù)學(xué)工具讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類(lèi)比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力；開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)自己去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境.●重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：三角函數(shù)線(xiàn)的作法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線(xiàn)段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).課前自主導(dǎo)學(xué)：課標(biāo)解讀1.了解三角函數(shù)線(xiàn)的意義.(重點(diǎn))2.會(huì)用三角函數(shù)線(xiàn)表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.(難點(diǎn))單位圓(1)一般地把半徑為1的圓叫做單位圓.(2)角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).三角函數(shù)線(xiàn)【問(wèn)題導(dǎo)思】在平面直角坐標(biāo)系中，任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM⊥x軸，過(guò)A(1,0)作AT⊥x軸，交α的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T，如圖所示：結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sinα，cosα，tanα與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？【提示】可以，sinα＝|MP|，cosα＝|OM|，tanα＝|AT|.圖1－2－1課堂互動(dòng)探究：三角函數(shù)線(xiàn)的概念例1：分別作出eq\f(3,4)π和－eq\f(4,7)π的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn).【思路探究】嘗試運(yùn)用單位圓中三角函數(shù)線(xiàn)的作圖方法作圖.【自主解答】①在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如圖(1)，以O(shè)x軸為始邊作eq\f(3,4)π角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點(diǎn)A作Ox軸的垂線(xiàn)，與OP的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于T點(diǎn)，則sineq\f(3,4)π＝MP，coseq\f(3,4)π＝OM，taneq\f(3,4)π＝AT，即eq\f(3,4)π的正弦線(xiàn)為eq\o(MP,\s\up11(→))，余弦線(xiàn)為eq\o(OM,\s\up11(→))，正切線(xiàn)為eq\o(AT,\s\up11(→)).②同理可作出－eq\f(4,7)π的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn)，如圖(2).sin(－eq\f(4,7)π)＝M1P1，cos(－eq\f(4,7)π)＝O1M1，tan(－eq\f(4,7)π)＝A1T1，即－eq\f(4,7)π的正弦線(xiàn)為eq\o(M1P1,\s\up11(→))，余弦線(xiàn)為eq\o(O1M1,\s\up11(→))，正切線(xiàn)為eq\o(A1T1,\s\up11(→)).規(guī)律方法：1.作正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過(guò)此交點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，得到垂足，從而得到正弦線(xiàn)和余弦線(xiàn).2.作正切線(xiàn)時(shí)，應(yīng)從A(1,0)點(diǎn)引單位圓的切線(xiàn)交角的終邊于一點(diǎn)T，即可得到正切線(xiàn)eq\o(AT,\s\up11(→))，要特別注意，當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時(shí)，應(yīng)將角的終邊反向延長(zhǎng)，再按上述作法來(lái)作正切線(xiàn).變式訓(xùn)練：(2014·濟(jì)寧高一檢測(cè))設(shè)P點(diǎn)為角α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)，且sinα＝MP，cosα＝OM，則下列命題成立的是()A.總有MP＋OM＞1B.總有MP＋OM＝1C.存在角α，使MP＋OM＝1D.不存在角α，使MP＋OM＜0【解析】顯然，當(dāng)角α的終邊不在第一象限時(shí)，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；當(dāng)角α的終邊落在x軸或y軸正半軸時(shí)，MP＋OM＝1，故選C.【答案】C解三角不等式例2：在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角α的集合.(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).【思路探究】作出滿(mǎn)足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍.【自主解答】(1)作直線(xiàn)y＝eq\f(\r(3),2)，交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍.故滿(mǎn)足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}.(2)作直線(xiàn)x＝－eq\f(1,2)，交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍.故滿(mǎn)足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}.規(guī)律方法：1.通過(guò)解答本題，我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線(xiàn)來(lái)解基本的三角不等式的步驟：(1)作出取等號(hào)的角的終邊.(2)利用三角函數(shù)線(xiàn)的直觀性，在單位圓中確定滿(mǎn)足不等式的角的范圍.(3)將圖中的范圍用不等式表示出來(lái).2.求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域時(shí)，先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)，然后借助三角函數(shù)線(xiàn)解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域.變式訓(xùn)練：求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\r(2sinx－\r(3))；(2)y＝lg(1－eq\r(2)cosx).【解】(1)如圖所示，∵2sinx－eq\r(3)≥0，∴sinx≥eq\f(\r(3),2)，∴函數(shù)定義域?yàn)椋篬2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z).(2)如圖所示∵1－eq\r(2)cosx＞0∴cosx＜eq\f(\r(2),2)，∴2kπ＋eq\f(π,4)＜x＜2kπ＋eq\f(