河北省張家口市黑山寺中學高三數學理月考試題含解析

河北省張家口市黑山寺中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則（

）A．{－1,0,1,2}

B．{－2,－1,0,1}C．{－3,－2,2,3}

D．{－3,－2,3}參考答案：D2.已知則（）A．

B．

C.6

D．1參考答案：A3.已知F是拋物線y2=4x的焦點，過點F且斜率為的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|2﹣|FB|2|的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】先設出A，B的坐標，根據拋物線方程求得焦點坐標，利用直線方程的點斜式，求得直線的方程與拋物線方程聯立，求得x1=3，x2=，然后根據拋物線的定義，答案可得．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2）拋物線的焦點為（1，0），則直線方程為y=（x﹣1），代入拋物線方程得3x2﹣10x+3=0∴x1=3，x2=，根據拋物線的定義可知||FA|2﹣|FB|2|=|（3++2）（3﹣）|=，故選B．4.若曲線y=ex﹣（a＞0）上任意一點切線的傾斜角的取值范圍是[，），則a=（）A． B． C． D．3參考答案：C【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求導f′（x）=ex+，從而由f′（x）=ex+≥，求解．【解答】解：f′（x）=ex+，∵f（x）=ex﹣在任一點處的切線的傾斜角的取值范圍是[，），∴f′（x）=ex+≥，∴≤[f′（x）]min，而由a＞0知，ex+≥2；（當且僅當ex=時，等號成立），故2=，故a=故選：C．5.已知離心率為的橢圓的左右焦點分別為，橢圓上一點滿足：，則A.

B.

C.

D.不確定參考答案：B6.已知正整數列中，，則等于 （

） A．16 B．8 C． D．4參考答案：D略7.數列的前項和為，若，則等于（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：B8.（5分）如圖，已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點P、Q，若∠PAQ=60°且=3，則雙曲線C的離心率為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點】：雙曲線的簡單性質．【專題】：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】：確定△QAP為等邊三角形，設AQ=2R，則OP=R，利用勾股定理，結合余弦定理，即可得出結論．解：因為∠PAQ=60°且=3，所以△QAP為等邊三角形，設AQ=2R，則OP=R，漸近線方程為y=x，A（a，0），取PQ的中點M，則AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②結合c2=a2+b2，可得=．故選：B．【點評】：本題考查雙曲線的性質，考查余弦定理、勾股定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9.過直線上的點作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A10.已知函數f（x）滿足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），則f（2015）=（） A． B． C． ﹣ D． 0參考答案：考點： 函數的值．專題： 函數的性質及應用．分析： 由已知條件推導出函數f（x）是周期為6的周期函數，由此能求出結果．解答： 解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，則當x=1，y=1時，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣；當x=2，y=1時，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣；當x=3，y=1時，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）﹣f（2）=﹣；當x=4，y=1時，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）﹣f（3）=；當x=5，y=1時，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）﹣f（4）=；當x=6，y=1時，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）﹣f（5）=；…6個一循環(huán)2015屆÷6=370余5f（2015）=f（5）=．故選：B．點評： 本題考查函數值的求法，是中檔題，解題的關鍵是推導出函數f（x）是周期為6的周期函數．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線C：y2=2px的焦點坐標為F（2，0），則p=

；若已知點A（6，3），且點M在拋物線C上，則|MA|+|MF|的最小值為

．參考答案：4；

8．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】利用拋物線的焦點坐標，真假求解P即可；判斷A的位置，利用拋物線的性質求解|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：拋物線C：y2=2px的焦點坐標為F（2，0），則p=4；已知點A（6，3），且點M在拋物線C：y2=8x上，可知A的拋物線內部，則|MA|+|MF|的最小值為M到拋物線的準線的距離；拋物線的準線方程為：x=﹣2，則|MA|+|MF|的最小值為：8．故答案為：4；

8．12.13.設f（x）=sin3x+cos3x，若對任意實數x都有|f（x）|≤a，則實數a的取值范圍是

。參考答案：

13.若，則__________．參考答案：14.若向量與滿足：，則與的夾角為________參考答案：120略15.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1+a11=3a6－4，則則Sn=

。參考答案：44

略16.設變量x，y滿足約束條件，則2x+3y的最大值為．參考答案：23【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出線性約束條件表示的可行域，再將目標函數賦予幾何意義，最后利用數形結合即可得目標函數的最值．【解答】解：畫出可行域如圖陰影部分，由得A（4，5）目標函數z=2x+3y可看做斜率為﹣3的動直線，其縱截距越大z越大，由圖數形結合可得當動直線過點C時，z最大=23．故答案為：2317.經過隨機抽樣獲得100輛汽車經過某一雷達測速地區(qū)的時速(單位：km/h)，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中這100輛汽車時速的范圍是[30,80]，數據分組為[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]．設時速達到或超過60km/h的汽車有x輛，則x等于________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分10分)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F。（I）求證：DE是⊙O的切線；（II）若的值.參考答案：（I）證明：連結OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC

…2分∴OD//AE

又AE⊥DE

…………………3分∴OE⊥OD，又OD為半徑

∴DE是的⊙O切線

………5分

（II）解：過D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB

…………6分設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x

……………8分又由△AEF∽△DOF

可得

……………………10分19.（14分）已知（I）已知數列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；（II）設（III）若都成立，求a的取值范圍.

參考答案：解析：（I）由

（II）

（III）

（i）當n=1時結論成立（已驗證）.

（ii）假設當

故只須證明

即n=k+1時結論成立.

根據（i）和（ii）可知結論對一切正整數都成立.

故

20.二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1．

（1）求f(x)的解析式；（2）區(qū)間[－1，1]上，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方，試確定實數m的范圍．參考答案：解析：(1)設f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，

故f（x）＝ax2＋bx＋1．

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x．

即2ax＋a＋b＝2x，所以，

∴f(x)＝x2－x＋1．(2)由題意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．設g(x)＝x2－3x＋1－m，其圖象的對稱軸為直線x＝，所以g(x)在[－1，1]上遞減．故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，解得m<－1．21.已知．（1）證明；（2）若，記的最小值為m，解關于x的不等式．參考答案：(1)見證明；(2)【分析】（1）由絕對值三角不等式證明；（2）利用基本不等式求m，再零點分段解不等式【詳解】（1）．當且僅當,等號成立（2）∵，當且僅當a=b=c等號成立由不等式即．由得：不等式的解集為．【點睛】本題考查絕對值三角不等式證明，考查基本不等式求最值及絕對值不等式的解法，考查計算能力，是中檔題22.（2016秋?安慶期末）已知在極坐標系中，曲線Ω的方程為ρ=6cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，并在兩坐標系中取相同的長度單位，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是（t為參數，θ∈R）．（Ⅰ）求曲線Ω的直角坐標方程和直線l的普通方程；（Ⅱ）設直線l交曲線Ω于A、C兩點，過點（4，﹣1）且與直線l垂直的直線l0交曲線Ω于B、D兩點．求四邊形ABCD面積的最大值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲線C的極坐標方程即ρ2=6ρcosθ，根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，把它化為直角坐標方程；消去參數，可得直線l的普通方程；（Ⅱ）先確定AC2+BD2為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化為直角坐標方程為x2+y2=6x；直線l的參數方程是（t為參數，θ∈R），直線l的普