全等變化模型二 一線三等角模型（解析版）

【模型二一線三等角模型】【模型展示】【模型條件】如圖，【模型結(jié)論】【結(jié)論證明】請選取圖1和圖5分別證明全等變化模型二一線三等角模型【模型解析】從變化方式的角度分析，兩個全等三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)三角形的一個內(nèi)角大小得到的，當一組非對應(yīng)邊共線時就會形成等角。從圖形的結(jié)構(gòu)分析，一線三等角是一條直線上的三個等角加一組對應(yīng)邊相等組成的.【知識鏈接】三角形外角定理【模型總結(jié)】①一線三等角證明常用外角證明，一線三垂直用余角證明亦可。②一線三等角會形成等腰三角形，解題時要考慮。③三等角模型，對應(yīng)邊夾角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角?！灸Ｐ挽柟獭俊纠?-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，點E在AC邊上，連接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．（1）求證：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的長．【證明】：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝DE，AC＝CD，∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC，∴∠C+∠2＝∠B+∠1，∴∠1＝∠2，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．【例2-2】如圖，是經(jīng)過頂點的一條直線，，、分別是直線上兩點，且．（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，且、在射線上．①如圖1，若，，則_____；②如圖2，若，請?zhí)砑右粋€關(guān)于與關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由；（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，請?zhí)岢鲫P(guān)于，，三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡述理由．【解答】解：（1）①，．又，．在和中，．．②，理由如下：，．又，．又，．．．在和中，．．（2），理由如下：，．又，．．在和中，．，．.【例2-3】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，點D為AB的中點．（1）如果點P在邊BC上以1.5cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在邊CA上由點C向點A運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，經(jīng)過t秒后，△BPD與△CQP全等，求此時點Q的運動速度與運動時間t．（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，則經(jīng)過秒后，點P與點Q第一次在△ABC的邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）【解答】解：（1）①全等，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米），∵AB＝9cm，點D為AB的中點，∴BD＝4.5cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm，∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm），∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDP和△CPQ中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；②假設(shè)△BPD與△CQP，∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又由∠B＝∠C，則只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5，∴點P，點Q運動的時間t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒），∴vQ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）；（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，由題意，得2.25x＝1.5x+2×9，解得x＝24，∴點P共運動了24×1.5＝36（cm）．∴點P、點Q在AC邊上相遇，∴經(jīng)過24秒點P與點Q第一次在邊AC上相遇【例2-4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點都在直線m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如圖①，若AB⊥AC，則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為，CE與AD的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，判斷并說明線段BD，CE與DE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點D向點E運動，同時，點C在線段EF上以xcm/s的速度由點E向點F運動，它們運動的時間為t（s）．是否存在x，使得△ABD與△EAC全等？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案為：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，當△DAB≌△ECA時，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此時x＝2；當△DAB≌△EAC時，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，綜上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【例2-5】已知，M是等邊△ABC邊BC上的點．（1）如圖1，過點M作MN∥AC且交于點N，求證：BM＝BN；（2）如圖2，連接AM，過點M作∠AMH＝60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交于點H，過H作HD⊥BC于點D．求證：MA＝MH．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC．∵MN∥AC，∴∠BMN＝∠C＝60°，∠BNM＝∠A＝60°．∴∠BMN＝∠BNM＝∠B＝60°，∴△BNM是等邊三角形，∴BM＝BN；（2）過點M作MN∥AC交AB于N，∴BM＝BN，∠ANM＝120°．∵∠AMH＝60°，∴∠AMB+∠HMC＝120°．∵∠B＝60°，∴∠AMB+∠BAM＝120°．∴∠HMC＝∠BAM．∵∠ACB＝60