2023年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編復(fù)習(xí)(七)幾何綜合題(答案不全)

專(zhuān)題復(fù)習(xí)（七）幾何綜合題

類(lèi)型1類(lèi)比探究的幾何綜合題

類(lèi)型2與圖形變換有關(guān)的幾何綜合題

類(lèi)型3與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何綜合題

類(lèi)型4與實(shí)際操作有關(guān)的幾何綜合題

類(lèi)型5其他類(lèi)型的幾何綜合題

類(lèi)型1類(lèi)比探究的幾何綜合題

（2023蘇州）

（2023煙臺(tái)）

12023東營(yíng)）（1）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：

如圖1,在△力成1中，點(diǎn)。在線段比1上，/物330°,/力075°,133百，BO-.C31:3,求16的長(zhǎng).

經(jīng)過(guò)社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)氤B作即〃AC,交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，通過(guò)構(gòu)造劭就可以解決問(wèn)題（如圖2）.

請(qǐng)答復(fù)：ZADB=°,AB=.

（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：

如圖3,在四邊形4%/中，對(duì)角線4。與龍相交于點(diǎn)。，ACVAD,

AO=3框,ZAB（=ZACB=75°,BO：619=1:3,求〃C的長(zhǎng).

（2023長(zhǎng)/算24題圖1）（第24題圖2）（第24題圖3）

（2023陜西）

（2023齊齊哈爾）^_

（2023河南）/1

（2023仙桃）

問(wèn)題：如圖①，在Rt△力比1中，AB=AC,D

為8。邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,，重合），

將線段4?繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到

AE,連接員;，那么線段8GDC,我之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系式為；

探索：如圖②，在Rt△1比1與RtZ\H龐中，AB=AC,AD=AE,將△力施繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在6c邊上，試探

索線段A9,BD,切之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

應(yīng)用：如圖③，在四邊形四"中，NABC=NACB=ZADC=45°.假設(shè)M=9,CD=3,求49的長(zhǎng).

（2023襄陽(yáng)）如圖（1）,點(diǎn)G在正方形4%/的對(duì)角線“1上，GELBC,垂足為點(diǎn)分GF1CD,垂足為點(diǎn)用

（1）證明與推斷：

①求證：四邊形制亦是正方形；

②推斷：毀的值為；

BE

（2）探究與證明：

將正方形的繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角（0°<?<45°）,如圖（2）所示，試探究線段與龐之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由；

（3）拓展與運(yùn)用

正方形版亦在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)6,E,6三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)CG交/〃于點(diǎn)力.假設(shè)4年6,

GH=2叵,那么叱.

（2023淮安）

（2023咸寧）

（2023黃石）在AABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點(diǎn)（不與A、B、C重合）.

（1）如圖1,假設(shè)EF〃BC,求證：9照=拒竺

SAABCA.B?AC

（2）如圖2,假設(shè)EF不與BC平行，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3,假設(shè)EF上一點(diǎn)G恰為AABC的重心，圭=^,求汕■的值.

AB4S?BC

（2023山西）

（2023鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，等邊AA6C,將直一角三角形的60角頂點(diǎn)。任意放在8C邊上（點(diǎn)。不與點(diǎn)反、C

重合），使兩邊分別交線段AB、AC于點(diǎn)E、F.

（1）假設(shè)AB=6,AE=4,BD=2,那么CE=；

（2）求證：\EBDADCF.

【思考】假設(shè)將圖①中的三角板的頂點(diǎn)。在6c邊上移動(dòng)，保持三角板與A3、AC的兩個(gè)交點(diǎn)￡、尸都存在，

連接如圖②所示.問(wèn)點(diǎn)。是否存在某一位置，使ED平分NBEF且FD平分NCFE?假設(shè)存在，求出些的

BC

值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【探索】如圖③，在等腰AABC中，A3=AC,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，將三角形透明紙板的一個(gè)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處

（其中AMON=NB）,使兩條邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、/1點(diǎn)E、尸均不與AABC的頂點(diǎn)重合），連接￡足

設(shè)N6=a,那么AAEF與AABC的周長(zhǎng)之比為用含a的表達(dá)式表示）.

（2023紹興）

（2023達(dá)州）

（2023荷澤）

（2023揚(yáng)州）問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)。、N和E、C,ON與EC相交于點(diǎn)P,求tanNCPN的值.

方法歸納

求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中NCPN不在直角三角

形中，我們常常利用網(wǎng)格畫(huà)平行線等方法解決此類(lèi)問(wèn)題.比方連接格點(diǎn)”、N,可得MN//EC,那么

NDNM=NCPN,連接。0,那么NC/W就變換到中用ADMN.

問(wèn)題解決

（1）直接寫(xiě)出圖1中tanNCPN的值為；

（2）如圖2,在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點(diǎn)P,求cosNCPN的值；

思維拓展

（3）如圖3,ABA.BC,AB=4BC,點(diǎn)M在AB上，且AM=BC,延長(zhǎng)CB到N,使BN=2BC,連接4V

交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求ZCPN的度數(shù).

（2023常德）正方形ABCD中4C與5。交于。點(diǎn)，點(diǎn)M在線段8。上，作直線AM交直線。。于E,過(guò)。作

于〃，設(shè)直線。“交AC于N.

（1）如圖14,當(dāng)M在線段80上時(shí)，求證：MO=NO；

（2）如圖15,當(dāng)M在線段。。上，連接NE,當(dāng)EN//BD時(shí),求證：BM=AB；

（3）在圖16,當(dāng)M在線段0。上，連接NE,當(dāng)NE_L￡C時(shí)，求證：AN。=NCAC.

（2023濱州）

（2023湖州）

（2023自貢）如圖，NAOB=60,在NAO3的平分線。M上有一點(diǎn)。，將一個(gè)120°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合，它

，的兩條邊分別與直線。4、。8相交于點(diǎn)。、E.

⑴當(dāng)ZDCE繞點(diǎn).C旋轉(zhuǎn)到與OA垂直時(shí)（如圖1）,請(qǐng)猜測(cè)OE+。。與。。的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明,理由；

⑵當(dāng)NQCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到與。4不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，⑴中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由：

⑶當(dāng)NQCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CO與。4的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成.立？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，假設(shè)成立，

請(qǐng)給于證明；假設(shè)不成立，線段?！辏?E與。。之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，不需證明.

（2023嘉興、舟山）

.（2023淄博）11）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫(huà)了一個(gè)等腰三角形ABC,其中A3=AC,在△ABC的外側(cè)分別以

A3,AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABDACE,分別取BD,CE,的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN.小

明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是.

（2）類(lèi)比思考：

如圖②，小明在此根底上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中A6>AC,其它條件

不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）深入研究:

如圖③，小明在（2）的根底上，又作了進(jìn)一步的探究.向A46c的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形A8RACE,其它

條件不變，試判斷AGMN的形狀，并給與證明.

類(lèi)型2與圖形變換有關(guān)的幾何綜合題

（2023宜昌）在矩形ABCD中，AB=12,P是邊A6上一點(diǎn)，把一PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)

G,過(guò)點(diǎn)B作BELCG,垂足為E且在AO上，BE交PC于點(diǎn)、F.

⑴如圖1,假設(shè)點(diǎn)七是的中點(diǎn)，求證：AAEB義ADEC；

（2）如圖2,①求證：BP=BF；

②當(dāng)AD=25,且AE<DE時(shí)，求cos/PCB的值；

③當(dāng)BP=9時(shí)，求BREF的值.

圖1圖2圖2備用圖

23.（1）證明：在矩形ABCD中，ZA=ZD=90,AB=DC,

如圖1,又,AE=DE,

⑵如圖2,

①在矩形ABC。中，ZABC=90,

ABPC沿PC折疊得到AGPC

ZPGC=ZPBC=90,4BPC=Z.GPC

:.BE//PG,

②當(dāng)4。=25時(shí)，

.-.ZAEB+ZCED=90,

■.^AEB+ZABE=90,

又?ZA=ZD=90,

...設(shè)A￡=x,那么￡)E=25—x,

1225-x

--=------,

x12

解得％=9,x2=16

AE=9,DE=16,

..CE=20,B￡=15,

由折疊得BP=PG,

：.BP=BF=PG,

BE//PG,

設(shè)BP=BF=PG=y,

y=—那么BP=—

33

“DADD-"25M/…BC253M

在RfAPBC中，PC=--------,cosZPCB=——=——；==——

3PC25河10

3

③假設(shè)BP=9,

解法一：連接GF,（如圖3）

NGEF=NR4E=90,

/.四邊形BPGF是平行四邊形

BP=BF,

平行四邊形BPGF是菱形

：.BP//GF,

:.ZGFE^ZABE,

解法二：如圖2,

.NFEC=NPBC=90,

ZEFC=ZPFB=ABPF,

又-ZBEC=ZA=9Q,

由AZ>//8C得ZAEB=NEBC,

qRFRF

解法三：（如圖4）過(guò)點(diǎn)/作FH_L8C,垂足為駁"=-------=—

S四邊形PFEGEF+PGBE

（2023邵陽(yáng)）

（2023永州）

（2023無(wú)錫）

（2023包頭）

（2023赤峰）

（2023昆明）

（2023岳陽(yáng)）

（2023宿遷）

（2023綿陽(yáng)）

(2023南充)

(2023徐州)

類(lèi)型3與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何綜合題

(2023吉林)

(2023黑龍江龍東)

(2023黑龍江龍東)

(2023廣東)Rt△處6,NA4廬90",ZABO=30",斜邊加=4,將Rt△物3繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60",如圖25T圖，連

接班

(1)填空：Z.OBO°；

(2)如圖25-1圖，連接4G作垂足為只求利的長(zhǎng)度；

(3)如圖25-2圖，點(diǎn)收N同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，在△(?龍邊上運(yùn)動(dòng)，"沿路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿八外。路徑

勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn)"的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x

秒，△〃物V的面積為y,求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？(結(jié)果可保存根號(hào))

(2023衡陽(yáng))

(2023黔東南)如圖1,矩形AOCB,AB=6cm,BC=l6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以3CM/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)

動(dòng)，直到點(diǎn)。為止；動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，以2an/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng).

(1)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是一s,此時(shí)點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)距離是一cm-

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，P、。兩點(diǎn)的距離為cm；

(3)請(qǐng)你計(jì)算出發(fā)多久時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)。之間的距離是10cm；

(4)如圖2,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，Q4所在直線為y軸，1cm長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角

k

坐標(biāo)系，連結(jié)AC,與尸。相交于點(diǎn)O,假設(shè)雙曲線y=七過(guò)點(diǎn)。，問(wèn)女的值是否會(huì)變化？假設(shè)會(huì)變化，說(shuō)明理由；

x

假設(shè)不會(huì)變化，請(qǐng)求出Z的值.

(2023青島)：如圖，四邊形45C￡>,AB//DC,CB1AB,AB=I6an,BC=6cm,CD=8cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。開(kāi)始沿

ZM邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2ca/s.點(diǎn)P和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以

QA.。尸為邊作平行四邊形AQPE,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s),0<r<5.

根據(jù)題意解答以下問(wèn)題：

(1)用含，的代數(shù)式表示AP；

(2)設(shè)四邊形CPQB的面積為5卜/)，求S與r的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)。尸時(shí)，求f的值；

(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻/,使點(diǎn)E在乙鉆。的平分線上？假設(shè)存在，求出/的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

（2023廣州）如圖12,在四邊形ABCD中,ZB=60°,ZD=30",AB=BC.

（1）求/A+NC的度數(shù)

（2）連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

（3）假設(shè)AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足4爐=B^+CE?,求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度。

（2023溫州）

（2023江西）

（2023濰坊）

類(lèi)型4與實(shí)際操作有關(guān)的幾何綜合題

（2023徐州）如圖1,一副直角三角板滿(mǎn)足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90°,ZEDF=30°

【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊

AB交于點(diǎn)P,邊EF與邊BC于點(diǎn)Q

【探究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

（1）如圖2,當(dāng)上CE上=1時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.

EA

CE

（2）如圖3,當(dāng)上上=2時(shí)EP與EQ滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.

EA

（3）根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫(xiě)出當(dāng)JCE=m時(shí)，EP與EQ滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系式

EA

為,其中加的取值范圍是（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）

【探究二】假設(shè)，AC=30cm,連續(xù)PQ,設(shè)的面積為S（cm?）,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？假設(shè)存在，求出最大值或最小值，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.

（2）隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)△EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取值范圍.

（2023成都）

（2023棗莊）

（2023德州）

類(lèi)型5其他類(lèi)型的幾何綜合題

（2023寧波）

（2023安徽）如圖1,應(yīng)中，N4叱90°，點(diǎn)〃為邊然上一點(diǎn)，應(yīng)14?于點(diǎn)￡,點(diǎn)"為劭中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線

交力8于點(diǎn)F.

（1）求證:CM=EM-,

（2）假設(shè)/的050°,求/國(guó)肥的大小；

（3）如圖2,假設(shè)△物出△CEM點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證〃現(xiàn)

17.⑴證明：為BD中點(diǎn)

RtZXDCB中，MC=-BD

2

RtZkDEB中,EM=2BD

.\MC=ME

(2)VZBAC=50°

:.ZADE=40°

VCM=MB

:.ZMCB=ZCBM

ZCMD=ZMCB+ZCBM=2ZCBM

同理，ZDME=2ZEBM

AZCME=2ZCBA=80°

.,.ZEMF=180°-80°=100°

(3)同(2)中理可得NCBA=45°

:.ZCAB=ZADE=45°

VADAE^ACEM

j_

ADE=CM=ME=2BD=DM,ZECM=45°

.「△DEM等邊

:.ZEDM=60°

??.ZMBE=30°

ZMCB+ZACE=45°

ZCBM+ZMBE=45°

???ZACE=ZMBE=30°

???NACM=NACE+NECM=75°

連接AM,TAE=EM二MB

???ZMEB=ZEBM=30°

ZAME=2ZMEB=15°

VZCME=90°

AZCMA=900-15°=75°=ZACM

?.AC=AM

TN為CM中點(diǎn)

AAN±CM

VCMXEM

AAN//CM

（2023金華、麗水）在RtZU%中，N力彥90°,.點(diǎn)〃在直線%上，以。,切為邊作矩形力做;直線力8與

直線CE,"的交點(diǎn)分別為F,G.

(1)如圖，點(diǎn)。在線段四上，四邊形/C箔是正方形.

①假設(shè)點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求小的長(zhǎng).

②假設(shè)用=，加求勿的長(zhǎng).

(2)止9,是否存在點(diǎn)〃，使得△腕是等腰三角形？假設(shè)存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由.

第24題圖

(2023金華(麗水))在Rt△/比中，ZACB=90°,.點(diǎn)〃在直線⑦上，以。，切為邊作矩形力物;直線相

與直線CE,膜的交點(diǎn)分別為F,G.

(1)如圖，點(diǎn)。在線段CB上，四邊形力儀應(yīng)是正方形.

①假設(shè)點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求小的長(zhǎng).

②假設(shè)的=沖，求利的長(zhǎng).

(2)除9,是否存在點(diǎn)〃使得△"'G是等腰三角形？假設(shè)存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；假設(shè)不存在，試說(shuō)明理由.

(2023眉山)如圖①，在四邊形4的中，/CL即于點(diǎn)發(fā)AB=AC=BD,點(diǎn)M為6C中點(diǎn)，"為線段41/上的點(diǎn)，且加為限

(1)求證：BN平62ABE；

(2)假設(shè)劭=1,連結(jié)〃M當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求線段灰的長(zhǎng)；

(3)如圖②，假設(shè)點(diǎn)尸為48的中點(diǎn)，連結(jié)MFM,求證：叢MFNs^BDC.

(2023泰安)

(2023威海)如圖①，在四邊形3c中，BCLCD,DEVCD,AByAE,垂足分別為C,O,A,BC^AC,

點(diǎn)M,M尸分別為AE,的中點(diǎn)，連接MN,MF,NF.

AC

(1)如圖②，當(dāng)8C=4,DE=5,tanNR“N=l時(shí)，求——的值；

AD

(2)假設(shè)tan/FMN=1,8c=4,那么可求出圖中哪些線段的長(zhǎng)？寫(xiě)出解答過(guò)程；

2

(3)連接CM,DN,CF,DF,試證明4FMC與ADNF全等；

(4)在(3)的條件下，圖中還有哪些其它的全等三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出.

解：尸分別是的中點(diǎn)，

:.BM=NF=MA,MF=AN=NE.

：.四邊形MANF是平行四邊形.

又；BAVAE.

???平行四邊形是矩形.

FN

又???tanNRWN=l,，一=1,即=

FM

二.矩形MAN/7為正方形.

:.AB=AE.

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=9