重慶市萬(wàn)州二中教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（原卷版）

萬(wàn)州二中教育集團(tuán)高2022級(jí)高二（下）入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題考試范圍：選必一，二；考試時(shí)間：120分鐘；注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）1.設(shè)空間向量，，若，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.2 B. C. D.102.過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.3.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼?lái)研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作，下列不是數(shù)列的項(xiàng)的是（）A.35 B.70 C.145 D.1754.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B. C. D.5.在等差數(shù)列中，若，則（）A.30 B.40 C.45 D.606.過(guò)軸上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)切線長(zhǎng)最短時(shí)，則劣弧長(zhǎng)（）A. B. C. D.7.古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為②若，則③存在點(diǎn)，使得④的最小值為A.①③ B.②④ C.②③ D.①④8.斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，記，則下列結(jié)論不正確的是（）A B.C. D.二、多選題（共3題，每題6分，共18分．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分）9.下列表述中正確的是（）A.若不存在，則曲線在點(diǎn)處沒(méi)有切線B.曲線在處的切線方程為，則當(dāng)時(shí)，C.D若，則10.已知數(shù)列滿足，，為前項(xiàng)和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項(xiàng)公式為C.為遞減數(shù)列D.當(dāng)或時(shí)，取得最大值11.隨著我國(guó)航天科技的快速發(fā)展，雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測(cè)中具有重要作用，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)C右支上一點(diǎn)作直線l交x軸于，交y軸于點(diǎn)N，則（）A.C漸近線方程為B.過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，則C.點(diǎn)N的坐標(biāo)為D.四邊形面積的最小值為第II卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共15分）12.已知、，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.13.在移動(dòng)通信中，總是有很多用戶希望能夠同享一個(gè)發(fā)射媒介，進(jìn)行無(wú)線通信，這種通信方式稱為多址通信.多址通信的理論基礎(chǔ)是：若用戶之間的信號(hào)可以做到正交，這些用戶就可以同享一個(gè)發(fā)射媒介.在n維空間中，正交的定義是兩個(gè)n維向量滿足.已知某通信方式中用戶的信號(hào)是4維非平行向量，有四個(gè)用戶同享一個(gè)發(fā)射媒介，已知前三個(gè)用戶的信號(hào)向量為.寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的第四個(gè)用戶的信號(hào)向量__________.14.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，連接各邊的中點(diǎn)得到正方形，連接正方形各邊的中點(diǎn)得到正方形，依此方法一直進(jìn)行下去.記為正方形的面積，為正方形的面積，為正方形的面積，……..為的前項(xiàng)和.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在常數(shù)，使得恒成立；②存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；③存在常數(shù)，使得恒成立；④存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.四、解答題（共5題，77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明）15.在等比數(shù)列中.（1）已知，，求；（2）已知，，求；（3）已知，，，求.16.如圖，直四棱柱的底面為菱形，，.（1）證明：平面平面；（2）求底面與平面所成銳二面角的余弦值.17.請(qǐng)閱讀下列材料，并解決問(wèn)題：圓錐曲線的第二定義二次曲線，即圓錐曲線，是由一平面截二次錐面得到的曲線，包括橢圓，拋物線，雙曲線等.2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開(kāi)始研究二次曲線，并獲得了大量的成果.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究二次曲線曲線.阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”，事實(shí)上，二次曲線由很多統(tǒng)一的定義、統(tǒng)一的二級(jí)結(jié)論等等.比如：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓錐曲線（這個(gè)圓錐曲線的第二定義）.其中定點(diǎn)稱為其焦點(diǎn)，定直線稱為其準(zhǔn)線（其中橢圓與雙曲線的準(zhǔn)線方程為，拋物線準(zhǔn)線方程為），正常數(shù)稱為其離心率.當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.（1）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（直接寫(xiě)出結(jié)果，無(wú)需過(guò)程）.（2）在（1）所求的曲線中是否存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線的距離最?。孔钚【嚯x是多少？18.已知點(diǎn)在曲線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明：為定值．19.同余定理是數(shù)論中的重要