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文檔簡介
2024屆海南省儋州市正大陽光中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)fxA. B.C. D.2.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.4.已知雙曲線的一條漸近線方程為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.若的內(nèi)角滿足,則的值為()A. B. C. D.6.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.107.已知集合,,則等于()A. B. C. D.8.已知集合,,則A. B.C. D.9.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.10.已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA.1 B.-1 C.a(chǎn) D.-a11.拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.12.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是,則的值等于__________.14.已知拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,直線與交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)__________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和且,設(shè),則的值等于_______________.16.已知兩點(diǎn),,若直線上存在點(diǎn)滿足,則實(shí)數(shù)滿足的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設(shè),求三棱錐的體積.18.(12分)已知橢圓,左、右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),若的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)動(dòng)直線過點(diǎn)與交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使成立,說明理由.19.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.21.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.22.(10分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè),是軌跡在上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且時(shí),證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項(xiàng)D,f-1=-e【點(diǎn)睛】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→02、A【解析】
根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng),即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、C【解析】
由可得,故可求的值.【詳解】因?yàn)?,所以,故,因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.4、B【解析】
由題意得出的值,進(jìn)而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,因此,該雙曲線的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率,利用公式計(jì)算較為方便,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由,得到,得出,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,即可求解.【詳解】由題意,角滿足,則,又由角A是三角形的內(nèi)角,所以,所以,因?yàn)椋?故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì),以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題,著重考查了推理與計(jì)算能力.6、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,計(jì)算得到答案.【詳解】,驗(yàn)證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,圖像共有8個(gè)交點(diǎn),故所有解之和等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.7、A【解析】
進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
因?yàn)椋?,所以,,故選D.9、C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問問題求并集而不是交集.10、A【解析】
令xex=t,構(gòu)造g(x)=xex,要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,【詳解】令xex=t,構(gòu)造g(x)=xex,求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增,在1,+∞上單調(diào)遞減,且x<0時(shí),g(x)<0,x>0時(shí),g(x)>0,g(x)max=g(1)=1e,可畫出函數(shù)g(x)的圖象(見下圖),要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x若a>0,即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4,即t1+t2=-a>4t1故選A.【點(diǎn)睛】解決函數(shù)零點(diǎn)問題,常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.11、B【解析】
通過拋物線的定義,轉(zhuǎn)化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結(jié),當(dāng)是拋物線的切線時(shí),有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設(shè)在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由已知,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,要注意在某點(diǎn)的切線與過某點(diǎn)的切線的區(qū)別,本題屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由于直線過拋物線的焦點(diǎn),因此過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義及平行線性質(zhì)可得,從而再由拋物線定義可求得直線傾斜角的余弦,再求得正切即為直線斜率.注意對(duì)稱性,問題應(yīng)該有兩解.【詳解】直線過拋物線的焦點(diǎn),,過,分別作的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,,由拋物線的定義知,.因?yàn)椋裕驗(yàn)?,所以,從而.設(shè)直線的傾斜角為,不妨設(shè),如圖,則,,同理,則,解得,,由對(duì)稱性還有滿足題意.,綜上,.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì),考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題,掌握拋物線的定義,把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起來是解題關(guān)鍵.15、7【解析】
根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,可得,進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計(jì)算可得,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,又,解得,當(dāng)時(shí),由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,計(jì)算得是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16、【解析】
問題轉(zhuǎn)化為求直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),的取值范圍,利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果.【詳解】解:直線,點(diǎn),,直線上存在點(diǎn)滿足,的軌跡方程是.如圖,直線與圓有公共點(diǎn),圓心到直線的距離:,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn),連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進(jìn)而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點(diǎn),連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點(diǎn),則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)存在;詳見解析【解析】
(1)由橢圓的性質(zhì)得,解得后可得,從而得橢圓方程;(2)設(shè),當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)為,代入橢圓方程,整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得,代入=0由恒成立問題可求得.驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也適合即得.【詳解】解:(1)由題易知解得,所以橢圓方程為(2)設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)為與橢圓方程聯(lián)立得,顯然所以因?yàn)榛喗獾眉此源藭r(shí)存在定點(diǎn)滿足題意當(dāng)直線斜率不存在時(shí),顯然也滿足綜上所述,存在定點(diǎn),使成立【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓相交問題中的定點(diǎn)問題,解題方法是設(shè)而不求的思想方法.設(shè)而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法,只要涉及交點(diǎn)坐標(biāo),一般就用此法.19、(1);(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),由題意得到,令,分類討論求得函數(shù)的最小值,即可求得的最大值.(2)由時(shí),不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),由,可得,令,則只需,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;故當(dāng)時(shí),取得最小值,即的最大值為.(2)依題意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,則,所以,所示實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的解法,以及不等式的恒成立問題的求解與應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與計(jì)算能力.20、(1)見解析;(2)【解析】
(1)利用余弦定理化簡已知條件,由此證得(2)利用正弦定理化簡(1)的結(jié)論,得到,利用三角形的面積公式列方程,由此求得,進(jìn)而求得的值,從而求得角.【詳解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.21、(1),;(2).【解析】
(1)先將曲線化為普通方程,再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:,可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo),從而得出,由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】(1)曲線的普通方程為,即,其極坐標(biāo)方程為;曲線的極坐標(biāo)方程為,即,其直角坐標(biāo)方程為;(2)射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立,聯(lián)立,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化,圓,拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.22、(1)或;(2)證明見解析,定點(diǎn)【解析】
(1)
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