遼寧省大連市第一〇八高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

遼寧省大連市第一〇八高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓ax2+by2=1與直線y=1﹣x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專(zhuān)題：綜合題．分析：聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韋達(dá)定理得AB中點(diǎn)坐標(biāo)：（），AB中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率k===．解答： 解：聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中點(diǎn)坐標(biāo)：（），AB中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率k===．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的經(jīng)綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．2.函數(shù)的定義域是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.若復(fù)數(shù)滿足，則z為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A4.下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：①：的平方根②：的倒數(shù)③：④：中的數(shù)平方其中是到的映射的是（

）A．①③

B．②④

C．③④

D．②③參考答案：D略5.中國(guó)古代算書(shū)《孫子算經(jīng)》中有一著名的問(wèn)題“物不知數(shù)”如圖1，原題為：今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？后來(lái)，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)學(xué)九章》中對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解法做了系統(tǒng)的論述，并稱(chēng)之為“大衍求一術(shù)”，如圖2程序框圖的算法思路源于“大衍求一術(shù)”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為20，17，則輸出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序運(yùn)行過(guò)程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的c值．【解答】解：模擬執(zhí)行程序運(yùn)行過(guò)程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，滿足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，滿足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，滿足r=1；輸出c=7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答．6.（5分）在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），若△ABC滿足條件分別為①周長(zhǎng)為10；②∠A=90°；③kABkAC=1．則A的軌跡方程分別是a：x2+y2=4（y≠0）；；c：x2﹣y2=4（y≠0），則正確的配對(duì)關(guān)系是（）A．①a②b③cB．①b②a③cC．①c②a③bD．①b②c③a參考答案：B△ABC中，∵B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），∴BC=4，=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），kAB=，kAC=，①△ABC的周長(zhǎng)為10，即AB+AC+BC=10，而B(niǎo)C=4，所以AB+AC=6＞BC，故動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為橢圓，與b對(duì)應(yīng)；②∠A=90°，故?=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，與a對(duì)應(yīng)；③kABkAC=1，故．即x2﹣y2=4，與c對(duì)應(yīng)．故選B．7.點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓和圓上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．8

B．9

C.10

D．7參考答案：B在雙曲線中，為雙曲線的右支上一點(diǎn)，所以分別是圓和上的點(diǎn)，則則所以最大值為9.

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是（

）A.6 B.7 C.8 D.5參考答案：C【分析】此程序框圖是循環(huán)結(jié)構(gòu)圖，模擬程序逐層判斷，得出結(jié)果.【詳解】解：模擬程序：的初始值分別為1,1，第1次循環(huán)：，滿足，故；第2次循環(huán)：，滿足，故；第3次循環(huán)：，滿足，故；第4次循環(huán)：，不滿足，故輸出；故輸出，故選C.

9.如圖所示，點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓剡呴L(zhǎng)為a的正三角形ABC運(yùn)動(dòng)一周，O為ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P走過(guò)的路程為x，△OAP的面積為f（x）（當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，記面積為0），則函數(shù)f（x）的圖象大致為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象．【分析】由三角形的面積公式，結(jié)合圖象可知需分類(lèi)討論求面積，從而利用數(shù)形結(jié)合的思想方法求得．【解答】解：由三角形的面積公式知，當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）=?x??a=ax，故在[0，a]上的圖象為線段，故排除B；當(dāng)a＜x≤a時(shí)，f（x）=?（a﹣x）??a=a（a﹣x），故在（a，a]上的圖象為線段，故排除C，D；故選A．10.函數(shù)

的圖像大致為下圖的（

）參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在ΔABC中，且AH=1，G為4BC的重心，則=____參考答案：略12.的值為

。參考答案：213.在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c.若，則________；若，則的最小值為_(kāi)_______.參考答案：；

8.【分析】結(jié)合已知，直接運(yùn)用余弦定理，可以求出的大小.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，可將，化為，最后可化成為，根據(jù)，可得，利用基本不等式可以求出的最小值.【詳解】由余弦定理可知：，而，所以有.所以有，因?yàn)?，所以，，，，解得或（舍去），即的最小值?，當(dāng)且僅當(dāng)，即，或,此時(shí)角，，為銳角，所以的最小值為8..【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、綜合考查了三角恒等變換，考查了基本不等式的應(yīng)用、公式的變形能力.

14.設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和

，則

參考答案：15。。15.函數(shù)的定義域是

▲

。參考答案：16.已知數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，給出下列命題：①若{an}是等差數(shù)列，則(10，)，(100，)，(110，)三點(diǎn)共線；②若{an}是等差數(shù)列，則Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m(m∈N*)；③若a1=1，Sn+1=Sn+2則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；④若=anan+2，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．其中證明題的序號(hào)是

．參考答案：①②【考點(diǎn)】等差關(guān)系的確定；等比關(guān)系的確定．【分析】①根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；②若{an}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出Sm、S2m﹣Sm、S3m﹣S2m（m∈N*）即可判斷是否是等差數(shù)列；③首先，根據(jù)所給關(guān)系式，得到a2=，a3=，從而很容易判斷該數(shù)列不是等比數(shù)列．④根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式進(jìn)行判斷．【解答】解：①∵等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn=na1+，∴=（a1﹣）+n，∴數(shù)列{}關(guān)于n的一次函數(shù)（d≠0）或常函數(shù)（d=0），故三點(diǎn)共線，正確；②設(shè)等比數(shù)列{an}的公差為d，A=Sm，B=S2m﹣Sm，C=S3m﹣S2m則B=S2m﹣Sm=am+1+am+2+…+a2m，C=S3m﹣S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m，則B﹣A=am+1+am+2+…+a2m﹣（a1+a2+…+am）=m2d，C﹣B=a2m+1+a2m+2+…+a3m﹣（am+1+am+2+…+a2m）=m2d，則B﹣A=C﹣B，即A，B，C成等差數(shù)列，即成等比數(shù)列，正確；③∵Sn+1=Sn+2，a1=1，∴a1+a2=a1+2，解得a2=，∴a1+a2+a3=（a1+a2）+2，即1++a3=（1+）+2，解得a3=，∴≠，∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；④當(dāng)an=0時(shí)，成立，但是數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；故答案是：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣．17.某賽事組委會(huì)要為獲獎(jiǎng)?wù)叨ㄗ瞿彻に嚻纷鳛楠?jiǎng)品，其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品6件.制作一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品所用原料完全相同，但工藝不同，故價(jià)格有所差異.現(xiàn)有甲、乙兩家工廠可以制作獎(jiǎng)品（一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品均符合要求)，甲廠收費(fèi)便宜，但原料有限，最多只能制作4件獎(jiǎng)品，乙廠原料充足，但收費(fèi)較貴，其具體收費(fèi)情況如下表：

獎(jiǎng)品

收費(fèi)(元／件)工廠一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品甲500

400乙800

600則組委會(huì)定做該工藝品的費(fèi)用總和最低為

元.參考答案：試題分析：設(shè)在甲廠做一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品件，則,組委會(huì)定做該工藝品的費(fèi)用總和為，可行域?yàn)橐粋€(gè)直角梯形內(nèi)整數(shù)點(diǎn)（包含邊界）,其中當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)費(fèi)用總和取最小值：考點(diǎn)：線性規(guī)劃求最值三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知向量，記函數(shù).求：（I）函數(shù)的最小值及取得小值時(shí)的集合；（II）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：解：（Ⅰ）

…………3分

=，

…………5分

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，，此時(shí)的集合是.

……………8分（Ⅱ）由，所以,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

……………

12分

略19.(本題滿分14分)如圖所示,已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,且到直線的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng).(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)若圓的圓心為(),且經(jīng)過(guò)、,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)且在圓外,過(guò)作圓的切線,切點(diǎn)為,當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí),求的值.參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).試題分析：(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，“先定位后定量”，由題知焦點(diǎn)在軸，且，由點(diǎn)到直線的距離求，再由求，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)圓的圓心為，半徑為，連接，則，設(shè)點(diǎn)，在中，利用勾股定理并結(jié)合，表示，其中，轉(zhuǎn)化為自變量為的二次函數(shù)的最值問(wèn)題處理.20.（本題滿分12分）近年來(lái)空氣污染是一個(gè)生活中重要的話題，PM2．5就是其中一個(gè)指標(biāo)。PM2．5指大氣中直徑小于或等于2．5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)：在35微克／立方米～75微克／立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克／立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．

淮北相山區(qū)2014年12月1日至I0日每天的PM2．5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．（1）期間的某天小劉來(lái)此地旅游，求當(dāng)天PM2．5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；（2）陶先生在此期間也有兩天經(jīng)過(guò)此地，這兩天此地PM2．5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)．請(qǐng)計(jì)算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率；（3）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列及期望．參考答案：(1)記“恰好趕上PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)”為事件A

………………3分(2)記“他這兩次此地PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)”

為事件B，………………7分(3)的可能值為0,1,2,3

………………10分

其分布列為：0123P

………………12分21.已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=an2﹣kan+k，（k∈R），a1，a2，a3分別是公差不為零的等差數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求證：對(duì)任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能成等比數(shù)列．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）通過(guò)a1=2可得a2、a3．利用2a2=a1+a3，即得結(jié)論．（Ⅱ）用反證法證明即可．解答： （Ⅰ）解：∵a1=2，∴a2=4﹣k，a3=2k2﹣11k+16．又∵2a2=a1+a3，∴2k2﹣9k+10=0，解得k=2或．又∵{bn}的公差不為零，∴k=．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，bn=．假如bn，b2n，