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云南省大理市祥云縣祥華中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.(5分)若a<b<0,則下列不等式中,一定成立的是()A.a2<ab<b2 B.a2>ab>b2 C.a2<b2<ab D.a2>b2>ab參考答案:B考點: 不等式的基本性質.專題: 不等式的解法及應用.分析: 由于a<b<0,利用不等式的基本性質可得a2>ab>b2.解答: 解:∵a<b<0,∴a2>ab>b2,故選:B.點評: 本題考查了不等式的基本性質,屬于基礎題.2.已知數列{an}的前n項和為Sn,且滿足,則下列命題錯誤的是A.

B.C. D.參考答案:C3.對具有線性相關關系的變量x,y有一組觀測數據(xi,yi)(i=1,2,…,8),其回歸直線方程是:,且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6,則實數a的值是(

)A.

B.

C.

D.參考答案:B4.若雙曲線的左右焦點分別為、,線段被拋物線的焦點分成的兩段,則此雙曲線的離心率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案:B5.函數的定義域為(

)A.

B.

C.

D.參考答案:D6.正三棱柱的各棱長都2,E,F分別是的中點,則EF與底面ABC所成角的余弦為

A.

B.

C.

D.參考答案:C7.設集合,則下列關系中正確的是(

A.

B.

C.

D.參考答案:B略8.已知x,y∈R,滿足x2+2xy+4y2=6,則z=x+y的取值范圍為()A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣,]參考答案:C【考點】曲線與方程.【分析】由題意可得z2+3y2=6,解得﹣<x+y<,解關于x+y的不等式可得.【解答】解:∵z=x+y,x2+2xy+4y2=6,∴z2+3y2=6,解得﹣<x+y<,故x+y的取值范圍為[﹣,]故選C.9.已知點(a,b)在函數的圖象上,則的最小值是(

)A.6

B.7

C.8

D.9參考答案:D故選D.10.已知m、n是兩條不重合的直線,是三個互不重合的平面,則下列命題正確的(

A.若則

B.若∥則∥

C.若∥,∥,∥,則∥

D.若∥,∥,⊥,則⊥

參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(極坐標與參數方程)在極坐標系中,直線的方程為,則點到直線的距離為___________.參考答案:12.在極坐標系中,曲線ρ3cosθ+1=0上的點到A(1,0)的距離的最小值為

.參考答案:考點:簡單曲線的極坐標方程.專題:坐標系和參數方程.分析:曲線ρ3cosθ+1=0化為(x2+y2)x+1=0,可得y2=﹣,設P(x,y)是曲線上的任意一點,利用兩點之間的距離公式可得|PA|=,由y2=﹣≥0,解得﹣1≤x<0,再利用基本不等式的性質即可得出.解答: 解:曲線ρ3cosθ+1=0化為(x2+y2)x+1=0,解:曲線ρ3cosθ+1=0化為(x2+y2)x+1=0,∴y2=﹣,設P(x,y)是曲線上的任意一點,則|PA|===,由y2=﹣≥0,解得﹣1≤x<0,由=2,當且僅當x=﹣時取等號.∴|PA|min=.故答案為:.點評:本題考查了把極坐標化為直角坐標、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質,考查了計算能力,屬于中檔題.13.已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線分別交于三點,為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,的面積為,則

.參考答案:14. 若雙曲線的一條漸近線方程是,則此雙曲線的離心率為

.參考答案:.而已知是一條漸近線方程,則有,15.已知頂點、、的對邊分別為、、,且,,若,則

.參考答案:16.雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2,過焦點F2且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于A、B兩點,若,則雙曲線的離心率為

.參考答案:考點:雙曲線的簡單性質.分析:因為,所以AF1與BF1互相垂直,結合雙曲線的對稱性可得:△AF1B是以AB為斜邊的等腰直角三角形.由此建立關于a、b、c的等式,化簡整理為關于離心率e的方程,解之即得該雙曲線的離心率.解答: 解:根據題意,得右焦點F2的坐標為(c,0)聯(lián)解x=c與,得A(c,),B(c,﹣)∵∴AF1與BF1互相垂直,△AF1B是以AB為斜邊的等腰Rt△由此可得:|AB|=2|F1F2|,即=2×2c∴=2c,可得c2﹣2ac﹣a2=0,兩邊都除以a2,得e2﹣2e﹣1=0解之得:e=(舍負)故答案為:點評:本題給出經過雙曲線右焦點并且與實軸垂直的弦,與左焦點構成直角三角形,求雙曲線的離心率,著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識,屬于基礎題.17.實數x,y滿足,則x2+(y+1)2的最大值與最小值的差為;___參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.點P到直線y=﹣3的距離比到點F(0,1)的距離大2(Ⅰ)求點P的軌跡C的方程(Ⅱ)設點A(﹣4,4),過點B(4,5)的直線l交軌跡C于M,N兩點,直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求|k1﹣k2|的最小值.參考答案:【考點】軌跡方程.【分析】(Ⅰ)利用拋物線的定義,得出軌跡方程;(Ⅱ)聯(lián)立直線MN方程與C的軌跡方程,得出M,N的坐標關系,代入斜率公式化簡|k1﹣k2|,利用二次函數的性質求出最小值.【解答】解:(Ⅰ)∵點P到直線y=﹣3的距離比到點F(0,1)的距離大2,∴點P到直線y=﹣1的距離等于到點F(0,1)的距離,∴點P的軌跡是以點F(0,1)為焦點的拋物線,方程為x2=4y.(Ⅱ)設過點B的直線方程為y=k(x﹣4)+5,M(x1,),N(x2,).聯(lián)立拋物線,得x2﹣4kx+16x﹣20=0,則x1+x2=4k,x1x2=16k﹣20,∵k1=,k2=.∴|k1﹣k2|=|x1﹣x2|==≥1.∴當k=2時,|k1﹣k2|取得最小值1.【點評】本題考查了軌跡方程的求解,直線與拋物線的位置關系,直線的斜率公式,屬于中檔題.19.(04年全國卷IV)(12分)已知α為第二象限角,且sinα=求的值.參考答案:解析:

當為第二象限角,且時

,所以=20.本題滿分12分)已知函數在一個周期內的圖象如圖所示,其中點A為圖象上的最高點,點B,C為圖象與x軸的兩個相鄰交點,且△ABC是邊長為4的正三角形.(Ⅰ)求與的值;(Ⅱ)若,且,求的值.參考答案:(Ⅰ)解:由已知可得…3分 BC==4,……4分由圖象可知,正三角形ABC的高即為函數的最大值,得………6分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 即∵, ∴∴…8分 ∴………………12分21.已知函數f(x)=ex+a﹣lnx.(1)若函數f(x)在x=1處取得極值,求實數a的值;(2)當a≥﹣2時,證明:f(x)>0.參考答案:【考點】利用導數研究函數的極值;利用導數求閉區(qū)間上函數的最值.【分析】(1)求出函數的導數,計算f′(1)=0,求出a的值即可;(2)問題轉化為證明ex﹣2﹣lnx>0,令g(x)=ex﹣2﹣lnx(x>0),根據函數的單調性證明即可.【解答】解:(1)函數f(x)=ex+a﹣lnx定義域為(0,+∞),,由已知得f′(1)=0,即:ea+1﹣1=0,所以a=﹣1;

(2)由于a≥﹣2,所以ex+a≥ex﹣2,所以只需證明ex﹣2﹣lnx>0,令g(x)=ex﹣2﹣lnx(x>0),則g′(x)=ex﹣2﹣,所以g′(x)在(0,+∞)上為增函數,而g′(1)=e﹣1﹣1<0,g′(2)=1﹣>0,所以g′(x)在(0,+∞)上有唯一零點x0,且x0∈(1,2),當x∈(0,x0)時,g′(x)<0,當x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,所以g(x)的最小值為g(x0),由g′(x0)=﹣=0,得:=,lnx0=2﹣x0,所以g(x0)=﹣lnx0=+x0﹣2≥0,而x0∈(1,2),所以g(x0)>0,所以g(x)>g(x0)>0,即:ex﹣2﹣lnx>0,所以,當a≥﹣2時,f(x)>0.【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題,考查導數的應用,是一道中檔題.22.如圖,在三棱錐P-ABC中,G是棱PA的中點,,且,(Ⅰ)求證:直線BG⊥平面PAC;(Ⅱ)求二面角的正弦值.

參考答案:(Ⅰ)見解析(Ⅱ)

【分析】(Ⅰ)先證明與平面內的兩

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