工程力學(xué)：第四章 變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)

14.6一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變4.7變形體靜力學(xué)分析4.1變形固體的力學(xué)分析方法4.2基本假設(shè)4.3內(nèi)力、截面法4.4桿件的基本變形4.5桿的軸向拉伸和壓縮第四章變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)返回主目錄4.8應(yīng)力集中的概念2

前一章，將物體視為剛體，討論其平衡。事實(shí)上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。本章討論的研究對(duì)象是變形體。屬于固體力學(xué)的范疇。不再接受剛體假設(shè)。以變形體為研究對(duì)象的固體力學(xué)研究基本方法,包括下述三個(gè)方面的研究：

1)力和平衡條件的研究。2)變形幾何協(xié)調(diào)條件的研究。3)力與變形之關(guān)系的研究。先以一個(gè)例子說(shuō)明方法。研究主線第四章變形體靜力學(xué)基礎(chǔ)4.1變形固體的力學(xué)分析方法返回主目錄3例1長(zhǎng)2L的木板由兩個(gè)彈性常數(shù)為k、自由長(zhǎng)度為h的拉壓彈簧支承。若有一人從板中央向一端緩慢行走，試求板與地面剛剛接觸時(shí)，人所走過(guò)的距離x。解：設(shè)人重為W，板重不計(jì)討論板與地面剛接觸的臨界狀態(tài)，板受力如圖。1)力的平衡條件：由平衡方程有：

Fy=FB-FA-W=0

MA(F)=2aFB-(x+a)W=0ABLLaaWABFAFN=0xWFBhAhB2個(gè)平衡方程，3個(gè)未知量：x、FA、FB，不可解。需考慮變形。板可作剛體處理，只考慮彈簧的變形。4彈簧A、B的變形為

A=hA-h(受拉伸長(zhǎng))--(4)

及

B=h-hB(受壓縮短)--(5)

2)變形幾何協(xié)調(diào)條件：剛性板保持為直板，二彈簧變形后應(yīng)滿足的幾何條件是：

3)力與變形間的物理關(guān)系：對(duì)于彈簧，力與變形間的關(guān)系為：

FA=k

A--(6)

及FB=k

B--(7)hB/hA=(L-a)/(L+a)(x>0)--(3)ABFAFN=0xWFBhAhBaa5

綜合考慮平衡條件、變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系后，得到7個(gè)方程，可求出FA、FB、

A、

B、hA、hB、x等全部未知量。

解得：板剛剛觸地時(shí)，人所走過(guò)的距離為：

--（a）xaLhkW=-221()此時(shí)，二彈簧的變形為：dAWkxa=-21()dBWkxa=+21()--（b）將x代入平衡方程，即可求得FA、FB。ABFAFN=0xWFBhAhBaa6研究重點(diǎn)是變形體的內(nèi)力、變形及力與變形之關(guān)系。研究變形體力學(xué)問(wèn)題的主線是：力的平衡變形的幾何協(xié)調(diào)

力與變形之關(guān)系

SFy=0SMA(F)=0

hB/hA=(L-a)/(L+a)

A=hA-h;

B=h-hBFA=k

A;FB=k

B(已熟悉)

(幾何分析)

(物理關(guān)系)返回主目錄ABFAFN=0xWFBhAhBaa7

固體力學(xué)的研究對(duì)象是可變形固體。變形與材料有關(guān)。為研究方便，采用下述假設(shè)：材料沿各不同方向均具有相同的力學(xué)性質(zhì)。這樣的材料稱為各向同性材料。

使力與變形間物理關(guān)系的討論得以大大簡(jiǎn)化。2)各向同性假設(shè)

物體整個(gè)體積內(nèi)都毫無(wú)空隙地充滿著物質(zhì)，是均勻、連續(xù)的，且任何部分都具有相同的性質(zhì)。

變形前、后都沒(méi)有“空隙”、“重疊”，必須滿足幾何協(xié)調(diào)（相容）條件?？扇∪我徊糠盅芯?。1)

均勻連續(xù)性假設(shè)4.2基本假設(shè)返回主目錄83)

小變形假設(shè)

相對(duì)于其原有尺寸而言，變形后尺寸改變的影響可以忽略不計(jì)。

在分析力的平衡時(shí)用原來(lái)的幾何尺寸計(jì)算而不引入大的誤差。

上述假設(shè)，建立了一個(gè)最簡(jiǎn)單的可變形固體的理想化模型。

隨著研究的深入，再逐步放松上述假設(shè)的限制。如在后續(xù)課程中逐步討論各向異性問(wèn)題，大變形問(wèn)題，含缺陷或裂隙等不連續(xù)介質(zhì)的問(wèn)題等等。

基于此，固體力學(xué)研究的最基本問(wèn)題是：均勻連續(xù)介質(zhì)、各向同性材料的小變形問(wèn)題。BCDD'返回主目錄9

物體內(nèi)部某一部分與相鄰部分間的相互作用力。必須截開(kāi)物體，內(nèi)力才能顯示。

內(nèi)力分布在截面上。向截面形心簡(jiǎn)化，內(nèi)力一般可表示為6個(gè)，由平衡方程確定。

處于平衡狀態(tài)的物體，其任一部分也必然處于平衡狀態(tài)。1.內(nèi)力:

沿C截面將物體截開(kāi)，A部分在外力作用下能保持平衡，是因?yàn)槭艿紹部分的約束。B限制了A部分物體在空間中相對(duì)于B的任何運(yùn)動(dòng)(截面有3個(gè)反力、3個(gè)反力偶)。MF1F2F3BAACFxMxFyFzMyMzF1F24.3內(nèi)力、截面法返回主目錄C10

若外力在同一平面內(nèi)，截面內(nèi)力只有3個(gè)分量，即:CC取截面左端研究，截面在研究對(duì)象右端，則規(guī)定：內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定

軸力FN

作用于截面法向。剪力FS

作用于截面切向。彎矩M

使物體發(fā)生彎曲。若外力在軸線上,內(nèi)力只有軸力。FNMFSFN受拉伸FN順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)FS向上凹M112.截面法無(wú)論以截面左端或右端為研究對(duì)象，都應(yīng)得到相同的截面內(nèi)力。因?yàn)?，兩部分上作用的?nèi)力互為作用力與反作用力。適當(dāng)?shù)姆?hào)規(guī)定可保證其一致性。

用假想截面將物體截開(kāi)，揭示并由平衡方程確定截面上內(nèi)力的方法。截面法求解內(nèi)力的步驟為：求約束反力截取研究對(duì)象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負(fù)號(hào)表示與假設(shè)反向注意：所討論的是變形體，故在截取研究對(duì)象之前，力和力偶都不可像討論剛體時(shí)那樣隨意移動(dòng)。12例2求圖中1、2、3截面內(nèi)力。FCDBAaaa132解：1）求約束反力：由整體有

FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2FAyFAxFBx由鉸鏈C：FAC=F；

FCD=-F2FFACFCDC2）求各截面內(nèi)力：截面1：FN1=FCD=-FFN1FCD截面2：FN2=FACcos45

=F；FS2=FACsin45

=F

M2=FACcos45

·x=F·xFCDFBxyDFN3M3FS3截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2；

M3=-FBx(a+y)-FCDy=F

(y-a)/2FACxFN2M2FS213例3作圖示拉壓桿的內(nèi)力圖。5kNFN1=5kN2）求各截面內(nèi)力(軸力)。截面法、平衡方程3）畫(huà)內(nèi)力圖。5kN5kN3kNFN

圖+-5kN2kN8kN5kN+向軸力圖的簡(jiǎn)捷畫(huà)法：

取左端拉力方向?yàn)檩S力圖參考正向，畫(huà)水平線；遇集中力作用則軸力相應(yīng)增減；至右端回到零。解：1）求約束反力。

FA=8+2-5=5kN5kN2kN8kNAFA5kN2kNFN2=3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN14例4

截面積為A的等直桿，密度為ρ，求桿在自重作用下的內(nèi)力。解：考慮任一距O點(diǎn)為x的橫截面上的內(nèi)力，受力如圖。重力為W=ρgAx,由平衡方程得：

FN=W=ρgAx繪出軸力圖，可見(jiàn)：

A截面處內(nèi)力FN(=ρ

gAx

AL)最大。截面法是：用假想截面將物體截開(kāi)，揭示并由平衡方程確定截面上內(nèi)力的方法。截面法步驟為：求約束反力截取研究對(duì)象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負(fù)號(hào)表示與假設(shè)反向AOxLxOxWFN+

gALρ15xyzFMxFNMzxyAFra1FMFSFN2.柱截面內(nèi)力？1.截面1

內(nèi)力？10kN8kN5kN+向3kN3.作內(nèi)力圖。FN

圖5kN-5kN+3kN問(wèn)題討論返回主目錄16ABab

xyzx1CFMyFyFxFzMzMx桿件：某一方向尺寸遠(yuǎn)大于其它方向尺寸的構(gòu)件。直桿：桿件的軸線為直線。最一般情況：截面內(nèi)力有6個(gè)分量。軸向拉壓—內(nèi)力為軸力。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。扭轉(zhuǎn)—內(nèi)力為扭矩。如各種傳動(dòng)軸等。(軸)彎曲—內(nèi)力為彎矩。如橋梁、房梁、地板等。(梁)基本變形

軸向拉壓彎曲

扭轉(zhuǎn)4.4桿件的基本變形返回主目錄17A3>A1=A2；L1>L2=L3；軸力FN=F，可見(jiàn)，

FN-DL間存在著線性關(guān)系。即:或?qū)憺锳FNLL

DeELLEA=D=FNs=得到最簡(jiǎn)單的物理關(guān)系—胡克定律：

=E

注意：

-

關(guān)系與試件幾何（L、A）無(wú)關(guān)。oFN桿321DL先考查桿承受軸向拉伸時(shí)力與變形之關(guān)系。L1L3L2L1+DL1FFFFFL2+DL2L3+DL3Fos=FN/Ae=DL/L4.5桿的軸向拉伸和壓縮返回主目錄18

是材料的一種應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系模型，稱為線性彈性應(yīng)力—應(yīng)變（物理）關(guān)系模型。軸向拉壓桿的應(yīng)力

、應(yīng)變

和變形

L可表達(dá)為：

EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。

=E

=FN/A，單位面積上的內(nèi)力，稱為應(yīng)力(平均應(yīng)力)。單位用帕斯卡(Pa),

1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1GPa=109Pa。

=DL/L，是單位長(zhǎng)度的變形，稱為應(yīng)變(平均應(yīng)變)。應(yīng)變是量綱一的量。E是

-

直線的斜率，應(yīng)力量綱。與材料有關(guān)。因?yàn)樾遁d后變形可以恢復(fù)，故E稱為彈性模量。19

EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。FN

、L、E、A改變，則須分段計(jì)算。應(yīng)力：應(yīng)變：軸向拉壓桿的應(yīng)力、應(yīng)變定義為：軸向拉壓桿的變形

L可表達(dá)為：在物理模型

=E

下有：軸向拉壓桿變形分析匯總：求軸力FN？力-變形的物理關(guān)系：稱為線性彈性應(yīng)力-應(yīng)變（物理）關(guān)系模型。

=E

202)求各段應(yīng)力：

AB=FNAB/A1

=40×103N/(320×10-6)m2

=125×106Pa=125MPa

BC=FNBC/A2=40×103/(800×10-6)=50MPa；

CD=FNCD/A2=48×103/(800×10-6)=

60MPa解：1)求內(nèi)力(軸力)，

例4.7

桿AB段為鋼制，橫截面積A1=320mm2，BD段為銅，A2=800mm2，

E鋼=210GPa；E銅=100GPa；

l=400mm。求桿各段的應(yīng)力、應(yīng)變和總伸長(zhǎng)量

AD。ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kN+向DCBA48kN40kNFN畫(huà)軸力圖。214)桿的總伸長(zhǎng)為：

lAD=

lAB+

lBC+

lCD=0.68mm2)求各段應(yīng)變：eAB=sAB/E鋼=125/(210×103)

0.6×10-3ABCDF1=40kNlllF2=8kNDCBA48kN40kNFN3)求各段伸長(zhǎng)：注意:

l=el=sl/E=FNl/AE

lAB=eABlAB=0.6×10-3×400mm=0.24mm

lBC=eBClBC=0.2mm；

lCD=eCDlCD=0.24mmeBC=sBC/E銅=50/(100×103)=0.5×10-3eCD=sCD/E銅=0.6×10-322討論：桿受力如圖。BC段截面積為A

，AB段截面積為2A，材料彈性模量為E。欲使截面D位移為零，F(xiàn)2應(yīng)為多大？lABCl

F2

F1

l

DF1-F2F1

解：畫(huà)軸力圖。有：

D=

lAD=

lAB+

lBD

=FNABl/E(2A)+FNBDl/EA

即：

D=(F1-F2)l/E(2A)+F1l/EA=0

解得：F2=3F1

注意：固定端A處位移為零。23請(qǐng)認(rèn)真思考、討論思考題。（不做在本上）習(xí)題:4-1(d)、(g)4-2(b);4-5。

返回主目錄作業(yè):P104-106工程力學(xué)實(shí)驗(yàn)（三次）實(shí)驗(yàn)名稱：拉伸壓縮、扭轉(zhuǎn)等破壞性實(shí)驗(yàn)，彎曲正應(yīng)力、彎曲變形電測(cè)實(shí)驗(yàn)、組合變形電測(cè)實(shí)驗(yàn)。預(yù)約：胡鵬老師電話：87543038（辦）地點(diǎn)：南一樓東北角LX105室24回顧：研究變形體力學(xué)問(wèn)題的主線是：力的平衡變形的幾何協(xié)調(diào)力與變形之關(guān)系求約束反力截取研究對(duì)象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求內(nèi)力，內(nèi)力方程截面法求解內(nèi)力的步驟為：內(nèi)力圖：FN、FS、M

圖返回主目錄4.6一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變(一般討論)25

是材料的一種應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系模型，稱為線性彈性應(yīng)力-應(yīng)變（物理）關(guān)系模型。

=E

EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。FN

、L、E、A改變，則須分段計(jì)算。應(yīng)力：應(yīng)變：軸向拉壓桿的平均應(yīng)力、平均應(yīng)變定義為：軸向拉壓桿的變形

L可表達(dá)為：在物理模型

=E

下有：264.6一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變(一般討論)一、應(yīng)力內(nèi)力連續(xù)分布在截面上，截面法確定的是內(nèi)力的合力。T是矢量，法向分量

稱正應(yīng)力；切向分量

稱切應(yīng)力。DADFO1)定義：一點(diǎn)的應(yīng)力T是該處內(nèi)力的集度，定義為：

A是圍繞O點(diǎn)的面積微元；

F作用在

A上的內(nèi)力。DATOst027注意：一般情況下，內(nèi)力非均勻分布，

截面各點(diǎn)應(yīng)力不同。2)軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力：截面上只有軸力，故應(yīng)力為正應(yīng)力

。變形沿軸向是均勻的，故

在橫截面上均勻分布，F(xiàn)Ns因?yàn)閟=const.故有：284.6一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變(一般討論)T是矢量，法向分量

稱正應(yīng)力；切向分量

稱切應(yīng)力。DADFO1)定義：一點(diǎn)的應(yīng)力T是該處內(nèi)力的集度，定義為：

A是圍繞O點(diǎn)的面積微元；

F作用在

A上的內(nèi)力。DATOst0應(yīng)力：應(yīng)變：軸向拉壓桿的平均應(yīng)力、平均應(yīng)變定義為：

=E

注意：一般情況下，內(nèi)力非均勻分布，截面各點(diǎn)應(yīng)力不同。FNs29FsA3)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：?jiǎn)蜗蚶瓑簵U橫截面上只有正應(yīng)力。故A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用由橫截面、水平面截取的微小單元體上的應(yīng)力描述。是單向應(yīng)力狀態(tài)。

Assdxdy

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用圍繞該點(diǎn)截取的微小單元體上的應(yīng)力來(lái)描述。單元體尺寸微小，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻的。由定義有：故可知，一點(diǎn)的應(yīng)力與過(guò)該點(diǎn)之截面的取向有關(guān)。dxastasa斜截面？30sa

應(yīng)力面積斜面法向內(nèi)力法向內(nèi)力在x軸的投影

設(shè)s已知，A點(diǎn)在法向與軸線夾角

之截面上應(yīng)力為

、

，斜截面上的應(yīng)力：

Fx=

(dx/sin

)×1×cos

注意式中各項(xiàng)是力的投影分量。Assdxdydxastasaxya由單位厚度微元力的平衡條件可得：+

(dx/sin

)×1×sin

-

(dx/tan

)×1=0

Fy=

(dx/sin

)×1×sin

-

(dx/sin

)×1×cos

=0×cosa(dx/sina)斜面長(zhǎng)×1厚31FxssaaBBtaF

=0時(shí)，

=

，

=0，橫截面上正應(yīng)力最大；

求得A點(diǎn)在與軸線夾角為

之截面上的應(yīng)力為:

=

(1+cos2

)/2；

=

sin2

/2

如：鑄鐵試樣受壓時(shí)，

=45

斜截面上的應(yīng)力

和

為：

=-

/2;

=-

/2

鑄鐵抗壓能力遠(yuǎn)大于抗剪或抗拉能力，故實(shí)驗(yàn)時(shí)先發(fā)生與軸線大約成45

，剪切破壞?？梢?jiàn)：拉壓桿斜截面上有正應(yīng)力和切應(yīng)力。

=45

時(shí)，

=

/2，

=

/2，

45

斜截面上切應(yīng)力最大，且

max=

/2。324.6一點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變(一般討論)T是矢量，法向分量

稱正應(yīng)力；切向分量

稱切應(yīng)力。DADFO1)定義：一點(diǎn)的應(yīng)力T是該處內(nèi)力的集度，定義為：

A是圍繞O點(diǎn)的面積微元；

F作用在

A上的內(nèi)力。DATOst0應(yīng)力：應(yīng)變：軸向拉壓桿的平均應(yīng)力、平均應(yīng)變定義為：

=E

注意：一般情況下，內(nèi)力非均勻分布，截面各點(diǎn)應(yīng)力不同。FNs回顧：33FsA2)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：Assdxdy

一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用圍繞該點(diǎn)截取的微小單元體上的應(yīng)力來(lái)描述。單元體尺寸微小，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻的。dxastasa斜截面？

=0時(shí)，

=

，

=0，橫截面上正應(yīng)力最大；

求得A點(diǎn)在與軸線夾角為

之截面上的應(yīng)力為:

=

(1+cos2

)/2；

=

sin2

/2

=45

時(shí)，

=

/2，

=

/2，

45

斜截面上切應(yīng)力最大，且

max=

/2。34對(duì)于單向拉、壓桿，任一點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)為：

只要確定了一種單元體取向時(shí)各微面上的應(yīng)力，即可求得該點(diǎn)在其他任意取向之截面上的應(yīng)力。A

=0

=45

A

/2

/2或

=

/2A

z剪應(yīng)力互等定理：?jiǎn)卧w(dxxdy

x1)互垂截面上的剪應(yīng)力互等，指向相對(duì)(同時(shí)指向或離開(kāi)截面交線)。SM=t

dyx1xdx-t

dxx1xdy=0

t=t

zFsA結(jié)論：1)應(yīng)力是矢量。

2)一點(diǎn)的應(yīng)力與過(guò)該點(diǎn)的截面取向有關(guān)。

3)可以用微小單元體各面上的應(yīng)力描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。35變形：物體受力后幾何形狀或尺寸的改變。用應(yīng)變表示，如拉壓桿（應(yīng)變

=

l/l0），與幾何尺寸無(wú)關(guān)。

一點(diǎn)的應(yīng)變可由考查該點(diǎn)附近小單元體的變形而定義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變。線應(yīng)變

、切應(yīng)變

分別與s、t的作用相對(duì)應(yīng)。二、應(yīng)變和線應(yīng)變

：過(guò)A點(diǎn)沿坐標(biāo)方向線段的尺寸改變。

剪應(yīng)變

：過(guò)A點(diǎn)直角形狀的改變。ACC'yxDBB'D'A'dydx返回主目錄36再論利用力的平衡、變形幾何協(xié)調(diào)及力與變形間的關(guān)系，分析變形體靜力學(xué)問(wèn)題的基本方法。解：畫(huà)受力圖。有平衡方程：

MC(F)=FBsin45

-F=0

FB=31.1kN

Fx=FCx-FBcos45

=0

FCx=22kN

Fy=FCy+FBsin45

-F=0

FCy=0

亦可由三力平衡判斷1)力的平衡：

二桿均為單向拉壓，軸力為：

FNBC=FB=31.1kN(拉);FNCD=-FCx=-22kN(壓)2)力與變形的物理關(guān)系：例4.9

圖中BD桿直徑d=25mm，CD桿為30×80mm矩形截面，彈性模量E=200GPa，求D點(diǎn)的位移。BCDF=22kNl=3mFCyFB45FCx4.7變形體靜力學(xué)分析返回主目錄37由力與變形間的物理關(guān)系知各桿變形為：

lBD=FNBDlBD/E(

d2/4)=1.344×10-3m

lCD=FNCDlCD/EACD=-0.1375×10-3m故變形后D點(diǎn)的位移為：水平位移：u=DD2=

lCD=0.137mm(

)

垂直位移：v=D2H+HD'=DD1/cosa+DD2

=

lBD+｜

lCD｜=2.038mm(

)BCDD'uv3)變形幾何協(xié)調(diào)條件：(求位移)變形后D點(diǎn)應(yīng)移至以B、C為圓心，以桿變形后的長(zhǎng)度為半徑的二圓弧交點(diǎn)D'處。變形量與原尺寸相比很小，用切線代替圓弧。幾何關(guān)系如放大圖。DD1D'HKDlBD45

D2

lCD38靜定問(wèn)題求反力內(nèi)力應(yīng)力平衡方程求位移幾何方程求變形物理方程2個(gè)物體，6個(gè)平衡方程3處鉸鏈，6個(gè)約束力問(wèn)題是靜定的。變形體力學(xué)靜定問(wèn)題的求解方法為：BCDF=22kNl=3mFCyFB45FCx39例4.10

剛性梁AB如圖。桿1、2的截面積和彈性模量分別為A1、A2；E1、E2。求各桿內(nèi)力。aaaABF12l解：1)力的平衡：平衡方程為：

MA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0

Fy=FAy+F1+F2=0

3個(gè)未知力，2個(gè)方程，一次靜不定。2)力與變形間的物理關(guān)系：

l1=F1l/E1A1

；

l2=F2l/E2A2

3)變形幾何協(xié)調(diào)條件:變形后應(yīng)有：

l2=2

l1

；

即F2l/E2A2=2F1l/E1A1。解得：FAyF1F2Dl2Dl1求出內(nèi)力后，應(yīng)力、變形和位移顯然不難求得。40靜不定結(jié)構(gòu)可減小構(gòu)件內(nèi)力，增加剛度，減小變形。若去掉桿1，成為靜定結(jié)構(gòu)，則：

F2=3F/2；FAy=-F/2。討論若二桿相同，E1=E2=E，A1=A2=A；有：

F1=3F/5；F2=6F/5；FAy=-4F/53個(gè)物體，9個(gè)平衡方程；5處鉸鏈，10個(gè)約束反力問(wèn)題是一次靜不定的。aaaABF12lFAyF1F2解答為：靜不定問(wèn)題，反力、內(nèi)力、應(yīng)力均與材料有關(guān)。變形體靜不定問(wèn)題的求解方法為：靜不定問(wèn)題反力、內(nèi)力變形、應(yīng)力、位移...聯(lián)立求解力的平衡方程材料物理方程變形幾何方程41解：溫度升高時(shí)，桿BC要伸長(zhǎng)。兩端約束限制伸長(zhǎng)，引起約束反力。約束反力作用的結(jié)果是使桿在軸向受壓縮短，故兩端約束力如圖。1)力的平衡:FB=FC=F

（溫度與變形、力與變形關(guān)系）設(shè)溫度升高后桿的伸長(zhǎng)為：

LT=

T

L

2)物理關(guān)系:無(wú)外力作用時(shí)，溫度變化在靜不定構(gòu)件內(nèi)引起的應(yīng)力。例4.11二端固支桿BC長(zhǎng)L，截面積A。已知彈性模量E、線膨脹系數(shù)

。若溫度升高

T，求反力和桿內(nèi)應(yīng)力。DLTBCLDLRBCFBFC軸力FN=F，故桿的縮短為：

LR=FL/EA溫度應(yīng)力42可知：溫度變化將在靜不定構(gòu)件內(nèi)引起溫度應(yīng)力。材料線膨脹系數(shù)

越大、彈性模量E越大、

T

越大，溫度應(yīng)力越大。如除掉C端固定約束，則構(gòu)件成為靜定的。靜定結(jié)構(gòu)允許溫度引起的變形，不產(chǎn)生溫度應(yīng)力。約束使桿長(zhǎng)不變，必有：

LT=

LR

3)變形幾何協(xié)調(diào)條件：DLTBCLDLRBCFBFC即：

T·L=FL/EA故得到二端約束反力為：

F=

T·EA

桿內(nèi)的應(yīng)力（壓應(yīng)力）為：

=F/A=

T·E43

由于尺寸誤差而強(qiáng)迫裝配時(shí)，在結(jié)構(gòu)內(nèi)引入的應(yīng)力。例4.12

圖中剛性梁由三根鋼桿支承，

E=200GPa,桿截面積A=200mm2。

若中間桿2短了

=0.5mm，求結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫安裝后各桿內(nèi)的應(yīng)力。解：強(qiáng)迫安裝時(shí)，桿2受拉伸長(zhǎng)，桿1、3受壓縮短。

MC(F)=F1a-F3a=0

\F1=F3

Fy=F2-F1-F3=0

\F2=2F1

1)力的平衡條件：d1d2d裝配前桿2伸長(zhǎng)

2，桿1、3縮短

1，為彌補(bǔ)尺寸誤差，有：

1+

2=

2)變形幾何協(xié)調(diào)條件：aaB12Ad3L=1mCF1F2F3裝配應(yīng)力443)力與變形的關(guān)系:

1=F1L/EA；

2=F2L/EA

即有：F1L/EA+F2L/EA=

注意

F2=2F1

解得：F1=

EA/3L(壓力)

F2=2

EA/3L(拉力)d1d2d裝配前可知：強(qiáng)迫裝配將在靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)引起裝配應(yīng)力。誤差

越大、材料的E

越大，裝配應(yīng)力越大。如是靜定結(jié)構(gòu)，裝配無(wú)需強(qiáng)迫，不產(chǎn)生裝配應(yīng)力。各桿應(yīng)力為：

1=F1/A=

E/3L=0.5×10-3×200×109/3×1=33.3×106Pa=33.3MPa(壓應(yīng)力)

2=FN2/A=2

E/3L=66.7MPa(拉應(yīng)力)45靜定和靜不定問(wèn)題解題方法的同異：基本方程都是平衡方程、物理方程和幾何方程。變形體靜力學(xué)問(wèn)題研究對(duì)象受力圖平衡方程求反力？靜不定物理方程幾何方程靜定求內(nèi)力應(yīng)力求變形物理求位移幾何聯(lián)立求解反力、內(nèi)力、應(yīng)力變形、位移等可能有溫度應(yīng)力、裝配應(yīng)力返回主目錄46沿aa上各點(diǎn)測(cè)得的應(yīng)變?nèi)鐖D。

非均勻分布，孔邊

=

max。

由胡克定律,應(yīng)力分布也非均勻，孔邊最大應(yīng)力為

max=Kt

ave。(

max<

ys)

式中Kt>1,稱為彈性應(yīng)力集中因數(shù)。1）平板受拉

中截面aa由對(duì)稱性不變，bb移至b'b'。

線應(yīng)變沿截面均勻分布，故有:

=const.；

=E

=const.

應(yīng)力