工程力學：第四章 變形體靜力學基礎

14.6一點的應力和應變4.7變形體靜力學分析4.1變形固體的力學分析方法4.2基本假設4.3內力、截面法4.4桿件的基本變形4.5桿的軸向拉伸和壓縮第四章變形體靜力學基礎返回主目錄4.8應力集中的概念2

前一章，將物體視為剛體，討論其平衡。事實上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。本章討論的研究對象是變形體。屬于固體力學的范疇。不再接受剛體假設。以變形體為研究對象的固體力學研究基本方法,包括下述三個方面的研究：

1)力和平衡條件的研究。2)變形幾何協調條件的研究。3)力與變形之關系的研究。先以一個例子說明方法。研究主線第四章變形體靜力學基礎4.1變形固體的力學分析方法返回主目錄3例1長2L的木板由兩個彈性常數為k、自由長度為h的拉壓彈簧支承。若有一人從板中央向一端緩慢行走，試求板與地面剛剛接觸時，人所走過的距離x。解：設人重為W，板重不計討論板與地面剛接觸的臨界狀態(tài)，板受力如圖。1)力的平衡條件：由平衡方程有：

Fy=FB-FA-W=0

MA(F)=2aFB-(x+a)W=0ABLLaaWABFAFN=0xWFBhAhB2個平衡方程，3個未知量：x、FA、FB，不可解。需考慮變形。板可作剛體處理，只考慮彈簧的變形。4彈簧A、B的變形為

A=hA-h(受拉伸長)--(4)

及

B=h-hB(受壓縮短)--(5)

2)變形幾何協調條件：剛性板保持為直板，二彈簧變形后應滿足的幾何條件是：

3)力與變形間的物理關系：對于彈簧，力與變形間的關系為：

FA=k

A--(6)

及FB=k

B--(7)hB/hA=(L-a)/(L+a)(x>0)--(3)ABFAFN=0xWFBhAhBaa5

綜合考慮平衡條件、變形幾何關系、物理關系后，得到7個方程，可求出FA、FB、

A、

B、hA、hB、x等全部未知量。

解得：板剛剛觸地時，人所走過的距離為：

--（a）xaLhkW=-221()此時，二彈簧的變形為：dAWkxa=-21()dBWkxa=+21()--（b）將x代入平衡方程，即可求得FA、FB。ABFAFN=0xWFBhAhBaa6研究重點是變形體的內力、變形及力與變形之關系。研究變形體力學問題的主線是：力的平衡變形的幾何協調

力與變形之關系

SFy=0SMA(F)=0

hB/hA=(L-a)/(L+a)

A=hA-h;

B=h-hBFA=k

A;FB=k

B(已熟悉)

(幾何分析)

(物理關系)返回主目錄ABFAFN=0xWFBhAhBaa7

固體力學的研究對象是可變形固體。變形與材料有關。為研究方便，采用下述假設：材料沿各不同方向均具有相同的力學性質。這樣的材料稱為各向同性材料。

使力與變形間物理關系的討論得以大大簡化。2)各向同性假設

物體整個體積內都毫無空隙地充滿著物質，是均勻、連續(xù)的，且任何部分都具有相同的性質。

變形前、后都沒有“空隙”、“重疊”，必須滿足幾何協調（相容）條件?？扇∪我徊糠盅芯俊?)

均勻連續(xù)性假設4.2基本假設返回主目錄83)

小變形假設

相對于其原有尺寸而言，變形后尺寸改變的影響可以忽略不計。

在分析力的平衡時用原來的幾何尺寸計算而不引入大的誤差。

上述假設，建立了一個最簡單的可變形固體的理想化模型。

隨著研究的深入，再逐步放松上述假設的限制。如在后續(xù)課程中逐步討論各向異性問題，大變形問題，含缺陷或裂隙等不連續(xù)介質的問題等等。

基于此，固體力學研究的最基本問題是：均勻連續(xù)介質、各向同性材料的小變形問題。BCDD'返回主目錄9

物體內部某一部分與相鄰部分間的相互作用力。必須截開物體，內力才能顯示。

內力分布在截面上。向截面形心簡化，內力一般可表示為6個，由平衡方程確定。

處于平衡狀態(tài)的物體，其任一部分也必然處于平衡狀態(tài)。1.內力:

沿C截面將物體截開，A部分在外力作用下能保持平衡，是因為受到B部分的約束。B限制了A部分物體在空間中相對于B的任何運動(截面有3個反力、3個反力偶)。MF1F2F3BAACFxMxFyFzMyMzF1F24.3內力、截面法返回主目錄C10

若外力在同一平面內，截面內力只有3個分量，即:CC取截面左端研究，截面在研究對象右端，則規(guī)定：內力右截面正向左截面正向微段變形（正）內力的符號規(guī)定

軸力FN

作用于截面法向。剪力FS

作用于截面切向。彎矩M

使物體發(fā)生彎曲。若外力在軸線上,內力只有軸力。FNMFSFN受拉伸FN順時針錯動FS向上凹M112.截面法無論以截面左端或右端為研究對象，都應得到相同的截面內力。因為，兩部分上作用的內力互為作用力與反作用力。適當的符號規(guī)定可保證其一致性。

用假想截面將物體截開，揭示并由平衡方程確定截面上內力的方法。截面法求解內力的步驟為：求約束反力截取研究對象受力圖，內力按正向假設。列平衡方程求解內力，負號表示與假設反向注意：所討論的是變形體，故在截取研究對象之前，力和力偶都不可像討論剛體時那樣隨意移動。12例2求圖中1、2、3截面內力。FCDBAaaa132解：1）求約束反力：由整體有

FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2FAyFAxFBx由鉸鏈C：FAC=F；

FCD=-F2FFACFCDC2）求各截面內力：截面1：FN1=FCD=-FFN1FCD截面2：FN2=FACcos45

=F；FS2=FACsin45

=F

M2=FACcos45

·x=F·xFCDFBxyDFN3M3FS3截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2；

M3=-FBx(a+y)-FCDy=F

(y-a)/2FACxFN2M2FS213例3作圖示拉壓桿的內力圖。5kNFN1=5kN2）求各截面內力(軸力)。截面法、平衡方程3）畫內力圖。5kN5kN3kNFN

圖+-5kN2kN8kN5kN+向軸力圖的簡捷畫法：

取左端拉力方向為軸力圖參考正向，畫水平線；遇集中力作用則軸力相應增減；至右端回到零。解：1）求約束反力。

FA=8+2-5=5kN5kN2kN8kNAFA5kN2kNFN2=3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN14例4

截面積為A的等直桿，密度為ρ，求桿在自重作用下的內力。解：考慮任一距O點為x的橫截面上的內力，受力如圖。重力為W=ρgAx,由平衡方程得：

FN=W=ρgAx繪出軸力圖，可見：

A截面處內力FN(=ρ

gAx

AL)最大。截面法是：用假想截面將物體截開，揭示并由平衡方程確定截面上內力的方法。截面法步驟為：求約束反力截取研究對象受力圖，內力按正向假設。列平衡方程求解內力，負號表示與假設反向AOxLxOxWFN+

gALρ15xyzFMxFNMzxyAFra1FMFSFN2.柱截面內力？1.截面1

內力？10kN8kN5kN+向3kN3.作內力圖。FN

圖5kN-5kN+3kN問題討論返回主目錄16ABab

xyzx1CFMyFyFxFzMzMx桿件：某一方向尺寸遠大于其它方向尺寸的構件。直桿：桿件的軸線為直線。最一般情況：截面內力有6個分量。軸向拉壓—內力為軸力。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。扭轉—內力為扭矩。如各種傳動軸等。(軸)彎曲—內力為彎矩。如橋梁、房梁、地板等。(梁)基本變形

軸向拉壓彎曲

扭轉4.4桿件的基本變形返回主目錄17A3>A1=A2；L1>L2=L3；軸力FN=F，可見，

FN-DL間存在著線性關系。即:或寫為AFNLL

DeELLEA=D=FNs=得到最簡單的物理關系—胡克定律：

=E

注意：

-

關系與試件幾何（L、A）無關。oFN桿321DL先考查桿承受軸向拉伸時力與變形之關系。L1L3L2L1+DL1FFFFFL2+DL2L3+DL3Fos=FN/Ae=DL/L4.5桿的軸向拉伸和壓縮返回主目錄18

是材料的一種應力—應變關系模型，稱為線性彈性應力—應變（物理）關系模型。軸向拉壓桿的應力

、應變

和變形

L可表達為：

EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。

=E

=FN/A，單位面積上的內力，稱為應力(平均應力)。單位用帕斯卡(Pa),

1Pa=1N/m2；1MPa=106Pa；1GPa=109Pa。

=DL/L，是單位長度的變形，稱為應變(平均應變)。應變是量綱一的量。E是

-

直線的斜率，應力量綱。與材料有關。因為卸載后變形可以恢復，故E稱為彈性模量。19

EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。FN

、L、E、A改變，則須分段計算。應力：應變：軸向拉壓桿的應力、應變定義為：軸向拉壓桿的變形

L可表達為：在物理模型

=E

下有：軸向拉壓桿變形分析匯總：求軸力FN？力-變形的物理關系：稱為線性彈性應力-應變（物理）關系模型。

=E

202)求各段應力：

AB=FNAB/A1

=40×103N/(320×10-6)m2

=125×106Pa=125MPa

BC=FNBC/A2=40×103/(800×10-6)=50MPa；

CD=FNCD/A2=48×103/(800×10-6)=

60MPa解：1)求內力(軸力)，

例4.7

桿AB段為鋼制，橫截面積A1=320mm2，BD段為銅，A2=800mm2，

E鋼=210GPa；E銅=100GPa；

l=400mm。求桿各段的應力、應變和總伸長量

AD。ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kN+向DCBA48kN40kNFN畫軸力圖。214)桿的總伸長為：

lAD=

lAB+

lBC+

lCD=0.68mm2)求各段應變：eAB=sAB/E鋼=125/(210×103)

0.6×10-3ABCDF1=40kNlllF2=8kNDCBA48kN40kNFN3)求各段伸長：注意:

l=el=sl/E=FNl/AE

lAB=eABlAB=0.6×10-3×400mm=0.24mm

lBC=eBClBC=0.2mm；

lCD=eCDlCD=0.24mmeBC=sBC/E銅=50/(100×103)=0.5×10-3eCD=sCD/E銅=0.6×10-322討論：桿受力如圖。BC段截面積為A

，AB段截面積為2A，材料彈性模量為E。欲使截面D位移為零，F2應為多大？lABCl

F2

F1

l

DF1-F2F1

解：畫軸力圖。有：

D=

lAD=

lAB+

lBD

=FNABl/E(2A)+FNBDl/EA

即：

D=(F1-F2)l/E(2A)+F1l/EA=0

解得：F2=3F1

注意：固定端A處位移為零。23請認真思考、討論思考題。（不做在本上）習題:4-1(d)、(g)4-2(b);4-5。

返回主目錄作業(yè):P104-106工程力學實驗（三次）實驗名稱：拉伸壓縮、扭轉等破壞性實驗，彎曲正應力、彎曲變形電測實驗、組合變形電測實驗。預約：胡鵬老師電話：87543038（辦）地點：南一樓東北角LX105室24回顧：研究變形體力學問題的主線是：力的平衡變形的幾何協調力與變形之關系求約束反力截取研究對象受力圖，內力按正向假設。列平衡方程求內力，內力方程截面法求解內力的步驟為：內力圖：FN、FS、M

圖返回主目錄4.6一點的應力和應變(一般討論)25

是材料的一種應力-應變關系模型，稱為線性彈性應力-應變（物理）關系模型。

=E

EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。FN

、L、E、A改變，則須分段計算。應力：應變：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的變形

L可表達為：在物理模型

=E

下有：264.6一點的應力和應變(一般討論)一、應力內力連續(xù)分布在截面上，截面法確定的是內力的合力。T是矢量，法向分量

稱正應力；切向分量

稱切應力。DADFO1)定義：一點的應力T是該處內力的集度，定義為：

A是圍繞O點的面積微元；

F作用在

A上的內力。DATOst027注意：一般情況下，內力非均勻分布，

截面各點應力不同。2)軸向拉壓桿橫截面上的應力：截面上只有軸力，故應力為正應力

。變形沿軸向是均勻的，故

在橫截面上均勻分布，FNs因為s=const.故有：284.6一點的應力和應變(一般討論)T是矢量，法向分量

稱正應力；切向分量

稱切應力。DADFO1)定義：一點的應力T是該處內力的集度，定義為：

A是圍繞O點的面積微元；

F作用在

A上的內力。DATOst0應力：應變：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：

=E

注意：一般情況下，內力非均勻分布，截面各點應力不同。FNs29FsA3)一點的應力狀態(tài)：單向拉壓桿橫截面上只有正應力。故A點的應力狀態(tài)可用由橫截面、水平面截取的微小單元體上的應力描述。是單向應力狀態(tài)。

Assdxdy

一點的應力狀態(tài)用圍繞該點截取的微小單元體上的應力來描述。單元體尺寸微小，各面上的應力可認為是均勻的。由定義有：故可知，一點的應力與過該點之截面的取向有關。dxastasa斜截面？30sa

應力面積斜面法向內力法向內力在x軸的投影

設s已知，A點在法向與軸線夾角

之截面上應力為

、

，斜截面上的應力：

Fx=

(dx/sin

)×1×cos

注意式中各項是力的投影分量。Assdxdydxastasaxya由單位厚度微元力的平衡條件可得：+

(dx/sin

)×1×sin

-

(dx/tan

)×1=0

Fy=

(dx/sin

)×1×sin

-

(dx/sin

)×1×cos

=0×cosa(dx/sina)斜面長×1厚31FxssaaBBtaF

=0時，

=

，

=0，橫截面上正應力最大；

求得A點在與軸線夾角為

之截面上的應力為:

=

(1+cos2

)/2；

=

sin2

/2

如：鑄鐵試樣受壓時，

=45

斜截面上的應力

和

為：

=-

/2;

=-

/2

鑄鐵抗壓能力遠大于抗剪或抗拉能力，故實驗時先發(fā)生與軸線大約成45

，剪切破壞?？梢姡豪瓑簵U斜截面上有正應力和切應力。

=45

時，

=

/2，

=

/2，

45

斜截面上切應力最大，且

max=

/2。324.6一點的應力和應變(一般討論)T是矢量，法向分量

稱正應力；切向分量

稱切應力。DADFO1)定義：一點的應力T是該處內力的集度，定義為：

A是圍繞O點的面積微元；

F作用在

A上的內力。DATOst0應力：應變：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：

=E

注意：一般情況下，內力非均勻分布，截面各點應力不同。FNs回顧：33FsA2)一點的應力狀態(tài)：Assdxdy

一點的應力狀態(tài)用圍繞該點截取的微小單元體上的應力來描述。單元體尺寸微小，各面上的應力可認為是均勻的。dxastasa斜截面？

=0時，

=

，

=0，橫截面上正應力最大；

求得A點在與軸線夾角為

之截面上的應力為:

=

(1+cos2

)/2；

=

sin2

/2

=45

時，

=

/2，

=

/2，

45

斜截面上切應力最大，且

max=

/2。34對于單向拉、壓桿，任一點A的應力狀態(tài)為：

只要確定了一種單元體取向時各微面上的應力，即可求得該點在其他任意取向之截面上的應力。A

=0

=45

A

/2

/2或

=

/2A

z剪應力互等定理：單元體(dxxdy

x1)互垂截面上的剪應力互等，指向相對(同時指向或離開截面交線)。SM=t

dyx1xdx-t

dxx1xdy=0

t=t

zFsA結論：1)應力是矢量。

2)一點的應力與過該點的截面取向有關。

3)可以用微小單元體各面上的應力描述一點的應力狀態(tài)。35變形：物體受力后幾何形狀或尺寸的改變。用應變表示，如拉壓桿（應變

=

l/l0），與幾何尺寸無關。

一點的應變可由考查該點附近小單元體的變形而定義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變。線應變

、切應變

分別與s、t的作用相對應。二、應變和線應變

：過A點沿坐標方向線段的尺寸改變。

剪應變

：過A點直角形狀的改變。ACC'yxDBB'D'A'dydx返回主目錄36再論利用力的平衡、變形幾何協調及力與變形間的關系，分析變形體靜力學問題的基本方法。解：畫受力圖。有平衡方程：

MC(F)=FBsin45

-F=0

FB=31.1kN

Fx=FCx-FBcos45

=0

FCx=22kN

Fy=FCy+FBsin45

-F=0

FCy=0

亦可由三力平衡判斷1)力的平衡：

二桿均為單向拉壓，軸力為：

FNBC=FB=31.1kN(拉);FNCD=-FCx=-22kN(壓)2)力與變形的物理關系：例4.9

圖中BD桿直徑d=25mm，CD桿為30×80mm矩形截面，彈性模量E=200GPa，求D點的位移。BCDF=22kNl=3mFCyFB45FCx4.7變形體靜力學分析返回主目錄37由力與變形間的物理關系知各桿變形為：

lBD=FNBDlBD/E(

d2/4)=1.344×10-3m

lCD=FNCDlCD/EACD=-0.1375×10-3m故變形后D點的位移為：水平位移：u=DD2=

lCD=0.137mm(

)

垂直位移：v=D2H+HD'=DD1/cosa+DD2

=

lBD+｜

lCD｜=2.038mm(

)BCDD'uv3)變形幾何協調條件：(求位移)變形后D點應移至以B、C為圓心，以桿變形后的長度為半徑的二圓弧交點D'處。變形量與原尺寸相比很小，用切線代替圓弧。幾何關系如放大圖。DD1D'HKDlBD45

D2

lCD38靜定問題求反力內力應力平衡方程求位移幾何方程求變形物理方程2個物體，6個平衡方程3處鉸鏈，6個約束力問題是靜定的。變形體力學靜定問題的求解方法為：BCDF=22kNl=3mFCyFB45FCx39例4.10

剛性梁AB如圖。桿1、2的截面積和彈性模量分別為A1、A2；E1、E2。求各桿內力。aaaABF12l解：1)力的平衡：平衡方程為：

MA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0

Fy=FAy+F1+F2=0

3個未知力，2個方程，一次靜不定。2)力與變形間的物理關系：

l1=F1l/E1A1

；

l2=F2l/E2A2

3)變形幾何協調條件:變形后應有：

l2=2

l1

；

即F2l/E2A2=2F1l/E1A1。解得：FAyF1F2Dl2Dl1求出內力后，應力、變形和位移顯然不難求得。40靜不定結構可減小構件內力，增加剛度，減小變形。若去掉桿1，成為靜定結構，則：

F2=3F/2；FAy=-F/2。討論若二桿相同，E1=E2=E，A1=A2=A；有：

F1=3F/5；F2=6F/5；FAy=-4F/53個物體，9個平衡方程；5處鉸鏈，10個約束反力問題是一次靜不定的。aaaABF12lFAyF1F2解答為：靜不定問題，反力、內力、應力均與材料有關。變形體靜不定問題的求解方法為：靜不定問題反力、內力變形、應力、位移...聯立求解力的平衡方程材料物理方程變形幾何方程41解：溫度升高時，桿BC要伸長。兩端約束限制伸長，引起約束反力。約束反力作用的結果是使桿在軸向受壓縮短，故兩端約束力如圖。1)力的平衡:FB=FC=F

（溫度與變形、力與變形關系）設溫度升高后桿的伸長為：

LT=

T

L

2)物理關系:無外力作用時，溫度變化在靜不定構件內引起的應力。例4.11二端固支桿BC長L，截面積A。已知彈性模量E、線膨脹系數

。若溫度升高

T，求反力和桿內應力。DLTBCLDLRBCFBFC軸力FN=F，故桿的縮短為：

LR=FL/EA溫度應力42可知：溫度變化將在靜不定構件內引起溫度應力。材料線膨脹系數

越大、彈性模量E越大、

T

越大，溫度應力越大。如除掉C端固定約束，則構件成為靜定的。靜定結構允許溫度引起的變形，不產生溫度應力。約束使桿長不變，必有：

LT=

LR

3)變形幾何協調條件：DLTBCLDLRBCFBFC即：

T·L=FL/EA故得到二端約束反力為：

F=

T·EA

桿內的應力（壓應力）為：

=F/A=

T·E43

由于尺寸誤差而強迫裝配時，在結構內引入的應力。例4.12

圖中剛性梁由三根鋼桿支承，

E=200GPa,桿截面積A=200mm2。

若中間桿2短了

=0.5mm，求結構強迫安裝后各桿內的應力。解：強迫安裝時，桿2受拉伸長，桿1、3受壓縮短。

MC(F)=F1a-F3a=0

\F1=F3

Fy=F2-F1-F3=0

\F2=2F1

1)力的平衡條件：d1d2d裝配前桿2伸長

2，桿1、3縮短

1，為彌補尺寸誤差，有：

1+

2=

2)變形幾何協調條件：aaB12Ad3L=1mCF1F2F3裝配應力443)力與變形的關系:

1=F1L/EA；

2=F2L/EA

即有：F1L/EA+F2L/EA=

注意

F2=2F1

解得：F1=

EA/3L(壓力)

F2=2

EA/3L(拉力)d1d2d裝配前可知：強迫裝配將在靜不定結構內引起裝配應力。誤差

越大、材料的E

越大，裝配應力越大。如是靜定結構，裝配無需強迫，不產生裝配應力。各桿應力為：

1=F1/A=

E/3L=0.5×10-3×200×109/3×1=33.3×106Pa=33.3MPa(壓應力)

2=FN2/A=2

E/3L=66.7MPa(拉應力)45靜定和靜不定問題解題方法的同異：基本方程都是平衡方程、物理方程和幾何方程。變形體靜力學問題研究對象受力圖平衡方程求反力？靜不定物理方程幾何方程靜定求內力應力求變形物理求位移幾何聯立求解反力、內力、應力變形、位移等可能有溫度應力、裝配應力返回主目錄46沿aa上各點測得的應變如圖。

非均勻分布，孔邊

=

max。

由胡克定律,應力分布也非均勻，孔邊最大應力為

max=Kt

ave。(

max<

ys)

式中Kt>1,稱為彈性應力集中因數。1）平板受拉

中截面aa由對稱性不變，bb移至b'b'。

線應變沿截面均勻分布，故有:

=const.；

=E

=const.

應力