2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第9章統(tǒng)計(jì)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第2講成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析考點(diǎn)2回歸分析

回歸分析角度1一元線性回歸模型1.(2024·河北邢臺(tái)名校聯(lián)盟期中)某商店的某款商品近5個(gè)月的月銷售量y(單位：千瓶)如下表：第x個(gè)月12345月銷售量y2.53.244.85.5若變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則下列說法正確的是(AB)A．點(diǎn)(3,4)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x＋eq\o(a,\s\up6(^))上B.eq\o(a,\s\up6(^))＝1.72C．相關(guān)系數(shù)r<0D．預(yù)計(jì)該款商品第6個(gè)月的銷售量為7800瓶[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(2.5＋3.2＋4＋4.8＋5.5)＝4，樣本點(diǎn)中心(3,4)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，即4＝0.76×3＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(a,\s\up6(^))＝1.72，A、B正確；變量x與y成正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r>0，C錯(cuò)誤；當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×6＋1.72＝6.28，預(yù)計(jì)該款商品第6個(gè)月的銷售量為6280瓶，D錯(cuò)誤．2．(2023·河南安陽(yáng)開學(xué)考)2022年6月某一周，“東方甄選”直播間的交易額共計(jì)3.5億元，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：第t天1234567交易額y/千萬元y1y2y3y4y5y6y7(1)通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)(系數(shù)精確到0.01)加以說明；(2)利用最小二乘法建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(系數(shù)精確到0.1)，并預(yù)測(cè)下一周的第一天(即第8天)的交易額．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝42.1，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝8.1，eq\r(7)≈2.65.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).在回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解析](1)因?yàn)閑q\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝42.1，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝8.1，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2))≈eq\f(42.1,2×2.65×8.1)≈0.98.因?yàn)榻灰最~y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明交易額y與t具有很強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系，從而可用線性回歸模型擬合交易額y與t的關(guān)系．(2)因?yàn)閑q\x\to(y)＝eq\f(35,7)＝5，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(42.1,28)≈1.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈5－1.5×4＝－1，所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5t－1，將t＝8代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5×8－1＝11(千萬元)＝1.1(億元)，所以預(yù)測(cè)下一周的第一天的交易額為1.1億元．名師點(diǎn)撥：一元回歸模型問題的解法1．求經(jīng)驗(yàn)回歸方程：(1)利用公式，求最小二乘估計(jì)eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^)).(2)待定系數(shù)法：利用經(jīng)驗(yàn)直線過樣本點(diǎn)中心求系數(shù)．2．利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：把經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值．3．利用經(jīng)驗(yàn)回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的是最小二乘估計(jì)eq\o(b,\s\up6(^)).【變式訓(xùn)練】1．(多選題)(2024·遼寧十校聯(lián)合體調(diào)研)對(duì)于變量x和變量y，通過隨機(jī)抽樣獲得10個(gè)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，變量x和變量y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)并利用最小二乘法獲得回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋a，且樣本中心點(diǎn)為(6,9.3)，則下列說法正確的是(BC)A．變量x和變量y呈正相關(guān)B．變量x和變量y的相關(guān)系數(shù)r<0C．a(chǎn)＝21.3D．樣本數(shù)據(jù)(5,12)比(7,5)的殘差絕對(duì)值大[解析]由于回歸方程中x的系數(shù)為－2，故變量x和變量y呈負(fù)相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)r<0，因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；將(6,9.3)代入回歸方程，解得a＝21.3，故C選項(xiàng)正確；eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋21.3樣本數(shù)據(jù)(5,12)的殘差為e1＝12－(－2×5＋21.3)＝0.7，樣本數(shù)據(jù)(7,5)的殘差為e2＝5－(－2×7＋21.3)＝－2.3，故|e1|<|e2|，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC.2．(2024·山東濟(jì)南摸底)隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購(gòu)成了人們購(gòu)物的重要選擇，并對(duì)實(shí)體經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了一定影響．為了解實(shí)體經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)狀，某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了一個(gè)大商場(chǎng)2018—2022年的線下銷售額如下：年份編號(hào)x12345年份20182019202020212022銷售額y(單位：萬元)1513146512021060860(1)由表中數(shù)據(jù)可以看出，可用線性回歸模型擬合銷售額y與年份編號(hào)x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該商場(chǎng)的線下銷售額．參考公式及數(shù)據(jù)：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝6100，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝16589，eq\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2)≈1736.[解析](1)由已知數(shù)據(jù)可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,y)i,5)＝eq\f(6100,5)＝1220，所以eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝16589－5×3×1220＝－1711，所以，r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))≈eq\f(－1711,1736)≈－0.9856，因?yàn)閨r|非常接近1，所以可用線性回歸模型擬合銷售額y與年份編號(hào)x的關(guān)系．(2)由已知數(shù)據(jù)可得，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(16589－5×3×1220,55－5×32)＝－171.1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1220－(－171.1)×3＝1733.3，所以，y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－171.1x＋1733.3，令x＝6，則eq\o(y,\s\up6(^))＝－171.1×6＋1733.3＝706.7(萬元)，所以預(yù)測(cè)2023年該商場(chǎng)的線下銷售額為706.7萬元．角度2一元非線性回歸模型(2024·重慶七校開學(xué)考試)中國(guó)茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y℃關(guān)于時(shí)間x(min)的回歸方程模型，通過實(shí)驗(yàn)做初步處理得到如圖所示散點(diǎn)圖．eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))73.53.85－95－2.24表中：wi＝ln(yi－25)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,w)i.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，①y＝a＋bx與②y＝d·cx＋25哪一個(gè)更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立該茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程；(3)已知該茶水溫度降至60℃口感最佳．根據(jù)(2)中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))；②參考數(shù)據(jù)：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln7≈1.9，ln3≈1.1，ln2≈0.7.[解析](1)根據(jù)散點(diǎn)圖，更適合的回歸方程為y＝d·cx＋25.(2)由y＝d·cx＋25，可得y－25＝d·cx，兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln(y－25)＝lnd＋x·lnc，令w＝ln(y－25)，則w＝lnd＋x·lnc，計(jì)算，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,x)i＝3，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝28，則lnc＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))wi－\o(w,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(－2.24,28)＝－0.08，則c＝e－0.08≈0.92，由lnd＝eq\o(w,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))·lnc＝3.85－3×(－0.08)＝4.09，則d＝e4.09≈60，即茶水溫度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝60×0.92x＋25.(3)在25℃室溫下，茶水溫度降至60℃口感最佳，即eq\o(y,\s\up6(^))＝60時(shí)，0.92x＝eq\f(60－25,60)＝eq\f(7,12)，可得x·ln0.92＝lneq\f(7,12)＝ln7－2ln2－ln3≈－0.6，即x≈eq\f(－0.6,lne－0.08)＝eq\f(－0.6,－0.08)＝7.5，故在室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置7.5min才能達(dá)到最佳引用口感．名師點(diǎn)撥：非線性相關(guān)問題一般通過換元法轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)(線性回歸分析)問題解決．非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程常用方法(1)若y＝a＋beq