大學(xué)高數(shù)三角函數(shù)總結(jié)

三角函數(shù)

1,①與（0%<360。）終邊相同得角得集合（角與角得終邊重合）:

②終邊在x軸上得角得集合：

③終邊在y軸上得角得集合：

④終邊在坐標(biāo)軸上得角得集合：

⑤終邊在y=x軸上得角得集合：

⑥終邊在軸上得角得集合：

⑦若角與角得終邊關(guān)于無軸對(duì)稱，則角與角得關(guān)系：

⑧若角與角得終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角得關(guān)系：

⑨若角與角得終邊在一條直線上，則角與角得關(guān)系：

⑩角與角得終邊互相垂直，則角與角得關(guān)系：

SISCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

2、角度與弧度得互換關(guān)系:360。=2180°=1。=0、017451=57、30。="、4表示第一、二、三、

注意:正角得弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角得弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角得弧度數(shù)為零、四象限一半所在區(qū)域

、弧度與角度互換公式：lrad=°弋57、30°=57°18'.1°=弋0、01745（rad）

3、弧長公式:、扇形面積公式:

4、三角函數(shù):設(shè)就是一個(gè)任意角，在得終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)得）

一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)得距離為r,則；；；；；、

5、三角函數(shù)在各象限得符號(hào):（一全二正弦,三切四余弦）

正弦、余割余弦、正割正切、余切

6、三角函數(shù)線

正弦線:MP;余弦線:0M;正切線：AT、

7、三角函數(shù)得定義域:

三角函數(shù)定義域

sinx

COSX

tanx

cotx

secx

cscx

8、同角三角函數(shù)得基本關(guān)系式:

16.幾個(gè)重要結(jié)論,

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變,符號(hào)瞧象限”

71

(3)右ovx<2,則sinxvxctanx

三角函數(shù)得公式:(一)基本關(guān)系

公式組二

公式組三

公式組四

公式組五

公式組六

(二)角與角之間得互換

公式組一公式組二

公式組三公式組四公式組五

10、正弦、余弦、正切、余切函數(shù)得圖象得性質(zhì):

（A、＞0）

定義域RRR

值域RR

周期性

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶

當(dāng)奇函數(shù)

單調(diào)性上為增函;上為增函上為增函數(shù)()上為減函數(shù)0上為增函數(shù)；

數(shù);上為減數(shù)上為減函數(shù)0

函數(shù)()上為減函

數(shù)

()

注意:①與得單調(diào)性正好相反;與得單調(diào)性也同樣相反、一般地，若在上遞增（減），則在上遞減

（增）、

②與得周期就是、

③或（）得周期、

得周期為2（,如圖,翻折無效）、

④得對(duì)稱軸方程就是（）,對(duì)稱中心（）；得對(duì)稱軸方程就是（）,對(duì)稱中心（）；得對(duì)稱中心（）、

⑤當(dāng)?；?、

⑥與就是同一函數(shù),而就是偶函數(shù)，則

⑦函數(shù)在上為增函數(shù)、（x）[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增、若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣

也就是錯(cuò)誤得卜

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱就是具有奇偶性得必要不充分條件、（奇偶性得兩個(gè)條件:一就是定義

域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二就是滿足奇偶性條件，偶函數(shù):,奇函數(shù)：）

奇偶性得單調(diào)性:奇同偶反、例如:就是奇函數(shù)，就是非奇非偶、（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì):若得定義域，則一定有、（得定義域,則無此性質(zhì)）

⑨不就是周期函數(shù);為周期函數(shù)（）；『『

就是周期函數(shù)（如圖）;為周期函數(shù)（）；

得周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,例如：/一；慳\z

'y=cos|x|圖象

⑩有y=|cos2?+l/2|圖象

三角函數(shù)得圖象變換有振幅變換、周期變換與相位變換等.

函數(shù)丫=人5出（3*+「）得振幅4,周期,頻率,相位初相（即當(dāng)x=0時(shí)得相位）.（當(dāng)A>0,

?>0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由y=sinx得圖象上得點(diǎn)得橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|>1）或縮短（當(dāng)O<|A|<1）

到原來得|A|倍，得到y(tǒng)=Asinx得圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸得伸縮變換.（用y/A替換y）

由y=sinx得圖象上得點(diǎn)得縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0<|3]<1）或縮短（|31>1）到原

來得倍，得到y(tǒng)=sinax得圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸得伸縮變換.（用3x替換x）

由y=sinx得圖象上所有得點(diǎn)向左（當(dāng)<p>0）或向右（當(dāng)cp<0）平行移動(dòng)I<pI個(gè)單位，得到

y=sin（x+<p）得圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向得平移.（用x+（p替換x）

由丫=5加得圖象上所有得點(diǎn)向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平行移動(dòng)IbI個(gè)單位，得到y(tǒng)

=sinx+b得圖象叫做沿y軸方向得平移.（用y+（-b）替換y）

由y=sinx得圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin（ax+<p）（A>0,a>0）（xGR）得圖象，要特

別注意:當(dāng)周期變換與相位變換得先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量得區(qū)別。

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法

1、三角函數(shù)恒等變形得基本策略。

（1）常值代換：特別就是用“1”得代換，如1=COS2e+sin29

=tanx,cotx=tan45°等。

⑵項(xiàng)得分拆與角得配湊。如分拆

項(xiàng)：sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=l+cos2x;酉己湊角：a=（a+B）——B,B=——

等。

⑶降次與升次。⑷化弦（切）法。

（4）引入輔助角。asin。+bcos。=sin（。+）,這里輔助角所在象限由a、b得

符號(hào)確定,角得值由tan=確定。

2、證明三角等式得思路與方法。

(1)思路:利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一

形式。

(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。

3、證明三角不等式得方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)得

單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)得有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

4、解答三角高考題得策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異:觀察角、函數(shù)運(yùn)算間得差異，即進(jìn)行所謂得“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系:運(yùn)用相關(guān)公式,找出差異之間得內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化:選擇恰當(dāng)?shù)霉?，促使差異得轉(zhuǎn)化。

四、例題分析

例1.已知,求⑴；⑵得值、

解：⑴;

(2)

、

說明：利用齊次式得結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(如果不具備,通過構(gòu)造得辦法得到)，進(jìn)行弦、

切互化,就會(huì)使解題過程簡化。

例2.求函數(shù)得值域。

解:設(shè)，則原函數(shù)可化為

，因?yàn)?，所?/p>

當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，

所以篇數(shù)底值域?yàn)椤?/p>

例3.已知函數(shù)。

(1)求得最小正周期、得最大值及此時(shí)x得集合；

(2)證明:函數(shù)得圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

解：

(1)所以得最小正周期,因?yàn)椋?/p>

所以，當(dāng)，即時(shí)，最大值為；

(2)證明:欲證明函數(shù)得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，只要證明對(duì)任意，有成立，

因?yàn)?(---X)=242sin[2(-=2行sin(一生-2x)=-2y/2cos2x,

8842

/(--+x)=2①sin[2(--+x)--]=2應(yīng)sin(--+2x)=-272cos2x,

8842

所以成立，從而函數(shù)得圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

例4.已知函數(shù)y=cos'+sinx?cosx+1(x￡R),

(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x得集合；

(2)該函數(shù)得圖像可由y=sinx(x￡R)得圖像經(jīng)過怎樣得平移與伸縮變換得

到？

解：(1)y=cos2x+sinx?cosx+l=(2cos2x—1)++(2sinx?cosx)+1

=cos2x+sin2x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+

=sin(2x+)+

所以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2kn,(kez),即x=+kn,(kez)。

所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x得集合為｛x|x=+kJi.kez)

(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：

(i)把函數(shù)y=sinx得圖像向左平移,得到函數(shù)y=sin(x+)得圖像；

(ii)把得到得圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來得倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=sin(2x+)得圖像；

(iii)把得到得圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來得倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

y=sin(2x+)得圖像；

(iv)把得到得圖像向上平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin(2x+)+得圖像。

綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+l得圖像。

說明：本題就是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題,主要考查三角函數(shù)

得圖像與性質(zhì)。這類題一般有兩種解法:一就是化成關(guān)于sinx,cosx得齊次式，

降易后最終化成丫=5訕(3x+)+k得形式,二就是化成某一個(gè)三角函數(shù)得二次三項(xiàng)

式。本題(1)還可以解法如下:當(dāng)cosx=0時(shí),y=l;當(dāng)cosxWO時(shí),y=+l=+l

化簡得：2(y—1)tan2x-tanx+2y-3=0

VtanxER,/.A=3-8(y-1)(2y-3)20,解之得:WyW

???%小，此時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x得值集為｛x|x=kJi+,keZ｝

例5.已知函數(shù)

(I)將F&)寫成得形式,并求其圖象對(duì)稱中心得橫坐標(biāo)；

(II)如果aABC得三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對(duì)得角為x,試求x得范

圍及此時(shí)函數(shù)/得值域、

A?....1.2x6八2尤、1.2xV3lxV3.,2x萬、V3

用牛.f(x)=—sin-----1-----(1+cos—)=—sin-----1-----cos-----1-----=sin(------1——)H-----

232323232332

(I)由=0即

即對(duì)稱中心得橫坐標(biāo)為

(II)由已知b2=ac

a2+c2-b2a2+c2-aclac-ac1

cosx=---------------=---------------->-----------=—,

laclac2ac2

33339

.re.2x兀、八".2x兀、八V3

,sin—<sin(----1—)?1,..<sin(----1—)V1H-----,

333332

即得值域?yàn)椤?/p>

綜上所述，值域?yàn)椤?/p>

說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形

結(jié)合得思想來解決函數(shù)值域得問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生得運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整

合得能力。

例6.在中必、0、c分別就是角A、B、C得對(duì)邊，且，

(1)求得值；

⑵若，且a=c,求得面積。

解:(1)由正弦定理及，有，

即,所以，

又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?所以。

(2)在中，由余弦定理可得，又，

所以有，所以得面積為

三角函教

一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分，共50分)

1.已知點(diǎn)尸(tana,COSQ)在第三象限，則角a得終邊在()

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

2.集合"=｛小=當(dāng)土彳乒2｝與N=｛x|x=亨，%￡Z｝之間得關(guān)系就是()

A>MNB、NMC、M=ND、MCN=

3.若將分針撥慢十分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過得角度就是()

A、60°B、-60°C、30°D、-30°

4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)一289。,(4)1711。,其中在第一象限得角就是

()

A、⑴⑵B、⑵⑶C、⑴⑶D、⑵(4)

5.設(shè)〃<0,角a得終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(一3〃,4〃),那么sina+2cosa得值等于()

22-11

A、5B、—5C、5D、—5

13

6.若cos(;r+a)=1］乃<0<2匹則sin(2;z—a)等于()

A—也p亞1D+也

/A、2D、2Vc—?>2i^、12

7.若a就是第四象限角，則Tt—a就是

()

A、第一象限角B、第二象限角

C、第三象限角D、第四象限角

8.已知弧度數(shù)為2得圓心角所對(duì)得弦長也就是2,則這個(gè)圓心角所對(duì)得弧長就是()

2

A、2B、~r-rC、2sinlD、sin2

9.如果sinx+cosx=5，且0<x<?r,那么cotx得值就是()

44?33-4-3

A、—B、—或一1C、—4D、3或一4

10.若實(shí)數(shù)X滿足log2尤=2+sin0,則I尤+1I+I尤-10|得值等于()

A、2x~9B、9~2xC、11D、9

二、填空題(本大題共6小題,每小題5分，共30分)

lLtan30(F+cot765。得值就是、

jSina+cosa?.—

12.若^------=2,則sinacosa得值就是、

sina—cosa

13.不等式(lg20產(chǎn)。sx>l,(xe(0㈤)得解集為、

14.若。滿足cos6>—3，則角。得取值集合就是、

15.若cosl3(r=〃，貝ijtan50°=

16.已知，若㈤，則/(cosa)+/(—cosa)可化簡為、

三、解答題(本大題共5小題，共70分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)設(shè)一扇形得周長為C(C＞0),當(dāng)扇形中心角為多大時(shí)，它有最大面積？最

大面積就是多少？

18.(本小題滿分14分)設(shè)90°＜ct＜180°,^a得終邊上一點(diǎn)為P(x,小)，且cosa=

也、，

十-羽求sina與tana得值、

yrm—34—2m

19.(本小題滿分14分)已知5WeW/r,sine=—T7,COS8=-，求加得值、

zm-rjm-rj

20.(本小題滿分15分)已知0。＜。＜45。,且Ig(tana)—lg(sina)=lg(cosa)—Ig(cota)+21g3

—2lg2,求cos%—sin%得值、

21.(本小題滿分15分)已知sin(57i~a)=q5cosg乃十為與小cos(—a)=—也cos(乃十份,且0

＜。＜乃,0＜夕＜加,求a與0得值、

三角函教

一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分，共50分)

1.下列函數(shù)中，最小正周期為"得偶函數(shù)就是)

A、y=sin2xB、y=cos,

1—tan2x

C、y=sin2x+cos2xD''l+tan2x

2.設(shè)函數(shù)y=cos(sinx),則()

A、它得定義域就是[—1,1]B、它就是偶函數(shù)

C、它得值域就是[—cos1,cos1]D、它不就是周期函數(shù)

3.把函數(shù)y=cos尤得圖象上得所有點(diǎn)得橫坐標(biāo)縮小到原來得一半,縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來得兩倍,

然后把圖象向左平移(個(gè)單位、則所得圖象表示得函數(shù)得解析式為

)

A、y=2sin2xB、y=-2sin2x

,JIX71

C、y=2cos(2x+a)D、y=2cos(2)

4.函數(shù)y=2sin(3x-f)圖象得兩條相鄰對(duì)稱軸之間得距離就是

()

A、彳B、與C、乃D、亨

5.若sina+cosa=m,且一陋W機(jī)＜一1,則a角所在象限就是()

A、第一象限B、第二象限

C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

37r

6.函數(shù)y=|cotx|?sinx(0V%WE且樣%)得圖象就是()

2

7.設(shè)>=言益，則下列結(jié)論中正確得就是

A、y有最大值也有最小值B、y有最大值但無最小值

C、y有最小值但無最大值D、y既無最大值又無最小值

8.函數(shù)產(chǎn)sin^—2元）得單調(diào)增區(qū)間就是（）

37r7tTT57r

A、［左萬一至，左7+g］B、［左7+3,k7r+~^~］（左

（%￡Z）oo￡Z）

■jr37r37r77r

C、Lk7i~Q，歷r+b］D、［Ax+石，左7+］

oo（%￡Z）oo（%￡Z）

9.已知OWxW匹且一］<4<0,那么函數(shù)於）=（：052元一2泅111：一1得最小值就是（）

A、2a~\~1B、2a—1C、一2a—1D、

2a

10.求使函數(shù)y=sin（2尤+e）+小cos（2x+6）為奇函數(shù)，且在［0（］上就是增函數(shù)得。得一個(gè)

值為

（）

A皂R也c—n-

r\>3D、3L、3LJ>3

二、填空題（本大題共6小題,每小題5分，共30分）

1L函數(shù)尸霍公得值域就是-------------、

口?函數(shù)尸普而得定義域就是-------------、

13汝口果［0,乃］，且滿足|sinx|=2cosy—2,則％=,y=、

14.已知函數(shù)y=2cosx,xe［0,2%］與y=2,則它們得圖象所圍成得一個(gè)封閉得平面圖形得面

積就是__________

15.函數(shù)y=sinx+cos%+sin2x得值域就是、

■JT

16.關(guān)于函數(shù)#x）=4sin（2x+］）（%eR）有下列命題：

①由/（修）=危2）=0可得九1一%2必就是加得整數(shù)倍；

___-TT

②y=/U）得表達(dá)式可改為y=4cos（2x一不）；

⑨=於）得圖象關(guān)于點(diǎn)（一3,0）對(duì)稱；

④尸式龍）得圖象關(guān)于直線尤=-f對(duì)稱、

其中正確得命題得序號(hào)就是、

三、解答題(本大題共5小題，共70分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)如圖為函數(shù)y=Asin(s+9)(A>0,o>0)得圖象得一部分,試求該函數(shù)得

一個(gè)解析式、

18.(本小題滿分14分)已知函數(shù)yJsiru+cosxy+Zcosk(尤CR)

(1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x得取值集合、

(2)該函數(shù)圖象可由>=$1型。6見得圖象經(jīng)過怎樣得平移與伸縮變換得到？

19.(本小題滿分14分)已知函數(shù)八x)=(sinr-cosx)

(1)求它得定義域與值域;(2)求它得單調(diào)減區(qū)間；

(3)判斷它得奇偶性;(4)判斷它得周期性，如果就是周期函數(shù)，求出它得一個(gè)周期、

20.(本小題滿分15分)某村欲修建一橫斷面為等腰梯形得水渠(如圖)，為降低成本，必須盡量減

少水與水渠壁得接觸面、若水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為定值北渠深3米，則水渠側(cè)壁得傾斜

角a應(yīng)為多少時(shí)，方能使修建得成本最低？

21.(本小題滿分15分)已知函數(shù)段)=sin(s+9)@>0,0WpW%)就是R上得偶函數(shù)淇圖象關(guān)

于點(diǎn)M仔，0)對(duì)稱，且在區(qū)間[0,f]上就是單調(diào)函數(shù)，求。與。得值、

倒數(shù)關(guān)系：

tana?cota=1

sina?esca=1

cosa?seca=1

商得關(guān)系：

sina/cosa=tana=seca/esca

cosa/sina=cota=csca/seca

平方關(guān)系：

sin2(a)+cos2(a)=1

1+tan2(a)=sec2(a)

l+cot-2(a)=csc^2(a)

平常針對(duì)不同條件得常用得兩個(gè)公式

sin2(a)+cos2(a)=1

tana*cota=1

一個(gè)特殊公式

(sina+sin9)(sina-sin0)=sin(a+9)*sin(a-0)

證明:(sina+sin9)*(sina-sin9)=2sin[(0+a)/2]cos[(a-9)/2]*2

cos[(0+a)/2]sin[(a-。)/2]

=sin(a+9)*sin(a-9)

坡度公式

我們通常半坡面得鉛直高度h與水平高度1得比叫做坡度(也叫坡比)，用字

母i表示，

即i=h/1,坡度得一般形式寫成1:m形式，如i=l:5>如果把坡面與水

平面得夾角記作

a(叫做坡角)，那么i=h/l=tana、

銳角三角函數(shù)公式

正弦：sina=Za得對(duì)邊/NQ得斜邊

余弦:cosa=Za得鄰邊/Na得斜邊

正切：tana=Za得對(duì)邊/Na得鄰邊

余切：cota=Za得鄰邊/Na得對(duì)邊

二倍角公式

正弦

sin2A=2sinA?cosA

余弦

1、Cos2a=Cos2(a)-Sin^2(a)

2、Cos2a=l-2Sin2(a)

3、Cos2a=2Cos2(a)-1

即Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos"2(a)-l=l-2Sin2(a)

正切

tan2A=(2tanA)/(l-tan"2(A))

三倍角公式

sin3a=4sina?sin(兀/3+a)sin(n/3一a)

cos3a=4cosQ?cos(n/3+a)cos(幾/3一a)

tan3a=tana?tan(n/3+a)?tan(n/3-a)

三倍角公式推導(dǎo)

sin(3a)

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(l-sin2a)+(l-2sin2a)sina

=3sina-4sin3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos2a-l)cosa-2(1-cosa)cosa

=4cos3a_3cosa

sin3a=3sina-4sin3a

=4sina(3/4-sir?a)

=4sina[(V3/2)2-sin2a]

=4sina(sin260°-sin2a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60O-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos3a-3cosa

=4cosa(cos2a-3/4)

=4cosa[cos2a-(V3/2)^2]

=4cosa(cos2a-cos2300)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

二4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)

/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a—30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

現(xiàn)列出公式如下：sin2a=2sinacosatan2a=2tana/(1-tan2(a))

cos2a=cos八2(a)-sirT2(a)=2cos^2(a)T=l-2sirT2(a)可別輕視這些字符,

它們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)起到重要作用。包括一些圖像問題與函數(shù)問題中

三倍角公式

sin3a=3sina-4sin3(a)=4sina?sin(Ji/3+a)sin(n/3-a)

cos3a=4cosc3(a)-3cosa=4cosa?cos(兀/3+a)cos(兀/3—a)

tan3a=tan(Q)*(-3+tan(a)人2)/(-l+3*tan(Q)2)=tan

a?tan(n/3+a)?tan(/3-a)

半角公式

sin^2(a/2)=(l-cosa)/2cos^2(a/2)=(l+cosa)/2

tarT2(a/2)=(1-cosa)/(1+cosa)

tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(l-cosa)/sina

萬能公式

sina=2tan(a/2)/[l+tan"2(a/2)]

cosa=[l-tan2(a/2)]/[l+tan"2(a/2)]tana=2tan(a/2)/[l-tan^2(a/2)]

其她

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2n*2/n)+sin(a+2兀*3/n)+...+sin[a+2兀*(

n-l)/n]=0

cosa+cos(a+2Ji/n)+cos(a+2兀*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+...+cos[a+2兀*(

n-l)/n]=0以及sin2(a)+sin2(a-2兀/3)+sin2(a+2兀/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2^sinA2-1))cos4A=l+(-8*cosA八2+8*cosA4)

tan4A=(4^tanA-4^tanA3)/(l-6*tanA^2+tanA4)

五倍角公式

sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinAcos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA

tan5A=tanA*(5T0*tanA八2+tanA4)/(lT0*tanA八2+5*tanA4)

六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+l)*(2*sinA-l)*(-3+4*sinA2))

cos6A=((T+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-l+15*tanA2-15*tanA4+tanA6)

七倍角公式

sin7A-一(sinA*(56*sinA'2-112*sinA4-7+64*sinA'6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA4+64^cosA6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-l+21*tanA2-35*tanA4+7*

tanA6)

八倍角公式

sin8A=―8*(cosA*sinA*(2^sinA^2-l)*(-8*sinA^2+8*sinA4+1))

cos8A=l+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32^cosA2)

tan8A=-8*tanA*(-l+7*tanA2-7*tanA4+tanA6)/(l-28^tanA^2+70*tanA4-28

*tanA^6+tanA8)

九倍角公式

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA…2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3))

tan9A=tanA*(9-84^tanA2+126^tanA4-36*tanA6+tanA8)/(l-36^tanA2+126

*tanA4-84*tanA6+9*tanA8)

十倍角公式

sinlOA=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinAT)*(4*sinA^2-2*sinA-l)*(-20*sinA

2+5+16*sinA4))

coslOA=((T+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304^cosA4-48*cosA2+1))

tanlOA=-2*tanA*(5-60^tanA2+126^tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-l+45*tan

A2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10)

N倍角公式

根據(jù)棣美弗定理，(cos。+isin0)%二cos(n。)+isin(n9)為方便描

述，令sin。=s,cos。=c考慮n為正整數(shù)得情形：cos(n0)+isin(n0)=(c+

is)n=C(n,0)n+C(n,2)*」(n-2)*(is)2+C(n,4)*c…(n-4)*(is)4

+、、、+C(n,l)*cXnT)*(is)1+C(n,3)*cXn-3)*(is廠3+

C(n,5)*cXn-5)*(is廠5+、、、=>比較兩邊得實(shí)部與虛部實(shí)

部:cos(n0)=C(n,0)*cn+C(n,2)*c(n-2)*(is)2+C(n,4)*c(n-4)*(is)4

+、、、i*(虛部)：i*sin(n。)=C(n,l)*cXnT)*(is)]+C(n,3)*cXn-3)*(i

s)八3+C(n,5)*cXn-5)*(is廠5+、、、對(duì)所有得自然數(shù)n,1、cos(n9):公

式中出現(xiàn)得s都就是偶次方，而s~2=H(/2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以

c(也就就是cos。)表示。2、sin(n。)：(1)當(dāng)n就是奇數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)得c

都就是偶次方，而「2二1-s八2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以s(也就就是

sin。)表示。(2)當(dāng)n就是偶數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)得c都就是奇次方，而

/2=Hs「2(平方關(guān)系)，因此即使再怎么換成s,都至少會(huì)剩c(也就就是cos9)

得一次方無法消掉。(例、c^3=c*c>'2=c*(l-s^2),>5二。*(>2)人2=。*(1-5…2)八2)

半角公式

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA>

sirT2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

與差化積

sin9+sin<t)=2sin[(0+4))/2]cos[(0-4))/2]

sin0-sin=2cos[(9+4))/2]sin[(9-4))/2]

cos0+cos=2cos[(0+4))/2]cos[(0-4))/2]

cos9-cos4)=-2sin[(9+4))/2]sin[(0-4))/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

兩角與公式

tan(a+B)=(tana+tanB)/(l-tanatan8)

tan(a-B)=(tana-tanB)/(1+tanatanB)

cos(a+B)=cosacosB-sinasinB

cos(a-B)=cosacosB+sinasinB

sin(a+B)=sinacosB+cosasinB

sin(a—B)=sinacos8-cosasinB

積化與差

sinasin&=-[cos(a+3)-cos(a-^)]/2

cosacos8=[cos(a+B)+cos(a-8)]/2

sinacos3=[sin(a+B)+sin(a-8)]/2

cosasinP=[sin(a+B)-sin(a-B)]/2

雙曲函數(shù)

sha=[e^a-e^(-a)]/2

cha=[e^a+e^(-a)]/2

tha=sinh(a)/cosh(a)

公式一：

設(shè)Q為任意角，終邊相同得角得同一三角函數(shù)得值相等：

sin(2kJi+a)=sina

cos(2kn+a)=cosa

tan(2k兀+a)=tana

cot(2k兀+a)=cota

公式二：

設(shè)a為任意角，兀+Q得三角函數(shù)值與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系：

sin(n+a)=-sina

cos(Ji+a)=-cosa

tan(JI+a)=tana

cot(Ji+a)=cota

公式三：

任意角a與-Q得三角函數(shù)值之間得關(guān)系：

sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

cot(-a)=-cota

公式四：

利用公式二與公式三可以得到兀-a與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系:

sin(n-a)=sina

cos(Ji-a)=-cosa

tan(JI-a)=-tana

cot(Ji-a)=-cota

公式五：

利用公式-與公式三可以得到2幾-a與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系:

sin(2-a)=-sina

cos(2n-a)=cosa

tan(2兀-a)二-tana

cot（2幾-a）=-cota

公式六：

兀/2土Q及3幾/2士。與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系:

sin(n/2+a)=cosa

cos(兀/2+a)=-sina

tan(兀/2+a)=-cota

cot(兀/2+a)=-tana

sin(n/2-a)=cosa

cos(n/2-a)=sina

tan(兀/2-a)=cota

cot(兀/2-a)=tana

sin(3JI/2+a)：=-cosa

cos(3JI/2+a)：=sina

tan(3JI/2+a)：=-cota

cot(3JI/2+a)：=-tana

sin(3JI/2-a)=-cosa

cos(3JI/2-a):=-sina

tan(3JI/2-a):=cota

cot(3JI/2-a)：=tana

(以上k￡Z)

A*sin(wt+9)+B*sin(ot+4))=

V{(A2+B2+2ABcos(0-4))}?sin{ot+arcsin[(A?sin9+B?sin4))

/J{A八2+B~2;+2ABcos(0-e)}}

J表示根號(hào)，包括{……}中得內(nèi)容

三角函數(shù)得誘導(dǎo)公式(六公式)

公式一sin(-a)=-sina

cos(-a)=cosa

tan(-a)=-tana

公式二sin(幾/2-a)=cosa

cos(兀/2-a)=sina

公式三sin(幾/2+Q)=cosa

cos(n/2+a)=-sina

公式四sin(ii-a)=sina

cos(兀-a)=-cosa

公式五sin(ii+a)=-sina

cos(n+a)=-cosa

公式六tanA=sinA/cosA

tan(兀/2+a)=—cota

tan(JT/2—a)=cota

tan(JI—a)=—tana

tan(n+a)=tana

誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變,符號(hào)瞧象限

萬能公式

sina=2tan(a/2)/[l+(tan(a/2))2]

cosa=[l-(tan(a/2))2]/[l+(tan(a/2))2]

tana=2tan(a/2)/[l-(tan(a/2))2]

其它公式

(1)(sina廠2+(cosa>2=1(平方與公式)

(2)1+(tana)"2=(seca)2

(3)1+(cota/2二(esca廠2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sina廠2,第二個(gè)除(cosa廠2即可

(4)對(duì)于任意非直角三角形，總有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證：

A+B=兀-C

tan(A+B)=tan(n-C)

(tanA+tanB)/(l-tanAtanB)=(tan兀-tanC)/(1+tan兀tanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得證

同樣可以得證，當(dāng)x+y+z=nJi(n￡Z)時(shí),該關(guān)系式也成立

由tanA+1anB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=l

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA)^2;+(cosB)2+(cosC)2=l-2cosAcosBcosC

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC

其她非重點(diǎn)三角函數(shù)

esc(a)=l/sin(a)

sec(a)=1/cos(a)

(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2

幕級(jí)數(shù)展開式

sinx=x-x八3/3!+x人5/5!1...+(-1廠(kT)*(xX2kT))/(2kT)!+.....。

(-oo<x<oo)

cosx=l-x八2/2!+xM/4!-...+(T)k*(xX2k))/(2k)!+....(-°°<x<00)

arcsinx=x+l/2*x3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+...(|x|<1)

arccosx=兀-(x+l/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)

arctanx=x-x3/3+x-5/5-...(xWl)

無限公式

sinx=x(l-x^2/兀八2)(l-x^2/4n八2)(l-x^2/9兀八2)...

cosx=(l-4x^2/兀2)(l-4x^2/9兀2)(l-4x^2/25兀八2)...

tanx=8x[l/(兀^2-4x2)+1/(9兀"2-4x"2)+l/(25兀2-4：x2)+...]

secx=4n[1/(Ji^2-4x^2)-1/(9兀^2-4x^2)+1/(25n~2—4x~2)—+....]

(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8...

(1/4)tan兀/4+(l/8)tann/8+(l/16)tann/16+...=1/兀

arctanx=x-x3/3+x-5/5-...(xWl)

與自變量數(shù)列求與有關(guān)得公式

sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)

cosx+cos2x+cos3x+....+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)

tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+....+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+....+co

snx)

sinx+sin3x+sin5x+....+sin(2n-l)x=(sinnx)"2/sinx

cosx+cos3x+cos5x+...