工程力學(xué)：第十章強度理論與組合變形

110.1應(yīng)力狀態(tài)10.2強度理論10.3組合變形第十章強度理論與組合變形返回主目錄2拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲FNymaxs=sCymaxtToMymaxs壓maxs拉Csmaxtmaxsmax截面應(yīng)力危險點應(yīng)力狀態(tài)強度判據(jù)][maxtt￡][][maxmax壓壓拉拉ssss￡￡][][maxmax壓壓拉拉ssss￡￡概述10.1

應(yīng)力狀態(tài)返回主目錄3組合變形：問題：危險點應(yīng)力狀態(tài)？強度判據(jù)？承受組合變形的構(gòu)件eFBA(a)鉆床立柱彎扭組合壓彎組合MACFT2(b)帶傳動軸BDFT1返回主目錄4思路：研究力的平衡。設(shè)單元體厚度為1，有osxtxysytyxsntnaanxba最一般狀態(tài)：有s

、s

、t=t

。xyxyyx問題:任意斜橫截面上的應(yīng)力s

、t

?nnsx一般情況xysxsysytyxtxy10.1.1

平面應(yīng)力狀態(tài)返回主目錄SFx=snabcosa+tnabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=snabsina-tnabcosa-syabsina+txyabcosa=05注意到txy=tyx，解得：s

=s

cos2a+s

sin2a-2t

sinacosat

=(s

-s

)sinacosa+t

(cos2a-sin2a)xyxyxyxynn利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面應(yīng)力狀態(tài)下的一般公式：

s

、t

是a角的函數(shù)，a角是x軸與斜截面正法向n的夾角，從x軸到n軸逆時針轉(zhuǎn)動時，a為正。nnosxtxysytyxsntnaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=---(10-1)---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=返回主目錄6

s

是a的函數(shù)，極值？n令ds/da=0，有：n

在a=a

的斜截面上，s

取得極值；且t=0。n0nosxtxysytyxsntnaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=任一截面應(yīng)力02cos2sin2=+-atassxyyx---（10-3）---（10-4）yxxy

tgss2ta--=2010.1.2

極值應(yīng)力與主應(yīng)力返回主目錄710.1.2極值應(yīng)力與主應(yīng)力（10-1）式記tg2a

=x,有sin2a=

x/(1+x)cos2a=

1/(1+x)221/21/20代入(10-1)式：atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=sn取極值的條件：yxxy

tgss2ta--=201ax)1(2x+=x}4)(22/)({2222xyyxxyyxyxntsstsssss+-+-±+=(10-5)式極值應(yīng)力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü8主平面:切應(yīng)力為零的平面。

a=a

時，t=0，故對應(yīng)的平面是主平面。主應(yīng)力:

主平面上的正應(yīng)力。故極值應(yīng)力是主應(yīng)力。0n10.1.2極值應(yīng)力與主應(yīng)力注意到：tg2a0=tg(p+2a0)正應(yīng)力取得極值的角a

有兩個，二者相差90

。即s

和s

分別作用在兩相互垂直的截面上。0maxmin(10-5)式極值應(yīng)力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü極值應(yīng)力截面方位：yxxy

tgss2ta--=20(10-4)式9切應(yīng)力的極值？代入(10-2)式：

令dtn/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

同樣有sin2a=

x/(1+x)；cos2a=

1/(1+x)221/21/2---(10-2)atasst2cos2sin2xyyxn+-=t取得極值的條件：（10-6）xyyx

tgtssa221-==x極值切應(yīng)力(10-7)式22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü1021201aa

tg

tg-=極值切應(yīng)力作用平面？切應(yīng)力取得極值的平面與主平面間的夾角為45

。

(10-6)切應(yīng)力取得極值的角a

有兩個，二者相差90

。即t

和t

分別作用在兩相互垂直的截面上。1maxmina

和a

的關(guān)系？01即有：a1=a0

p/4

xyyx

tgtssa221-=主平面方位(10-4)yxxy

tgss2ta--=20)22(0pam

tg=)22(0ap

tg±-=20actg-=11求任一截面應(yīng)力—(10-1)、(10-2)式求主應(yīng)力大小和方位—(10-5)、(10-4)式主應(yīng)力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一點的應(yīng)力狀態(tài)可由三個主應(yīng)力描述，對于平面應(yīng)力狀態(tài)，第三個主應(yīng)力s

=0。zsxxysxsysytyxtxysntnanyxxy

tgss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü平面應(yīng)力狀態(tài)12求極值切應(yīng)力--(10-7)式，作用面與主平面相差45

。22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü返回主目錄13例1已知某點的應(yīng)力狀態(tài)為:

s

=30MPa，

s

=10MPa，t

=20MPa。求1)主應(yīng)力及主平面方向；2)最大、最小切應(yīng)力。xxyy解：1）主應(yīng)力與主方向主應(yīng)力：由（10-5）式有：主方向角：由（10-4）式有：xytyxtxysxsysxsya0a=58.28

n主平面方位:a01=58.28

，a02=148.28

?íì-=+-±+=tyüMPaMPa36.236.4220)21030(2103022minmaxss

2a=-63.43

，a

=-31.72

002103020220-=-

-=a

tg14xytyxtxysxsysxsya0a=58.28

na=58.28

時，由(10-1)式有:a=148.28

時有:sn=smax=42.36MPa

在平行xy的前后面上，無應(yīng)力作用，s、t均為零。故此面上還有第三個主應(yīng)力sz=0。各主平面上的應(yīng)力？(t=0)三個主應(yīng)力按大小排列。

-++=116.56-20sin116.56cos2103021030ns=-2.36MPa=smin3s1s用主應(yīng)力表示應(yīng)力狀態(tài)，簡潔、清晰。s1s2=0xyzs1s3s32sxys1s3s3s1a0=58.28

平面應(yīng)力狀態(tài)153)最大、最小切應(yīng)力由（10-7）式有：作用平面方向角：a

=a+p/4=13.28

0a

=-31.72

01a=13.28

時，由（10-2）式有:注意還有22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyüMPa36.2220]2)1030([22±=+-±=MPaxyyx36.2256.26cos56.26sin2=+-=ootsstMPa2056.26sin20

56.26cos2103021030=°-°-++=s

tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmaxa1=13.28

-tmaxa=103.28

時:t=-22.36MPas

=20MPa16求任一截面應(yīng)力---（10-1）、（10-2）式分析結(jié)果匯總與討論(已知s

、s

、t

)xyxy求主應(yīng)力及其方位---（10-5）、（10-4）式主應(yīng)力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。求極值切應(yīng)力---(10-7)式，作用面與主平面相差45。。極值切應(yīng)力作用面相互垂直，切應(yīng)力互等（大小相等、符號相反，使單元體順時針轉(zhuǎn)者為正）。注意：極值切應(yīng)力作用面上一般s

0。一點的應(yīng)力狀態(tài)可由三個主應(yīng)力描述，對于平面應(yīng)力狀態(tài)，第三個主應(yīng)力s

=0。z17討論一、應(yīng)力狀態(tài)的第一不變量由(10-5)式顯然有：s+s=s+s

maxminxy即過某點任意兩相互垂直平面上正應(yīng)力之和不變。在三向應(yīng)力狀態(tài)下，同樣可以得到：J---稱為表示一點應(yīng)力狀態(tài)的第一不變量，即過某點任意三個相互垂直平面上的正應(yīng)力之和是不變的。122minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü.3211constJzyx=++=++=ssssss18討論二、主應(yīng)力與極值切應(yīng)力由(10-5)式s

、s

平面內(nèi)，t

之值等于二主應(yīng)力之差的1/2。13maxs

、s

平面內(nèi)，t

之值等于(s-s

)/2。12max12s

、s

平面內(nèi)，t

之值等于(s-s

)/2。23max23還有：二主應(yīng)力之差的一半即該平面內(nèi)的最大切應(yīng)力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü假定smin<0平面應(yīng)力狀態(tài)sz=0有：2231]2/)[(2xyyxtssss+-=-(10-7)式為22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü顯然可知有：231minmaxsstt-±=tyü平面應(yīng)力狀態(tài)sz=0若smin<0:t

max=(s1-s3)/2若smin

0:t

max=(s1-0)/2=s1/219討論三、極值切應(yīng)力作用面上s是否為零？若極限剪應(yīng)力作用面上s均為零，純剪由(10-7)式知，此時應(yīng)有：若s

x

0或sy

0，則xy平面上的txy不是極值切應(yīng)力。若s

x

0且s

y

0，則極值切應(yīng)力面上必有。s=s

xyxytxys=s=0xytyxtxytxy22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü±=xytxytxys=0xtyxsytyxtxysy除純剪情況外，極值切應(yīng)力平面上正應(yīng)力不為零，且必有sx=sy。20思考題1：圖中表示的純切應(yīng)力狀態(tài)是否正確？如果正確，單元體應(yīng)力狀態(tài)用主應(yīng)力如何表示？ttt(a)(b)(c)切應(yīng)力互等？t是極限切應(yīng)力，主平面？與極限剪應(yīng)力面成45。二主應(yīng)力之和？s+s=s+s

=0。s=-s

13xy13s

在哪個面上？多大？1s1s1(s-s)/2=t

s

=t

13121求任一截面應(yīng)力—(10-1)、(10-2)式求主應(yīng)力大小和方位—(10-5)、(10-4)式主應(yīng)力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一點的應(yīng)力狀態(tài)可由三個主應(yīng)力描述，對于平面應(yīng)力狀態(tài)，第三個主應(yīng)力s

=0。zsxxysxsysytyxtxysntnanyxxy

tgss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxn--++=atasst2cos2sin2xyyxn+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=tyü平面應(yīng)力狀態(tài)小結(jié)22求極值切應(yīng)力--(10-7)式，作用面與主平面相差45

。極值切應(yīng)力與主應(yīng)力關(guān)系：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=tyü第一不變量：.3211constJzyx=++=++=ssssss除純剪情況外，極值切應(yīng)力平面上正應(yīng)力不為零，且必有sx=sy。過某點任意三個相互垂直平面上的正應(yīng)力之和不變。返回主目錄23習(xí)題:10.1(b)、(c)、(e);10.2(a)、(b)。

返回主目錄作業(yè):P26524sxxysxsysytyxtxy前節(jié)回顧:平面應(yīng)力狀態(tài)s1s2=0xyzs1s3s3主應(yīng)力

;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45

的平面三維三維一般情況返回主目錄25線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：s=Ee

對于用主應(yīng)力表示的微元，沿主方向的應(yīng)變（主應(yīng)變）e1

是沿x1方向的伸長。有：s1x1x2x3s3s2s2s3s1EEE///3211msmsse--=s

引起的伸長1s

引起的縮短2s

引起的縮短3廣義胡克定理---(10-10)?t?yü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEE10.1.3

廣義胡克定理與應(yīng)變能返回主目錄2610.1.3廣義胡克定理與應(yīng)變能s1x1x2x3s3s2s2s3s1廣義胡克定理：?t?yü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEe1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/E

s1>s2>s3

e1>e2>e3

最大主應(yīng)變那個應(yīng)變大？故有：e1=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/Ee2=[(1+m)s2-m(s1+s2+s3)]/Ee3=[(1+m)s3-m(s1+s2+s3)]/E27應(yīng)變能（討論線彈性情況）在三向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性變形能仍等于外力的功，且只取決于外力和變形的最終值，與中間過程無關(guān)。應(yīng)變能密度v：單位體積的應(yīng)變能在單向拉伸情況下，力從0F，變形由0DL，變形能(外力所做的功)：V=FDL/2。

若變形過程1V；變形過程2V<V

；反證121按過程1加載，再按過程2卸載，多余的能量？se212=D==ALLFALVvF-DL曲線DLFFDL/228可假定三個主應(yīng)力按比例同時從零增加到最終值，則應(yīng)變能密度v可寫為：利用廣義胡克定理，有：332211212121eseses++=v)]([21)]([2121312121321111ssssmsssmsses+-=+-=EE類似有：)]([212132122222ssssmses+-=E)]([212123132333ssssmses+-=E得到應(yīng)變能密度：)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Ev--(10-11)29體積改變能密度和畸變能密度

ve=

v+v

Vd應(yīng)變能密度體積改變能密度畸變能密度三向等拉的情況(s=s=s=s)：只有體積改變123m一般情況：smsmsmtxytxztyzs—體積改變t

—形狀改變mijvd=?令s=(s+s+s)/3，有：123m由(10-11)式有：2222)21(3)63(21mmmVEEvvesmmss-=-==s1s3s2s1s2s3(10-12)30畸變能密度：vd=ve-vV一般情況：smsmsmtxytxztyzs—體積改變t

—形狀改變mijvd=?令s=(s+s+s)/3，有：123ms1s3s2s1s2s3三向等拉(10-11)式給出)](2[21133221232221ssssssmsss++-++=Eve2321)(6)21(sssm++-=E=23219)(2)21(3sssm++·-E=2)21(3m-EvVsm?231最后得到用主應(yīng)力表示的畸變能密度為：])()()[(61213232221ssssssm-+-+-+=-=EvvevVd(10-13)[21232221sss)](2133221ssssssm++-++=-=EvvevVd)](2[6)21(133221232221sssssssssm+++++--E)](3)21([)](6)21(21[133221232221ssssssmmsssm++-+-++--=EEEE)(3)1()(6)1(2133221232221ssssssmsssm+++-+++=EE)222222[6)1(133221232221sssssssssm---+++=E32(a)：思考題：寫出圖示二應(yīng)力狀態(tài)沿x方向的正應(yīng)變

e

、最大正應(yīng)變e

及應(yīng)變能v

和v

。1xVdEEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEE/)1(//211smmsse-=-=體積改變能密度：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EvV畸變能密度：mm++221323222131])()()[(61sssssssEEvd=-+-+-=(a)Assxy(b)xtssyBs1=s2=s33設(shè)0<t<s；則s1=s+t；s2=s-t；s3=0有：(b)xtssyB(b)：tstssssss±=+-±+=tyü22minmax]2/)[(2xyyxyxs1s212EEEyxx/)1(//smmsse-=-=EEEE/)1(/)1(//211tmsmmsse++-=-=體積改變能密度：223213)21(2)(6)21(smsssm-=++-=EvV畸變能密度：)2(31])()()[(6122213232221tsmssssssm++=-+-+-+=EEvd返回主目錄34sxxysxsysytyxtxy前節(jié)回顧:平面應(yīng)力狀態(tài)s1s2=0xyzs1s3s3主應(yīng)力

;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45

的平面三維三維一般情況返回主目錄35問題：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度？研究：危險點應(yīng)力狀態(tài)強度判據(jù)？MxFT1ACFT2BDyz危險點10.2強度理論sxxysxtyxtxys1s23610.2強度理論單向應(yīng)力狀態(tài)：單向拉壓試驗強度理論:

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞或屈服規(guī)律的假說。破壞延性破壞s

脆性破壞s

bys復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)？破壞判據(jù)s

=s

ors強度條件：s

[s]

11bs要設(shè)計不同s:s

的實驗。12ys1xs1s2s2返回主目錄37一、最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）破壞判據(jù)s

=s

1b

不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，脆性材料的破壞只取決于其最大拉應(yīng)力s

。1假說實驗驗證：正確性條件：考慮安全儲備，給出：強度條件：s

[s]=s/n

1b10.2.1

脆性材料的破壞強度理論返回主目錄38二、最大拉應(yīng)變理論（第二強度理論）

脆性材料破壞取決于其最大拉應(yīng)變e

。1假說考慮安全儲備，給出：破壞判據(jù)e

=e

1u單向拉伸破壞應(yīng)變胡克定理破壞判據(jù)s

-m(s+s)=s

(應(yīng)力形式)123b實驗驗證：

或時，更好一些。強度條件：s-m(s+s)[s]=s/n

1b23返回主目錄39一、最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）屈服判據(jù)t

=t

maxs單向拉伸屈服時的t屈服判據(jù)s-s

=s

(Tresca條件,1864,法)1s3實驗驗證：很好地預(yù)測了塑性材料屈服。思考：材料滑移切應(yīng)力的貢獻(xiàn)延性材料屈服假說：延性材料屈服取決于其最大切應(yīng)力t

。max；；設(shè)計：強度條件：s-s

[s]=s

/n

1s310.2.2

延性材料的屈服強度理論返回主目錄40二、形狀改變比能理論（第四強度理論）假說：延性材料屈服取決于其畸變能密度v

。

d滑移改變形狀思考：Tresca條件與s

無關(guān)2？能量？屈服判據(jù)v

=v

ddcr單向拉伸屈服時的vd；屈服判據(jù)(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222Mises條件,1913,德41實驗驗證：對延性金屬屈服，預(yù)測比最大切應(yīng)力理論的預(yù)測更好，但二者相差不大。10.2.2延性材料的屈服強度理論二、畸變能密度理論（第四強度理論）屈服判據(jù)(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1s322132222即Mises條件:ssssssss=-+-+-213232221)()()(21設(shè)計：強度條件ns/][)()()(21213232221ssssssss=￡-+-+-42強度理論匯總：s

=s

1r1s

理論1s=s-m

(s+s)

1r232e

理論1s=s-s

1r33t

理論maxs={[(s

-s)+(s

-s)+(s

-s)]/2}1r4331222221/2v

理論d破壞屈服

常用

s>s,s<0311

常用相當(dāng)應(yīng)力s

[s]

r強度條件的一般形式：工作應(yīng)力

許用應(yīng)力脆性破壞[s]=s/nb

塑性屈服[s]=s

/ns43例2低碳工字鋼梁截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面受

M=30kN·m，F(xiàn)S=100kN作用，試校核其強度。解：1)截面彎曲正應(yīng)力：s=M

y/IzI=(BH–ah)/12=2.19510mz33-54y=0處：s=0y=h/2處：s

=30000

0.09/2.195

10=123(MPa)h/2-5y=H/2處：

s=s

=M

y/I

=30000

0.1/2.195

10=137(MPa)max-5H/2maxzzya/2Ha/2Bh44例2低碳工字鋼截面尺寸H=200mm，h=180mm，

B=100mm，a=92mm，[s]=200MPa。若截面M=30kN·m，F(xiàn)S=100kN，試校核其強度。y=H/2處：Sz=0；tH/2=0解：2)截面切應(yīng)力：t=FS

Sz/IzbI=2.19510m;S

見例9-13z-54zy=0處：Sz=12.7410-5m3；b=0.008

t0=tmax=FS

Sz/Iz(B-a)

=10010312.74/(2.1950.008)=72.5(MPa)y=h/2處：Sz=9.510-5m3；b=0.1；

th/2+=4.3(MPa)翼緣y=h/2處：Sz=9.510-5m3;b=0.008;

th/2-=54(MPa)腹板zya/2Ha/2Bh45解：3)強度校核截面各可能危險點應(yīng)力狀態(tài)：zyABCD低碳鋼延性屈服第三強度理論xysmaxAxsBtyxCtmaxyxys1A用主應(yīng)力表示s=s1maxs=s

=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s-s

[s]13D?s=02)4(212231tssss+±=tyü46解：3)強度校核第三強度理論:s=s-s

[s]

13r3B點：

=s-s

=(s+4t

)=164<[s]=2001r33221/2=123t=54A點：s=137MPas=s-s

=137<[s]=2001r33maxC點：t=72.5MPas=s-s

=145<[s]=2001r33maxxys1As=s1maxs=s

=023xCys1s3s=-s=t1max3s=02xsBsy13s=02)4(212231tssss+±=tyüzyABC討論：

A處；與梁彎曲正應(yīng)力強度條件一致；

C處：與梁彎曲切應(yīng)力強度條件一致；

B處：正、切應(yīng)力同時存在，也可能是危險點。47前節(jié)回顧：s1

理論:sr1=s1

e1

理論:sr2=s1–m(s2+s3)tmax理論:

sr3=s1-s3

vd

理論:sr4={[(s1-s3)2+(s1-s3)2+(s1-s3)2]/2}1/2強度條件:sr[s]sxxysxsysytyxtxy復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)用主應(yīng)力表達(dá)的強度條件

主應(yīng)力xys1s3s3s1討論組合變形問題返回主目錄48討論一：某脆性材料應(yīng)力狀態(tài)如圖，如何選用適當(dāng)?shù)膹姸壤碚摚?060405060402010403040601221s=s-s

=1001r33t

理論maxr4={[(s1-s2)2+(s2-s3)2+(s3-s1)2]/2}1/2={[(s1-s2)2+s22+s12]/2}1/2vd

理論討論二：s1=100MPa，

s3=0，若s2=20，50，

80MPa，問sr3與sr4相差多大？

s2

sr4

20

91.65

50

86.6

80

91.654910.3組合變形研究思路基本變形組合變形內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變位移組合變形構(gòu)件，危險點應(yīng)力狀態(tài)線彈性小變形疊加法強度計算、設(shè)計選擇適當(dāng)?shù)膹姸壤碚?0.3.1拉(壓)彎組合變形xyzoABMyFNMz剪切、扭轉(zhuǎn)暫不考慮。內(nèi)力FN

沿x軸的拉或壓；彎矩M

xy面內(nèi)的彎曲；z彎矩M

xz面內(nèi)的彎曲。y50xyzABMyFNMzCD截面正應(yīng)力：s=s

+s

+s

=FN/A+Mzy/Iz+Myz/Iy

s是截面坐標(biāo)(y,z)的函數(shù)，何處應(yīng)力最大？FN作用下，各處應(yīng)力相同；Mz作用下，AC受拉，BD受壓；My作用下，AD受拉，BC受壓；

A處：s

=FN/A+M

y/I+M

z/I

zzyymax拉maxmaxB處：s

=FN/A-My/I

-M

z/I

zzyymax壓maxmax應(yīng)力軸力FN

s

=FN/A彎矩Mz

s

=Mz

y/Iz′′彎矩My

s

=Myz/Iy10.3.1

拉(壓)彎組合變形返回主目錄截面上只有沿x方向的正應(yīng)力，是單向應(yīng)力狀態(tài)。強度條件為：

s

[s];s

[s]max拉max壓拉壓51例3：正方形截面立柱，邊長為2a，開槽截面為邊長a

2a的矩形。求開與未開槽截面最大應(yīng)力值之比。aF2aa/2FFNMA2)開槽部分橫截面應(yīng)力:截取研究對象，求截面內(nèi)力。

解：1)未開槽部分橫截面應(yīng)力:

s=FN/A=F/4a2

(壓應(yīng)力)FN=F；M=Fa/2壓彎組合變形且A處壓應(yīng)力最大。由疊加法有：222max26/22/2aFaa

FaaF=+=+=彎壓開槽sss3)最大應(yīng)力值之比為：84//222==aFaFl52例4：矩形截面梁寬b=40mm，高h(yuǎn)=60mm，

L=0.5m。已知[s]=120MPa，試校核其強度。

2)作梁的內(nèi)力圖a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx解：1）求約束力。平衡方程：

SFx=FAx-FCcos30

=0

SMA=FC

2Lsin30

-FL=0

SMB=FL-FAy

2L=0

3)危險截面點在距A為L處，上端危險點壓應(yīng)力最大，且切應(yīng)力為零。解得：FC=10kN；

FAx=8.66kN；FAy=5kN-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN2.5kN·m+M53矩形截面梁寬b=40mm高h(yuǎn)=60mm[s]=120MPa梁軸線上剪應(yīng)力最大：且

tmax=3FS/2bh=35103/(24060)=3.12MPa該處：s彎=0；

s壓=8660/2400=3.6MPa。應(yīng)力小一個量級，強度足夠。應(yīng)力狀態(tài)危險點壓應(yīng)力：MPaWMAFzN120][8.1076040105.266040

1066

.8263maxmax=<=

+=+=ss強度足夠a=30

LABF=10kNLCFCFAyFAx2.5kN·m+M-FN-8.66kN-+FS5kN-5kN54例5立柱在A(y，z)處受力F作用，求柱中最大應(yīng)力。解：截面法求內(nèi)力：

最大壓應(yīng)力：最大拉應(yīng)力：藍(lán)點處綠點處最大應(yīng)力在何處？

FN=F

軸向壓縮；

My=Fz

在xz平面內(nèi)彎曲；

Mz=Fy

在xy平面內(nèi)彎曲。FxyzcAhbFN=FMy=FzMz=Fy22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++=++=壓s22max66hbFzbhFybhFWMWMAFyyzzN++-=++-=拉s55這是yz平面內(nèi)的直線方程：y=0時，z=h/6；z=0時，y=b/6；截面核心：偏心壓縮載荷作用在截面核心內(nèi)，則截面上無拉應(yīng)力。FxyzcAhbyzh/6b/6若不允許受拉(混凝土立柱)，A的極限位置？截面最大拉應(yīng)力應(yīng)為零，即：06622max=++-=hbFzbhFybhF拉s得到：6F

yb+6F

zh-F

bh=0

by+hz=bh/656討論一：矩型截面柱的核心是菱形，圓形柱的核心？zy設(shè)壓縮載荷如圖：FN=F；

M=F

rrF截面核心：

圓截面柱的截面核心是直徑為d/4的圓。

由s=0，有：

32Fr/d=4F

r=d/8

max拉z

d/4最大拉應(yīng)力：32max324dFdFWMAFzNprps+-=+-=￠拉返回主目錄57扭矩T=Mx彎矩Mz彎矩My彎曲剪應(yīng)力通常較小，暫不考慮；拉/壓彎組合已討論。內(nèi)力MxxyzMzoMy應(yīng)力

合成彎矩MxyMzoMyz扭轉(zhuǎn)：t=T/WTmax彎曲：s=M/Wz

max危險點：A、B處。s=-s=s;t=t=t

maxmaxBAABAB22zyMMM+=zABMxyoz

10.3.2

圓軸的彎扭組合變形返回主目錄5810.3.2圓軸的彎扭組合變形強度條件對于圓軸，有：WT=2Wz

=2W=pd3/16;W=pd3/32Bsstt應(yīng)力狀態(tài)危險點應(yīng)力：s=M/Wz

；t=T/WT

；

T=Mx22zyMMM+=)4(21221tsss++=02=s)4(21223tsss+-=主應(yīng)力：][122s￡+TMW][422313stssss￡+=-=r第三強度理論][3224stss￡+=r第四強度理論][75.0122s￡+TMW59彎、扭方法歸納——圓軸的彎扭組合變形研究思路基本變形組合變形內(nèi)力應(yīng)力組合變形構(gòu)件，危險點應(yīng)力狀態(tài)線彈性小變形疊加法MxxyzMzoMy圓軸合成彎矩MzABMxyo強度理論相當(dāng)應(yīng)力

s/s

r3r4s=M/Wt=T/WTBsstt主應(yīng)力？s

、s

、s

123強度條件:][122s￡+TMW][0.75T122s￡+MW60例6傳動軸AB直徑d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C輪直徑d=160mm，D輪直徑d=80mm，

=20

，已知力F1=2kN，[s]=120MPa，試校核軸的強度。12解：1)受力分析,SFx=FAx

=0SMx=F2cosa

d2/2-F1cosa

d1/2=0

F2=4kNSMy=F1sina

AC-F2cosa

AD-FBz

AB=0

FBz=-2.28kNSMz=F1cosa

AC-F2sina

AD+FBy

AB=0

FBy=0.286kNSFZ=FAz-F1sina+F2cosa+FBz=0

FAz=-0.8kNSFy=FAy+F1cosa-F2sina+FBy=0

FAy=-0.8kNaAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz

有平衡方程：61TMyMz0.150.160.05720.160.456ABCD2)求軸的內(nèi)力，3)危險截面：可能是C

或者D

。再考查合成彎矩。繞x軸的扭轉(zhuǎn)：CD段扭矩為：

T=F1cosa

d1/2=0.15kN·mxy面內(nèi)彎曲：無分布載荷，彎矩是各段線性的，且：

MyC=FAy

AC=-0.16kN·m

MyD=FBy

DB=0.0572kN·mxz面內(nèi)彎曲：有：

MzC=FAz

AC=-0.16kN·m

MzD=FBz

DB=-0.456kN·m畫內(nèi)力圖aAF1F2xyzBCDaFByFBzFAyFAxFAz623)危險截面：可能是C

或者D

。再考查合成彎矩。由D

處是危險截面，且

T=0.15kN·m;M=0.46kN·m4)強度校核：強度足夠！22zyMMM+=有mkNMC·226.016.016.022=+=mkNMD·46.0456.0057.022=+=][7715.046.004.0103212233223sps￡=+

=+=MPaTMWr][7615.075.046.004.0103275.012233224sps￡=

+

=+=MPaTMWrTMyMz0.150.160.05720.160.456ABCD63例7：斜齒輪直徑D=400mm，空心軸外徑d=40mm，a=0.5。齒面上受Fy=1kN、Fz=2.4kN及平行于軸線的力Fx=0.8kN作用。[s]=120MPa。試校核軸的強度。解：1）求支反力：SFx=FAx=-Fx=-0.8kNSMy=-0.4FAz-0.2Fz=0

FAz=-1.2kNSMz=0.4FAy-0.2Fx-0.2Fy=0

FAy=0.9kN還有：FBy=0.1kN;FBz=-1.2kN

SMx=FzD/2-M=0

M=0.48kN·m2）畫內(nèi)力圖：200Myx200zFyCFxFzFAyFAxFAzFByFBzFN0.8T0.48My0.24kN·m及FByFyBAFxFAy0.18kN·mMz0.02及FBzFzBAFxFAz643）危險點應(yīng)力：(壓彎扭)危險點：軸C截面外圓周上。3）強度校核：強度足夠！合成彎矩：3.024.018.022=+=MFN0.8T0.48MZ0.24kN·m0.18kN·mMy0.02