行列式的性質(zhì)克萊姆法則和行列式的逆序定義

行列式的性質(zhì)克萊姆法則和行列式的逆序定義（三）行列式的展開(kāi)定理：1.行列式可按任一行（列）展開(kāi)。4.（裂項(xiàng)）某行（列）元素為多項(xiàng)和，可按此行（列）裂為多個(gè)行列式相加；5.（加倍）某行（列）元素乘數(shù)k加到另一行（列），值不變。二、簡(jiǎn)單行列式的計(jì)算：1.直接判斷為零；2.降階法：按多零的行（列）展開(kāi)

（也可以利用性質(zhì)把某一行（列）元素盡可能多化為零）；第2頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.化為三角行列式。第3頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天課后思考：的值

的值有什么關(guān)系？與第4頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析：只對(duì)前k行運(yùn)算，不影響后n行只對(duì)后n行列運(yùn)算，不影響前k列第5頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：計(jì)算元素為很大數(shù)字的行列式注：行（列）等和行列式把后面各列(行）加到第一列(行），提取公因式。常用方法是將其他各行（列）元素表示成某行（列）元素的倍式加或減一個(gè)較小的數(shù)。第6頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5解：從第二行起，每行都加第一行，得：課本P19EX5(2)第7頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6解：從第二行，每行都減第一行，得：課本P19EX5(3)第8頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天注：逐次行（列）相加減，化簡(jiǎn)行列式，也是求行列式的一種常見(jiàn)方法。思考：計(jì)算n階行列式：第9頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天提示：先把第一行加到第二行，然后再把第二行加到第三行，依此下去，最后把第n行加到第n+1行。第10頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天提示：從第一行起，每一行都減去其下一行。（P23例4）第11頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、行列式的其他常見(jiàn)計(jì)算方法簡(jiǎn)介：2.數(shù)學(xué)歸納法：4.加邊法（添加一行一列，變成n+1階再求解）；3.遞推法：找出n階行列式與其結(jié)構(gòu)相同的較低階行列式的關(guān)系再求解；

如范德蒙行列式的計(jì)算（課本24頁(yè)例5）；1.按定義：不同行不同列元素乘積的代數(shù)和；5.折成行列式之積（或和）；6.作輔助行列式；(在介紹行列式的逆序定義后介紹）······第12頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3克萊姆法則一、齊次與非齊次線性方程組的概念對(duì)線性方程組若常數(shù)項(xiàng)全為零，則此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組。若常數(shù)項(xiàng)不全為零，則此時(shí)稱方程組為非齊次線性方程組。第13頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果由n個(gè)方程構(gòu)成的n元線性方程組：的系數(shù)行列式，則方程組有唯一解：其中，Dj是把系數(shù)行列式第j列元素對(duì)應(yīng)換為方程組的常數(shù)項(xiàng)所得的行列式。二、克萊姆法則：（證明留待下一章進(jìn)行）第14頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：用克萊姆法則解線性方程組：解：第15頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天第16頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天（課本29頁(yè)例1）第17頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天則其只有零解:.推論1：若齊次線性方程組(1)的系數(shù)行列式，注：運(yùn)用克萊姆法則的兩個(gè)前提：1.方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等；2.系數(shù)行列式不等于零。三、關(guān)于n個(gè)方程構(gòu)成的n元齊次線性方程組的定理：注：事實(shí)上，一定是(1)的解。(1)第18頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論2：若齊次線性方程組(1)有非零解，則其系數(shù)行列式.（推論1的逆否命題）例：若方程組有非零解，求解：方程組有非零解時(shí)第19頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：P32EX5、6第20頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、排列例如：3251453214都是5級(jí)排列。思考：n個(gè)數(shù)的不同排列有多少個(gè)？自然排列：按數(shù)的大小次序，由小到大排列。除自然排列之外，任一n級(jí)排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小數(shù)碼之前的情況。定義：由自然數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。12345n!個(gè)51214都不是5級(jí)排列。23456§4行列式的逆序定義第21頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為.例：二、逆序與逆序數(shù)如：32514中的3和2構(gòu)成一個(gè)逆序。第22頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列。偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列。三、奇排列與偶排列如：32514如：31524四、對(duì)換把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)保持不動(dòng)，得到另一個(gè)排列，這一變換稱為一個(gè)對(duì)換。五、主要結(jié)論定理：對(duì)換改變排列的奇偶性。第23頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天經(jīng)過(guò)

次相鄰對(duì)換分析：設(shè)某一n級(jí)排列：除i和

j相對(duì)位置改變外，其余任兩數(shù)順序都沒(méi)改變，逆序增加或減少一個(gè)。結(jié)論：相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性。2.一般對(duì)換經(jīng)過(guò)

次相鄰對(duì)換1.相鄰對(duì)換共經(jīng)過(guò)次相鄰對(duì)換。奇數(shù)次s+1s2s+1第24頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：

所有的n（）級(jí)排列中，奇偶排列各占一半，各為個(gè)。第25頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天特點(diǎn)：(2)各項(xiàng)是不同行不同列元素乘積。(1)是3!=6項(xiàng)的代數(shù)和。即：各項(xiàng)可寫成六、行列式的定義觀察各項(xiàng)列標(biāo)排列，123231312321213132偶排列偶排列偶排列奇排列奇排列奇排列各項(xiàng)符號(hào)是（行標(biāo)自然排列）1.以三階行列式為例：N()正負(fù)項(xiàng)各一半。N()N()N()N()=1N()=1=0=2=2=3第26頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以三階行列式可定義為：

是3級(jí)排列不同行不同列的3個(gè)元素乘積冠以符號(hào)取遍所有的3級(jí)排列并求和第27頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.n階行列式的定義：

是n級(jí)排列共n!項(xiàng)的代數(shù)和。