湖南省瀏陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷

2023年下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)（時(shí)量：120分鐘總分：150分考試形式：閉卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的概念即可求解.【詳解】由題意，所以.故選：C.2.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得，再運(yùn)用二倍角公式解決即可.【詳解】由題得，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，若角的終邊過(guò)點(diǎn)，所以,所以，所以，故選：A3.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則（）．A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)列方程求出，代入計(jì)算即可.【詳解】由是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)得，解得，.

故選：B.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由零點(diǎn)的存在性定理求解即可【詳解】∵，，，，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理知，函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為．故選：B5.“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先分別解出指數(shù)不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案.【詳解】，或，可以推出或，當(dāng)或不能推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.函數(shù)的圖像大致為（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和區(qū)間內(nèi)的值域，用排除法得到圖像.【詳解】函數(shù)，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱，排除AB選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)；故選：C7.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，即可根據(jù)單調(diào)性解不等式得出答案.【詳解】函數(shù)中，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，，，解得：，即不等式的解集為.故選：D.8.對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，，若存在，，使得，則稱和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的零點(diǎn)，得出的零點(diǎn)的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組得出a的范圍．【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，任取，有，，，則，即，所以在上單調(diào)遞增，由，∴只有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則在上存在零點(diǎn)．，解得或（1）當(dāng)，即，存在唯一零點(diǎn)，時(shí)，符合題意；時(shí)，不符合題意；（2）當(dāng)，即或，，；，；若在上只有1個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得．若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩個(gè)命題：（1）若，則；（2）若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．則下列說(shuō)法正確的是（）A.命題（2）是全稱量詞命題B.命題（1）否定為：存在C.命題（2）的否定是：存在四邊形不是等腰梯形，這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等D.命題（1）和（2）被否定后，都是真命題【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，由全稱量詞命題的定義即可判斷；對(duì)于BC，由命題否定的定義即可判斷；由命題及其否定的真假性的關(guān)系即可得解.【詳解】對(duì)于A，若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．等價(jià)于“對(duì)于任意一個(gè)等腰梯形而言，它的對(duì)角線都相等”，故A正確；對(duì)于B，命題（1）的否定為：存在，故B正確；對(duì)于C，命題（2）的否定是：存在四邊形是等腰梯形，這個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于命題（2）：“若四邊形為等腰梯形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．”是真命題，所以它的否定是假命題，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.函數(shù)（是常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將的圖象向左平移個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)D.【答案】BD【解析】【分析】由圖象求出函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)驗(yàn)證各選項(xiàng)的結(jié)論是否正確.【詳解】由圖象可知，，，函數(shù)最小正周期，，，即，由，得，所以，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，是正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確；將的圖象向左平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，其中，不是函數(shù)最值，軸不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，不是偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BD11.設(shè)，，，以下四個(gè)命題中正確的是（）．A.若為定值，則有最大值B.若，則有最大值4C.若，則有最小值4D.若總成立，則的取值范圍為【答案】CD【解析】【分析】對(duì)A，利用均值不等式判斷；對(duì)B，C構(gòu)造不等式，解不等求得最值，判斷是否正確；對(duì)D，分離變量，轉(zhuǎn)化為恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范圍，得到是否正確.【詳解】為定值時(shí)，應(yīng)有最小值，∴A不正確；當(dāng)時(shí)，，∴B不正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，∴C正確；由，又，∴，∴，∴D正確．故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求最值，構(gòu)造不等式求最值，屬于中檔題.12.我們把定義域?yàn)榍彝瑫r(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：（1）對(duì)任意的，總有；（2）若，，則有成立.下列判斷正確的是（）A.若為“函數(shù)”，則B.函數(shù)在上是“函數(shù)”C.函數(shù)在上是“函數(shù)”D.若為“函數(shù)”，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)“函數(shù)”的定義，使用賦值法可判斷AB；按照“函數(shù)”的定義直接判斷可知C；利用定義作差，可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，由（1）知，由（2）得時(shí)，，即，∴，故A正確；B選項(xiàng)，顯然滿足（1），若x，，則，，若x，，設(shè)，，則，，與（2）不符，故B不正確；C選項(xiàng)，，∵，∴，滿足（1），，滿足（2），故C正確；D選項(xiàng)，∵，∴，∵，∴，∴，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知集合，且，則實(shí)數(shù)值為_(kāi)__________.【答案】3【解析】【分析】由集合的元素，以及，分類討論，結(jié)合集合元素互異性，即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題可得，若，則，不滿足集合元素互異性，舍去；若，解得或，其中不滿足集合元素的互異性，舍去，所以.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查集合元素的互異性，結(jié)合元素與集合關(guān)系以及通過(guò)對(duì)集合中元素構(gòu)成的特點(diǎn)求參數(shù)值.14.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求得.【詳解】是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意.所以的值為.故答案為：15.已知，若，則___________.【答案】8【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則直接求解．詳解】解：由，且所以是方程的兩根，解得或，又，所以，即，又從而，且，則，．所以.故答案為：8.16.已知函數(shù)，關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】通過(guò)數(shù)形結(jié)合，首先研究方程的根的情況，結(jié)合以及已知條件可知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，且，由此即可得解.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象與直線的圖象如圖所示：由圖可知當(dāng)或時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的根，由題意可知，關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，且不妨設(shè)，由韋達(dá)定理得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是由關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)解，得到關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根，且滿足，由此即可順利得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合或．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由補(bǔ)集、并集的概念即可求解.（2）由包含關(guān)系分類討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，或，所以，因此，.小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，則時(shí)，即當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，此時(shí)．綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知都是銳角，（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系以及兩角和差的正弦公式即可求解.（2）由平方關(guān)系以及兩角和差的正切公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】已知都是銳角，．，.【小問(wèn)2詳解】已知都是銳角，，，，．19.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量與時(shí)間之間的關(guān)系式為．已知5h后消除了10%的污染物，試求：（1）后還剩百分之幾的污染物：（2）污染物減少50%所需的時(shí)間．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）10個(gè)小時(shí)后還剩的污染物.（2）污染物減少50%所需要的時(shí)間為35個(gè)小時(shí).【解析】【分析】(1)由5小時(shí)后剩留的污染物列等式求出中k的值，得到具體關(guān)系式后代求得10個(gè)小時(shí)后還剩污染物的百分?jǐn)?shù)；(2)由污染物減少50%,即列等式有求解污染物減少50%所需要的時(shí)間.【小問(wèn)1詳解】(1)由.可知時(shí),當(dāng)時(shí).,所以,當(dāng)時(shí),,所以10個(gè)小時(shí)后還剩的污染物.【小問(wèn)2詳解】(2)當(dāng)時(shí),有,解得,所以污染物減少50%所需要的時(shí)間為35個(gè)小時(shí).20.已知.（1）求的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)得，則，，，解出即可；（2）由范圍有，結(jié)合正弦函數(shù)的最值即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】依題意得：，則，由，，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以在時(shí)的最大值和最小值分別為：，．21.比亞迪是我國(guó)乃至全世界新能源電動(dòng)車的排頭兵，新能源電動(dòng)車汽車主要采用電能作為動(dòng)力來(lái)源，目前比較常見(jiàn)的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車、純電動(dòng)汽車．有關(guān)部門(mén)在國(guó)道上對(duì)比亞迪某型號(hào)純電動(dòng)汽車進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速．經(jīng)數(shù)次測(cè)試，得到該純電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：01040600142044806720為了描述該純電動(dòng)汽車國(guó)道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；．（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)純電動(dòng)汽車從重慶育才中學(xué)行駛到成都七中，其中，國(guó)道上行駛，高速上行駛．假設(shè)該電動(dòng)汽車在國(guó)道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國(guó)道上每小時(shí)的耗電量與速度的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足）．則當(dāng)國(guó)道和高速上的車速分別為多少時(shí)，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？【答案】（1）選①，（2）當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為，在國(guó)道上的行駛速度為最少，最少為．【解析】【分析】（1）利用表格中數(shù)據(jù)進(jìn)行排除即可得解；（2）在分段函數(shù)中分別利用均值不等式和二次函數(shù)求出最值即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，故不符合題意，對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，又，所以，故不符合題意，故選①，由表中的數(shù)據(jù)可得，，解得∴．【小問(wèn)2詳解】解：高速上行駛，所用時(shí)間為，則所耗電量為，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，∴，國(guó)道上行駛，所用時(shí)間為，則所耗電量為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為，在國(guó)道上的行駛速度為時(shí)，該車從重慶育才中學(xué)行駛到成都七中的總耗電量最少，最少為．22.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都存在滿足，則稱函數(shù)為“自均值函數(shù)”，其中稱為的“自均值數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“自均值函數(shù)”，并說(shuō)明理由：（2）若函數(shù)，為“自均值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)，有且僅有1個(gè)“自均值數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）不是，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）或.【解析】【分析】(1)假定函數(shù)是“自均值函數(shù)”，由函數(shù)的值域與函數(shù)的值域關(guān)系判斷作答.(2)根據(jù)給定定義可得函數(shù)在上的值域包含函數(shù)在上的值域，由此推理計(jì)算作答.(3)根據(jù)給定定義可得函數(shù)在上的值域包含函數(shù)在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】假定函數(shù)是“自均值函數(shù)”，顯然定義域?yàn)镽，則存在，對(duì)于，存在，有，即，依題意，函數(shù)在R上的值域應(yīng)包含函數(shù)在R上的值域，而當(dāng)時(shí)，值域是，當(dāng)時(shí)，的值域是R，顯然不包含R，所以函數(shù)不是“自均值函數(shù)”.【小問(wèn)2詳解】依題意，存在，對(duì)于，存在，有，即，當(dāng)時(shí)，的值域是，因此在的值域包含，當(dāng)時(shí)，而，則，若，則，，此時(shí)值域的區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)，而區(qū)間長(zhǎng)度為1，不符合題意，于是得，，要在的值域包含，則在的最小值小