隨機(jī)過程的功率譜密度

隨機(jī)過程的功率譜密度§3.1功率譜密度函數(shù)3.1.1確定信號(hào)的頻譜和能量譜密度

第2頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.1功率譜密度函數(shù)3.1.1確定信號(hào)的頻譜和能量譜密度確定信號(hào)是在的非周期實(shí)函數(shù)，的傅立葉變換存在的充要條件是：(1).滿足狄利赫利條件(2).總能量有限，即第3頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天則信號(hào)的傅立葉變換為傅立葉反變換為根據(jù)巴塞伐(Parseval)定理(總能量的譜表達(dá)式)

稱為信號(hào)的能量譜密度。第4頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.1.2隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉存在的絕對(duì)可積和能量可積條件，傅立葉不存在。圖3-1樣本函數(shù)第5頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天采取截?cái)嗪瘮?shù)規(guī)范化隨機(jī)信號(hào)，使之滿足傅立葉變換條件。截?cái)嗪瘮?shù)定義為：圖3-2及截?cái)嗪瘮?shù)

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0第6頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天

當(dāng)T為有限值時(shí)，截?cái)嗪瘮?shù)滿足傅立葉變換條件，傅立葉變換為傅立葉反變換為由巴塞伐定理得對(duì)上式兩邊除2T第7頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第8頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天樣本函數(shù)在時(shí)間區(qū)間的平均功率。由于樣本函數(shù)是隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)，取決于隨機(jī)試驗(yàn)，平均功率具有隨機(jī)性?？刹捎眉掀骄龢颖竞瘮?shù)的隨機(jī)性，即兩邊取極限第9頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天若設(shè)上式表示為

稱為隨機(jī)過程的功率譜密度。如隨機(jī)過程是寬平穩(wěn)過程時(shí)，則第10頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.2功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系及其性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間域上描述隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的重要特征。功率譜密度是從頻率域上描述隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的重要特征。自相關(guān)函數(shù)功率譜密度？自相關(guān)函數(shù)功率譜密度隨機(jī)過程?timefrequency圖3-3功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)第11頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2.1維納—辛欽定理平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度有如下關(guān)系：證明：由功率譜密度函數(shù)定義功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是傅立葉變換對(duì)第12頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天在區(qū)間定義則有令則

得證。功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)時(shí)間平均值是傅立葉變換對(duì)第13頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2.2功率譜密度的性質(zhì)1.功率譜密度為非負(fù)實(shí)函數(shù)，即證明:根據(jù)功率譜密度定義2.功率譜密度函數(shù)為的偶函數(shù),即第14頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天

證明:由功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系同理

第15頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度是可積函數(shù),即證明:對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程有平穩(wěn)隨機(jī)過程的均方值有限平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度可積,即第16頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.功率譜與相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)各經(jīng)歷態(tài)過程第17頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖3-4隨機(jī)過程及其功率譜密度函數(shù)非負(fù)實(shí)數(shù)可積偶函數(shù)第18頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2.3功率譜與平均功率平均功率是功率譜在頻率空間的積分證明：平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)第19頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.特定頻率上平均功率3.單邊譜密度與雙邊譜密度物理譜密度函數(shù)第20頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天

－函數(shù)功率譜密度指單位帶寬上平均功率；直流與周期平穩(wěn)隨機(jī)過程在頻率軸有離散譜線；圖3-5周期平穩(wěn)隨機(jī)過程及其功率譜密度零帶寬上有限功率無限的功率譜密度第21頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天隨機(jī)過程的功率譜密度不一定可積，即－函數(shù)圖3-6－函數(shù)第22頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天利用－函數(shù)，含有直流分量或周期分量的平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度可表示為圖3-7直流分量圖3-8周期分量第23頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天若功率譜密度函數(shù)為常數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)為—函數(shù)。圖3-9常功率譜函數(shù)圖3-10自相關(guān)函數(shù)第24頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-1平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為求該隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。解：由維納－辛欽定理，有第25頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖3-11例3-1第26頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.2.4幾種常見的與

第27頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-2已知平穩(wěn)隨機(jī)過程，具有功率譜密度為求該過程的自相關(guān)函數(shù)。解：由上例可知，若自相關(guān)函數(shù)具有的形式，則功率譜密度為，本題中則自相關(guān)函數(shù)具有如下形式第28頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天顯然因此所以自相關(guān)函數(shù)為第29頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)時(shí)間和等效功率譜帶寬自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)程度。功率譜密度函數(shù)描述隨機(jī)過程的平均功率沿頻率軸的分布。自相關(guān)時(shí)間從數(shù)量上直觀描述隨機(jī)過程的在時(shí)間上關(guān)聯(lián)范圍。等效功率帶寬從數(shù)量上直觀描述隨機(jī)過程在頻率上分布范圍。第30頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.3.1自相關(guān)時(shí)間相同的數(shù)學(xué)期望相同的方差(a)(b)圖3-12和的樣本函數(shù)曲線(b)圖3-13和的自相關(guān)函數(shù)(a)第31頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)?，有由于擴(kuò)展比要大一些，因此

能描述相關(guān)程度(b)(a)圖3-14自相關(guān)時(shí)間第32頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天自相關(guān)時(shí)間定義：通常，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為與的相關(guān)性已經(jīng)很弱，實(shí)際上已經(jīng)不相關(guān)了。第33頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.3.2等效功率譜帶寬(a)(b)圖3-15和的樣本函數(shù)曲線相同的數(shù)學(xué)期望相同的方差(a)(b)圖3-15功率譜第34頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天因?yàn)椋宜?/p>

能描述出隨機(jī)過程起伏程度圖3-15等效功率帶寬第35頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天等效功率帶寬定義：通常，說明了中起伏的最高頻率。第36頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.3.3時(shí)間帶寬乘積

變化緩慢，變化快，；起伏頻繁程度低，變化起伏頻繁程度高，。時(shí)間帶寬乘積：(a)(b)圖3-16和的樣本函數(shù)曲線相同的數(shù)學(xué)期望相同的方差常數(shù)第37頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-3設(shè)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為試求該隨機(jī)過程的自相關(guān)時(shí)間和等效功率譜帶寬。解：由自相關(guān)函數(shù)定義第38頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天等效功率譜帶寬第39頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3-4已知平穩(wěn)過程的譜密度為求的自相關(guān)函數(shù)，自相關(guān)時(shí)間和等效帶寬。解：由自相關(guān)函數(shù)與功率譜關(guān)系有第40頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天第41頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖3-17例3-4第42頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.4聯(lián)合平穩(wěn)過程的互功率譜密度自相關(guān)函數(shù)反映隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)程度?；ハ嚓P(guān)函數(shù)反映多個(gè)隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的關(guān)聯(lián)程度。功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)第43頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.4.1互功率譜隨機(jī)過程的樣本函數(shù)不滿足傅立葉存在的絕對(duì)可積和能量可積條件。采取截?cái)嗪瘮?shù)規(guī)范化隨機(jī)信號(hào)，使之滿足傅立葉變換條件。第44頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0圖3-18樣本函數(shù)及截?cái)嗪瘮?shù)

保留有限區(qū)間的數(shù)據(jù)置其它區(qū)間為0第45頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天

截?cái)嗪瘮?shù)和滿足傅立葉變換的絕對(duì)可積和能量有限條件，即傅立葉變換分別為第46頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天在時(shí)間范圍內(nèi)，和的互功率為據(jù)巴塞伐定理用代換，則有互功率也可表示為第47頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于和具有隨機(jī)性，、和也具有隨機(jī)性；為消除單一樣本的隨機(jī)性，采取樣本的統(tǒng)計(jì)平均來得到隨機(jī)過程和的互功率。將時(shí)間范圍擴(kuò)展至，即

設(shè)則

互功率譜密度第48頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.4.2互功率譜的物理意義設(shè)實(shí)隨機(jī)過程，它由兩隨機(jī)過程和相加：自相關(guān)函數(shù)為第49頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天

對(duì)自相關(guān)函數(shù)取時(shí)間平均則的功率譜密度為是和絞聯(lián)、耦合部分在頻率空間上的表現(xiàn)。第50頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.4.3互功率譜與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系1.兩個(gè)隨機(jī)過程和的互相關(guān)函數(shù)和互功率譜之間滿足其中第51頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：根據(jù)互功率譜定義有由傅立葉變換第52頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.若隨機(jī)過程和聯(lián)合平穩(wěn)，互相關(guān)函數(shù)和互功率譜之間滿足證明：據(jù)聯(lián)合平穩(wěn)過程的性質(zhì)，有將其帶入一般關(guān)系式，就可得此關(guān)系。第53頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.4.4互功率譜性質(zhì)1.2.3.若隨機(jī)過程和正交，則4.若隨機(jī)過程和不相關(guān)，且的均值為常數(shù)，則第54頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.5白噪聲和色噪聲按功率譜密度函數(shù)的形狀，可分為白噪聲和有色噪聲；白噪聲可分為理想白噪聲和帶限白噪聲。功率譜函數(shù)形狀理想白噪聲帶限白噪聲第55頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天(a)(b)圖3-19色噪聲(a)和白噪聲(b)第56頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天(a)(b)圖3-20理想白噪聲(a)和帶限白噪聲(b)第57頁(yè),共63頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.5.1理想白噪聲定義：若為一個(gè)具有零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度均勻分布在的整個(gè)區(qū)間，即其中