2024高考數(shù)學二輪復習講義：圓錐曲線高考大題分類講解

圓錐曲線高考大題的類型與解法

圓錐曲線問題是近幾年高考的熱點問題之一,可以這樣毫不夸張地說,只要是數(shù)學高考試卷,

都必有一個圓錐曲線問題的12分大題。從題型上看是20（或21）題的12分大題，難度為

中，高檔題型，一般的考生都只能拿到4到10分?？v觀近幾年高考試卷，歸結起來圓錐曲

線大題問題主要包括：①已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求直線方程（或直

線的斜率）；②已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求多邊形的面積（或多邊

形面積的最值）；③已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求某個式子的值（或取

值范圍）和證明某個式子的值為定值；④已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求

點的坐標（或點的軌跡方程）；⑤己知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，證明直線

過定點（或點在定直線上）等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也

有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答圓錐曲線大題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特

征，快捷，準確地予以解答呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。

【典例1］解答下列問題：

2

尤2v1

1、（理）已知橢圓E：—+（a>b>0）的離心率為一，橢圓E上的點到其左，右焦點

a-b-2

的距離之和為4o

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過左焦點F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點，M為AB的中點，O為坐標原點，

若橢圓E上存在點N滿足ON=XOM（A>0）,求四邊形AOBN面積的最小值及此時X

的值。

x~y~1

（文）已知橢圓E：—+-^-=1（a>b>0）的離心率為5,橢圓E上的點到其左，右焦點的

距離之和為4。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過左焦點F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點，M為AB的中點，O為坐標原點，

若橢圓E上存在點N滿足ON=3OM,求四邊形AOBN的面積（成都市高2021級高三零

診）

2、設拋物線C：y2=2px（p>0）,直線x-2y+l=0與C相交于A,B兩點，且|AB|=4Ji5。

（1）求p；（2023全國高考甲卷）

（2）設C的焦點為EM,N為C上兩點，MF.NF=0,求AMNF面積的最小值。

3、在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0,1）的距離，記動點P的

軌跡為W。

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明矩形的周長大于3百（2023全國高考新高

考I）

r2v2

4、已知橢圓E：r+二勺（a>b>0）的右焦點為K，上頂點為H,0為坐標原點，

a2b2

3

NOHKuBO-，點（1,-）在橢圓,E上。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設經(jīng)過點F2且斜率不為0的直線1與橢圓E相交于A,B兩點，點P（-2,0）,Q（2,

0）,若M,N分別為直線AP,BQ與Y軸的交點，AMPQ,ANPQ的面積分別為4.躅，SANPQ

5

求上絲的值（成都市2020級高三零診）

。附PQ

%2y2

5、已知點A（2,1）在雙曲線C：—=1（a>l）上，直線1交C于P,Q兩點，直

a~a-

線AP,AQ的斜率之和為0。

（1）求直線1的斜率；

（2）若tan/PAQ=2也，求APAQ的面積（2022全國高考新高考I卷）

22

6、（理）已知橢圓C：*?+親*=1（a>b>0）的左，右焦點分別為大，工，點P在橢圓C

上，|PF,|=3,N燈&二3,且橢圓C的離心率為:。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線1：y=kx+m（mWO）與橢圓C相交于A,B兩點，O為坐標原點，求AOAB

面積的最大值。

22

（文）已知橢圓C：5+方=1（a>b>0）的左，右焦點分別為入，點P在橢圓C上,

FPF=11

|P6|=2,ZI!J'且橢圓C的離心率為5（成都市2019級高三零診）

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過點M（3,0）直線1與橢圓C相交于A,B兩點，求AABK面積的最大值。

221

7、（理）已知橢圓C：二+2=1（a>b>0）經(jīng)過點（6，-）,其右頂點為A（2,0）。

a~b-2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點P,Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為求AAPQ面積的

20

最大值。

22i

（文）已知橢圓C：「+與=1（a>b>0）經(jīng)過點（也,-）,其右頂點為A（2,0）。

a2b22

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點P,Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為卷，證明直線PQ經(jīng)過

定點，并求AAPQ面積的最大值（成都市2019級高三二診）

8、（理）已知拋物線C：f=2py（p>0）的焦點為F,且F與圓M：/+（），+4）2=［上點

的距離的最小值為4（2021全國高考乙卷）。

（1）求P；

（2）若點P在M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求APAB面積的最大值。

（文）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F到準線的距離為2。

（1）求C的方程；

（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足PQ=9QF,求直線OQ斜率的最大值。

9、已知橢圓C：―+g"=1（a>b>0）經(jīng)過點A（1,-----）,其長半軸長為2。

a2b-2

（1）求橢圓C的方程；

（2）（理）設經(jīng)過點B（-1,0）的直線1與橢圓C相交于D,E兩點，點E關于X軸的對

稱點為F,直線DF與X軸相交于點G,求ADEG的面積S的取值范圍。（文）設經(jīng)過點B

（-1.0）的直線1與橢圓C相交于D,E兩點，點E關于X軸的對稱點為F,直線DF與X

軸相交于點G,記ABEG與ABDG的面積分別為S1,S2,求|S「S?|的最大值（2021成都

市高三二診）。

10、已知橢圓C：￡+廣=1（a>b>0）的左，右焦點分別為石（-G,0）,F,(V3,0),

a1b-

且經(jīng)過點A（73,-）（2020成都市高三零診）。

2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）（理）過點B（4,0）作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，記點P

關于X軸對稱的點為P,若直線P'Q與X軸相較于點D,求ADPQ面積的最大值。

（文）過點B（4,0）作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，記點P關于X

軸對稱的點為P,證明直線P'Q經(jīng)過X軸上一定點D,并求出定點D的坐標。

22［7T

11、已知橢圓C：---F2y=l（0<m<5）的離心率為——,A>B分別為C的左，右頂點。

25m-4

（1）求C的方程;

（2）若點P在C上，點Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求AAPQ的面積（2020

全國高考新課標HD。

12、已知橢圓C：二+￡=1（a>b>0）過點M（2,3）,點A為其左頂點，且AM的斜率

crb-

為工（2020全國高考新高考H）。

2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）N為橢圓上任意一點，求AAMN面積的最大值。

［思考問題1J

（1）【典例1】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，

②所求問題是多邊形面積（或周長）的值（或取值范圍或最值）；

（2）解答這類問題的基本思路是：：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不

存在的情況，為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方

程為：x=my+n,meR）,運用點斜式，寫出直線的方程；②聯(lián)立直線方程與曲線方程消去

一個未知數(shù)化為關于x（或y）的一元二次方程；③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參

數(shù)k（或m）的式子，并根據(jù)直線方程求出問題中需要的其他量關于參數(shù)k（或m）的式子；

④運用多邊形面積的相關知識把多邊形的面積表示成關于參數(shù)的函數(shù);⑤求出關于參數(shù)的函

數(shù)值（或值域或最值）；⑥得出問題的結果。

【典例2］解答下列問題：

1、設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F,點D（p,0）,過點F的直線交C于M,N

兩點，當直線MD垂直于X軸時，|MF|=3。

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線AB,MN的傾斜角分別為a,

B,當a-夕取得最大值時，求直線AB的方程（2022全國高考甲卷）

2、已知橢圓C：餐+方=1（a>b>0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2氐右焦點工

到直線x-y+2=0的距離為2&（2021成都市高三三診）。

（1）求橢圓C的方程；

（2）（理）過點M（-3,0）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，過點工作直線?的垂線，

垂足為N（點A,B在點M,N之間），若AA工M與△BF?N面積相等，求直線1的方程。

（文）過點M（-3,0）的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，過點K作直線1的垂線，垂

足為N（點A,B在點M,N之間），若|MA|=|BN|,求直線1的方程。

3、在平面直角坐標系XOY中，已知點耳（-J萬，0）,6（J萬，0）,點M滿足|M片HMF21=2,

記M的軌跡為C。

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線x=L上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|.|TB|

2

=|TP|.|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和（2021全國高考新高考I卷）。

4、拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在X軸上，直線l：x=l交C于P,Q兩點，且OPLOQ,

已知點M（2,0）,0M與1相切。

（1）求C,OM的方程；

（2）設&,4,A3是C上的三個點，直線A,A2,4A3均與。M相切，判斷A2A3與。M

的位置關系，并說明理由（2021全國高考甲卷）。

22

5、（理）已知橢圓C：=+2=1（a>b>0）的右頂點為A,上頂點為B（0,1）,右焦點

ab~

為F,連接BF并延長與橢圓C相交于點C,且|CF|=-|BF|,

7

（1）求橢圓C的方程；

（2）設經(jīng)過點（1,0）的直線1與橢圓C相交于不同的兩點M,N,直線AM,AN分別與

直線x=3相交于點P,點Q,若AAPQ的面積是AAMN的面積的2倍。求直線1的方程。

22n6

（文）已知橢圓C：——+=1（a>b>0）的離心率為，且經(jīng)過點（、/5,）。

a2b~22

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在經(jīng)過點（0,2）的直線與橢圓C相交于不同的兩點M,N,使得M,N與Y

軸上的一點P連線后組成以P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出直線1的方程；

若不存在，請說明理由（2019成都市高三零診）

6、（理）已知長度為4的線段AB的兩個端點A,B分別在X軸和Y軸上運動，動點P滿

足記動點P的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程；

（2）設不經(jīng)過點H（0,1）的直線y=2x+t,與曲線C相交于兩點M,N,若直線HM與

HN的斜率之和為1,求實數(shù)t的值。

（文）已知點A（m,0）和B（0,n）,且機2+"二⑹動點P滿足BP=3PA,記動點P

的軌跡為曲線c。

（1）求曲線C的方程；

（2）設不經(jīng)過點H（0,1）的直線y=2x+t,與曲線C相交于兩點M,N,若直線HM與

HN的斜率之和為I,求實數(shù)t的值（2019成都市高三一診）

221

7、已知橢圓C：=+與=1（a>b>0）的短軸長為40,離心率為L

a-b-3

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）（理）設橢圓C的左右焦點分別為石，F(xiàn)2,左右頂點分別為A,B,點M,N為橢圓

C設位于X軸上方的兩點，且-NWFzN,記直線AM,BN的斜率分別為匕，k2,若3匕

+2刈=0,求直線"M/的方程。（文）設橢圓C的左右焦點分別為耳，居，左右頂點分別

為A,B,點M,N為橢圓C設位于X軸上方的兩點，且F1M〃F2N,直線6M的斜率為

276,記直線AM,BN的斜率分別為仁，k2,求3占+2網(wǎng)的值（2019成都市高三二診）

r思考問題2j

（1）【典例2】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，

②所求問題是直線的方程或直線斜率的值（或取值范圍）；

（2）解答這類問題的基本思路是：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不存

在的情況，為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程

為：x=my+n,meR）,然后運用點斜式，寫出直線的方程；②聯(lián)立直線方程與曲線方程，

消去一個未知數(shù)化為關于x（或y）的一元二次方程；③運用韋達定理得到兩根的和與積關

于參數(shù)k（或m）的式子，并根據(jù)直線方程求出問題中需要的其他量關于參數(shù)k（或m）的式

子；④結合問題條件得到關于參數(shù)k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同兩點的

條件）；⑤求解方程（或不等式）求出參數(shù)k（或m）的值；⑥得出問題的結果。

【典例3］解答下列問題：

1、（理）已知月，尸2分別為橢圓C：—+^=1（a>b>0）的左，右焦點，與橢圓C有相

V2

同焦點的雙曲線1-丁=1在第一象限與橢圓c相交于點P,且「尸2仁1。

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線y=kx+l與橢圓C相交于A,B兩點，O為坐標原點，且0￡）=m08（m>0）,

若橢圓C上存在點E,使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍。

（文）已知中心為原點，對稱軸為坐標軸的橢圓C經(jīng)過點,巫）,Q（瓜，空）。

33

（1）求橢圓C的方程;

(2)設過點(0,1)的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，2OD=3OB,OE=OD+OA,

且點E在橢圓C上，求直線1的方程(成都市高2020級高三二診)

22

2、設雙曲線C：=-[=1(a>0,b>0)的右焦點為F(2,0),漸近線方程為y=±百x。

a~b~

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別相交于A,B兩點，點P(%,%)，Q(%，乂)，

在C上，且不>%>0，%>0,過點P且斜率為-6的直線與過點Q且斜率為G的直線相

交于點M,請從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個條件成立。①M在AB上；②

PQ//AB,③=注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分(2022全國

高考新高考11卷)

3、已知拋物線C：y2=2px(p>0,pH4),過點A(2,0)且斜率為k的直線與拋物線C

相交于P,Q兩點。

(1)設點B在x軸上，分別記直線PB,QB的斜率為占，k2,若尤+&=0,求點B的坐

標；

(2)過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M,N兩點，求-Ml

\AP\.\AQ\

的值(成都市2019級高三一診)

4、(理)已知橢圓E：/+F=1(a>b>0)的左，右焦點分別為《(-1,0),F,(1,

0)，點P在橢圓E上，PF21F,F2,且|P6|=3|PFJ。

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設直線1：x=my+l(meR)與橢圓E相較于A,B兩點，與圓/+y)=/相較于C,D

兩點，求|AB|.|CD/的取值范圍。

22

(文)已知橢圓E：^-+^-=1(a>b>0)的左，右焦點分別為R(-1,0),F,(1,0),

a~b~

點P（1,—）在橢圓E上。

2

（I）求橢圓E的標準方程;

（2）設直線1:*=01丫+1（111€咫與橢圓￡相較于八，B兩點，與圓％2+》2=〃2相較于c,D

兩點，當|AB|.|CD/的值為8貶時，求直線1的方程（2020成都市高三二診）。

5、己知橢圓C：=+［=1（a>b>0）的左焦點為6（-G，0）,點Q（1,—）

a2b-2

在橢圓C上（2020成都市高三三診）。

（1）求橢圓C的標準方程：

（2）經(jīng)過圓O：Y+），=5上一動點P作橢圓C的兩條切線，切點分別記為A,B,直線

PA,PB分別與圓O相較于異于點P的M,N兩點。

（理）①求證：OM+ON=0；②求AOAB的面積的取值范圍。（文）①當直線PA,PB的

斜率都存在時，記直線PA,PB斜率分別為匕，k2,求證：k「k,=-l；②求L型的取值范

12'2\MN\

圍。

22=1（a>b>0）的離心率為它，且過點A（2,1）。

xy

6、已知橢圓C:-y+

a2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）點M,N在C上，且AM±AN,AD±MN,D為垂足，證明：存在定點Q,使得

|DQ|為定值（2020全國高考新高考I）o

「思考問題3J

（1）【典例3］中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，

②所求問題是某一式子的值（或取值范圍或最值）或證明某一式子為定值；

（2）解答這類問題的基本方法是：：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不

存在的情況，為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方

程為：x=my+n,meR）,運用點斜式，寫出直線的方程；②聯(lián)立直線方程與曲線方程消去

一個未知數(shù)得到關于x（或y）的一元二次方程；③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參

數(shù)k（或m）的式子，并根據(jù)直線方程求出問題中需要的其他量關于參數(shù)k（或m）的式子；

④運用相關知識把問題中的式子表示成關于參數(shù)的函數(shù)；⑤求出關于參數(shù)的函數(shù)的值（或值

域或最值）或證明該式子的值與參數(shù)無關（為定值）；⑥得出問題的結果。

【典例4］解答下列問題：

x9v9

1、（理）已知橢圓C：-+^-=l（a>b>0）的左，右焦點分別為《，居，上頂點為D,

a

且AD5巴為等邊三角形，經(jīng)過焦點工的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，AF；AB的周

長為8。

（1）求橢圓C的方程；

（2）試探究：在x軸上是否存在定點T,使得L4.73為定值，若存在，求出點T的坐標;

若不存在，請說明理由。

尤2y2

（文）已知橢圓C：A爐=1（a>b>0）的左，右焦點分別為《，F(xiàn)2,上頂點為D,且

△D±工為等邊三角形，經(jīng)過焦點弱的直線1與橢圓C相交于A,B兩點，AF；AB的周長

為8。

（1）求橢圓C的方程；

（2）求AF,AB的面積的最大值及此時直線1的方程（成都市2020級高三一診）

2、在同一平面直角坐標系XOY中，圓V+y2=4經(jīng)過伸縮變換9：（x'=x,后得到曲線

c。

（1）求曲線c的方程；

（2）（理）設直線1與曲線C相較于A,B兩點，連接BO并延長與曲線C相較于點D,

且

|AD|=2,求AABD面積的最大值；（文）設曲線C與X軸和Y軸的正半軸分別相交于A,

B兩點，P是曲線C位于第二象限上的一點，且直線PA與Y軸相交于點M,直線PB與X

軸相交于點N,求4ABM與ABMN的面積之和（2021成都市高三零診）。

3、已知橢圓C：=+2=1（a>b>0）的離心率為亞，且直線±+?=1與圓x2+>2=2

a~b~2ah

相切。

（1）求橢圓C的方程；

（2）（理）設直線1與橢圓C相交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點，O為坐標

原點，射線OM與橢圓C相交于點P,且O點在以AB為直徑的圓上，記AAOM,ABOP

的面積分別為5，52,求學的取值范圍。（文）設直線1與橢圓C相交于不同的兩點A,

B,M為線段AB的中點,O為坐標原點，射線OM與橢圓C相交于點P,且|OP|=V15|OM|,

求AABO的面積（2021成都市高三一診）

(-邪),0),F,(6,

4、己知橢圓C：/十瓦=1（a>b>0）的左，右焦點分別為耳

0）,且經(jīng)過點A（^,-）（2020成都市高三零診）。

2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）（理）過點B（4,0）作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，及點P

關于X軸對稱的點為耳，若直線P'Q與X軸相較于點D,求ADPQ面積的最大值。（文）

過點B（4,0）作一條斜率不為0的直線1與橢圓C相較于P,Q兩點，記點P關于X軸對

稱的點為P,證明直線P'Q經(jīng)過X軸上一定點D,并求出定點D的坐標。

5、已知橢圓C：1+%=1（a>b>0）的右焦點F與拋物線C,的焦點重合，G的中心

ao'

與G的頂點重合，過F且與X軸垂直的直線交G于A,B兩點，交于C,D兩點，且ICDI

4

=-|AB|（2020全國高考新課標H）。

3

（1）求G的離心率；

（2）（理）設M是G與。2的公共點，若IMF|=5,求G與。2的標準方程。（文）若G的

四個頂點到G的準線距離之和為12,求G與G的標準方程。

6、（理）已知拋物線C：y2=2px過點P（I,1）,過點（0,；）的直線1與拋物線C交

于不同的兩點M,N,過點M作X軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中。為

原點。

（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（2）求證：A為線段BM的中點。

/7

（文）已知橢圓C的兩個頂點分別為A（-2,0）,B（2,0）,焦點在X軸上，離心率為士

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）點D為X軸上一點，過D作X軸的垂線交橢圓C于不同兩點M,N,過D作AM的

垂線交BN于點E,求證：ABDE與ABDN的面積之比為4：5（2017全國高考北京卷）

（理科圖）（文科圖）

「思考問題4」

（1）【典例4】中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，

②所求問題是某點的坐標（或點的軌跡方程）；

（2）解答這類問題的基本方法是：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不存

在的情況，為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方程

為：x=my+n,meR）,運用點斜式，寫出直線的方程；②聯(lián)立直線方程與曲線方程得到方

程組，消去一個未知數(shù)化為關于x（或y）的一元二次方程；③運用韋達定理得到兩根的和

與積關于參數(shù)k（或m）的式子，并根據(jù)直線方程求出問題中需要的其他量關于參數(shù)k（或m）

的式子；④運用相關知識結合問題的條件把點的坐標表示成關于參數(shù)k（或m）的式子；⑤

求出參數(shù)的值得到點的坐標（或消去參數(shù)得到點的軌跡方程）；⑥得出問題的結果。

【典例5］解答下列問題：

1、已知橢圓C：—-+—=1（a>b>0）的離心率為1,點A（-2,0）在C上。

a2b23

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點（-2,3）的直線交C于P,Q兩點，直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證

明：線段MN的中點為定點（2023全國高考乙卷）

2、已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-2君，0）,離心率為6。

（1）求C的方程；

（2）記C的左，右頂點分別為4，A，過點（-4,0）的直線與C的左支相交于M,N兩

點，M在第二象限，直線MA與直線NA?相交于點P,證明：點P在定直線上。

3、（理）已知斜率為也的直線1與拋物線E：y2=4x相交于p,Q兩點。

（1）求線段PQ中點縱坐標的值；

（2）已知點T（百，0）,直線TP,TQ分別與拋物線E相交于M,N兩點（異于P,Q）,

求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標。

（文）已知斜率為6的直線1與拋物線E：y2=4x相交于p,Q兩點。

（1）求線段PQ中點縱坐標的值；

（2）已知點T（6,0）,直線TP,TQ分別與拋物線￡相交于M,N兩點（異于P,Q）,

則在y軸上是否存在一定點S,使直線MN恒過定點，若存在，求出點S的坐標；若不存在,

請說明理由（成都市高2020級高三三珍）

3

4、已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為X軸，Y軸，且過點A（0,-2）,B（-,-1）

2

兩點。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過點P（l,-2）的直線交E于M,N兩點，過M且平行于X軸的直線與線段AB

交于點T,點H滿足MT=T"，證明直線HN過定點（2022全國高考乙卷）

221

5、已知橢圓C：烏+==1（a>b>0）的離心率為，，且經(jīng)過點（"，2）,橢圓C的

a2b-2

右頂點到拋物線E：y2=2px（p>0）的準線的距離為4。

（1）求橢圓C和拋物線E的方程；

（2）設與兩坐標軸都不垂直的直線1與拋物線E相交于A,B兩點，與橢圓C相交于M,

N兩點，O為坐標原點，若。4.08=4,則在x軸上是否存在點H,使得x軸平分NMHN,

若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由（成都市2019級高三三珍）

6、已知橢圓C的方程為］+y2=i（a>b>0）,右焦點為F（、/5,0）,且離心率為逅。

a23

（1）求橢圓C的方程；

（2）設M,N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線/+）,2=/相切，證明M,N,F三點

共線的充分必要條件是|MN|=6,（2021全國高考新高考H卷）。

v-22

7、（理）已知橢圓C：一+v==1的右焦點為F,過點F的直線（不與X軸重合）與橢圓

2b2

C相交于A,B兩點，直線1：x=2與X軸相較于點H,過點A作ADJ_1,垂足為D。

（1）求四邊形OAHB（O為坐標原點）面積的取值范圍；

（2）證明：直線BD過定點E,并求出點E的坐標。

2

（文）已知橢圓C：土+>2=1的右焦點為F,過點F的直線（不與X軸重合）與橢圓C相

2

交于A,B兩點，直線1：x=2與X軸相較于點H,E為線段FH的中點，直線BE與直線1

的交點為D。

（1）求四邊形OAHB（O為坐標原點）面積的取值范圍；

（2）證明：直線AD與X軸平行（2020成都市高三一診）。

x2,

8、已知A,B分別為橢圓E：—+y-=l（a>l）的左，右頂點，G為E上頂點，AG.GB=8,

礦

P為直線x=6上的動點，PA與E的另一個交點為C,PB與E的另一個交點為D。

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點（2020全國高考新課標I）。

9、（理）已知拋物線C：》2=2py經(jīng)過點（2,-1）。

（1）求拋物線C的方程及其準線方程；

（2）設0為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線1交拋物線C于兩點M,N,直線

y=T分別交直線OM,ON于點A和點B,求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過Y軸上的兩個定點。

22

（文）已知橢圓C：=+4=1（a>b>0）的右焦點為（1,0）,且經(jīng)過點A（0,1）,

a"b'

（1）求橢圓C的方程；

（2）設O為原點，直線1：y=kx+t（tH±l）與橢圓C相較于不同兩點P,Q,直線AP與

x軸相較于點M,直線AQ與x軸相較于點N,若|OM|.|ON|=2,求證：直線1經(jīng)過定點（2019

全國高考北京）

r思考問題51

（1）【典例5］中問題的特點是：①條件是過某一定點的直線與曲線相交于不同的兩點，

②所求問題是直線過定點（或點在定直線上）；

（2）解答這類問題的基本方法是：：①設出兩點的坐標和直線的斜率k（注意考慮斜率不

存在的情況，為了避免考慮直線斜率的存在和不存在的情況，也可以直接設過定點的直線方

程為：x=my+n,meR）,運用點斜式，寫出直線的方程；②聯(lián)立直線方程與曲線方程消去

一個未知數(shù)化為關于x（或y）的一元二次方程；③運用韋達定理得到兩根的和與積關于參

數(shù)k（或m）的式子，并根據(jù)直線方程求出問題中需要的其他量關于參數(shù)k（或m）的式子；

④運用相關知識結合問題的條件把直線方程（或某點的坐標）表示成關于參數(shù)k（或m）的

式子；⑤確定直線存在與參數(shù)k（或m）無關的點（定點）（或把某點的坐標代入給定的直

線方程驗證）；⑥得出問題的結果。

圓錐曲線高考大題的類型與解法

圓錐曲線問題是近幾年高考的熱點問題之一,可以這樣毫不夸張地說,只要是數(shù)學高考試卷,

都必有一個圓錐曲線問題的12分大題。從題型上看是20（或21）題的12分大題，難度為

中，高檔題型，一般的考生都只能拿到4到10分。縱觀近幾年高考試卷，歸結起來圓錐曲

線大題問題主要包括：①已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求直線方程（或直

線的斜率）；②已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求多邊形的面積（或多邊

形面積的最值）；③已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求某個式子的值（或取

值范圍）和證明某個式子的值為定值；④已知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，求

點的坐標（或點的軌跡方程）；⑤己知過定點的直線與圓錐曲線相交于不同兩點，證明直線

過定點（或點在定直線上）等幾種類型。各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也

有一定的規(guī)律可尋。那么在實際解答圓錐曲線大題問題時，到底應該如何抓住問題的結構特

征，快捷，準確地予以解答呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。

【典例1］解答下列問題：

尤2v21

1、（理）已知橢圓E：=+二=1（a>b>0）的離心率為一，橢圓E上的點到其左，右焦點

a-b~2

的距離之和為4o

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過左焦點F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點，M為AB的中點，O為坐標原點，

若橢圓E上存在點N滿足ON=2OM（A>0）,求四邊形AOBN面積的最小值及此時X

的值。

x2y~1

（文）已知橢圓E：—+-^-=1（a>b>0）的離心率為5,橢圓E上的點到其左，右焦點的

距離之和為4。

（1）求橢圓E的方程；

（2）設過左焦點F的直線1與橢圓E相交于A,B兩點，M為AB的中點，O為坐標原點，

若橢圓E上存在點N滿足ON=3OM,求四邊形AOBN的面積（成都市高2021級高三零

診）

【解析】

【考點】①橢圓定義與性質；②求橢圓方程的基本方法；③設而不求，整體代入數(shù)學思想及

運用；④平面向量坐標運算法則和基本方法；⑤點到直線的距離公式及運用；⑥弦長公式及

運用；⑦三角形面積公式及運用；⑧基本不等式及運用。

【解題思路】（理）（1）根據(jù)橢圓的性質，運用求橢圓方程的基本方法，結合問題條件就

可求出橢圓E的方程；（2）根據(jù)設而不求，整體代入的數(shù)學思想，點到直線的距離公式和

橢圓的弦長公式，結合問題條件求出，AB|,點0到直線AB的距離關于參數(shù)k,m的式子，根

據(jù)三角形的面積公式得到AOAB面積關于參數(shù)k,m的表示式，運用基本不等式求出表示

式的最值就可得到AOAB面積的最大值。（文）（1）根據(jù)橢圓的性質，運用求橢圓方程的

基本方法，結合問題條件就可求出橢圓E的方程；（2）根據(jù)設而不求，整體代入的數(shù)學思

想，由點N在橢圓E上得到關于m的方程，求解方程求出m的值，運用點到直線的距離公式

和橢圓的弦長公式，結合問題條件求出IAB，點0到直線AB的距離的值，利用三角形的面

積公式得到AOAB面積，從而就可求出四邊形AOBN的面積。

x*23y?]

【詳細解答】（理）（1）橢圓E：=+彳=1（a>b>0）的離心率為一，橢圓E上的點

a'b'2

到其左，右焦點的距離之和為4,.?.￡=,①，2a=4②，/=/+°2③，聯(lián)立①②③解得:

a2

22

cr=4?b~=3,.,.橢圓E的方程為：=1；(2)設A(+W，,B(x2?%)，

.,由（1）知F（-1,0）,直線1經(jīng)過點F,直線1的方程

為x=my-l,聯(lián)立直線1和橢圓E的方程得：

(4+3〉)y2_6my_9=o,M是AB的中點,

6m9

6m2-8-6/T72-83m

=m(%+%>2=4+3療=石而,=M(4+3*),OM-

4+3m2

—43帆-423力^、上

(-----,-----7),ON=AOM(2>0),???N(z-------------r-----7),?點NT

4+3m724+3m24+3"4+3m2

―儲

4儲32+36

在橢圓E上，.1=1,=4+3陽2=2,|AB|=Jl+加

.(4+3加2)2(4+3加2)2zn2)2

22

6(1+/?)._|0-0+1|_1_11Dn,._13(1+m)

3,1+疝

ON=AOM(zl>0),=4+3"24,S四邊形408N=%SAAOB

4+3加2

273(A2-!)3

)>>-,當且僅當分二4,即；1=2時，等號成立,

2

3

四邊形AOBN面積的最小值為一,及此時/l的值為2。

2

xy2=1（a>b>0）的離心率為上，橢圓E上的點到其左，右焦

（文）（1）桶圓E：—+

a2

「I

點的距離之和為4,一=一①，2a=4②，a2=b2+c2@,聯(lián)立①②③解得：a2=4,b2=3,

a2

X~2y2

-1_

橢圓E的方程為:+^=1；(2)設A(X[,,B(x2?%)，由(1)知F

（-1,0）,直線1經(jīng)過點E.?.直線1的方程聯(lián)立直線1和橢圓E的方程得:

(4+3m2)y2-6my-9=0,M是AB的中點,

6m9

y+.，，x為=-,???$+馬

4+3療4+3療Q

6加2-8-6m2-8

=m(%+%)-2=—..-=..，，

4+3m~24+3m~

,-43mc,-43m、入、,八*,12

=>M(------,------),?/OM=(---------,---------),ON=30M，:.N(------

4+3/4+3"4+3"4+3"4+3m"

9m3621m24

點N在橢圓E上,-------+-------=1,=9〃/-3m-2-20=0,

4+3M(4+3〃?2)2(4+3加2)2

.6病+36(4+3符

2512(1+府」必

m--,|AB|=yjl+m2V(4+3/n2)2

34+3”