競賽講座自然數的性質(奧數、小升初、公務員考試)

第六講整數問題

整數是最基本的數，它產生了許多有趣的數學問題.在中、小學生的數學競賽中，有關

整數的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學習整數知識以外，還必須通過課外活動來

補充一些整數的知識，以及解決問題的思路和方法。

對于兩位、三位或者更多位的整數，有時要用下面的方法來表示：

49=4X10+9,

235=2X100+3X10+5,

7064=7X1000+6X10+4,

有時我們用字母a,b,…表示數字.例如，航展是一個五位數，也

就是

abcde=aX10000+bX1000+cX100+dX10+e.

一、整除

整除是整數問題中一個重要的基本概念.如果整數a除以自然數b,商是整數且余數為0,

我們就說a能被b整除，或b能整除a,或b整除a,記作b|a.此時，b是a的一個因數

(約數)，a是b的倍數.

1.整除的性質

性質1如果a和b都能被m整除，那么a+b,a-b也都能被m整除(這里設a'b).

例如：3|18,3|12,那么3|(18+12),3|(18-12).

性質2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如：3|6,6|24,那么3|24.

性質3如果a能同時被m、n整除，那么a也一定

能被m和n的最小公倍數整除.

例如：6I36,9I26,6和9的最小公倍數是18,18|36.

如果兩個整數的最大公約數是1,那么它們稱為互質的.

例如：7與50是互質的，18與91是互質的.

性質4整數a,能分別被b和c整除，如果b與c互質，那么a能被bXc整除.

例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質，72

能被3與4的乘積12整除.

性質4中，“兩數互質”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘

積48整除，這就是因為6與8不互質，6與8的最大公約數是2.

性質4可以說是性質3的特殊情形.因為b與c互

質，它們的最小公倍數是bXc.事實上，根據性質4,我們常常運用如下解題思路：

要使a被bXc整除，如果b與c互質，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

能被2,3,4,5,8,9,11整除的數都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特

征來判斷許多數的整除問題.

2.數的整除特征

（1）能被2整除的數的特征：

如果一個整數的個位數是偶數，那么它必能被2整除.

（2）能被5整除的數的特征：

如果一個整數的個位數字是0或5,那么它必能被5整除.

（3）能被3（或9）整除的數的特征：

如果一個整數的各位數字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

（4）能被4（或25）整除的數的特征：

如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

（5）能被8（或125）整除的數的特征：

如果一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

（6）能被11整除的數的特征:

如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么

它必能被11整除.

例1四位數萬而能被18整除，要使這個四位數盡可能的小，麻叱

是什么數字？

解：18=2X9,并且2與9互質，根據前面的性質4,可以分別考慮被2和9整除.

要被2整除，b只能是0,2,4,6,8.

再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，己有7+4=11.

如果b=0,只有a=7,此數是7740；

如果b=2,只有a=5,此數是7542；

如果b=4,只有a=3,此數是7344；

如果b=6,只有a=l,此數是7146；

如果b=8,只有a=8,此數是7848.

因此其中最小數是7146.

根據不同的取值，分情況進行討論，是解決整數問題常用辦法，例1就是一個典型.

例2一本老賬本上記著：72只桶，共口67.9□元，其中口處是被蟲蛀掉的數字，請把

這筆賬補上.

解：把口67.9口寫成整數679,它應被72整除.72=9X8,9與8又互質.按照前面的性

質4,只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b=2.

從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數字之和+24能被9整除，因此a=3.

這筆帳是367.92元.

例3在1,2,3,4,5,6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字

可以重復出現），使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.

解：如果選數字5,組成數的最后一位數字就必須是5,這樣就不能被偶數2,4,6整

除，也就是不能選2,4,6.為了要選的不同數字盡可能多，我們只能不選5,而選其他五個

數字1,2,3,4,6.1+2+3+4+6=16,為了能整除3和6,所用的數字之和要能被3整除，

只能再添上一個2,16+2=18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數能被4整

除.組成的數是

122364.

例4四位數7口4口能被55整除，求出所有這樣的四位數.

解：55=5X11,5與11互質，可以分別考慮被5與H整除

要被5整除，個位數只能是0或5.

再考慮被11整除.

(7+4)-(百位數字+0)要能被11整除，百位數字只能是0,所得四位數是7040.

(7+4)-(百位數字+5)要能被11整除，百位數字只能是6(零能被所有不等于零的

整數整除)，所得四位數是7645.

滿足條件的四位數只有兩個：7040,7645.

例5一個七位數的各位數字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪

一個？

解：為了使這個數最大，先讓前五位是98765,設這個七位數是標充

,要使它被11整除，要滿足

(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)

能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0,1,2,3,4中的兩

個數，只有b=4,a=0,滿足條件的最大七位數是9876504.

再介紹另一種解法.

先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11(參見下頁除式).

要滿足題目的條件，這個數是9876543減6,或者再減去11的倍數中的一個數，使最

后兩位數字是0,1,2,3,4中的兩個數字.

897867

11/9876543

/-88_______

TOT

99______

86

77

74

66

83

77

6

43-6=37,37-11=26,26Tl=15,15Tl=4,因此這個數是9876504.

思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？

（答：1023495）

例6某個七位數1993口□口能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三個

數字組成的三位數是多少？

與上例題一樣，有兩種解法.

解一：從整除特征考慮.

這個七位數的最后一位數字顯然是0.

另外，只要再分別考慮它能被9,8,7整除.

1+9+9+3=22,要被9整除，十位與百位的數字和是5或14,要被8整除，最后三

位組成的三位數要能被8整除，因此只可能是下面三個數：

1993500,1993320,1993680,

其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.

解二：直接用除式來考慮.

2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍數是2520,這個七位數要被2520整除.

現在用1993000被2520來除，具體的除式如下：

79

2520/1993000

/17640

22900

2268。

--2200

因為2520-2200=320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.

例7下面這個41位數

20個52。個9

能被7整除，中間方格代表的數字是幾？

解：因為111111=3X7X11X13X37,所以

555555=5X111111和999999=9X111111

都能被7整除.這樣，18個5和18個9分別組成的18位數，也都能被7整除.

右邊的三個加數中，前、后兩個數都能被7整除，那么只要中間的55口99能被7整除,

原數就能被7整除.

把55口99拆成兩個數的和：

55A00+B99,

其中口=八+8.

因為7|55300,7|399,所以口=3+3=6.

注意，記住111111能被7整除是很有用的.

例8甲、乙兩人進行下面的游戲.

兩人先約定一個整數N.然后，由甲開始，輪流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十個

數字之一填入下面任一個方格中

每一方格只填一個數字，六個方格都填上數字（數字可重復）后，就形成一個六位數.

如果這個六位數能被N整除，就算乙勝；如果這個六位數不能被N整除，就算甲勝.

如果N小于15,當N取哪幾個數時，乙能取勝？

解：N取偶數，甲可以在最右邊方格里填一個奇數（六位數的個位），就使六位數不能

被N整除，乙不能獲勝.N=5,甲可以在六位數的個位，填一個不是0或5的數，甲就獲勝.

上面已經列出乙不能獲勝的N的取值.

如果N=l,很明顯乙必獲勝.

如果N=3或9,那么乙在填最后一個數時，總是能把六個數字之和，湊成3的整數倍

或9的整數倍.因此，乙必能獲勝.

考慮N=7,11,13是本題最困難的情況.注意到1001=7X11X13,乙就有一種必勝的

辦法.我們從左往右數這六個格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對，甲在一

對格子的一格上填某一個數字后，乙就在這一對格子的另一格上填同樣的數字，這就保證所

填成的六位數能被1001整除.根據前面講到的性質2,這個六位數，能被7,11或13整除,

乙就能獲勝.

綜合起來，使乙能獲勝的N是1,3,7,9,11,13.

記住，1001=7X11X13,在數學競賽或者做智力測驗題時，常常是有用的.

習題一

1.五位數痂;能被3整除，它的最末三個數字組成的三位數還能被

2整除，求這個五位數.

2.在43的右邊補上三個數字，組成一個五位數，使它能被3,4,5整除，求這樣的最

小五位數.

3.一個五位數，各個數位上的數字互不相同，它能被3,5,7,11整除，這樣的數中最

大的是幾？

4.一個自然數與19的乘積的最后三位數是321,求滿足條件的最小的自然數.

5.四個連續(xù)自然數的和是一個在400至440之間的三位數，并且這個和能被9整除，求

這四個連續(xù)自然數.

6.如果各位數字都是1的某個整數能被33333整除,那么這個整數中1的個數最少有多

少個？

7.一個19位數能被13整除，口代表的數字是幾？

9個4

8.用數字6,7,8各兩個，組成一個六位數，使它能被168整除，求這個六位數.

二、分解質因數

一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱為質數（也叫素數）,例如，2,5,7,101,

一個整數除1和它本身外，還有其他約數，就稱為合數.例如，4,12,99,501,….1不是

質數，也不是合數.也可以換一種說法，恰好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數

的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.

質數中只有一個偶數，就是2,其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15,

33,….

例9O+(□+△)=209.

在。、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.

解：209可以寫成兩個質數的乘積，即

209=11X19.

不論。中填11或19,□+△一定是奇數，那么口與△是一個奇數一個偶數，偶質數只

有2,不妨假定△內填2.當O填19,口要填9,9不是質數，因此O填11,而口填17.

這個算式是HX(17+2)=209,

11X(2+17)=209.

解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘

積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要

內容.

一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2,3,7,都是42

的質因數，6,14也是42的因數，但不是質因數.

任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如

360=2X2X2X3X3X5.

還可以寫成360=23X32X5.

這里2,表示3個2相乘，3?表示2個3相乘.在于中，3稱為2的指數，讀作2的3次

方，在3?中，2稱為3的指數，讀作3的2次方.

例10有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040,

那么，他們的年齡各是多少？

解：我們先把5040分解質因數

5040=24X32X5X7.

再把這些質因數湊成四個連續(xù)自然數的乘積：

24X32X5X7=7X8X9X10.

所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數(包括1和它本身).為尋求一般

方法，先看一個簡單的例子.

我們知道24的約數有8個：1,2,3,4,6,8,12,24.對于較大的數，如果一個一個

地去找它的約數，將是很麻煩的事.

因為24=23義3,所以24的約數是干的約數(1,2,22,23)與3的約數(1,3)之間

的兩兩乘積.

1X1,1X3,2X1,2X3,22X1,22X3,23X1,23X3.

這里有4X2=8個，即(3+1)X(1+1)個，即對于24=23*3中的2、有(3+1)

種選擇：1,2,22,23,對于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)X(1+1)種選擇.

這個方法，可以運用到一般情形，例如，

144=24X32.

因此144的約數個數是(4+1)X(2+1)=15(個).

例11在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.

解：有8=7+1；8=(3+1)X(1+1)兩種情況.

(1)27=128,符合要求，

37>150,所以不再有其他7次方的數符合要求.

(2)23=8,

8X13=104,8X17=136,符合要求.

3，=27；

只有27X5=135符合要求.

53=135,它乘以任何質數都大于150,因此共有4個數合要求：128,104,135,136.

利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行

質因數分解，例如

720=24X32X5,168=23X3X7.

那么每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因

數2,較低指數次方是類似地都含有3,因此720與168的最大公約數是

23X3=24.

在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意

720中有5,而168中無5,可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是

2*X32X5X7=5040.

例12兩個數的最小公倍數是180,最大公約數是30,已知其中一個數是90,另一個數

是多少？

解：180=22X32X5,

30=2X3X5.

對同一質因數來說，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取

次數較低的，從2?與2就知道，一數中含于，另一數中含2；從3?與3就知道，一數中含

32,另一數中含3,從一數是

90=2X32X5.

就知道另一數是

22X3X5=60.

還有一種解法：

另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找

30,60,90,120,….

這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180,最大公約數是否是30.現在碰巧第

二個數60就是.逐一去檢驗，有時會較費力.

例13有一種最簡真分數,它們的分子與分母的乘積都是420.如果把所有這樣的分數從

小到大排列，那么第三個分數是多少？

解：把420分解質因數

420=2X2X3X5X7.

為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同

質因數（上面分解中的2）,要么都在分子，要么都在分母，并且分子應小于分母.分子從

小到大排列是

1,3,4,5,7,12,15,20.

分子再大就要超過分母了，它們相應的分數是

420*140'105'84'60"35'28'21'

從小到大排列中第三個是需

兩個整數，如果它們的最大公約數是1.就稱這兩個數是互質的.

例13實質上是把420分解成兩個互質的整數.

利用質因數分解，把一個整數分解成若干個整數的乘積，是非?；居质呛苡杏玫姆椒?

再舉三個例題.

例14將8個數6,24,45,65,77,78,105,110分成兩組，每組4個數，并且每組

4個數的乘積相等，請寫出一種分組.

解：要想每組4個數的乘積相等，就要讓每組的質因數一樣，并且相同質因數的個數也

一樣才行.把8個數分解質因數.

6=2X3,24=2嘆3,

45=32X5,65=5X13,

77=7X11,78=2X3X13,

105=3X5X7,110=2X5X11.

先放指數最高的質因數，把24放在第一組，為了使第二組里也有三個2的因子，必須

把6,78,110放在第二組中，為了平衡質因數11和13,必須把77和65放在第一組中.看

質因數7,105應放在第二組中，45放在第一組中，得到

第一組：24,65,77,45.

第二組:6,78,110,105.

在講述下一例題之前，先介紹一個數學名詞一完全平方數.

一個整數，可以分解成相同的兩個整數的乘積，就稱為完全平方數.

例如：4=2X2,9=3X3,144=12X12,625=25X25.4,9,144,625都是完全

平方數.

一個完全平方數寫出質因數分解后，每一個質因數的次數，一定是偶數.

例如：144=32X42,100=22X52,…

例15甲數有9個約數，乙數有10個約數，甲、乙兩數最小公倍數是2800,那么甲數

和乙數分別是多少？

解：一個整數被它的約數除后，所得的商也是它的約數，這樣的兩個約數可以配成一對.

只有配成對的兩個約數相同時,也就是這個數是完全平方數時，它的約數的個數才會是奇數.

因此，甲數是一個完全平方數.

2800=24X52X7.

在它含有的約數中是完全平方數，只有

1,22,24,52,22X52,24X52.

在這6個數中只有22*52=100,它的約數是（2+1）X（2+1）=9（個）.

2800是甲、乙兩數的最小公倍數，上面已算出甲數是100=22X5、因此乙數至少要含

有24和7,而24X7=112恰好有（4+1）X（1+1）=10（個）約數，從而乙數就是H2.

綜合起來，甲數是100,乙數是112.

例16小明買紅藍兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍筆

貴.小強打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把

35元恰好用完，問紅筆、藍筆每支各多少元？

解：35=5義7.紅、藍的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是

17-5=12（元）和17-7=10（元），否則另一種筆1支是5元或7元.

記住：對筆價來說，己排除了5,7,10,12這四個數.

筆價不能是35-17=18（元）的約數.如果筆價是18的約數，就能把18元恰好都買成筆,

再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數：1,2,

3,6,9.

當然也不能是17-1=16,17-2=15,17-3=14,17-6=11,17-9=8.現在筆價又排除

了：

1,2,3,6,8,9,11,14,15,16.

綜合兩次排除，只有4與13未被排除，而4+13=17,就知道紅筆每支13元，藍筆每

支4元.

習題二

1.邊長為自然數，面積為165的形狀不同的長方形共有多少種？

2.四個連續(xù)自然數的乘積是11880,求此四個數.

3.兩個兩位的整數，乘積是6975,這兩個數中較小的數是多少？

4.某個自然數是3和4的倍數，包括1和它本身在內共有10個約數，那么這個自然數

是幾？

5.將8個數14,30,33,75,143,169,4445,4953分成兩組，每組4個數，要使每

組的4個數的乘積相等，如何分組？

6.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每一組中，任意兩數的最

大公約數是1,那么至少要分多少個組？

7.兩個整數A,B的最大公約數是C,最小公倍數是D.已知C不等于1,也不等于A或B,

并且C+D=187.求A+B是多少？

三、余數

在整數除法運算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例

如95+3,48+5.不能整除就產生了余數.通常的表示是：

654-3=21.......2,38+5=7........3.

上面兩個算式中2和3就是余數，寫成文字是

被除數+除數:商……余數.

上面兩個算式可以寫成

65=3X21+2,38=5X7+3.

也就是

被除數=除數X商+余數.

通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們容易從“余數”出發(fā)去考慮問題，這正是某些

整數問題所需要的.

特別要提請注意：在帶余除式中，余數總是比除數小，這一事實，解題時常作為依據.

例175397被一個質數除，所得余數是15.求這個質數.

解：這個質數能整除

5397-15=5382,

而5382=2X31997X13X23.

因為除數要比余數15大，除數又是質數，所以它只能是23.

當被除數較大時，求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍，從而得

到余數.

例18求645763除以7的余數.

解：可以先去掉7的倍數630000余15763,再去掉14000還余下1763,再去掉1400

余下363,再去掉350余13,最后得出余數是6.這個過程可簡單地記成

645763—15763—1763—363—13-6.

如果你演算能力強，上面過程可以更簡單地寫成：

645763—15000—1000—6.

帶余除法可以得出下面很有用的結論：

如果兩個數被同一個除數除余數相同，那么這兩個數之差就能被那個除數整除.

例19有一個大于1的整數，它除967,1000,2001得到相同的余數，那么這個整數是

多少？

解：由上面的結論，所求整數應能整除967,1000,2001的兩兩之差，即

1000-967=33=3X11,

2001-1000=1001=7X11X13,

2001-967=1034=2X11X47.

這個整數是這三個差的公約數11.

請注意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.因為另一個差總可以由這兩

個差得到.

例如，求出差1000-967與2001-1000,

那么差

2001-967=(2001-1000)+(1000-967)

=1001+33

=1034.

從帶余除式，還可以得出下面結論：

甲、乙兩數，如果被同一除數來除，得到兩個余數，那么甲、乙兩數之和被這個除數除,

它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數.

例如，57被13除余5,152被13除余9,那么57+152=209被13除，余數是5+9=14

被13除的余數1.

例20有一串數排成一行，其中第一個數是15,第二個數是40,從第三個數起，每個

數恰好是前面兩個數的和，問這串數中，第1998個數被3除的余數是多少？

解:我們可以按照題目的條件把這串數寫出來，再看每一個數被3除的余數有什么規(guī)律,

但這樣做太麻煩.根據上面說到的結論，可以采取下面的做法，從第三個數起，把前兩個數

被3除所得的余數相加，然后除以3,就得到這個數被3除的余數，這樣就很容易算出前十

個數被3除的余數，列表如下：

數的序號一二三四五六七A九十

被3除余數0112022101

從表中可以看出，第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同.

因此這一串數被3除的余數，每八個循環(huán)一次，因為

1998=8X249+6,

所以，第1998個數被3除的余數，應與第六個數被3除的余數一樣，也就是2.

一些有規(guī)律的數，常常會循環(huán)地出現.我們的計算方法，就是循環(huán)制.計算鐘點是

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

這十二個數構成一個循環(huán).

按照七天一輪計算天數是

日，一，二，三，四，五，六.

這也是一個循環(huán)，相當于一些連續(xù)自然數被7除的余數

0,1,2,3,4,5,6

的循環(huán).用循環(huán)制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)現循環(huán)現象.

用數來反映循環(huán)現象也是很自然的事.

循環(huán)現象，我們還稱作具有“周期性”，12個數的循環(huán)，就說周期是12,7個數的循

環(huán)，就說周期是7.例20中余數的周期是8.研究數的循環(huán)，發(fā)現周期性和確定周期，是很有

趣的事.

下面我們再舉出兩個余數出現循環(huán)現象的例子.在講述例題之前，再講一個從帶余除式

得出的結論：

甲、乙兩數被同一除數來除，得到兩個余數.那么甲、乙兩數的積被這個除數除，它的

余數就是兩個余數的積，被這個除數除所得的余數.

例如，37被11除余4,27被H除余5,37X27=999被11除的余數是4X5=20被11

除后的余數9.

1997=7X285+2,就知道1997X1997被7除的余數是2X2=4.

例2119聊被7除余幾?

解：從上面的結論知道，19.被7除的余數與2.被7除的余數相同.我們只要考慮一

些2的連乘，被7除的余數.

先寫出一列數

2,2X2=4,2X2X2=8,

2X2X2X2=16,

然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下：

數的序號———四五六七A

數248163264128256

被7除的余數24124124

事實上，只要用前一個數被7除的余數，乘以2,再被7除，就可以得到后一個數被7

除的余數.（為什么？請想一想.）

從表中可以看出，第四個數與第一個數的余數相同，都是2.根據上面對余數的計算，

就知道，第五個數與第二個數余數相同，……因此，余數是每隔3個數循環(huán)一輪.循環(huán)的周

期是3.

1997=3X665+2.

就知道2儂7被7除的余數，與237被7除的余數相同，這個余數是4.

再看一個稍復雜的例子.

例2270個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍都恰好等于它兩邊兩個

數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的：

0,1,3,8,21,55,….

問：最右邊一個數（第70個數）被6除余幾？

解：首先要注意到，從第三個數起，每一個數都恰好等于前一個數的3倍減去再前一個

數：

3=1X34）,

8=3X3-1,

21=8X3-3,

55=21X3-8,

不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余

數，算出后面的余數呢？能！同算出這一行數的辦法一樣（為什么？），從第三個數起，余

數的計算辦法如下：

將前一個數的余數乘3,減去再前一個數的余數，然后被6除，所得余數即是.

用這個辦法，可以逐個算出余數，列表如下：

數的序號一二三四五六七八九十十一十二十三十四

數01382155144377-

被6除的余數01323105343501

注意，在算第八個數的余數時，要出現0義3-1這在小學數學范圍不允許，因為我們求

被6除的余數，所以我們可以0X3加6再來減1.

從表中可以看出，第十三、第十四個數的余數，與第一、第二個數的余數對應相同，就

知道余數的循環(huán)周期是12.

70=12X5+10.

因此，第七十個數被6除的余數，與第十個數的余數相同，也就是4.

在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：

“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”按照

今天的話來說：

一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個數.

這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數論中解同余

式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.

目前許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題，但是它的一般解法決不是小學生能弄明白

的.這里，我們通過兩個例題，對較小的數，介紹一種通俗解法.

例23有一個數，除以3余2,除以4余1,問這個數除以12余幾？

解：除以3余2的數有：

2,5,8,11,14,17,20,23-.

它們除以12的余數是：

2,5,8,11,2,5,8,11,….

除以4余1的數有：

1,5,9,13,17,21,25,29,

它們除以12的余數是：

1,5,9,1,5,9,….

一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中，只有5是共同的，因此這個數除以

12的余數是5.

上面解法中，我們逐個列出被3除余2的整數，又逐個列出被4除余1的整數，然后逐

個考慮被12除的余數，找出兩者共同的余數，就是被12除的余數.這樣的列舉的辦法，在

考慮的數不大時，是很有用的，也是同學們最容易接受的.

如果我們把例23的問題改變一下，不求被12除的余數，而是求這個數.很明顯，滿足

條件的數是很多的，它是

5+12X整數,

整數可以取0,1,2,…，無窮無盡.事實上，我們首先找出5后，注意到12是3與4

的最小公倍數，再加上12的整數倍，就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3余2,除以

4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件，

我們可以先把兩個條件合并成一個.然后再與第三個條件合并，就可找到答案.

例24一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數.

解：先列出除以3余2的數：

2,5,8,11,14,17,20,23,26,…，

再列出除以5余3的數：

3,8,13,18,23,28,….

這兩列數中，首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合并成一個就

是

8+15X整數，

列出這一串數是

8,23,38,…，

再列出除以7余2的數

2,9,16,23,30,…，

就得出符合題目條件的最小數是23.

事實上，我們已把題目中三個條件合并成一個：被105除余23.

最后再看一個例子.

例25在100至200之間，有三個連續(xù)的自然數，其中最小的能被3整除，中間的能被

5整除，最大的能被7整除，寫出這樣的三個連續(xù)自然數.

解：先找出兩個連續(xù)自然數，第一個能被3整除，第二個能被5整除（又是被3除余1）.

例如，找出9和10,下一個連續(xù)的自然數是11.

3和5的最小公倍數是15,考慮11加15的整數倍，使加得的數能被7整除11+15X3

=56能被7整除，那么54,55,56這三個連續(xù)自然數，依次分別能被3,5,7整除.

為了滿足“在100至200之間”將54,55,56分別加上3,5,7的最小公倍數105.所

求三數是

159,160,161.

注意，本題實際上是：求一個數（100?200之間），它被3整除，被5除余4,被7

除余5.請考慮，本題解法與例24解法有哪些相同之處？

習題三

1.237除以一個兩位數的余數是6.求出所有這樣的兩位數.

2.小張在計算有余數的除法時，把被除數113錯寫成131,結果商比原來多3,但余數

恰巧相同，那么該題的余數是多少？

3.如果某個三位數除492,2241,3195都余15,那么這個三位數是幾？

4.73,216,227被某個數b除的余數相同，那么108被這個數b除的余數應是多少？

5.有4個不同的自然數，它們當中任意兩個數的和是2的倍數；任意三個數的和是3

的倍數.為了使這4個數盡可能的小，這4個數分別是多少？

6.3儂7被7除的余數是幾？

7.有一串數，第一個數是6,第二個數是3,從第二個數起，每個數都比它前面那個數

與后面那個數的和小5.那么這串數中從第一個數起到第400個數為止的400個數之和被4

除的余數是幾？

8.一個數除以5余1,除以6余3,除以7余6,這個數是幾？

9.有學生在操場上列隊做操，只知人數在90?150之間.如果排成3列不多也不少；如

排成5列則少2人；如排成7列則少4人.問共有學生多少人？

測驗題

1.有一個能被11整除的四位數，去掉它的千位上和個位上的數字后，是一個能同時被

2,3,5整除的最大兩位數，這樣的四位數中，最小的數是多少？

2.兩個整數的最小公倍數是180,最大公約數是12,且小數不能整除大數，求這兩個數.

3.阿龍喜歡把電話號碼作為數學練習.一個電話號碼是八位數，它被3除余1,被4除

余2,被H恰好整除.阿龍只記著前六個數字是

257633DD

但是算了一下，他便知道后兩個數字.問這個電話號碼最后兩個數字是什么？

4.下面寫了一串數

0,1,6,7,12,13,18,19,?

按這個規(guī)律寫下去，問第134個位置上的數被7除余幾？

5.346,304,563分別除以同一個自然數，得到