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江西省贛州市南康三中、興國(guó)一中2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是()(其中,為無(wú)理數(shù))①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.32.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.3.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.4.若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),則它的一條對(duì)稱軸方程可能是()A. B. C. D.5.命題“”的否定為()A. B.C. D.6.已知集合,,且、都是全集(為實(shí)數(shù)集)的子集,則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為()A. B.或C. D.7.若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則()A. B. C. D.8.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年,小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì),這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”,為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰(shuí)制作的,村支書(shū)對(duì)三人進(jìn)行了問(wèn)話,得到回復(fù)如下:小明說(shuō):“鴻福齊天”是我制作的;小紅說(shuō):“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的,就是我制作的;小金說(shuō):“興國(guó)之路”不是我制作的,若三人的說(shuō)法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明10.已知函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則()A.或 B.或C.或 D.或11.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或812.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則此球的表面積為_(kāi)________.14.設(shè)是定義在上的函數(shù),且,對(duì)任意,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為,且互不相等,則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù),記為.當(dāng)_________時(shí),為的幾何平均數(shù).(只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)15.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)______________.16.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知均為正實(shí)數(shù),函數(shù)的最小值為.證明:(1);(2).18.(12分)這次新冠肺炎疫情,是新中國(guó)成立以來(lái)在我國(guó)發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過(guò)很多磨難,但從來(lái)沒(méi)有被壓垮過(guò),而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長(zhǎng),從磨難中奮起.在這次疫情中,全國(guó)人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開(kāi)了對(duì)這次疫情的研究,一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn),從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(單位:萬(wàn)人)之間的關(guān)系如下表:日期1234567全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(萬(wàn)人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?(2)求出關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).并預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到距離的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí),直線的傾斜角為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1),求|PA|?|PB|的值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等.(1)求證:平面;(2)求證:平面平面.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
對(duì)于①中,根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì),可判定值正確的;對(duì)于②中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),進(jìn)而得到,即可判定是錯(cuò)誤的;對(duì)于③中,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為,進(jìn)而得到,即可判定是正確的.【詳解】由題意,對(duì)于①中,由,可得,根據(jù)不等式的性質(zhì),可得成立,所以是正確的;對(duì)于②中,設(shè)函數(shù),則,所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)?,則又由,所以,即,所以②不正確;對(duì)于③中,設(shè)函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,最大值為,所以,即,即,所以是正確的.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì),以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,其中解答中根據(jù)題意,合理構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.2、C【解析】
先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A;結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.【詳解】函數(shù),則,所以為奇函數(shù),排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,所以排除A選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng);綜上可知,C為正確選項(xiàng),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像,注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,排除B和C;當(dāng)時(shí),,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段,屬中檔題.4、B【解析】
把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時(shí),,即是對(duì)稱軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5、C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為,根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合,根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知:陰影部分表示,,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算,涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解;關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.7、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.9、B【解析】
將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來(lái),再一一論證.【詳解】依題意,三個(gè)人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說(shuō)法正確,則均不滿足;若小紅的說(shuō)法正確,則4滿足;若小金的說(shuō)法正確,則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
簡(jiǎn)單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,并計(jì)算,結(jié)合對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由,可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí),,可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,所以且在單調(diào)遞減,所以或,故或所以或故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式,抽象函數(shù)給出式子的意義,比如:,,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.11、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸以及函數(shù)值,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關(guān)于對(duì)稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題,屬基礎(chǔ)題12、A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體,通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系,得到球的半徑,利用球的表面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球,因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1,所以正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線,即,解得,所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的表面積的計(jì)算,其中巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng),得到球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由定義可知三點(diǎn)共線,即,通過(guò)整理可得,繼而可求出正確答案.【詳解】解:根據(jù)題意,由定義可知:三點(diǎn)共線.故可得:,即,整理得:,故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式,考查了推理能力,考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.15、【解析】
把按照二項(xiàng)式定理展開(kāi),可得的展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開(kāi)式中的系數(shù)為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】
作出可行域,可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值,求解即可.【詳解】作出可行域(如下圖陰影部分),聯(lián)立,可求得點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì),注意等號(hào)成立的條件,即可求得最小值,再運(yùn)用柯西不等式,即可得到最小值.(2)利用基本不等式即可得到結(jié)論,注意等號(hào)成立的條件.【詳解】(1)由題意,則函數(shù),又函數(shù)的最小值為,即,由柯西不等式得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.故.(2)由題意,利用基本不等式可得,,,(以上三式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)同時(shí)取“=”)由(1)知,,所以,將以上三式相加得即.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1)可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系;(2),預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)約有4.5萬(wàn)人.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù),利用公式求得,再根據(jù)的值越大說(shuō)明它們的線性相關(guān)性越高來(lái)判斷.(2)由(1)的相關(guān)數(shù)據(jù),求得,,寫(xiě)出回歸方程,然后將代入回歸方程求解.【詳解】(1)由已知數(shù)據(jù)得,,,所以,,所以.因?yàn)榕c的相關(guān)近似為0.99,說(shuō)明它們的線性相關(guān)性相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.(2)由(1)得,,,所以,關(guān)于的回歸方程為:,2月10日,即代入回歸方程得:.所以預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)約有4.5萬(wàn)人.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.19、(1),.(2)【解析】
(1)根據(jù)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),即可求得的的普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:,即可求得答案;(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式,即可求得答案.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)的普通方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,利用極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式:的直角坐標(biāo)方程為.(2)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為圓心到的距離為,點(diǎn)到的距離的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式和點(diǎn)到直線距離公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)由短軸長(zhǎng)可知,設(shè),,由設(shè)而不求法作差即可求得,將相應(yīng)值代入即求得,橢圓方程可求;(2)考慮特殊位置,即直線與軸垂直時(shí)候,成立,當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,與橢圓聯(lián)立,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式,弦長(zhǎng)公式,得到與的關(guān)系,將表示出來(lái),結(jié)合基本不等式求
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