2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題。本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）在數(shù)列，，，，…，，…中，是它的（）A．第8項 B．第9項 C．第10項 D．第11項2．（5分）數(shù)列，，，，，……的一個通項公式為（）A． B． C． D．3．（5分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點）一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設(shè)事件A為擲出向上為小于5的偶數(shù)點，事件B為擲出向上為3點，則P（A?B）＝（）A． B． C． D．4．（5分）朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升．”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升．”在該問題中前7天共分發(fā)多少升大米？（）A．1170 B．1440 C．1785 D．17725．（5分）已知直線l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），則下列各圖形中，正確的是（）A． B． C． D．6．（5分）若數(shù)列{an}滿足，a1＝2，則a2023＝（）A．﹣1 B．1 C．2 D．7．（5分）在等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，若a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的兩個根，那么S11的值為（）A．88 B．﹣88 C．110 D．﹣558．（5分）已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對立，且P（A）＝0.3，P（C）＝0.6，則P（A∪B）＝（）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9二、多選題。本題共4個小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。（多選）9．（5分）過點A（2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）A．3x﹣2y＝0 B．2x﹣3y＝0 C．x+y＝5 D．x﹣y＝﹣1（多選）10．（5分）下列結(jié)論正確的是（）A．若{an}為等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比數(shù)列 B．若{an}為等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差數(shù)列 C．若{an}為等差數(shù)列，且m，n，p，q均是正數(shù)，則“m+n＝p+q”是“am+an＝ap+aq”的充要條件 D．滿足（n∈N*且q≠0）的數(shù)列{an}為等比數(shù)列（多選）11．（5分）口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個形狀相同的小球，從中任取2球，事件A＝“取出的兩球同色”，B＝“取出的2球中至少有一個黃球”，C＝“取出的2球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一個白球”，下列判斷中正確的是（）A．事件A與D為對立事件 B．事件B與C是互斥事件 C．事件C與E為對立事件 D．事件P（C∪E）＝1（多選）12．（5分）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝﹣n2+7n，則（）A．{an}是遞增數(shù)列 B．a(chǎn)10＝﹣12 C．當(dāng)n＞4時，an＜0 D．當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最大值三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）直線y＝2x+1的一個法向量＝．14．（5分）甲、乙兩名籃球運動員進(jìn)行投籃比賽，甲投籃命中的概率為，乙投籃命中的概率為，在每次投籃中，甲和乙投籃是否命中相互沒有影響．甲乙各投籃一次，恰好有1人命中的概率為．15．（5分）在正項等比數(shù)列{an}中，若a4a8＝2，則log2a2+2log2a6+log2a10＝．16．（5分）已知{an}數(shù)列滿足a1＝2，，則數(shù)列{an}的通項公式為．四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一個球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率也為，試求得黑球、黃球、綠球的概率分別為多少？18．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2+n．（1）求S4，a4；（2）求這個數(shù)列的通項公式an．19．（12分）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．（1）求經(jīng)過A（﹣1，5）、B（2，1）兩點的直線方程；（2）求在x軸、y軸上的截距分別是﹣3、﹣1的直線方程；（3）求經(jīng)過點Q（﹣1，2）且斜率為﹣2的直線方程．20．（12分）設(shè)數(shù)列{bn}的各項都為正數(shù)，且．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)b1＝1，求數(shù)列{bnbn+1}的前n項和Sn．21．（12分）直線l的方程為．（1）證明：直線l恒經(jīng)過第一象限；（2）若直線l一定經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．22．（12分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝4，2a4﹣a5＝7，公比不為﹣1的等比數(shù)列{bn}滿足b3＝4，b4+b5＝8（b1+b2）．（1）求{an}與{bn}的通項公式；（2）設(shè)cn＝anbn，求{cn}的前n項和Sn．

2023-2024學(xué)年甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)聯(lián)考高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題。本題共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的通項公式可得關(guān)于n的方程，解可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列的通項公式為an＝，故＝，解可得n＝9．故選：B．【點評】本題考查數(shù)列的表示方法，涉及數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】直接利用數(shù)列的通項公式的求法求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列，，，，，……的一個通項公式為．故選：B．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)事件的運算，結(jié)合古典概型的概率計算公式加以運算，即可得到本題的答案．【解答】解：由題意可知：樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3}，則A?B＝{2，3，4}，可得n（Ω）＝6，n（A?B）＝3，所以．故選：C．【點評】本題主要考查樣本空間與事件、古典概型的概率計算公式等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】建立等差數(shù)列模型，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果．【解答】解：由題意得，每天分發(fā)的大米升數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，設(shè)公差為d，則d＝7×3＝21，記第一天共分發(fā)大米為a1＝64×3＝192（升），則前7天共分發(fā)大米（升）．故選：C．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】直接利用直線中m和n的取值范圍判斷函數(shù)的圖象．【解答】解：根據(jù)直線l1的方程是y＝mx+n，l2的方程是y＝nx﹣m（mn≠0，m≠n），①當(dāng)m＞0時，﹣m＜0，n＞0，﹣n＜0，選項A錯誤；②當(dāng)n＞0，﹣m＜0，則m＞0，故D正確；③當(dāng)m＞0，n＞0時，﹣m＜0，故B錯誤；④由于兩直線的交點在y軸上，故m＝﹣n，故m和n異號，故C錯誤．故根據(jù)函數(shù)的圖象只有A符合答案．選項ABC都不對．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：直線和圖象的關(guān)系，主要考查學(xué)生視圖能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】通過an+1＝及a1＝2計算出a2，a3，a4，??????，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn){an}的周期即可求解．【解答】解：由題意，a1＝2，a2＝＝＝﹣1，a3＝＝＝，a4＝＝＝2＝a1，??????，所以{an}是以3為周期的周期數(shù)列，所以a2023＝a3×674+1＝a1＝2．故選：C．【點評】本題考查數(shù)列的周期性，考查學(xué)生歸納推理和運算求解的能力，屬于中檔題．7．【分析】利用韋達(dá)定理得a5+a7＝﹣10，由等差數(shù)列前n項和得S11＝（a1+a11）＝（a5+a7），由此能求出結(jié)果．【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，a5，a7是方程x2+10x﹣16＝0的兩個根，∴a5+a7＝﹣10，∴S11＝（a1+a11）＝（a5+a7）＝＝﹣55．故選：D．【點評】本題考查韋達(dá)定理、等差數(shù)列前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【解答】解：因為P（C）＝0.6，事件B與C對立，所以P（B）＝0.4，又P（A）＝0.3，A與B互斥，所以P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.3+0.4＝0.7，故選：C．【點評】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、多選題。本題共4個小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．【分析】當(dāng)橫截距a＝0時，縱截距b＝0，此時直線過點（2，3），（0，0），由此能求出直線方程為；當(dāng)橫截距a≠0時，縱截距b＝a，設(shè)直線方程為，把A（2，3）代入能求出直線方程．【解答】解：當(dāng)橫截距a＝0時，縱截距b＝0，此時直線過點（2，3），（0，0），直線方程為：，整理得3x﹣2y＝0，當(dāng)橫截距a≠0時，縱截距b＝a，設(shè)直線方程為，把A（2，3）代入得，解得a＝5，∴直線方程為＝1，整理得x+y＝5．故選：AC．【點評】本題考查直線方程的求法，考查兩點式方程、截距式方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和性質(zhì)及等比數(shù)列定義判斷，利用特例判定其余錯誤選項．【解答】解：若{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，q≠0，Sn是{an}的前n項和，設(shè)，當(dāng)n＝2時，S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n不是等比數(shù)列，所以A選項錯誤；若{an}為等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，設(shè)公差為d，則Sn＝a1+a2+???+an，所以，，所以Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差數(shù)列，所以B選項正確；{an}為等差數(shù)列，考慮an＝1，a1+a2＝a3+a4，1+2≠3+4，所以C選項錯誤；根據(jù)等比數(shù)列定義，數(shù)列{an}，（n∈N*且q≠0）的數(shù)列{an}為等比數(shù)列，所以D選項正確．故選：BD．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．11．【分析】由對立事件與互斥事件的定義及事件的運算依次求解判斷即可．【解答】解：∵事件A＝“取出的兩球同色”，D＝“取出的兩球不同色”，∴件A與D為對立事件，故A對，事件BC＝“取出的2球為一個黃球，一個白球”，故事件B與C不是互斥事件，故B錯，事件CE＝“取出的2球有且只有一個白球”，故事件C與E不是對立事件，故C錯，事件C∪E為必然事件，故P（C∪E）＝1，故D對，故選：AD．【點評】本題考查了事件的運算及對立事件與互斥事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】推導(dǎo)出an＝﹣2n+8，再由Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，由此能求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝﹣n2+7n，∴a1＝S1＝﹣1+7＝6，n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+7n）﹣[﹣（n﹣1）2+7（n﹣1）]＝﹣2n+8，當(dāng)n＝1時，﹣2n+8＝6＝a1，∴an＝﹣2n+8，∴{an}是遞減數(shù)列，故A錯誤；a10＝﹣2×10+8＝﹣12，故B正確；當(dāng)n＞4時，an＝﹣2n+8＜0，故C正確；∵Sn＝﹣n2+7n＝﹣（n﹣）2+，∴當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最大值12，故D正確．故選：BCD．【點評】本題考查等差數(shù)列的運算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、填空題。本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【分析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量的意義求解作答．【解答】解：直線y＝2x+1的方向向量為，而，所以直線y＝2x+1的一個法向量．故答案為：（﹣2，1）（答案不唯一）．【點評】本題考查了直線的方向向量，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由已知結(jié)合相互獨立事件及互斥事件的概率公式可求．【解答】解：設(shè)甲投籃命中的為事件A，乙投籃命中的為事件B，則P（A）＝，P（B）＝，A，B相互獨立，甲乙各投籃一次，恰好有1人命中的概率為P＝P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（B）＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了互斥事件及相互獨立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：在正項等比數(shù)列{an}中，因為a4a8＝2，可得，則．故答案為：2．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、對數(shù)運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．【分析】將條件式兩邊同時除以2n+1得數(shù)列{}是等差數(shù)列，從而求出數(shù)列{an}的通項公式．【解答】解：∵，∴兩邊同時除以2n+1得：，又∵，∴數(shù)列{}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查已知數(shù)列的遞推式求通項公式和等差數(shù)列的定義，還考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【分析】設(shè)事件A表示“取到紅球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黃球”，事件D表示“取到綠球”，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率也為，列出方程組，能求出取得黑球、黃球、綠球的概率．【解答】解：袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一個球，設(shè)事件A表示“取到紅球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黃球”，事件D表示“取到綠球”，∵得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率也為，∴，解得P（B）＝P（D）＝，P（C）＝，∴取得黑球、黃球、綠球的概率分別為．【點評】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）n＝4代入可得S4，由a4＝S4﹣S3可得a4；（2）由an與Sn的關(guān)系可得數(shù)列通項公式．【解答】解：（1）因為數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2+n，所以S4＝16+2＝18，a4＝S4﹣S3＝18﹣（9+）＝；（2）當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+﹣（n﹣1）2﹣＝2n﹣，當(dāng)n＝1時，上式也滿足，故數(shù)列的通項公式an＝2n﹣．【點評】本題考查了已知Sn求an的求通項的方法，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）由兩點式方程表示出所求直線的方程，化簡為一般式方程即可得出答案；（2）由截距式方程表示出所求直線的方程，化簡為一般式方程即可得出答案；（3）由點斜式方程表示出所求直線的方程，化簡為一般式方程即可得出答案．【解答】解：（1）由兩點式方程，可知所求直線的方程為，化為一般式方程為4x+3y﹣11＝0．（2）由截距式方程，可知所求直線的方程為，化為一般式方程為x+3y+3＝0．（3）因為經(jīng)過點Q（﹣1，2），由點斜式方程可得：y﹣2＝﹣2（x+1），化為一般式方程為2x+y＝0．【點評】本題考查了直線方程的幾種形式，是基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）對已知等式兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；（2）由等差數(shù)列的通項公式可得，所以，再由數(shù)列的求和方法：裂項相