福建省莆田市新度中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

福建省莆田市新度中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A． B． C．π D．2π參考答案：B【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期．【解答】解：函數(shù)f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化簡(jiǎn)可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故選：B．2.下列說(shuō)法正確的是（）A．“p∨q為真”是“p∧q為真”的充分不必要條件B．若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為2C．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sinx+cosx≥”發(fā)生的概率為D．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，則P（X≤0）=0.16參考答案：D考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：A．“p∧q為真”可知p，q為真命題，可得“p∨q為真”，反之不成立，即可判斷出正誤；B．利用方差的性質(zhì)即可判斷出正誤；C．由sinx+cosx=≥化為，解得x∈，利用幾何概率計(jì)算公式即可得出，進(jìn)而判斷出正誤；D．利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得P（X≤0）=P（X≥4）=1﹣P（X≤4），即可判斷出正誤．解答：解：A．“p∧q為真”可知p，q為真命題，可得“p∨q為真”，反之不成立，因此“p∨q為真”是“p∧q為真”必要不充分條件，因此不正確；B．?dāng)?shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為4，因此不正確；C．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，由sinx+cosx=≥化為，解得x∈，∴事件“sinx+cosx≥”發(fā)生的概率==，因此不正確；D．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，則P（X≤0）=P（X≥4）=1﹣P（X≤4）=0.16，因此正確．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、方差的性質(zhì)、幾何概率計(jì)算公式、正態(tài)分布的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3.函數(shù),若，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（

）A．

B．160

C．

D．參考答案：A

考點(diǎn)：1、幾何體的三視圖；2、幾何體的體積.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖及空間幾何體的體積，屬于中檔題.空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：（1）求簡(jiǎn)單幾何體的體積時(shí)若所給的幾何體為柱體椎體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解；(2)求組合體的體積時(shí)若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積時(shí)應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.5.在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)，的部分圖象，其中且，則下列圖象中可能正確的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】本題可采用排除法進(jìn)行判定，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象的特征進(jìn)行判定.【詳解】，A項(xiàng)，∵，∴與為增函數(shù)矛盾.B項(xiàng)，∵，∴，∴為增函數(shù)，錯(cuò)誤.C項(xiàng)，，∴，錯(cuò)誤.D項(xiàng)，，∴，為減函數(shù)，正確答案為D.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的函數(shù)圖像，熟練掌握指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.6.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若,則該雙曲線的離心率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C由題意得，因?yàn)椋?，選C

7.在中，角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若，則cosC的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是(

)A．（1，3）

B．

C．

D．參考答案：B9.在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G與E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))．若GD⊥EF，則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為A．[，1)

B．[，2)

C．[1，)

D．[，)

參考答案：A解：建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，則F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因?yàn)镚D⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，＝\s\do4(12＝\s\do4(22＝，從而有≤＜1．10.執(zhí)行上圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（

）A． B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知一個(gè)球與一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面都相切，若球心到二面角的棱的距離是，切點(diǎn)到二面角棱的距離是1，則球的體積是 。參考答案：答案：

12.設(shè)，則的最小值為

。參考答案：413.對(duì)于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)的值域?yàn)閇ka，kb]（k＞0），則稱(chēng)y=f（x）為k倍值函數(shù)，若f（x）=lnx+2x是k倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（2，2+）【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值．【專(zhuān)題】計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由于f（x）在定義域{x|x＞0}內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的極大值為：g（e）=2+，當(dāng)x趨于0時(shí)，g（x）趨于﹣∞，當(dāng)x趨于∞時(shí)，g（x）趨于2，因此當(dāng)2＜k＜2+時(shí)，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件，從而求得k的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=lnx+2x，定義域?yàn)閧x|x＞0}，f（x）在定義域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b為方程lnx+2x=kx的兩個(gè)不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，可得極大值點(diǎn)x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=2+，當(dāng)x趨于0時(shí)，g（x）趨于﹣∞，當(dāng)x趨于∞時(shí)，g（x）趨于2，因此當(dāng)2＜k＜2+時(shí)，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程k=2+有兩個(gè)解．故所求的k的取值范圍為（2，2+），故答案為（2，2+）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．14.在中，若，，，則 ．參考答案：由，得，根據(jù)正弦定理得，即，解得.15.已知拋物線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|=．參考答案：8考點(diǎn)：拋物線的參數(shù)方程．專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：把拋物線的參數(shù)方程化為普通方程，求出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)AF的斜率為，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求得|PF|的值．解答：解：把拋物線C的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為y2=8x．故焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣2，再由直線FA的斜率是﹣，可得直線FA的傾斜角為120°，設(shè)準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)為M，則∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°﹣120°=60°．∴AM=MF?tan60°=4，故點(diǎn)A（0，4），把y=4代入拋物線求得x=6，∴點(diǎn)P（6，4），故|PF|==8，故答案為8．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．16.若甲以10發(fā)8中，乙以10發(fā)6中，丙以10發(fā)7中的命中率打靶，三人各射擊一次，則三人中只有一人命中的概率是___________．參考答案：略17.若時(shí)，均有，則=

參考答案：3/2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知A={x|1<|x-2|<2},B={x|x2-(a+1)x+a<0}，且A?B1?,試確定a的取值范圍.

參考答案：解不等式1<|x-2|<2得0<x<1或3<x<4

∴A={x|0<x<1或3<x<4},

…………3分又B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}，

………………6分從數(shù)軸上可直觀地得到，要使A?B1?則a的范圍是（-￥，1）è（3，+￥）

………………10分19.已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【專(zhuān)題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可； （Ⅲ）利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論． 【解答】解答：（I）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=， ∵過(guò)點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2， ∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分） （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）； 則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=a（）．…（4分） 令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1， ∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增． ∴g（x）最小值為g（1）=0， 故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分） （Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，則h′（x）=﹣1， 令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分） 當(dāng)a＞e時(shí)，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分） 當(dāng)1＜a≤e時(shí)，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減， ∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分） 當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0， ∵h(yuǎn)（e）=a+1﹣e＜0不合題意．…（11分） 綜上，a≥e﹣1…（12分） 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力． 20.（本小題滿(mǎn)分12分）

如圖，在直三棱柱中，分別為和的中點(diǎn)，平面，其垂足F落在直線上。（1）求證：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值。參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）．（1）∵在直三棱柱中，平面，又∵平面，∴．……2分又∵平面，平面，∴．又∵分別為和的中點(diǎn)，∴，∴．……4分而平面，平面，且，∴平面．又∵平面，∴．……5分（2）由（1）知平面，平面，從而，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．……