隨機(jī)變量及其分布課件市公開課一等獎省賽課微課金獎?wù)n件

1第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)分布第1頁2從概率定義我們知道，概率是自變量為集合特殊函數(shù)；為了能用變量、函數(shù)及微積分等工具來研究事件發(fā)生概率，需要引入概率論中主要概念――隨機(jī)變量?！?.1隨機(jī)變量第2頁3定義：設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，Ω是其樣本空間，假如對每一個，有唯一實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，則稱X是E一個隨機(jī)變量。說明3引進(jìn)隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件能夠用隨機(jī)變量在實(shí)數(shù)軸上某一個集合中取值來表示。所以，研究隨機(jī)事件概率就轉(zhuǎn)化為研究隨機(jī)變量取值概率。第3頁4例2.觀察某網(wǎng)站在一段時間內(nèi)被點(diǎn)擊次數(shù)。例3.觀察燈泡使用壽命t.例1.從含有2個黑球，3個白球盒子中任取3個球，觀察取出球情況。若令X表示取出3個球中黑球個數(shù)第4頁5§2.2隨機(jī)變量分布函數(shù)對于隨機(jī)試驗而言，僅僅知道可能出現(xiàn)隨機(jī)事件并不主要，主要是這些事件出現(xiàn)可能性有多大。

對于隨機(jī)變量X來說，就是X取什么值不主要，主要是X取這些值概率有多大。第5頁6注意（1）分布函數(shù)定義域為一切實(shí)數(shù)；（2）分布函數(shù)在x處取值表示是隨機(jī)變量X在上概率。定義：設(shè)X是一個隨機(jī)變量，是一個實(shí)數(shù)，函數(shù)就稱為隨機(jī)變量X概率累積分布函數(shù)(cdf:cumulativedistributionfunction)，簡稱分布函數(shù)。第6頁7分布函數(shù)性質(zhì)：（1）單調(diào)增，即若，則有（2）且（3）右連續(xù)，即含有上述3條性質(zhì)函數(shù)一定是某個隨機(jī)變量分布函數(shù)。第7頁8例1、判斷以下函數(shù)是否為分布函數(shù)：第8頁9關(guān)于分布函數(shù)還有一些慣用公式：（1）（2）（3）（4）第9頁10§2.3離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：假如隨機(jī)變量取值個數(shù)有限，或者可數(shù)，則其取值能按一定次序一一列舉出來，這么隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。第10頁11定義：假如離散型隨機(jī)變量X一切可能取值為，則稱P(X=xk)＝pk為隨機(jī)

變量X分布律(列),也稱概率質(zhì)量函數(shù)pmf:probabilitymassfunction。分布律常慣用表格形式表示：Xx1x2

…xk…Pp1p2

…pk…2.3.1離散型隨機(jī)變量分布列第11頁12分布律性質(zhì)：反之，若數(shù)列滿足這兩條性質(zhì)，則一定是某一離散型隨機(jī)變量分布律。（1）（2）第12頁13例1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布列為求正數(shù)a值。例2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布列其中，為已知，求常數(shù)C。第13頁14離散型隨機(jī)變量X分布函數(shù)為

例3.求隨機(jī)變量X分布函數(shù)。

X分布列為X0123第14頁15定義：把試驗E在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次，各次試驗結(jié)果有限且互不影響，則稱這n次試驗為n次獨(dú)立試驗。假如試驗只有兩個結(jié)果（），則稱為貝努里試驗。n次獨(dú)立貝努里試驗又稱為n重貝努里試驗。第15頁162.3.2常見離散型隨機(jī)變量

（1）(0-1)分布(兩點(diǎn)分布)(two-pointdistribution)其中，則稱X服從（0-1）分布。（0-1）分布隨機(jī)變量X對應(yīng)貝努里試驗里成功（A事件）次數(shù)。P(A)=p設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個數(shù)值，它分布律為第16頁17（2）二項分布(Binomialdistribution)若隨機(jī)變量X分布律為

其中，則稱X服從參數(shù)為n,p二項分布，記為，當(dāng)時，就是(0-1)分布。二項分布隨機(jī)變量X對應(yīng)n重貝努里試驗中成功次數(shù)。P(A)=p第17頁18定理：設(shè)X是n重貝努里試驗中成功（A發(fā)生）

次數(shù)，則X~B(n,p)，其中p=P(A)第18頁19定理：設(shè)X~B(n,p)，m=(n+1)p,則設(shè)k為事件A最可能成功次數(shù)，稱P(X=k)為二項分布中心項。第19頁20泊松定理可用泊松分布近似計算二項分布概率，通常要求第20頁21例4.把3個球任意地放到4個盒子中，令X表示

落到第1個盒中球個數(shù)，求X分布列。第21頁例5.甲乙兩種名酒各4杯，從中任取4杯，若取

出都是甲種酒稱試驗成功（A），求：1.試驗一次取得成功概率；

2.某人稱能區(qū)分這兩種酒，讓他做了10次

試驗，結(jié)果成功了3次，試判斷此人是否

真有區(qū)分這兩種酒能力。第22頁23（3）泊松分布（Poissondistribution）設(shè)隨機(jī)變量X可能取值為一切非負(fù)整數(shù)，而取值k概率為

，其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ泊松分布，記為

X～P()。設(shè)k為最可能成功次數(shù)，則稱P(X=k)為泊松分布中心項。第23頁服從泊松分布隨機(jī)現(xiàn)象尤其集中在兩個領(lǐng)域中。一是社會生活中：如電話交換臺中收到呼叫次數(shù)，公共汽車站到來乘客數(shù)，某地域某時間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故次數(shù)等等。二是物理學(xué)領(lǐng)域：放射性物質(zhì)經(jīng)過某區(qū)域質(zhì)點(diǎn)數(shù)，顯微鏡下某區(qū)域微生物或血細(xì)胞數(shù)目等等。Poisson分布主要用于描述在固定時間(空間)中稀有事件發(fā)生數(shù)第24頁P(yáng)ossion分布基本特征一個Poisson過程有三個基本特征：(1)在長度為t時間段內(nèi)，發(fā)生一次事件機(jī)率與t成正比：。(2)瞬間發(fā)生兩次及兩次以上事件機(jī)率能夠忽略。(3)在不重合時間段里，事件各自發(fā)生次數(shù)是獨(dú)立。在長度為t時間段內(nèi)，事件發(fā)生次數(shù)X～P()

。則在單位時間段內(nèi)，事件發(fā)生次數(shù)X～P()

。第25頁26泊松定理結(jié)論：1.泊松分布能夠看做二項分布當(dāng)n很大，p很小時極限分布,；2.可用泊松分布近似計算二項分布概率，通常要求第26頁（4）超幾何分布（Hypergeometricdistribution）若X分布律為實(shí)例：不放回摸球問題注：當(dāng)N很大，n很小時，不放回摸球問題可近似當(dāng)成有放回摸球問題處理，令p=M/N,第27頁28（5）幾何分布（Geometricdistribution）定義：若隨機(jī)變量X分布律為，則稱X服從幾何分布。X含義：貝努里試驗中首次成功事件出現(xiàn)所要進(jìn)行試驗次數(shù)。第28頁29例1。一射手對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每一次

擊中概率為0.8（1）求一次射擊分布列；（2）求到擊中目標(biāo)為止所需射擊次數(shù)分布列。第29頁30（6）負(fù)二項分布（帕斯卡分布）

(negativebinomial/Pascaldistribution)尤其，當(dāng)r=1時即為幾何分布。X含義：貝努里試驗中第r次成功事件出現(xiàn)所要進(jìn)行試驗次數(shù)。第30頁312.4.1連續(xù)型隨機(jī)變量概念假如隨機(jī)變量取值能充滿實(shí)數(shù)軸上某個區(qū)間，甚至于整個實(shí)數(shù)軸。這么隨機(jī)變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量?！?-4連續(xù)型隨機(jī)變量第31頁32定義：設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為。若存在非負(fù)可積函數(shù)，使得對于任一實(shí)數(shù)x有①則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)稱為X概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction，簡稱為概率密度pdf。第32頁33概率密度性質(zhì)：（1）（2）反之，對于任何一個滿足這兩條性質(zhì)函數(shù)則由①定義也一定是某個連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)。（4）若在x處連續(xù)，則（3）是連續(xù)函數(shù)第33頁34

對連續(xù)型隨機(jī)變量X而言，概率為0事件未必是不可能事件；概率為1事件也未必是必定事件。（5）連續(xù)型隨機(jī)變量X在一個點(diǎn)上取值概率恒為0。第34頁35例1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X分布函數(shù)為求常數(shù)A及其概率密度函數(shù)。例2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)為

,－∞<x<+∞，求常數(shù)C。第35頁36注意：普通，同一個連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)能夠有很多個，但它們只在有限個點(diǎn)或可數(shù)個點(diǎn)上取值不一樣。

所以連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度函數(shù)是“幾乎處處”唯一。第36頁372.4.2幾個主要連續(xù)型隨機(jī)變量

1、均勻分布Uniformdistribution

設(shè)有連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為記為。則稱X在區(qū)間上服從均勻分布，分布函數(shù)：第37頁例1.設(shè)隨機(jī)變量K～，求方程有實(shí)根概率。解：K概率密度函數(shù)為：方程有實(shí)根，即第38頁392、指數(shù)分布Exponentialdistribution若隨機(jī)變量X含有密度：其中，是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ

指數(shù)分布（壽命分布）。記為：X~。分布函數(shù)：性質(zhì)：指數(shù)分布含有無記憶性MemorylessProperty第39頁40例2.某種電器元件使用壽命X（單位：小時）服從

參數(shù)為λ＝1/指數(shù)分布。（1）任取一個元件，求能正常使用1000小時

以上概率。（2）求其正常使用1000小時后還能使用1000

小時概率。第40頁例3.某種電子元件壽命(小時)服從參數(shù)為1/10000指數(shù)分布。

問：5個這么元件連續(xù)使用了小時后恰有2個損壞

概率和沒有一只元件損壞概率。解：該種元件壽命概率密度為：一個元件壽命不超出小時概率為第41頁記Y為5個元件使用小時后損壞個數(shù)，則：Y～所以，2個元件損壞概率沒有元件損壞概率第42頁3正態(tài)分布Normal/Gaussiandistribution若X

pdf為則稱X服從參數(shù)為

,2正態(tài)分布(高斯分布)。記作X

～N(,2)為常數(shù)，1、定義第43頁德國10馬克現(xiàn)金上

Gauss與正態(tài)分布曲線第44頁第45頁2、f(x)性質(zhì)：(1)圖形關(guān)于直線x=

對稱。(2)在x=

時,f(x)取得最大值。(3)

x=

±

為曲線

y=f(x)拐點(diǎn)。(4)曲線

y=f(x)以x軸為漸近線。(5)曲線

y=f(x)圖形呈單峰狀。yxμ(6)參數(shù)σ決定了正態(tài)曲線形狀，

σ越小，曲線越陡峭數(shù)據(jù)越集中，

σ越大，曲線越扁平，數(shù)據(jù)越分散。第46頁47標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)μ＝0、σ＝1時分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)，則其分布函數(shù)為：定理：設(shè)X～，則。第47頁48標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布性質(zhì)及應(yīng)用

第48頁例

設(shè)X~N(1,4),求P(0

X1.6)解查表第49頁50α

分位點(diǎn)：給定常數(shù)

，若存在數(shù)滿足，則稱為隨機(jī)變量X上α分位點(diǎn)（臨界點(diǎn)）；當(dāng)時，稱為隨機(jī)變量X中位數(shù)。yxo普通,上α分位點(diǎn)可查表得到。第50頁51例1：公共汽車車門高度是按照男子與車門

頂碰頭機(jī)會小于1%設(shè)計。假設(shè)男子身高X~N(175,25)，問車門高度應(yīng)為多少適當(dāng)？第51頁例2.某醫(yī)院新出生嬰兒體重X近似服從正態(tài)分布，已知超出4千克和不到2.5千克人數(shù)各占了20％，求值及體重不到2千克人數(shù)所占百分比。解：第52頁53例3.某科統(tǒng)考成績近似服從正態(tài)分布，在參加統(tǒng)考人中，及格者100人（及格分?jǐn)?shù)為60分）

計算：1）不及格人數(shù)。2）預(yù)計第10名成績。第53頁例4.

設(shè)測量誤差X

～N(7.5,100)(單位：米),問要進(jìn)行多少次獨(dú)立測量，才能使最少有一次誤差絕對值不超出10米概率大于0.9?解設(shè)A

表示進(jìn)行n

次獨(dú)立測量最少有一次誤差絕對值不超出10米。n

>3.12所以最少要進(jìn)行4次獨(dú)立測量才能滿足要求.第54頁552-5隨機(jī)變量函數(shù)分布已知隨機(jī)變量X分布，是連續(xù)函數(shù)，

求分布律、分布函數(shù)或密度函數(shù)。第55頁56則分布列為：

g(x1)

g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk…1.X是離散型隨機(jī)變量：X

x1

x2…xk…P

p1p2…pk…