【證明不等式的常用方法探究15000字（論文）】

證明不等式的常用方法研究摘要在不等式的證明中,從中學(xué)課程到大學(xué)課程,對學(xué)生來說一直都是一個難點,然而學(xué)會證明不等式卻在中學(xué)和大學(xué)課程中甚至是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中都占據(jù)重要地位,不等式也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個重要的工具之一.雖然專門研究不等式的理論直到17世紀(jì)后才開始有的,但是不等式的發(fā)展十分迅速,直至現(xiàn)在已經(jīng)有一個較為完整的體系.關(guān)于不等式證明雖然只是其中的一個模塊,但無論是在課程中還是在理論研究中都是一個重難點,且不等式的證明無系統(tǒng)方法.因此本文就不等式證明的方法進(jìn)行總結(jié).本文即介紹了數(shù)學(xué)歸納法和比較法等一些常用方法,也介紹了用所學(xué)的中值定理和函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)證明不等式,同時還介紹了一些常用不等式.關(guān)鍵詞:不等式;數(shù)學(xué)歸納法;比較法;中值定理目錄第一章緒論 11.1不等式的背景 11.2選題意義 11.3研究內(nèi)容 2第二章不等式證明的基本方法 32.1初等方法 32.2導(dǎo)數(shù)法 122.3定積分法證明不等式 132.4利用冪級數(shù)展開證明不等式 14第三章利用函數(shù)證明不等式 163.1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 163.2中值定理 18第四章一些常用不等式 244.1均值不等式的應(yīng)用 244.2柯西-施瓦茨不等式 254.3詹森不等式的應(yīng)用 26第四章總結(jié) 28參考文獻(xiàn) 29第一章緒論1.1不等式的背景數(shù)學(xué)自萌芽之日起,就表現(xiàn)出其能用于解決各種實際問題的能力.因此,數(shù)學(xué)的發(fā)展于社會的進(jìn)步相互之間有這緊密的聯(lián)系,這種聯(lián)系是不可分割,相互影響的.一方面,社會中經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r,政治文明狀況等很多涉及到社會方面的因素都深深影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展;另一方面,數(shù)學(xué)的發(fā)展是否完善,是否先進(jìn)也影響著社會的發(fā)展與進(jìn)步[1].通常人們只認(rèn)為數(shù)學(xué)只是理論知識,最多涉及到物質(zhì)文明,因為無論是第一次工業(yè)革命,或是第二次工業(yè)革命,亦或第三次工業(yè)革命都是數(shù)學(xué)理論上的一次重大進(jìn)步.但數(shù)學(xué)同樣與精神文明有關(guān),比如在畫作中常需要構(gòu)圖以及我們生活中所常說的對稱美,都與數(shù)學(xué)有著密切聯(lián)系.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,不等式一定是其中的重點內(nèi)容,同時還涉及到數(shù)學(xué)的其它分支,且與其聯(lián)系緊密.因此有關(guān)不等式的問題常常能用多種方法解決,解決不等式的相關(guān)問題也經(jīng)常涉及到數(shù)學(xué)各個分支的一些基礎(chǔ)知識.有關(guān)不等式的理論是數(shù)學(xué)理論中不可或缺的一部分,而且和很多知識都有著十分緊密的關(guān)系[2].特別是在高中時期,不等式問題更是考察學(xué)生學(xué)習(xí)知識點的最佳問題類型,其在解題方法中具有多樣性,能夠考察學(xué)生運用知識的能力并加強(qiáng)學(xué)生學(xué)以致用的能力.在高中常用函數(shù),基本不等式,求導(dǎo)等知識解決不等式問題的方法.所以本文詳細(xì)介紹證明不等式的一些常用方法.對于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),學(xué)習(xí)不等式證明是其中一個重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了解決人類生活上遇到的一些問題以提高生活品質(zhì),因為它在物理學(xué),天文學(xué),建筑學(xué)等很多方面都有著十分重要的作用,是這些與人類生活密切相關(guān)的學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容.但是在解決物理學(xué),天文學(xué),建筑學(xué)等中一些數(shù)學(xué)問題時,有時候有些方法并不能快速簡單的解決問題,甚至有時有的理論也無法得到驗證,所以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中常常要求學(xué)者多加探索一些新的方法[3].在大學(xué)的主修課程——"數(shù)學(xué)分析”中,不等式的學(xué)習(xí)更為重要,既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的重點也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的難點,同時其中所學(xué)的很多知識都能用于解決不等式問題.就比如我們所學(xué)過的函數(shù)的凹凸性,泰勒公式,拉格朗日中值定理,柯西中值定理等,都在解決不等式相關(guān)問題的領(lǐng)域占重要地位.1.2選題意義在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的過程中,不等式的證明一直在其中占據(jù)重要地位,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容,這在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都得到很好的反映.眾所周知,生活中的不等現(xiàn)象要比相等的現(xiàn)象更加多,但在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中,不等式理論真正發(fā)展起來卻在十七世紀(jì)以后,并迅速成為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要內(nèi)容.回顧從小學(xué)到現(xiàn)在的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程,有關(guān)于證明不等式的問題往往是題型多變、證明方法多種多樣且需要很強(qiáng)的技巧.每次在證明不等式之前,通常需要認(rèn)真分析題目已知信息和所需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點以及其與所學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,最終才能夠選擇出適當(dāng)?shù)暮喢鞯淖C明方法.想要學(xué)會證明不等式,就要熟悉數(shù)學(xué)中有關(guān)于證法的內(nèi)在推理思維,并且需要熟練掌握證明的有關(guān)技巧,步驟和語言說明以及特點,通過滲透問題的本質(zhì)特征使得比較難的問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦雍唵蔚膯栴}.證明不等式的方法有很多,卻直到17世紀(jì)之后不等式才正式發(fā)展起來,因為不等式在生活中很常見,比如消費娛樂設(shè)計,運輸方案設(shè)計等,所以不等式的證明在數(shù)學(xué)和生活中都占據(jù)重要地位.也是因此,探究不等式的證明方法也變得十分重要,多加學(xué)習(xí)不等式的證明方法對于中學(xué)生和大學(xué)生的數(shù)學(xué)相關(guān)課程學(xué)習(xí)都是非常重要的.1.3研究內(nèi)容本文采用文獻(xiàn)方式,總結(jié)一些證明不等式的常用方法并給出適當(dāng)例題來進(jìn)行學(xué)習(xí),本問的主要研究內(nèi)容如下:證明不等式的常用方法,并分類總結(jié);總結(jié)一些常用的不等式,并能夠在不等式的證明中得以應(yīng)用;通過對所總結(jié)的不等式的證明方法的理論學(xué)習(xí),在例題中得以應(yīng)用.

第二章不等式證明的基本方法2.1初等方法比較法:在平時生活學(xué)習(xí)中,面對不等的情況,一般最先想到的是比較法,即將不等式的兩邊作比較,這是證明不等式的一個比較簡單的方法.數(shù)學(xué)中是比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?數(shù)學(xué)中比較法有兩種:作差法和作商法.但在解決不等式問題時,應(yīng)根據(jù)實際情況選擇作差法和作商法.作差法常用于不等式中分式或者是多項式比較多的情況,而當(dāng)不等式兩邊若是冪,乘,除較多時建議采用作商法.作差法:在初高中數(shù)學(xué)中,學(xué)生們常用作差法去解決問題.作差法的主要步驟:1.不等式的兩邊進(jìn)行作差;2.依據(jù)不等式的情況對不等式進(jìn)行化簡;3.利用已知的一些公理或題目已知信息判斷作差后式子是大于零還是小于零.在對不等式化簡時有很多種方法,常用的就是配方法和差分法.例1[4]已知a,b,c為互不相等的實數(shù),證明a2證明:(=(=[(因為a,b,c為互不相等的實數(shù),所以(a故而[(所以a則可得a作商法:作商法也是常用的證明不等式的方法,作商法的主要步驟:1.不等式的兩邊進(jìn)行作商;2.依據(jù)不等式的情況對不等式進(jìn)行化簡;3.利用已知的一些公理或題目已知信息判斷作差后式子是大于1還是小于1.在對不等式化簡時有很多種方法,常用的就是通分法和拆分法.在運用作商法的時候一定要特別注意分母不能為零.例2[5]已知a>b>0,求證:aa證明:a因為a所以a故而(因此有a分析法:分析法,亦稱為逆推法,即從題目中所需證的不等式出發(fā),通過分析轉(zhuǎn)換從而找到該不等式成立所需要的條件,這就將證明不等式的問題轉(zhuǎn)化為找不等式成立的條件.用分析法解決問題時,若最終能夠從已知中獲得不等式成立的條件,則可證得原不等式成立.在運用分析法解決問題時,要從結(jié)論出發(fā),一步一步進(jìn)行推導(dǎo),使得每一步都是可逆的,最終找到不等式成立所需要的條件.例3[6]已知a,b,證明:b?????通過已知a可得bcc2則有bc即b反證法:在面對一些正面解決不了的問題時,可以從反面去思考,這就是反證法的由來.在數(shù)學(xué)中用反證法解決問題,首先是要假設(shè)所需要證明的命題是不成立的,即假設(shè)在原有的條件下,所得到的命題是不成立的,然后通過演繹推理得到與該假設(shè)完全矛盾的結(jié)果,從而證明這個假設(shè)是錯誤的,進(jìn)而得到原命題是成立的,這就是反證法的證明思路.反證法能用于解決很多數(shù)學(xué)中的問題,從而讓問題變得簡單,在不等式的證明中同樣可以應(yīng)用反證法解決問題.例4[7]已知fx=x2+證明:假設(shè)f1,f那么???由式子1(2)?4<由式子2(3)?6<顯然上述兩種情況是相矛盾得,所以f1、f變量代換法:變量代換法也成為換元法,在使用變量代換方法時,要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點選擇合適的變量代換方法,從而將不等式化為自己所熟知得不等式,或者是已經(jīng)證明過得不等式,亦或是簡單的不等式,從而證明給出的不等式.下面介紹證明不等式的常用兩種變量代換法:三角代換法和代數(shù)代換法.三角代換法:三角代換是數(shù)學(xué)中解題的一種重要辦法,尤其是在不等式的證明中,若所觀察到的代數(shù)不等式可以與某些三角函數(shù)聯(lián)系,或者是觀察到題中代數(shù)不等式較為復(fù)雜無從下手,亦或是證明的過程較為復(fù)雜時,可以考慮進(jìn)行三角代換,將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為三角不等式,從而能夠利用三角函數(shù)的一些性質(zhì)和所熟知的三角公式進(jìn)行解題.但在應(yīng)用三角代換法時,要求熟知三角函數(shù)的性質(zhì)和三角公式.例5[8]若a,b1+證明:通過分析已知條件和不等式的結(jié)構(gòu),可做三角代換:a利用已知的兩個恒等式:1+cot則可將所需證明的不等式化簡為:csc??由AM-GM不等式得:sin同理可得:將(1)(2)(3)相乘可得:sin則可得到所需要證明的不等式:1+代數(shù)代換法:代數(shù)代換法一般是通過題目已知的代數(shù)等式,對所需要證明的不等式進(jìn)行代換,從而化簡所需證明的不等式,使得不等式更易于證明.常用的一些代換如下:xyz=1?xy+yz+zx=1?xxy+yz+zx=?1?x=x=有時條件未必十分明了,下面羅列了一些特殊的條件代換.a+b+c+abc=0,a,b,c∈?a=A??x=特別地,令A(yù)=B=A=B=1?2+x+y+z=xyz;A=2B=2?4=xy+yz+zx+xyz.對于這一類型還有更一般的形式（令E=1DA?上述即為一些可能用于證明不等式的代換[8].例6[8]假設(shè)a,b,c≥0且a,b,c中沒有兩個同時為零的情況,求證:a證明:作導(dǎo)數(shù)代換,令x=1x由柯西不等式,有y則要證原不等式成立,只需證明(也即(利用AM-GM不等式有((y則要證原不等式成立,只需證明x再由柯西不等式有x+y+z則要證原不等式成立,只需證明x+y+z上式有AM-GM不等式可知顯然成立. 故原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號,得證.增量代換法:若題目假設(shè)條件有a≥b≥c時,且所需要證明的不等式是關(guān)于變量a,b,例7[9]設(shè)ak∈R證明:設(shè)a則δa==≥當(dāng)且僅當(dāng)δ1=δ構(gòu)造法:構(gòu)造法就是通過構(gòu)造一些函數(shù),復(fù)數(shù),恒等式等來替換原不等式中的部分結(jié)構(gòu),從而將題中不等式轉(zhuǎn)換成自己所熟悉的不等式,或者是已經(jīng)證明過的不等式,亦或是較為明顯的不等式,進(jìn)而使得原不等式更易于證明.例8[10]設(shè)a,b,c,d∈R+,ab+bc+cd+da=1證明:令s=a+b+c+d,令函數(shù)fx則原不等式等價于注意到(1)式在[0,s]上為凸函數(shù),且fx在s4,ff同理可得f所以f所以原不等式成立,得證.數(shù)學(xué)歸納法:數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思維方法之一,數(shù)學(xué)歸納法就是需要通過列舉部分示例,然后對其進(jìn)行歸納得出結(jié)論.當(dāng)已知條件較多時或者是規(guī)律極其明顯時,可用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式成立.數(shù)學(xué)歸納法的形式有三種：第一數(shù)學(xué)歸納法,第二數(shù)學(xué)歸納法,反向數(shù)學(xué)歸納法.第一數(shù)學(xué)歸納法步驟：1.先證明當(dāng)n=1時不等式成立;2.假設(shè)n?1時不等式成立;3.證明n時不等式成立.第二數(shù)學(xué)歸納法步驟：1.先證明當(dāng)n=1時不等式成立;2.假設(shè)小于等于n?1時不等式成立;3.證明n時不等式成立.反向數(shù)學(xué)歸納法步驟：1.不等式對無數(shù)多個自然數(shù)n都成立;2.假設(shè)設(shè)n+1時不等式成立;3.證明n時不等式成立.三種數(shù)學(xué)歸納法都十分相似.例10[11]證明:2證明:=1\*GB3①當(dāng)n=3時,23>2×3+1,原不等式顯然成立;=2\*GB3②假設(shè)n=k,2k>2k+1成立,則2?即2故n=k+1時原不等式成立.綜上所述?n≥3,n∈N都有2n放縮法:在數(shù)學(xué)中,傳遞性是不等式的一個非常重要性質(zhì),可以利用不等式的傳遞性,增加項或者刪減項,使得值發(fā)生變化,從而使得所得的式子和已知式子之間的關(guān)系更加明確,進(jìn)而使得不等式的項獲得簡化,使得不等式的證明更加簡單.放縮法有很多種,最常見的三種有:(1)增減放縮法:在不等式的某一邊加上或者減去部分項,使不等式獲得簡化,明確證明思路;(2)拆項放縮法:拆項放縮法常用于數(shù)列不等式,主要是若在不等式中增加或者減少某些項能夠使得其轉(zhuǎn)換成一些數(shù)列或者是某些函數(shù);(3)公式法:公式法就是用一些常見的或者是已知的不等式,對所需證明的不等式進(jìn)行化簡,放縮.常見的公式如下[12]:(1)若t>0,A+t>A,A?t<A;(2)n?1<(3)1n(4)若a,b,m∈R+,(5)1+1(6)1+1(7)1n+1(8)1(9)1+1例11[12]證明:1證明:利用上述說明以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識可知:1則有不等式左邊,即向量法:用向量法解決數(shù)學(xué)中的問題在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)中十分常見,若是在遇到無法用常規(guī)方法證明的不等式時,則可以觀察題目已知信息和不等式的結(jié)構(gòu),嘗試用向量的一些性質(zhì)來證明不等式.向量中常用的可用于證明不等式的性質(zhì)即為向量的模和向量的內(nèi)積,但是這通常需要考驗抽象思維能力,需要將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為向量,有時經(jīng)常需要靠自己的經(jīng)驗來構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄?例12[13]已知m>0,n>0,且m≠n,求證:m+nm證明:由已知m>0,n>0,設(shè)向量a=m,n,因為m≠n,所以m則可得a與b不共線,0<θ<π.故而有(從而(即m+n2.2導(dǎo)數(shù)法對于導(dǎo)數(shù)的一些基本性質(zhì),高中的教學(xué)應(yīng)已經(jīng)爛熟于心,而大學(xué)的數(shù)學(xué)分析讓人更加深入了解導(dǎo)數(shù).在不等式的證明中則可用到函數(shù)求導(dǎo)的特點來證明不等式.若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),則有:(1)f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增(x∈I)?f'(x)≥0(x∈I),且在I(2)f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減(x∈I)?f'(x)≤0(x∈I),且在I在用導(dǎo)數(shù)法證明不等式時,不僅會涉及到導(dǎo)數(shù)的知識,同時也會涉及到函數(shù)的相關(guān)知識,下面例舉用導(dǎo)數(shù)法證明不等式.例13[14]已知x,y,z∈R+,求證:證明:對函數(shù)ftf其中p=(at+b)當(dāng)t2<bdac時,當(dāng)t2>bdac時,因此,ft在tf固定y,對x的函數(shù)g用上面的結(jié)果(a=5,b=1,c=4,d=3y)得同樣,對z的函數(shù)有所以,由式(2)(3)并對y的函數(shù)再一次用上面的結(jié)果得:式12.3定積分法證明不等式在學(xué)習(xí)積分時,積分的應(yīng)用十分廣泛,同時定積分具有一些性質(zhì),可用于不等式的證明.下面是關(guān)于定積分的一些性質(zhì):(1)牛頓-萊布尼茨公式:某個函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,b]上由連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則有a(2)若f(x)二階可導(dǎo),且f'a用定積分法證明不等式其實就是將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為積分不等式,但是在選取函數(shù)以及積分的上下限時一定要注意,上限一定要大于下限,且不等式兩邊的積分限一定要相同.例14[15]當(dāng)x>0時,證明1x+證明:（利用積分法）對x>0有:1對于積分變量t,0<t<1<1+t<即1從而有0即12.4利用冪級數(shù)展開證明不等式冪級數(shù)在分析數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位,在不等式的證明中有著廣泛的應(yīng)用,下面列舉一些常用的冪級數(shù)展開式:(1)e(2)sin(3)(4)ln(5)(6)(7)1(8)(9)1+xα=1+αx+?+例15[16]對于所有的整數(shù)n>1,證明12ne證明:當(dāng)n>1時,由exe即n?1從而有(1?所以1另由ln1+xln由此可得當(dāng)n≥2時,由e?xe<1?結(jié)合式(2)(3),有(1?由式(1)(4)知所需證明的不等式成立,得證.

第三章利用函數(shù)證明不等式3.1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式單調(diào)性:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的基本性質(zhì),是學(xué)習(xí)函數(shù)的必學(xué)內(nèi)容.因為函數(shù)的單調(diào)性是用來描述函數(shù)的增減性,即可以知道函數(shù)在不同的取值時兩者的大小,因此可以利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.要通過函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題,首先需要仔細(xì)觀察不等式兩邊式子的形式,從而構(gòu)造合適的函數(shù),繼而可以應(yīng)用到函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.但在構(gòu)造合適的函數(shù)時,需要注意函數(shù)中變量的取值范圍,同時值得注意的是只有在構(gòu)造合適的函數(shù)時,才能簡化不等式的證明,有時需要對原不等式進(jìn)行變形才能發(fā)現(xiàn)合適的構(gòu)造函數(shù).例1[17]證明當(dāng)x>0時,(1+x)(1+證明:在不等式兩邊同時取對數(shù)得:1+化簡得:2通過觀察上式,構(gòu)造輔助函數(shù)f求一階導(dǎo)得:f求二階導(dǎo)得:f通過函數(shù)性質(zhì),因為f''x>0,所以f'x在區(qū)間(0,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增,從而f又因為f(x)在[0,+∞)上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加,故fx即2x+從而x+故(1+x)函數(shù)極值:函數(shù)極值是指函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)取得的極大值或者是極小值,最終可以得到該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的最大值和最小值,因此函數(shù)極值可用于證明形如f(x例2[18]證明:12證明:令fx=2那么在區(qū)間(0,12)內(nèi),f(x)當(dāng)0<x<14時,當(dāng)14<x<1根據(jù)函數(shù)的極值性質(zhì)可知,f14=而f0故當(dāng)0≤x≤12時,從而0即1凹凸性:已知函數(shù)有關(guān)于凹凸性的定義如下:定義1[19]設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對I上的任意兩點x1,xf則稱f為I上的凸函數(shù).反之,如果總有f則稱f為I上的凹函數(shù). 通過凹函數(shù)和凸函數(shù)的定義知道,凹函數(shù)和凸函數(shù)本來就是通過不等式來定義的,自然能用于不等式的證明.同時,在數(shù)學(xué)分析中也可以了解到,凹函數(shù)和凸函數(shù)的變形有很多種,這表示在不等式的證明中可以靈活利用凹凸函數(shù)的各種變形來化簡不等式,從而使證明過程更加簡單,最終得到所需要證明的結(jié)果.例3[19](詹森(Jensen)不等式)若f為[a,b]上凸函數(shù),則對任意xi∈[a,b],證明:應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=2時,由凸函數(shù)的定義可知顯然成立.設(shè)n=k時命題成立,即對任意x1,x2,?,現(xiàn)設(shè)x1,x令αi=λ由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)可推得:f(=f≤===由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任何正整數(shù)n(≥2),凸函數(shù)f總有f3.2中值定理微分中值定理:定理1[19](羅爾中值定理)若函數(shù)f滿足如下條件:(=1\*romani)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(=2\*romanii)f在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);(=3\*romaniii)fa=f(b),則在(a,b)上至少存在一點ξ,使得f'定理2[19](拉格朗日中值定理)若函數(shù)f滿足如下條件:(=1\*romani)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(=2\*romanii)f在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo),則在(a,b)上至少存在一點ξ,使得f定理3[19](柯西中值定理)設(shè)函數(shù)f和(=1\*romani)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(=2\*romanii)f在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);(=3\*romaniii)f'x和g(=4\*romaniv)ga≠g(b),則存在ξ∈(a,b),使得f微分中值定理在數(shù)學(xué)的很多方面都有應(yīng)用,在不等式中要運用微分中值定理的一般步驟為:(1)首先需要觀察不等式的兩邊構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù);(2)其次要確定微分中值定理中的區(qū)間(a,b);(3)最后可以利用微分中值定理中的f'例4[20]當(dāng)x≥0時函數(shù)fx可導(dǎo),且f'x為不增函數(shù),又f0=0證明:利用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)n=1時顯然不等式成立.當(dāng)n=2時,若x1,在x1,在[0,xf(在[xf(顯然ξ1<ξf即f假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立,即f(取f顯然,xk+1=0的情況不用證明顯然成立,故只需考慮取u=i+1f由歸納假設(shè)即可得f例5[20]設(shè)x>0求證sinx證明:設(shè)f由柯西中值定理得:f即sin因為ex所以sin即sin積分中值定理:定理4[19](積分第一中值定理)若函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且g(x)在[a,b]上不變號,則在[a,b]上不變號,則在[a,b]上至少存在一點ξ,使得a注:該定理中g(shù)(x)在區(qū)間[a,b]是可積的,且不變號,結(jié)論仍然成立.定理5[19](積分第二中值定理)若函數(shù)fx在區(qū)間[a,b]上非負(fù)單調(diào)遞減,g(x)為可積函數(shù),則存在ξ∈[a,b]a定理6[19]若在[a,b]上f(x)≥0且單調(diào)遞減,g(x)為可積函數(shù),則存在ξ∈[a,b]使得a定理7[19]若在[a,b]上f(x)為單調(diào)函數(shù),g(x)為可積函數(shù),則存在ξ∈[a,b]使得a積分中值定理常用于證明積分不等式,應(yīng)用積分中值能快速將不等式中的一些積分化簡,從而簡化不等式的證明過程.例6[21]證明02π證明:令x=πt,有0則根據(jù)第一積分中值定理有0因為π例7[21]假設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)遞減,證明對任何a∈(0,1)有0證明:對要證明的不等式進(jìn)行移項合并:0=因為f(x)單調(diào)遞減,所以在區(qū)間[0,a]上f(x)≥f(a)（即可得到0afxdx≥af(a)1?a因為f(x)為單調(diào)遞減,且a<ξ<1,所以a例8[21]設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),且單調(diào)遞增.證明a證明:將要證的不等式進(jìn)行移項,并分部積分得:a=令gx顯然f(x),g(x)在[a,a+b且g(x)在[a,a+b2]由積分第一中值定理知,存在ξ1使a=f=f+f=因為f(x)是單調(diào)遞增函數(shù),且a<ξ所以a+b即a

第四章一些常用不等式4.1均值不等式的應(yīng)用均值不等式又稱為平均不等式,是數(shù)學(xué)中重要的一個不等式,其表達(dá)式為:Hn調(diào)和平均數(shù):幾何平均數(shù):算術(shù)平均數(shù):平方平均數(shù):注意的是,其中當(dāng)且僅當(dāng)a1一般情況下,通常會采用綜合法、歸納法等來證明不等式,但是有時候證明不等式很艱難,就需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s使得證明過程更加簡化,有時就可以利用均值不等式來把復(fù)雜的問題簡單化.例1[22]證明柯西不等式(i=1證明:要證明柯西不等式,只要證明令則式(1)變?yōu)閕=1即利用均值不等式a得2同理可得:2將以上各式相加,可得:由式(2)(4)得2即不等式(3)成立,故柯西不等式成立.4.2柯西-施瓦茨不等式定理1[25](柯西不等式)i=1nxi2i=1nyi2≥i=1定理2[24](柯西-施瓦茲不等式)設(shè)函數(shù)f(x)及g(x)和它們的平方在區(qū)間[a,b]上可積分,則有a例2[22]已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1.證明a3證明:由已知條件可得:=即左邊≥(則下面只需要證明(即只需要證明3(而3由此可知原不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)aa3=bb例3[23]若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連接,且對于任意x∈[a,b]有fxa證明:令g應(yīng)用施瓦茲公式有:a即a4.3詹森不等式的應(yīng)用定理3[26](詹森不等式)若f(x)是區(qū)間[a,b]上得下凸函數(shù),則對任意的x1i=1當(dāng)且僅當(dāng)x1詹森不等式得加權(quán)形式:若f(x)是區(qū)間[a,b]上的下凸函數(shù),則對任意的x1,xf當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)x1例4[22]證明不等式(abc)a+b+c3≤證明:設(shè)f由f(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)f'x=lnx由詹森不等式有:f從而a+b+c即(又因為3所以(abc)

第四章總結(jié)在數(shù)學(xué)中,不等式的證明涉及到很多知識,從高中到大學(xué)所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識的應(yīng)用都幾乎會涉及到不等式的證明,故而證明不等式的方法有很多,本文雖然已經(jīng)列舉了十多個方法和幾個常用的不等式,但是仍然有很多其它的方法可用于不等式的證明,比如幾何法、圖形法等,同時還有很多常用的不等式可以用于不等式的證明以此來簡化不等式的證明過程,比如赫爾德不等式.這些用于不等式證明的方法和常用的不等式是需要在學(xué)習(xí)的過程中不斷積累的,目前所學(xué)到的一些方法就是前人在學(xué)習(xí)的過程中,不斷積累出來的,可以發(fā)現(xiàn)很多方法對大學(xué)生來說并不陌生,也不僅僅只是用于證明不等式,因此證明不等式的方法更多的還是需要在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)行探索,將所學(xué)的知識學(xué)以致用,廣泛應(yīng)用,而不能局限于某一塊知識.不等式的證明也是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中常遇到的而又比較難的一個知識點,主要是因為用于不等式證明的方法太多了,而且分布在不同的知識模塊,很多人無法將這些知識靈活應(yīng)用,這就導(dǎo)致不等式證明出現(xiàn)困難.不等式證明過程有時看起來很難,但是一旦掌握了方法就會變得非常簡單.但掌握方法并不代表知道或者是了解這些方法就可以了,這還是需要不斷的做題,在題目中找到不等式的規(guī)律,這樣在面對不等式的證明時,才可以快速判斷出應(yīng)該用哪種方法.因此,本文中每種方法后面都有例子供讀者參考研究.

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