2024年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)09幾何綜合題的三類折疊問(wèn)題（解析版）

方法必備09幾何綜合題的三類折疊問(wèn)題題型一：翻折與幾何基本圖形題型二：翻折與隱形圓題型三：翻折與二次函數(shù)題型一：翻折與幾何基本圖形1．（2024·山東泰安·一模）如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E．求證：【答案】見詳解【分析】本題主要考查利用平行四邊形的性質(zhì)和折疊得性質(zhì)證明，即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，∴，，在和中∴，∴．2．（2023·江蘇泰州·二模）如圖，將紙片按照下列圖示方式折疊：①將沿折疊，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為；②將沿折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為；③將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，展開后如圖，、、、為圖折疊過(guò)程中產(chǎn)生的折痕．(1)求證：；(2)若落在的右側(cè)，求的范圍；(3)是否存在使得與的角平分線重合，如存在，請(qǐng)求的大??；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析．【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，證出四邊形是菱形，則可得出結(jié)論；（2）設(shè)，求出，，當(dāng)落在的右側(cè)時(shí)，，求出，則可得出答案；（3）設(shè)，，，得出，求出，，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，與垂直且互相平分，四邊形是菱形，；（2）解：設(shè)，四邊形是菱形，，，，當(dāng)落在的右側(cè)時(shí)，，，，；（3）解：不存在．若存在使得與的角平分線重合，設(shè)，，，，，，不存在使得與的角平分線重合．3．（2023·吉林松原·三模）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)E為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．

(1)若，直接寫出的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)四邊形是菱形．理由見解析(3)或【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即得答案；（2）先證明是等邊三角形，再證明四邊形四邊相等，即得答案；（3）分點(diǎn)E在線段上和其延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)及折疊的性質(zhì)，可求得，進(jìn)一步可分別求得答案．【詳解】（1）在中，，是斜邊上的中線，即點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，；（2）（2）四邊形是菱形；理由如下：如圖②，，，，，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，即，，，是等邊三角形，，由折疊得，，，，四邊形是菱形，，，∴四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（3）如圖③，點(diǎn)E在線段上時(shí)，，，由折疊得，，，；如圖④，點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，，由折疊得，，，；綜上所述，或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東茂名·二模）如圖，正方形中，E是邊的中點(diǎn)，將沿折疊，得到，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)P．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)4．【分析】（1）連接AP，由正方形的性質(zhì)得，，由折疊得，，則，，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明，得；（2），E是邊的中點(diǎn)，得，，由勾股定理得，求得．【詳解】（1）證明：

連接AP，∵四邊形是正方形，∴，，∵將沿折疊，得到，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)P，∴，，∴，，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，E是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)是4．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣西貴港·二模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干張正方形紙片，組織同學(xué)們進(jìn)行折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【初步嘗試】把正方形對(duì)折，折痕為，然后展開，沿過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)E所在的直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，連接，如圖1，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【能力提升】把正方形對(duì)折，折痕為，然后展開，沿過(guò)點(diǎn)A與上的點(diǎn)G所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)P處，連接，如圖2，猜想的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】在圖2的條件下，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，如圖3，求的度數(shù)．【答案】初步嘗試：；能力提升：猜想：，理由見解析；拓展延伸：【分析】初步嘗試：連接，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得出，推出，即可得出答案；能力提升：根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，易證，從而證明是等邊三角形，即可得到答案；拓展延伸：連接、，由（2）得是等邊三角形，進(jìn)而得出，再結(jié)合等邊對(duì)等角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求得，，由對(duì)稱性質(zhì)得：，，證明，得到，再由，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：初步嘗試：，理由如下：如圖，連接，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴，∴；解：能力提升：猜想：，理由如下：理由：∵四邊形是正方形，∴，，由折疊性質(zhì)可得：，，，在和中，，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴；解：拓展延伸：如圖，連接、，由（2）得是等邊三角形，∴，，∵，∴，又∵，∴，，∴，，由對(duì)稱性質(zhì)得：，，∴，∴是等邊三角形，在與中，，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．6．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平面上，四邊形中，，，，，，點(diǎn)M在邊上，且．點(diǎn)P沿折線以1個(gè)單位速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)P在該折線上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)直接寫出線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接．①求的度數(shù)，并直接寫出當(dāng)、M、A共線時(shí)t的值；②若點(diǎn)P到的距離為1，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到直線的距離（用含t的式子表示）．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)①，

②或(3)【分析】（1）分兩種情況和分別求出即可；（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；畫出圖形,然后證明出,利用相似三角形的性質(zhì)求出，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；當(dāng)在上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，得，進(jìn)而求得，證明，即可求解；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）解：①，，又，，，；如圖所示，當(dāng)當(dāng)、M、A共線時(shí)，設(shè)交與點(diǎn)，∵平分，，∴，，，，，，，，，，，即，∴；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，

，，，，如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

，，，即，，，，，即，解得：，，綜上所述，的值為或；（3）解：∵當(dāng)時(shí)，在上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

由，，，設(shè)，即，，，整理得，即點(diǎn)到直線的距離為【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識(shí)且分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展實(shí)踐活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：如圖（1），正方形紙片，點(diǎn)是邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）任意一點(diǎn)，沿折疊到，如圖（2）所示；操作二：將圖（2）沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在上，得到折痕，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為，如圖（3）所示；操作三：將紙片展平，連接，如圖（4）所示．根據(jù)以上操作，回答下列問(wèn)題：①，，三點(diǎn)（填“在”或“不在”一條直線上；②和的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；③如圖（5），連接，改變點(diǎn)在上的位置，（填“存在”或“不存在”點(diǎn)，使平分．(2)遷移探究蘇鈺同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片，，，按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖（7）．請(qǐng)完成下列探究：①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖（6），和有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為1時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)①在，②，相等；③不存在；(2)①，理由見解析；②或．【分析】（1）①的對(duì)稱點(diǎn)為，，，即可判斷；②由①，由同角的余角相等得，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)即可得證；③由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，等量代換得，與矛盾，即可得證；（2）①由（1）中的②可判定，由三角形相似的性質(zhì)即可求解；②當(dāng)在上時(shí)，，由三角形相似的性質(zhì)即可求解；當(dāng)在上時(shí)，同理可判定，由三角形相似的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①的對(duì)稱點(diǎn)為，，，、、共線，故答案為：在；②由①知：、、共線，在上，，，，四邊形是正方形，，，，，在和中，()，，故答案為：相等；③不存在，理由如下：假如存在，平分，，四邊形是正方形，，，在和中()，，，，是的斜邊，，與矛盾，故假設(shè)不成立，所以答案為：不存在；（2）解：①，理由如下：由（1）中的②得：，，，；②當(dāng)在上時(shí)，，由①知：，，，當(dāng)在上時(shí)，，，，，，，，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，“十字架”典型問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山東棗莊·中考真題）問(wèn)題情境：如圖1，在中，，是邊上的中線．如圖2，將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，H．

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．問(wèn)題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交于點(diǎn)M，N，的對(duì)應(yīng)線段交于點(diǎn)K，求四邊形的面積．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)30【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論．（2）先證明四邊形為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，等積法得到的積，推出四邊形的面積，即可得解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：∵在中，，是邊上的中線，∴，∵將的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿折疊后均與點(diǎn)D重合，∴，∴，∴，∴，同法可得：，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵折疊，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，由（1）知：，，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，∵四邊形的面積，，∴四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例，菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．9．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過(guò)程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，___________度；(2)改變點(diǎn)P在上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)30(2)，理由見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出，，進(jìn)而可求出，即得出；（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可證，即得出．【詳解】（1）解：∵對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，∴，．∵在上選一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，∴．在中，，∴．故答案為：．（2）解：結(jié)論：，理由如下：∵四邊形是正方形，，．由折疊可得：，，，．又，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．10．（2023·遼寧大連·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展．問(wèn)題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；問(wèn)題2：【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得，即可得證；（2）連接，交于點(diǎn)，則是的中位線，勾股定理求得，根據(jù)即可求解；問(wèn)題2：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知條件可得，則四邊形是矩形，勾股定理求得，根據(jù)三線合一得出，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）∵等腰中，由翻折得到∴，，∵，∴；（2）如圖所示，連接，交于點(diǎn)，

∵折疊，∴，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在中，，在中，，∴；問(wèn)題2：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴，又，∴四邊形是矩形，則，在中，，,，∴，在中，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問(wèn)題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2023·重慶·中考真題）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，，求線段的長(zhǎng)．(2)如圖2，以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，求證：．(3)在取得最小值的條件下，以為邊在右側(cè)作等邊．點(diǎn)為所在直線上一點(diǎn)，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，連接，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）解，求得，根據(jù)即可求解；（2）延長(zhǎng)使得，連接，可得，根據(jù)，得出四點(diǎn)共圓，則，，得出，結(jié)合已知條件得出，可得，即可得證；（3）在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，根據(jù)題意得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，得出是的中位線，同理可得是的中位線，是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，則，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，∴，∵，∴；（2）證明：如圖所示，延長(zhǎng)使得，連接，

∵是的中點(diǎn)則，，，∴，∴，∴，∴∵是等邊三角形，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，

在取得最小值的條件下，即，設(shè)，則，，∴，，∵將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到．∴∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，∴在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵是的中點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，則，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，如圖所示，連接，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

∴，是的中點(diǎn)，∴即是的中位線，同理可得是的中位線，∴，∵是等邊三角形，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)得到，∴∴則在中，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓外一點(diǎn)到圓上距離的最值問(wèn)題，垂線段最短，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型二：翻折與隱形圓一、單選題1．（湖北鄂州·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′．當(dāng)CA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．8 D．【答案】B【詳解】作CH⊥AB于H，如圖．∵菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴CH=AB=，AH=BH=4．∵PB=3，∴HP=1．在Rt△CHP中，CP==7．∵梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，∴點(diǎn)A′在以P點(diǎn)為圓心，PA為半徑的弧上，∴當(dāng)點(diǎn)A′在PC上時(shí)，CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是確定A′在PC上時(shí)CA′的長(zhǎng)度最小．2．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過(guò)程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A′C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A′、C三點(diǎn)共線，得出A′的位置，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出A′C的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，∵M(jìn)A′是定值，A′C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A′在MC上．過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，∵在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，突破點(diǎn)是正確尋找點(diǎn)A′的位置．3．（22-23九年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，即可得點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：，則有：，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，問(wèn)題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，作正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有：，則有：，則線段的長(zhǎng)即為的長(zhǎng)度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長(zhǎng)度最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·廣東汕頭·一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為．【答案】/【分析】先由折疊判斷出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時(shí)BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)BD、BF的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點(diǎn)B、D、F共線，且F在B、D之間時(shí)，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問(wèn)題屬于中考常考題型，根據(jù)折疊確定出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長(zhǎng)的范圍為．【答案】【分析】首先根據(jù)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)分析出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，然后分點(diǎn)恰好落在邊上和點(diǎn)恰好落在邊上兩種情況討論，分別利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行求解和證明即可得出兩種臨界情況下的長(zhǎng)度，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)B與關(guān)于DE對(duì)稱，∴，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在以為圓心，為半徑的圓弧上，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，此時(shí)，連接和，由題意及“三線合一”知，，，∴在中，，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，，∴由等面積法，，∴，在中，；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，連接、、和，由題意，，∴，，∴，即：，∴，即：，∵點(diǎn)B與關(guān)于DE對(duì)稱，∴，，∴，∴，，由對(duì)稱的性質(zhì)，，∴，∴，∴，即：此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴此時(shí)，，綜上，長(zhǎng)的范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能夠根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)娜切芜M(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．6．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是．【答案】.【分析】如圖所示，點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B'、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B'E=BE=2，即可求出B'D．【詳解】如圖所示點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B'、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．故答案為22．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用；確定點(diǎn)B'在何位置時(shí)，B'D的值最小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（22-23九年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，矩形，，，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為直線上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于對(duì)稱，連接，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值．【答案】【分析】由題意可知，，可得，可知點(diǎn)在以為弦，圓周角的圓上，（要使最小，則點(diǎn)要靠近蒂點(diǎn)，即點(diǎn)在的右側(cè)），設(shè)圓心為，連接，，，，，過(guò)點(diǎn)作，可知為等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三邊關(guān)系可得：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)去等號(hào)，即可求得的最小值．【詳解】解：∵B、G關(guān)于對(duì)稱，∴，且∵E為中點(diǎn)，則為的中位線，∴，∴，∵，即，∴點(diǎn)在以為弦，圓周角的圓上，（要使最小，則點(diǎn)要靠近蒂點(diǎn)，即點(diǎn)在的右側(cè)）設(shè)圓心為，連接，，，，，過(guò)點(diǎn)作，則，∵，∴，則為等腰直角三角形，∴，又∵為中點(diǎn)，∴，，又∵四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是正方形，∴，，∴，由三角形三邊關(guān)系可得：，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)去等號(hào)，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱形圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)得知點(diǎn)在以為弦，圓周角的圓上是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝∠C＝90°，∠AFB＝∠FEC，即可得出結(jié)論；（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF，根據(jù)∠AFE＝∠ADE＝90°，得出A、D、E、F四點(diǎn)共圓，當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，∴BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最大．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，根據(jù)題意得出⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大是解題的關(guān)鍵．9．（2022·天津河?xùn)|·二模）已知，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線對(duì)折，使點(diǎn)落在處．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖②，連接，當(dāng)時(shí)．①求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，求與重疊部分的面積；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的取值范圍．【答案】(1)(2)①，②(3)【分析】（1）如圖，連接交于過(guò)作于由對(duì)折可得：證明是等邊三角形，可得再利用三角函數(shù)可得答案；（2）①利用平行線的性質(zhì)證明從而可得答案；②如圖，連接交于交于過(guò)作交于過(guò)于再分別求解的坐標(biāo)，利用函數(shù)解析式與三角形的面積公式可得答案；（3）如圖，由對(duì)折可得則在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)，與不重合，連接AC，交于當(dāng)重合時(shí)，取得最小值，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，連接交于過(guò)作于由對(duì)折可得：是等邊三角形，，（2）①而②如圖，連接交于交于過(guò)作交于過(guò)于由①得：設(shè)則解得：（不符合題意的根舍去）而設(shè)為則解得：∴為同理可得：AM為OB為解得：即所以即同理可得：與重疊部分的面積為：（3）如圖，由對(duì)折可得∴在以為圓心，為半徑的上運(yùn)動(dòng)，與不重合，連接AC，交于當(dāng)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)所以的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，一次函數(shù)的幾何應(yīng)用，圓的基本性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決幾何圖形面積問(wèn)題，利用圓的基本性質(zhì)求解線段長(zhǎng)度的最小值是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·重慶·三模）在中，，CA＝2CB．將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BC＝2，求DE的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)E，連接BE，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AC翻折得到，M為直線AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BM，將沿BM翻折得到．當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出，再由，，求得，，最后在中，求得DE的長(zhǎng)．（2）過(guò)D作DG⊥CD交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證≌，再證≌，最后通過(guò)，，進(jìn)行等量代換，得到結(jié)論．（3）過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓．在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，最小．設(shè)，通過(guò)解直角三角形，運(yùn)用翻折性質(zhì)，求得的值．【詳解】（1）解：∵CA＝2CB，BC＝2，∴CA＝4，∵，∴．∵將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵CA=4，BC＝2，∴，∴，∵，∴．（2）證明：過(guò)D作DG⊥CD交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到線段CD，，∴CD=CA，是等腰直角三角形．∵CA＝2CB，∴CD＝2CB，即CB=BD．∵CF⊥AB，∴，∴，∵，∴．在與中，∵，∴≌（ASA）．∴，∵CB=BD，∴．∵DG⊥CD，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴．在與中，∵，∴≌（SAS）．∴，∴．∵≌，∴，∴．（3）如圖，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，由題意得，在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，最小．設(shè)，∵，∴．∵，，，∴，．∵CF⊥AB，，∴，，∴．∵，，，∴．∵將沿AC翻折得到，∴，，∵，∴，∵，∴．在中，∵，，∴，．∵，∴．在中，，．∵將沿AC翻折得到，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)運(yùn)用，以及翻折的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)，合理作相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．題型三：翻折與二次函數(shù)1．（21-22九年級(jí)下·湖南株洲·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，的延長(zhǎng)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以為軸，翻折直線，與拋物線相交于另一點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求出與的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，連接，點(diǎn)在上，且，連接，若，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得結(jié)論．（2）由已知條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，則，的長(zhǎng)度可得，利用點(diǎn)的坐標(biāo)可得線段的長(zhǎng)度；根據(jù)對(duì)稱性可得的長(zhǎng)度；設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，通過(guò)證明，得出比例式，將線段的長(zhǎng)度代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，利用三角形的外角的性質(zhì)可得，通過(guò)證明，得到比例式，將線段的長(zhǎng)度代入即可得到，利用（2）中結(jié)論，將代入上式即可求得值，進(jìn)而點(diǎn)的坐標(biāo)可得，可求出直線的解析式，進(jìn)而可求得答案．【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴解得∴拋物線的解析式為．（2）∵點(diǎn)是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵軸，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴．∴．如圖所示，設(shè)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

根據(jù)題意得：．∴．∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，．∴，．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴，即．∴．∴．∵，∴．∴與的函數(shù)關(guān)系式為：．（3）∵，∴．∵，，∴．如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)．

∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴，即．由（2）知：，∴．∴．∴或．∵點(diǎn)是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，∴．∴．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為．因?yàn)橹本€的解析式的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，所以解得∴直線的解析式為．將代入，得．解得．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵在于牢記一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．（2023·天津河西·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，在y軸正半軸上有一點(diǎn)C，．點(diǎn)D，E分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且均不與端點(diǎn)重合．(1)求此拋物線的解析式；(2)如圖①，連接，將沿x軸翻折得到，當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)如圖②，連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．【答案】(1)(2)點(diǎn)G的坐標(biāo)為．(3)的最小值為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入解析式即可求得二次函數(shù)的解析式．（2）連接，設(shè)，利用，表示出G點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式即可求得結(jié)果．（3）構(gòu)造，轉(zhuǎn)化成，當(dāng)C，E，Q三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴，∴，∴此拋物線的解析式為：．（2）如圖①，連接交于M∵與關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，，∵，，∴，設(shè)，則，，∴，∵點(diǎn)G在拋物線上，∴，∴，（舍去），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為．（3）如圖②，在下方作且，連接、，∵，∴，∴，當(dāng)C，E，Q三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小為，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，∵，，∴，．∵，，∴，，∴，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，軸對(duì)稱，三角形全等，線段之和最短等知識(shí)，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)是解題關(guān)鍵．3．（2023·廣西貴港·三模）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且直線軸，點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，且以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N，若將沿翻折，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)則恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明段理由．【答案】(1)；(2)或或(3)存在，或【分析】（1）可先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式求得的值，令，求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分為為邊和為對(duì)角線兩種情形，當(dāng)為邊時(shí)，分為，前者觀察點(diǎn)和點(diǎn)重合，后者點(diǎn)的縱坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)