排列與排列數(shù)（第二課時(shí)）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

排列與排列數(shù)（第二課時(shí)）思考：分布乘法原理和排列數(shù)有什么內(nèi)在聯(lián)系？答：排列數(shù)是根據(jù)分步乘法原理推導(dǎo)出來(lái)的，是分步乘法原理最簡(jiǎn)單、高度符號(hào)化的應(yīng)用實(shí)例。大部分“計(jì)數(shù)問(wèn)題”都可以拆解成若干個(gè)排列問(wèn)題的組合，從而使問(wèn)題分析更有條理，運(yùn)算以及表達(dá)更加簡(jiǎn)便。排列常見(jiàn)題型定序問(wèn)題相鄰與不相鄰問(wèn)題特殊元素與特殊位置問(wèn)題例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(1)甲不在首位的排法有多少種？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？(4)甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(1)甲不在首位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題方法一

從元素角度考慮Ⅰ類：不含甲，則Ⅱ類：含甲，則先排甲，再排剩下4位置，由分類加法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(1)甲不在首位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題方法二

從位置角度考慮step1：排首位step2：排后4位由分步乘法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(1)甲不在首位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題方法三

間接法（正難則反）不考慮甲不在首位的要求，有甲在首位的排列所以

例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題解：從位置角度考慮step1：排首位、末位step2：排中間3個(gè)位由分步乘法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(3)甲與乙既不在首位也不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題解：從位置角度考慮step1：排首位、末位step2：排中間3個(gè)位由分步乘法原理得

例1從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(4)甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題法一：從位置角度考慮Ⅰ類：末位是甲，則Ⅱ類：末位不是甲，則先排末位有

種方法，再排首位有

種方法，最后排中間3個(gè)位置有

種方法，所以由分類加法原理得

不能改成“排甲”，因?yàn)榧撞灰欢ū怀橹欣?從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問(wèn)題.(4)甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題方法二

間接法（正難則反）不考慮甲、乙的要求，有甲在首位的排列乙在末位的排列甲在首位且乙在末位的排列所以

甲首乙末跟蹤訓(xùn)練1

5名學(xué)生和1位老師站成一排照相，問(wèn)老師不排在兩端的排法有多少種？類型一：特殊元素與特殊位置問(wèn)題方法一

從位置角度考慮step1：排首、末位step2：排中間4位由分步乘法原理得

方法二

從元素角度考慮step1：排老師step2：排5位學(xué)生由分步乘法原理得

方法三

間接法（正難則反）不考慮老師的要求，有老師在左端的排列

老師在右端的排列所以

解決排列問(wèn)題，常用的思考方法有直接法和間接法.把特殊元素或特殊位置作為研究對(duì)象.例2

3名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)男、女各站在一起；類型二：相鄰與不相鄰問(wèn)題(2)男生必須排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.例2

3名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？(1)男、女各站在一起；類型二：相鄰與不相鄰問(wèn)題男1男2男3女1女2女3女4解：相鄰問(wèn)題——捆綁法step1:3個(gè)男生捆綁看成一個(gè)整體，有

種方法；step2:4個(gè)女生捆綁看成一個(gè)整體，有

種方法；step3:2個(gè)整體全排列，有

種方法；由分步乘法原理得例2

3名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？類型二：相鄰與不相鄰問(wèn)題(2)男生必須排在一起；解：相鄰問(wèn)題——捆綁法step1:3個(gè)男生捆綁看成一個(gè)整體，有

種方法；step2:男生整體與4個(gè)女生這5個(gè)元素全排列，有

種方法；由分步乘法原理得男1男2男3女1女4女2女3例2

3名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？類型二：相鄰與不相鄰問(wèn)題(3)男生不能排在一起；解：不相鄰問(wèn)題——插空法step1:可相鄰的元素（女生）先全排列，有

種方法；step2:3個(gè)不相鄰的元素（男生）排入女生形成的5個(gè)空隙中，

有

種方法；由分步乘法原理得女1女4女2女3男1男3男2例2

3名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排，下列情況下，各有多少種不同的站法？類型二：相鄰與不相鄰問(wèn)題解：不相鄰問(wèn)題——插空法step1:女生全排列，有

種方法；step2:男生排入女生之間形成的3個(gè)空隙中，

有

種方法；由分步乘法原理得女1女4女2女3男1男3男2(4)男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.處理元素“相鄰”“不相鄰”問(wèn)題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則.元素相鄰問(wèn)題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列.元素不相鄰問(wèn)題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素.跟蹤訓(xùn)練2

(1)小陳準(zhǔn)備將新買的《尚書·禮記》《左傳》《孟子》《論語(yǔ)》《詩(shī)經(jīng)》五本書立起來(lái)放在書架上，若要求《論語(yǔ)》《詩(shī)經(jīng)》兩本書相鄰，且《尚書·禮記》放在兩端，則不同的擺放方法有

A.18種

B.24種C.36種

D.48種√涉及相鄰問(wèn)題與特殊位置、特殊元素問(wèn)題類型二：相鄰與不相鄰問(wèn)題解：相鄰問(wèn)題——捆綁法；特殊位置問(wèn)題——優(yōu)先安排step1:需相鄰的《論語(yǔ)》、《詩(shī)經(jīng)》捆綁在一起看成一個(gè)整體，

有

種方法；step2:《尚書·禮記》安排在左端或者右端，有

種方法；step3:《論語(yǔ)》和《詩(shī)經(jīng)》的整體、《左傳》、《孟子》3個(gè)元素

排列進(jìn)剩下3個(gè)位置，有

種方法

；由分步乘法原理得論語(yǔ)詩(shī)經(jīng)

尚書孟子左傳跟蹤訓(xùn)練3某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場(chǎng)亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng)，出場(chǎng)順序有多少種？類型三：定序問(wèn)題(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場(chǎng)，順序有多少種？跟蹤訓(xùn)練3某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場(chǎng)亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng)，出場(chǎng)順序有多少種？類型三：定序問(wèn)題解：記3位老者年齡從小到到為

，

另外兩位嘉賓為5位嘉賓無(wú)條件全排列有

種，

3位老者的相對(duì)順序有

種（如右圖），

（每一種都是等可能的，只有一種符合條件）

所以3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng)有

種。?（等機(jī)會(huì)法，即除序法）跟蹤訓(xùn)練3某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場(chǎng)亮相.(1)其中有3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng)，出場(chǎng)順序有多少種？類型三：定序問(wèn)題方法二：（拆成兩個(gè)獨(dú)立的排列問(wèn)題）step1：因?yàn)?位老者的順序已經(jīng)固定，只需在5個(gè)位置中選出三個(gè)即可，無(wú)需再考慮排列，有10種方法；（后續(xù)學(xué)了組合數(shù)后會(huì)更簡(jiǎn)便，目前可用列舉法）step2：剩下兩個(gè)位置將其余2位嘉賓排列進(jìn)去，有

種方法；由分步乘法原理得

跟蹤訓(xùn)練3某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場(chǎng)亮相.類型三：定序問(wèn)題(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場(chǎng)，順序有多少種？解：記3位老者年齡從小到到為

，另外兩位嘉賓為(假設(shè)b年齡大)5位嘉賓無(wú)條件全排列有

種，

3位老者的相對(duì)順序有

種，

2位年輕人的相對(duì)順序有

種

所以3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng)有

種。（每一種都是等可能的，只有一種符合條件）跟蹤訓(xùn)練3某電視節(jié)目的主持人邀請(qǐng)年齡互不相同的5位嘉賓逐個(gè)出場(chǎng)亮相.(2)3位老者與2位年輕人都要分別按從小到大的順序出場(chǎng)，順序有多少種？類型三：定序問(wèn)題方法二：（拆成兩個(gè)獨(dú)立的排列問(wèn)題）step1：因?yàn)?位老者的順序已經(jīng)固定，只需在5個(gè)位置中選出三個(gè)即可，無(wú)需再考慮排列，有10種方法；（后續(xù)學(xué)了組合數(shù)后會(huì)更簡(jiǎn)便，目前可用列舉法）step2：剩下兩個(gè)位置將其余2位年輕人按年齡大小排列進(jìn)去即可；由分步乘法原理得

例3將A，B，C，D，E這5個(gè)字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？類型三：定序問(wèn)題方法一：（等機(jī)會(huì)法，即除序法）5個(gè)字母無(wú)條件全排列有

種，

A，B，C的相對(duì)順序有

種（如右圖），

（每一種都是等可能的，只有兩種符合條件）

所以3位老者要按年齡從大到小的順序出場(chǎng)有

種。??例3將A，B，C，D，E這5個(gè)字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序?yàn)椤癆，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，則有多少種不同的排列方法？類型三：定序問(wèn)題

方法二：（拆成兩個(gè)獨(dú)立的排列問(wèn)題）step1:從5個(gè)位置中選出3個(gè)放置