行列式的展開定理與克拉默法則

行列式的展開定理與克拉默法則§3行列式展開定理、克拉默法則一、余子式、代數(shù)余子式二、行列式按一行（列）展開法則§3、4行列式展開定理、克拉默法則三、克拉默法則第2頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天引例可見，三階行列式可通過二階行列式來表示．第3頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、余子式、代數(shù)余子式定義在

n

階行列式中將元素

所在的第

i

行與第

j

列劃去，剩下個(gè)元素按原位置次序構(gòu)成一個(gè)階的行列式，稱之為元素的余子式,記作．第4頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天令稱之為元素的代數(shù)余子式．注：①

行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式．無(wú)關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān)．②

元素的余子式和代數(shù)余子式與的大小第5頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如第6頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天元素除外都為

0，則1.引理二、行列式按行(列)展開法則若n

階行列式

D=的中第

i

行所有第7頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：先證的情形，即由行列式的定義，有第8頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論成立.一般情形：第9頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天第10頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論成立.第11頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.定理行列式

D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或行列式按行（列）展開法則第12頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證：第13頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.計(jì)算行列式解：第14頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.計(jì)算n階行列式

解：第15頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3.證明范德蒙行列式

（熟記）P18第16頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天范德蒙行列式

中至少兩個(gè)相等．注：范德蒙行列式另一形式：第17頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第18頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天證第19頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天相同∴當(dāng)時(shí),同理可證,第20頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：第21頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4.設(shè)求

解：和第22頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天第23頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5.計(jì)算2n階行列式其中未標(biāo)明的元素都是0.第24頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：將Dn按第一行展開得

第25頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天

上式第一個(gè)行列式按最后一行展開，第二個(gè)行列式按第一列展開，可得到以此作遞推公式，即得第26頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天自然科學(xué)與工程技術(shù)中，我們會(huì)碰到未知數(shù)的個(gè)數(shù)很多的線性方程組——如n元一次線性方程組它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結(jié)論.三、克拉默法則（Cramer，瑞士，1704~1752）2）n階行列式的性質(zhì)與計(jì)算？1）怎樣定義n階行列式？有解的情況下，如何表示此解？3）方程組(＊)在什么情況下有解？第27頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式

則方程組(１)有唯一解:（2）Cramer法則第28頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中是把行列式中第列所得的一個(gè)n級(jí)行列式，即的元素用方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)代換

第29頁(yè),共32頁(yè)，2024年2月25日，星期天注解1：克拉默(Cramer)法則中包含著兩個(gè)前提和三個(gè)結(jié)論：前提：（1）線性方程組（1）中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；（2）線性方程組（1）的系數(shù)矩陣的行列式不等于零.結(jié)論：（1）線性方程組（1）有解；（2）線性方程組（1）的解是唯一的；（3）線性方程組（1）的解由公式（2）給出.第30頁(yè),共32