八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)18.1.1平行四邊形的性質(zhì)十二大題型

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.注意：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條.題型1：平行四邊形的定義1.如圖，在?ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF與GH相交于點(diǎn)O，則圖中的平行四邊形一共有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【變式1-1】如圖，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形一共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-2】以A、B、C三點(diǎn)為平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)作形狀不同的平行四邊形，一共可以作．平行四邊形的性質(zhì)（1）1.邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2.角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；注意：①平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；題型2：平行四邊形的性質(zhì)與角度計(jì)算2（2022八下·威縣期末）在平行四邊形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C的度數(shù)是（）A．145° B．65° C．55° D．35°【變式2-1】（2022八下·虎林期末）如圖，在?ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，則AF=（）A．32-1 B．32+1 C．【變式2-2】如圖，平行四邊形ABCD中，BD為對(duì)角線，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于點(diǎn)E，連接AE，若∠EAB＝38°，則∠DBE為度．【變式2-3】（2022八下·趙縣期末）在平行四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1題型3：平行四邊形的性質(zhì)與求線段3.（2022八下·錦州期末）如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為36cm，△ABC的周長(zhǎng)為28cm，則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm【變式3-1】（2022八下·文山期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BD＝6，BD⊥AB，則AC的長(zhǎng)為（）A．10 B．213 C．5 D．【變式3-2】（2022八下·豐南期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，則BD的長(zhǎng)是（）A．16 B．18 C．20 D．22平行四邊形的性質(zhì)（2）1.對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；2．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.注意：（1）對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.（3）對(duì)角線性質(zhì)的拓展∶①兩條對(duì)角線將平行四邊形分為面積相等的四個(gè)三角形;②過(guò)平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)作直線與平行四邊形的一組對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線相交，得到線段總相等;③過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.且與對(duì)角線圍成的三角形相對(duì)的兩個(gè)全等.題型4：平行四邊形的性質(zhì)與求周長(zhǎng)4.（2022八下·仁懷月考）如圖，已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于22cm，AC=8cm，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A．11cm B．15cm C．16cm D．19cm【變式4-1】（2022八下·蕪湖期末）如圖，在?ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，則△AOD的周長(zhǎng)是（）A．32 B．23 C．21 D．20【變式4-2】已知□ABCD的周長(zhǎng)為36，且AB：AD=1：2，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．12 D．24題型5：平行四邊形的性質(zhì)與面積5.如圖，在?ABCD中，BC＝13，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求?ABCD的面積．【變式5-1】（2022八下·東港期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，EF和GH過(guò)點(diǎn)O，且點(diǎn)E，H在邊DC上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊AB上，若?ABCD的面積為10，則陰影部分的面積為（）A．6 B．4 C．3 D．5【變式5-2】如圖所示，□ABCD的面積是12，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE=EF=FC，則△BEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【變式5-3】（2021八下·成華期末）如圖，?ABCD的面積為S，點(diǎn)P是它內(nèi)部任意一點(diǎn)，△PAD的面積為S1，△PBC的面積為S2，則S，S1，S2之間滿足的關(guān)系是（）A．S1+S2>12S題型6：平行四邊形的性質(zhì)與三邊關(guān)系6.（2022八下·涼山期末）在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于O，AC＝10，BD＝8，則AD的長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．AD＞1 B．1＜AD＜9 C．AD＜9 D．AD＞9【變式6-1】（2021八下·嶗山期末）如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=6，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則OA的取值范圍是（）A．2<OA<10 B．1<OA<5 C．4<OA<6 D．2<OA<8【變式6-2】（2021八下·銅官期中）已知平行四邊形一邊長(zhǎng)為5，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則它的另一條對(duì)角線α的取值范圍為（）A．1＜α＜11 B．4＜α＜16C．10＜α＜12 D．以上答案都錯(cuò)誤題型7：平行四邊形的性質(zhì)與角平分線7.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AF交CD于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4【變式7-1】（2022八下·成都期末）如圖，?ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD，則EC之長(zhǎng)為（）A．6 B．5 C．4 D．2【變式7-2】（2022八下·上虞期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交CD于點(diǎn)F，則線段EF的長(zhǎng)是（）A．3 B．3 C．2 D．3【變式7-3】（2020八下·扶風(fēng)期末）如圖，在□ABCD中，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE相交于CD上的一點(diǎn)E．求證：AE⊥BE．題型8：平行四邊形的性質(zhì)與垂直平分線8.在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE．若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為30cm，則△CDE的周長(zhǎng)為（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【變式8-1】如圖，在?ABCD中，D在AB的垂直平分線上，且?ABCD的周長(zhǎng)為42cm，△BCD的周長(zhǎng)比?ABCD的周長(zhǎng)少12cm，則AB＝cm，S?ABCD＝cm2．【變式8-2】（2021八下·江津期末）如圖，在平行四邊形ABCD，O是AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O與AC垂直的直線交邊AD于點(diǎn)E，若△CDE的周長(zhǎng)為11cm，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm題型9：平行四邊形的性質(zhì)與最值9.（2021八下·邢臺(tái)月考）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段AQ長(zhǎng)度的最小值為（）A．6 B．8 C．22 D．【變式9-1】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有平行四邊形ADCE中，求DE的最小值．題型10：平行四邊形的性質(zhì)與折疊問(wèn)題10.如圖，將?ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠1＝∠2＝44°，則∠B為（）A．66° B．104° C．114° D．124°【變式10-1】如圖，在?ABCD中，∠A＝70°，將?ABCD折疊，使點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)F、E處（點(diǎn)F、E都在AB所在的直線上），折痕為MN，則∠AMF等于（）A．70° B．40° C．30° D．20°【變式10-2】如圖，把平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，這時(shí)點(diǎn)D落在D1，折痕為EF，若∠BAE＝55°，則∠D1AD＝．題型11：平行四邊形的性質(zhì)與證明題11.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC的三等分點(diǎn)，連接BE，DF．證明：BE＝DF．【變式11-1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．（1）求證：BE＝DF；（2）線段AF與CE有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【變式11-2】如圖，在?ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．（1）求證：AE⊥BF；（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以證明．兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長(zhǎng)度，是正值.（2）平行線間的距離處處相等任何兩平行線間的距離都是存在的、唯一的，都是夾在這兩條平行線間最短的線段的長(zhǎng)度.兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.題型12：平行線的距離12.（2022八下·順平期末）在同一平面內(nèi)，設(shè)a、b、c是三條互相平行的直線，已知a與b間的距離為5cm，b與c間的距離為2cm，則a與c間的距離為（）cm．A．3 B．7 C．3或7 D．2或3【變式12-1】如圖，在?ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB與CD的距離；（2）AD與BC的距離．【變式12-2】如圖，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB邊上的高．一、單選題1．（2021八下·昌圖期末）下列性質(zhì)中，平行四邊形不具有的是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分C．相鄰兩角互補(bǔ) D．兩組對(duì)邊分別相等2．（2022八下·滕州期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC＝6，BD＝8，則AB的長(zhǎng)可能是（）A．10 B．8 C．7 D．63．（2021八下·崇川月考）如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC?BD相交于點(diǎn)O,OE⊥AC交CD于點(diǎn)E，連接AE，若?ABCD的周長(zhǎng)為28，則△ADE的周長(zhǎng)為（）A．28 B．24 C．21 D．144．（2022八上·新泰期末）如圖，?ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O分別與BC，AD交與點(diǎn)M，N，下列結(jié)論中，不一定成立的是（）A．∠B=∠D B．BM=AN C．AN=CM D．OM=ON5．（2020八下·古冶期中）如圖，在?ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，則?ABCD的周長(zhǎng)是（）A．12cm B．20cm C．16cm D．24cm二、填空題6．如圖，DE∥BC，AE＝EC，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連結(jié)AF，F(xiàn)C，CD，則圖中的平行四邊形有．7．（2019八下·東臺(tái)月考）在平行四邊形ABCD中，若∠B＝50°，則∠D＝°8．（2020九上·鎮(zhèn)海開(kāi)學(xué)考）如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長(zhǎng)為.9．（2019八下·尚志期中）如圖，EF過(guò)平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，已知AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四邊形EFCD的周長(zhǎng)是．三、解答題10．如圖所示，已知在平行四邊形ABCD中，BE=DF求證：AE=CF．11．（2022八下·阜新期末）如圖所示，在?ABCD中，∠ABC=60°，且AB=BC，∠MAN=60°．請(qǐng)?zhí)剿鰾M，DN與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．12．已知ABCD是平行四邊形，用尺規(guī)分別作出△BAC與△DAC共公邊AC上的高BE、DF．求證：BE=DF．四、綜合題13．（2019八下·孝南月考）如圖，已知E、F是□ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且BE⊥AC，DF⊥AC.（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中全等三角形（不再添加輔助線）．（2）求證：△ABE≌△CD