八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：勾股定理的應(yīng)用

【專項(xiàng)訓(xùn)練】勾股定理（逆定理）的應(yīng)用題型1：求樹(shù)/旗桿的高度1如圖，一棵直立的大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【變式1-1】如圖，在離地面高度6m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，則拉線AC的長(zhǎng)是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【變式1-2】（2022八下·冠縣期末）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈12米（AC的長(zhǎng)）處，升起云梯到火災(zāi)窗口，云梯AB長(zhǎng)20米，云梯底部距地面3米（AE的長(zhǎng)），問(wèn)：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面有多高（BD的長(zhǎng)）？【變式1-3】如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高19米，另一棵高10米，兩樹(shù)相距12米．若一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則小鳥(niǎo)至少飛行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【變式1-4】（2022八下·杭州月考）如圖，在一次課外活動(dòng)中，同學(xué)們要測(cè)量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離，已知CD⊥BD，現(xiàn)測(cè)得AC=203m，BC=60m，CD=題型2：梯子問(wèn)題2（2022八下·黔西月考）如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.5米，梯子頂端A也下落了0.5米嗎？【變式2-1】如圖，學(xué)校要把宣傳標(biāo)語(yǔ)掛到教學(xué)樓的頂部C處，已知樓頂C處離地面的距離CA為8m，為保證安全，梯子的底部和墻基的距離AB至少為4m，要使云梯的頂部能到達(dá)C處，估計(jì)云梯的長(zhǎng)度至少為（）A．8m B．9m C．10m D．12m【變式2-2】（2020八下·南康月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子AB斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離AC為0.7米，頂端到地面距離BC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端到地面距離B'D為2米，求小巷的寬度【變式2-3】如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m．（1）開(kāi)始時(shí)，船距岸A的距離是m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達(dá)D處，則船向岸A移動(dòng)m．題型3：九章算術(shù)問(wèn)題3在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【變式3-1】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【變式3-2】《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．題型4：影響范圍問(wèn)題4（2022八下·興仁月考）為了抗旱保收，某市準(zhǔn)備開(kāi)采地下水，經(jīng)探測(cè)，C處地下有水，為此C處需要爆破，已知C處與公路上的停靠站A的距離為300m，與公路上的另一停靠站B的距離為400m，AB的距離為500m，如圖所示，為了安全，爆破點(diǎn)C周圍250m的范圍內(nèi)禁止進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段某部分是否有危險(xiǎn)而需要暫時(shí)封鎖？【變式4-1】今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登錄我國(guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，周圍500km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【變式4-2】如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉機(jī)的速度是5米/秒，拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；若受到影響，那么學(xué)校受到的影響的時(shí)間為多少秒？題型5：航海問(wèn)題5（2022八下·鞍山期末）如圖，點(diǎn)O是位于東西海岸線的一個(gè)港口，A，B兩艘客輪從港口O同時(shí)出發(fā)，A客輪沿北偏東75°航行，航速是每小時(shí)18海里，B客輪沿北偏西15°方向航行，航速是每小時(shí)24海里，請(qǐng)計(jì)算3小時(shí)之后兩客輪之間的距離．【變式5-1】在海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)．接到消息后，A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O，向北偏西50°方向航行．同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東方向行駛，如圖所示，離開(kāi)港口1.5小時(shí)后兩船相距30海里，則B艦艇的航行方向是（）A．北偏東60° B．北偏東50° C．北偏東40° D．北偏東30°【變式5-2】（2022八下·惠州期末）某船從港口A出發(fā)沿南偏東32°方向航行12海里到達(dá)B島，然后沿某方向航行16海里到達(dá)C島，最后沿某個(gè)方向航行了20海里回到港口A，則該船從B到C是沿哪個(gè)方向航行的？（即求C島在B島的哪個(gè)方位，距離B島多遠(yuǎn)？），請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-3】（2022八下·黃岡月考）如圖，兩艘海艦在海上進(jìn)行為時(shí)2小時(shí)的軍事演習(xí)，一海艦以120海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)，向北偏東60°方向航行到達(dá)B，另一海艦以90海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)，向南偏東30°方向航行到達(dá)C，則此時(shí)兩艘海艦相距多少海里？題型6：立體圖形的最短路徑問(wèn)題6如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【變式6-1】如圖，一圓柱高為，底面周長(zhǎng)是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長(zhǎng)為A． B． C． D．【變式6-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要A． B． C． D．【變式6-3】如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米題型7：折疊問(wèn)題7.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，BG=10，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，求△EFG的面積．【變式7-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為．【變式7-2】矩形紙片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE＝cm．【變式7-3】如圖，沿AE折疊長(zhǎng)方形ABCD，使D點(diǎn)落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB＝12cm，BC＝13cm，則FC的長(zhǎng)度是．題型8：面積問(wèn)題8.（2019八下·烏蘭浩特期末）如圖，已知直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．【變式8-1】如圖，四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積．【變式8-2】如圖所示，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)和△ABD的面積．題型9：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題9.如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x．（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式x2【變式9-1】（2021八下·甘孜期末）如圖，在直角三角形ΔABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)（1）求t為何值時(shí)，ΔPBQ為等腰三角形？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上？（3）點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻t，直線PQ把ΔABC的周長(zhǎng)分為【變式9-2】（2022八下·章丘期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，則線段DE的長(zhǎng)為．【變式9-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，CD=，AD=；（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是直角三角形，說(shuō)明理由；（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形？并說(shuō)明理由．題型10：勾股定理的證明10.（2022?小店區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）【問(wèn)題背景】勾股定理是重要的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法【定理表述】（1）用文字語(yǔ)言敘述勾股定理的內(nèi)容：【定理證明】（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，延長(zhǎng)BE到點(diǎn)C，使CE＝a，過(guò)點(diǎn)C作：CD⊥CE，使CD＝b，連接DE，AD（如圖2），則AE⊥DE，AD＝c，四邊形ABCD是以a為底、（a+b）為高的直角梯形，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理．【定理應(yīng)用】（3）當(dāng)a≠b時(shí)，利用圖2，可以證明a+b＜c．證明步驟如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四邊形ABCF為，∴AF＝，∴BCAD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．【變式10-1】（2022春?曲阜市期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，則有S1+S2＝S3；（1）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，請(qǐng)問(wèn)S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2、S3，根據(jù)（2）中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出圖4中陰影部分的面積．【變式10-2】（2022秋?大竹縣校級(jí)期末）勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點(diǎn)F在BC邊上，頂點(diǎn)C、D重合，連接AE、EB．設(shè)AB、DE交于點(diǎn)G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．請(qǐng)你回答以下問(wèn)題：（1）填空：∠AGE＝°，S四邊形ADBE＝c2．（2）請(qǐng)用兩種方法計(jì)算四邊形ACBE的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．【變式10-3】（2021春?卡若區(qū)校級(jí)期末）將直角△ABC繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′，請(qǐng)你先證明A′B′⊥AB，并利用陰影部分面積完成勾股定理的證明．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：作△A′B′C≌△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在邊BC上，連接AA′、BB′，延長(zhǎng)B′A′交AB于點(diǎn)M．一、單選題1．（2023八上·寧強(qiáng)期末）圖中字母所代表的正方形的面積為175的選項(xiàng)為（）A． B．C． D．2．（2022八上·長(zhǎng)春期末）《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+4C．(10-x)2+43．（2022八上·杭州期中）如圖所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．無(wú)法計(jì)算4．（2022八上·杭州期中）如圖，有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長(zhǎng)度為5米.若將它往水平方向向前推進(jìn)3米（即DE=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時(shí)木馬上升的高度為（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米5．（2022·金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC.一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫(huà)出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B．C． D．6．（2022七上·海陽(yáng)期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為（）A．12 B．15 C．18 D．21二、填空題7．（2023八上·平昌期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了米.8．（2022七上·環(huán)翠期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，正方形A、B、C的面積分別是8cm2，12cm2，14c9．（2022七上·西安期中）如圖，MN是圓柱底面的直徑，NO是圓柱的高，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)M，P有一條繞四周且路徑最短的金屬絲，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿M