《高等數(shù)學(xué)》(A)教案第二章

講授內(nèi)容：§2.1導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)目的與要求：1、理解導(dǎo)數(shù)的定義以及它的幾何意義2、掌握函數(shù)連續(xù)與導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)存在與左右導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系3、會求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)存在與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系難點(diǎn)——分段函數(shù)在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求法，用定義求抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：借助速度和切線的實(shí)例引入導(dǎo)數(shù)的定義學(xué)時(shí)：3學(xué)時(shí)上一章我們討論了函數(shù)的極限和連續(xù)，在此基礎(chǔ)上本章將更進(jìn)一步的研究函數(shù)值的變化快慢，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它是討論函數(shù)特性的基本工具．引例:直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)某質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)方程為s=f(t)(位置函數(shù)),則從時(shí)刻t0到時(shí)刻t的平均速度為:當(dāng)t→t0時(shí),則有即時(shí)速度(瞬時(shí)速度)為v=.…………（A）切線問題切線：設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M，在點(diǎn)M外另取C上的一點(diǎn)N，作割線MN.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)，如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，則直線MT稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線，即：只要弦長|MN|趨于零，則∠NMT趨于零．設(shè)曲線C的方程為：y=f(x),M(x0,y0)為曲線C上的一點(diǎn).則y0=f(x0)．在曲線C上取點(diǎn)N(x,y)．則割線MN的斜率為:tanφ==當(dāng)點(diǎn)N→M時(shí)，x→x0.如果極限…………（B）存在，設(shè)為k,則稱此極限為切線的斜率．其中k=tanα,α為切線MT的傾角.說明：兩個(gè)問題的共性：所求量為函數(shù)增量與自變量增量的比值極限，都是討論函數(shù)的變化率，類似的：加速度：速度增量與時(shí)間增量的比值的極限．角速度：轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量的比值的極限．線密度：質(zhì)量增量與長度增量的比值的極限問題：（A）（B）兩式對較復(fù)雜的函數(shù)求出一具體的值是很不方便，為尋求解決此類問題的簡便方法，給出如下導(dǎo)數(shù)的定義．導(dǎo)數(shù)的定義:導(dǎo)數(shù)的定義:定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx(點(diǎn)x0+Δx在該鄰域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)函數(shù)取得增量Δy=f(x+x0)-f(x0)；如果極限：=存在，則稱此極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)．記為：.…………（＊）其它記號：，，導(dǎo)數(shù)定義的其它形式：f′(x0)=;或f′(x0)=說明：1）比值是函數(shù)y=f(x)在以x0和x0+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率，導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的平均變化率的極限值．（瞬時(shí)變化率：點(diǎn)x0處的變化率）2）極限不存在時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)．注意當(dāng)此極限為時(shí)，當(dāng)然是不可導(dǎo)，但我們?nèi)匀徽f函數(shù)在該此處的導(dǎo)數(shù)為．3）注意（＊）中左右兩端x0的一致性，分子分母中Δx的一致性．是左右兩側(cè)連續(xù)的趨向0，如換成不可．4）當(dāng)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)時(shí)，則對于任意，就有一確定的導(dǎo)數(shù)值，從而構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱此函數(shù)為原函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），記為：5）．6）由引例知：，．7）因?qū)?shù)是用極限定義的，于是在利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，求極限的所有方法在此均可以使用．左右導(dǎo)數(shù):f′－(x0)=(存在)稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù).f′+(x0)=(存在)稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo)的充要條件為：左右導(dǎo)數(shù)存在并相等，即：f′(x0)存在f′－(x0)=f′+(x0).函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)可導(dǎo)即指：在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f′+(a)和f′－(b)都存在．求導(dǎo)例子:用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量求函數(shù)增量與自變量增量的比值求比值的極限1)(C)′=0.2)(xμ)′=μxμ-1(μ為常數(shù)).(sinx)′=cosx(ax)′=axlna.特別有：(ex)′=ex5）(lnx)′=1/x或(logax)′=1/xlna下面為分段函數(shù)在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的求法的例子，須用結(jié)論：f′(x0)存在f′－(x0)=f′+(x0).1）求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù).解：f′+(0)====1f′－(0)===-=-1由于f′+(0)≠f′-(0), 因此函數(shù)在f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)不存在.注：f(x)=x|x|在x=0處的可導(dǎo)性怎樣？2）已知f(x)=求f′-(0)和f′+(0).并確定f′(0)是否存在?解：f′+(0)====0 f′－(0)===-=-1 因?yàn)閒′+(0)≠f′-(0),所以 f′(0)不存在.3）已知f(x)=求f′(x).解：f′+(0)===1; f′－(0)===1 由于f′+(0)=f′-(0)，因此f′(0)=1又當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有因此4）設(shè)f(x)=求f′-(0)及f′+(0)并判斷f′(0)是否存在解：f′+(0)===0; f′－(0)===1 因f′+(0)≠f′-(0)，所以f′(0)不存在.5）設(shè)f(x)=求f′-(1)及f′+(1)并判斷f′(1)是否存在正解：用定義求得f′+(1)=2f′-(1)=，所以f′(1)不存在．錯(cuò)解：例3抽象函數(shù)的求導(dǎo)1）設(shè)存在，求①②2）設(shè)為偶函數(shù)，則為奇函數(shù).3）設(shè)，求.4）下式成立的是，其中在點(diǎn)a的領(lǐng)域內(nèi)有定義（A）（B）（C）（D）解：1）①一定要轉(zhuǎn)化成導(dǎo)數(shù)定義的那個(gè)嚴(yán)格的形式原式②原式2）要證，因這里是抽象函數(shù)，所以只能用定義3）還是只能用定義4）正確答案是D因原式注：若將替換成怎樣，回答是：不成立.對（A）因，即是右側(cè)趨近．對（B）即是右側(cè)極限，在說了又還是離散的．對（C）分子上就沒有定值，不合定義的要求，請看下例考慮處事實(shí)知是不存在的．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率.于是曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為: y切線方程為: y－y0=f′(x0)(x－x0).法線方程為: y－y0=－(x－x0).[f′(x0)≠0] 1）求曲線y=1/x在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程.解：由于f′(1)=-1/x2|x=1=-1，因此 切線方程為：y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0; 法線方程為：y-1=x-1，即x-y=0.2）證明：曲線xy=a2上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積為常數(shù).證：設(shè)(X,Y)為曲線上的任一點(diǎn)，則有XY=a2, y′(X)=-a2/X2.切線方程為；y-Y=-a2/X2(x-X)切線在坐標(biāo)軸上的截距為：x=X+X2Y/a2=2X; y=Y+a2/X=2Y,所求三角形的面積為：s=xy/2=2XY=2a2.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在x處連續(xù)．證明：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則有=f′(x),于是有:=f′(x)+α,其中α=0.即Δy=f′(x)Δx+αΔx.令Δx→0，則有Δy→0.因此函數(shù)在點(diǎn)x處連續(xù).注：但函數(shù)在點(diǎn)x處連續(xù)，則在點(diǎn)x處不一定可導(dǎo)，即連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件．如1）討論函數(shù)y=在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：顯然函數(shù)在x=0處連續(xù).由于=不存在,因此函數(shù)在x=0處不可導(dǎo).2）討論函數(shù)y=在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.解：顯然函數(shù)在x=0處連續(xù);由于==0,因此函數(shù)在x=0處連續(xù)可導(dǎo).注：設(shè)函數(shù)f(x)=，試確定a和b,使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo).解：由連續(xù)即有f(1+)=f(1-)得a+b=1;f′+(1)===2;f′-(1)====a由可導(dǎo)得:f′+(1)=f′-(1),即a=2;從而b=-1.例7設(shè)存在，且，求.解：由于所以作業(yè)：高等數(shù)學(xué)Ａ練習(xí)冊習(xí)題十教學(xué)后記：教學(xué)參考書：復(fù)習(xí)思考題：，問存在的最大是多少？

講授內(nèi)容§2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的與要求：1、熟悉掌握函數(shù)求導(dǎo)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算法則.掌握反函數(shù)的求導(dǎo)法則.熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式難點(diǎn)——復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的求導(dǎo)法則.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：在合適的時(shí)機(jī)給出兩道中等難度且有可能出錯(cuò)的題讓學(xué)生在黑板上做.學(xué)時(shí)：4學(xué)時(shí)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)在點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù):.(u±v)′=u′±v′注：1、各自可導(dǎo)則和可導(dǎo)，可導(dǎo)與不可導(dǎo)之和仍不可導(dǎo)2、和可導(dǎo)時(shí)，各自不一定可導(dǎo).(uv)′=u′v+uv′特別地:(Cu)′=Cu′(C為常數(shù))一般地(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′證明：[u(x)v(x)]′===+= (v≠0)例11）,求y′.解：y′=6x2-10x+32）f(x)=x3+4cosx－sinπ/2,求f′(x)及f′′(π/2).解：f′(x)=3x2-4sinx f′(π/2)=3π2/4-4.3）y=ex(sinx+cosx).求y′.解:y′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.4）y=x2lnxcosx.求y′.解:y′=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx5）y=tanx,求y′.解:y′===sec2x同樣：(cotx)′=-csc2x; (secx)′=secxtanx; (cscx)′=-cscxcotx;6）.求y′.解:y′=例2設(shè)，求y′解：方法1：方法2：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理：若函數(shù)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f′(y)≠0,則其反函數(shù)y=f-1(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix={x|x=f(y),yIy}內(nèi)可導(dǎo),且有:[f-1(x)]′=或證明:由于x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)(從而連續(xù)),因此其反函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間Ix={x|x=f(y),y∈Iy}內(nèi)單調(diào)且連續(xù).任取x∈Ix,給x增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)由y=f–1(x)單調(diào)性可知:Δy=f(x+Δx)-f(x)≠0.于是:=.由于y=f-1(x)連續(xù),從而當(dāng)Δx→0時(shí),有Δy→0.又f′(y)≠0,所以: [f-1(x)]′===.1）求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).解：y=arcsinx的直接函數(shù)為:x=siny,在區(qū)間(-π/2,π/2)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且:(siny)′=cosy>0所以:y=arcsinx在對應(yīng)區(qū)間(-1,1)內(nèi)有:(arcsinx)′=== 同理:(arccosx)′=-.求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).解:y=arctanx的直接函數(shù)為:x=tany,在區(qū)間(-π/2,π/2)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且:(tany)′=sec2y≠0,所以:y=arcsinx在對應(yīng)區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)有:(arctanx)′===同理:(arccotx)′=-.求y=logax(a>0,a≠0)的導(dǎo)數(shù).解:y=logax(a>0,a≠0)的直接函數(shù)為:x=ay,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào),可導(dǎo),且:(ay)′=aylna≠0,所以:y=logax在對應(yīng)區(qū)間(0,+∞)內(nèi)有:(logax)′===.基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式:1) (C)′=0; 2) (xμ)′=μxμ-1;3) (sinx)′=cosx; 4) (cosx)′=-sinx;5) (tanx)′=secxtanx; 6) (cotx)′=-cscxcotx;7) (secx)′=secxtanx; 8) (cscx)′=-cscxcotx;9) (ax)′=axlna; 10) (ex)′=ex;11) (logax)′= 12) (lnx)′=;13) (arcsinx)′=; 14) (arccosx)′=-;15) (arctanx)′=; 16)(arccotx)′=-.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：如果在點(diǎn)可導(dǎo),而在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且有:或=證明：因?yàn)樵邳c(diǎn)處可導(dǎo),所以即有:其中,且當(dāng)時(shí),規(guī)定[此時(shí)函數(shù)在Δu=0處連續(xù)].于是:從而有:于是:=又當(dāng)時(shí),,從而:又在處可導(dǎo),因此所以:即:注：1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵在于搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，并由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).2）公式可以推廣到多層復(fù)合的情形.3）記號表示對求導(dǎo)，即，如就表示對求導(dǎo)，而不是對求導(dǎo).如下例：例4、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):y=lnsinx解:=(lnsinx)′==cotx; 解:=()′=?(1-2x2)′=y=lncos(ex);解:=[lncos(ex)]′=[cos(ex)]′=-sin(ex)?ex=-extan(ex).y=;解:=()′=()′=?()′=-?例5、1）;[可導(dǎo)].解:===;解：=???()′=???=設(shè)，求解：作業(yè)：高等數(shù)學(xué)A習(xí)題冊習(xí)題十一習(xí)題十二教學(xué)后記：教學(xué)參考書：復(fù)習(xí)思考題：若函數(shù)，求.講授內(nèi)容§2.3高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：1、理解高階導(dǎo)數(shù)的概念.2、熟練掌握二階導(dǎo)數(shù)的求法以及那些比較特殊的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法.教學(xué)重難點(diǎn):重點(diǎn)——初等函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的求法及那些比較特殊的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求法.難點(diǎn)——抽象函數(shù)及分段函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù).教學(xué)建議：講授法.教學(xué)建議：反函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)先證（必須慢點(diǎn)），然后一定要給出二個(gè)簡單實(shí)例，師生雙向做.學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)高階導(dǎo)數(shù)的定義：定義:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是的函數(shù),稱的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù).記作:或.即:或=一般地,n階導(dǎo)數(shù)的定義為:=當(dāng)n≥2時(shí),n階導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):y=ln(x+);解：y′=(1+)=y′′=[]′=-?(2x)=;其中存在.解：y′=;y′′=[]′=y=f(x2)解：y′=2xf′(x2)y′′=2f′(x2)+2x?f′′(x2)?2x=2f′(x2)+4x2f′′(求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)y=ex解: (ex)(n)=ex.y=sinx解：y′=cosx=sin(x+) y′′=cos(x+)=sin(x++)=sin(x+2·); y′′′=cos(x+2·)=sin(x+3·)一般地：(sinx)(n)=sin(x+n·).同理：(cosx)(n)=cos(x+n·).y=ln(1+x)解：y′=; y′′=-; y′′′=;…一般地： y(n)=.即有，[ln(1+x)](n)=.y=xμ(μ為常數(shù))解：y′=μxμ-1; y′′=μ(μ-1)xμ-2; …, y(n)=μ(μ-1)(μ-2)…(μ-n+1)xμ-n.當(dāng)μ=n時(shí), (xn)(n)=n!; (xn)(n+1)=0.5）設(shè)，求解：函數(shù)和、差、積的高階導(dǎo)數(shù)公式：(u±v)(n)=u(n)±v(n);萊布尼茨(Leibniz)公式:(uv)(n)= u(n)v+nu(n-1)v′+u(n-2)v′′+…+u(n-k)v(k)+…+uv(n)=u(n-k)v(k).設(shè)y=x2sin2x,求y(50)解：由于u=sin2x, v=x2,所以u(k)=(sin2x)(k)=2ksin(2x+k·);v′=2x, v′′=2, v(k)=0(k=3,4,…50).從而有，(x2sin2x)(50)=250sin(2x+50·)·x2+50·[249sin(2x+49·)]·2x+[248sin(2x+48·)]·2=250[-x2sin2x+50xcos2x+sin2x].例4設(shè)求解：由有由萊布尼茨(Leibniz)公式，有令得：令得：令得：因此有：例5設(shè)求解：例6試從=導(dǎo)出: 1)=-; 2) =.解：此題為反函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)1)=()==-;2)=(-)=-=作業(yè)：高等數(shù)學(xué)A練習(xí)冊習(xí)題十三教學(xué)后記：教學(xué)參考書：思考題：若存在能否推出在內(nèi)連續(xù)，又若存在能否推出在內(nèi)連續(xù).講授內(nèi)容§2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的與要求：1、熟練掌握隱函數(shù)的一階求導(dǎo)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階求導(dǎo).2、掌握隱函數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階求導(dǎo).3、了解函數(shù)的相關(guān)變化率并會用函數(shù)的相關(guān)變化率解實(shí)際問題.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)——隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階求導(dǎo).難點(diǎn)——隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，相關(guān)變化率.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：冪指函數(shù)借助對數(shù)求導(dǎo)，冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式在基礎(chǔ)相對弱的班級不必介紹，但在快班建議介紹.學(xué)時(shí)：3學(xué)時(shí)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù):如果在方程F(x,y)=0中，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的唯一的y值存在，則稱方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)函數(shù)，此函數(shù)稱為隱函數(shù).顯函數(shù)：由方程y=f(x)表示的函數(shù)稱為顯函數(shù).特點(diǎn)為：左端為因變量，右端為自變量.將一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化.關(guān)于隱函數(shù)的求導(dǎo)這里只給出具體的做法。下冊將再給出隱函數(shù)的一、二階求導(dǎo)公式.求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數(shù)y在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′(0).解：要注意到，y是x的函數(shù)已是事實(shí)兩邊對x求導(dǎo)時(shí)一定要注意到，y是x的函數(shù)這一事實(shí)得，5y4y′+2y′-1-21x6=0,令x=0得y=0.得，y′(0)=1/2注：求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).解：兩邊對x求導(dǎo)，得:eyy′+y+xy′=0,……（1）所以y′=-y/(x+ey).……（2）將代入得再將（1）對x求導(dǎo)得將代入得注：也可將（2）式兩端對x求導(dǎo)求曲線在點(diǎn)(a,a)的切線方程和法線方程.解：兩邊對x求導(dǎo)得:+y′=0, y′=于是:y′(a)=1切線方程為：y-a=x-a,即:x-y-=0.法線方程為：y-a=-(x-a),即:x+y-a=0.，求解：分析：此題既是隱函數(shù)，也是復(fù)合函數(shù)兩端對x求導(dǎo)：所以對數(shù)求導(dǎo)法:求的導(dǎo)數(shù).思路：指數(shù)的求導(dǎo)我們沒有現(xiàn)成的公式，我們只能借助于對數(shù)將冪指數(shù)轉(zhuǎn)化為乘積方可求導(dǎo)，這是因?yàn)閷?shù)具有降低運(yùn)算級別的作用.解：取對數(shù)lny=sinxlnx.兩邊求導(dǎo)y′=cosxlnx+,所以有y′=xsinx(cosxlnx+).一般地，冪指函數(shù)的一般形式為：y=uv(u>0,u和v是x的函數(shù))的導(dǎo)數(shù)為:取對數(shù)：lny=vlnu,兩邊求導(dǎo)：y′=v′lnu+u′解出所以(uv)′=uv(v′lnu+u′).求的導(dǎo)數(shù).解：當(dāng)x>4時(shí)，取對數(shù)得，lny=[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)].求導(dǎo)y′=(+--)y′=(+--)當(dāng)x<1時(shí)，y=；當(dāng)2<x<3時(shí)，y=同理可求出y的導(dǎo)數(shù).1），2）解：1）2）注：此例告知，解題時(shí)要充分利用對數(shù)的性質(zhì).設(shè)思路：分成兩項(xiàng)，分別用對數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù).求思路：此題首先是隱函數(shù)，同時(shí)是抽象的復(fù)合函數(shù)，且又是冪函數(shù)，為此先完成冪指函數(shù)的求導(dǎo)解：記下將原式兩端對x求導(dǎo)解得，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：由參數(shù)方程(t為參數(shù))確定y是x的函數(shù).此函數(shù)關(guān)系表示的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).設(shè)y=ψ(t)可導(dǎo)，x=φ(t)單調(diào)連續(xù)可導(dǎo)，且φ′(t)≠0，則有:=·==上式是參數(shù)方程(t為參數(shù))表示的函數(shù).當(dāng)x=φ(t)和y=ψ(t)二階可導(dǎo)時(shí)，則有:=()=()·=·即=求橢圓在對應(yīng)t=π/4處的切線方程.解：當(dāng)t=π/4時(shí)，對應(yīng)橢圓上的點(diǎn)M0的坐標(biāo)為x0=a,y0=b曲線在M0處的切線斜率為：|x=π/4=|x=π/4=-切線方程為：y－b=－(x－a).計(jì)算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).圖中:x=OP=弧QM-線段QM=at-asint; y=PM=a-acost解：====()·=-·=-(t≠2nπ,nN)設(shè)，求解：此題為參數(shù)方程，但參數(shù)方程中第二個(gè)方程確定了隱函數(shù)將第一個(gè)方程對t求導(dǎo)得，將第二個(gè)方程對t求導(dǎo)得，于是得：設(shè)，且，求解：給，求解：先化為參數(shù)方程：相關(guān)變化率設(shè)函數(shù)和為可導(dǎo)函數(shù),而變量x和y之間存在某種關(guān)系，從而變化率和間存在關(guān)系，這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率.相關(guān)變化率的求法：求出變量x和y的關(guān)系，而此關(guān)系式中的x,y均是另一個(gè)變量t的函數(shù)對t求導(dǎo)得到變化率和之間的關(guān)系求出未知的相關(guān)變化率例15水入深8m上頂直徑8m的正圓錐形容器中，其速率為4m3/min.當(dāng)水深為5m時(shí)，其表面上升的速率為多少?解：設(shè)在時(shí)刻t時(shí)容器中水深為h(t)，水面半徑為r，水的容積為V(t)，則由r/4=h/8得r=h/2.從而：V(t)=r2·πh=πh3;V′(t)=πh′(t).代入V′(t)=4，h=5，則得：h′(t)=(m/min).作業(yè)：高等數(shù)學(xué)A習(xí)題冊習(xí)題十三教學(xué)后記：教學(xué)參考書：思考題：若，求.

講授內(nèi)容§2.5函數(shù)的微分教學(xué)目的與要求：1、理解微分的定義.2、了解微分的幾何意義.3、掌握函數(shù)可微的條件.4、熟練掌握基本初等函數(shù)的微分公式，函數(shù)的微分法則，微分的形式不變性及求函數(shù)的微分.5、了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，基本初等函數(shù)的微分公式.教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)——微分的定義，函數(shù)可微的條件，函數(shù)的微分法則，微分的形式不變性.難點(diǎn)——微分的定義，微分的幾何意義，微分的形式不變性.教學(xué)方法：講授法教學(xué)建議：用實(shí)例引入微分的定義，利用微分形式的不變性求微分點(diǎn)到為至.學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)微分的定義引例一塊正方形金屬薄片受溫度的影響,其邊長由x0變到x0+Δx,問此薄片的面積改變了多少?解：設(shè)邊長為x，面積為S(x)，則有S(x)=x2，邊長由x0變到x0+Δx，薄片面積的改變量為：ΔS=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.當(dāng)Δx→0時(shí)，(Δx)2是Δx的高階無窮小.即有：(Δx)2=o(Δx).注：此例告知，函數(shù)的增量由兩部分構(gòu)成.主要項(xiàng)：Δx的一次項(xiàng)，剩下是Δx的高階無窮小，即ΔS=AΔx+o(Δx).問：是否其它函數(shù)也是這樣呢？什么樣的函數(shù)才會這樣呢？微分的定義:定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+Δx在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示為:Δy=A?Δx+o(Δx),其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，而o(Δx)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的，而A??x叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即 dy=A?Δx.當(dāng)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)都可微時(shí)，稱函數(shù)是區(qū)間I內(nèi)的可微函數(shù).可微的充分必要條件定理：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).證明：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處可微,則由定義有:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=A·Δx+o(Δx),于是:==A+令Δx→0,則有:A==f′(x0).反之,若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則有=f′(x0).從而:=f′(x0)+α,其中α=0.于是:Δy=f′(x0)Δx+αΔx.由于αΔx=o(Δx),f′(x0)是不依賴Δx的常數(shù),從而函數(shù)在點(diǎn)x0處可微.注：當(dāng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可微時(shí),有dy=f′(x0)Δx.當(dāng)f′(x0)≠0時(shí),因?yàn)?===1.因此當(dāng)Δx→0時(shí),Δy～dy,從而有:Δy=dy+o(dy).稱dy是Δy的主部.當(dāng)f′(x0)≠0時(shí),由于dy=f′(x0)Δx是Δx的線性函數(shù),故稱dy是Δy的線性主部.由于=0,所以=0.稱為以dy代替Δy時(shí)的相對誤差.顯然,當(dāng)|Δx|很小時(shí),有dy≈?y.函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)的微分稱為函數(shù)的微分.記作dy或df(x).即:dy=df(x)=f′(x)Δx.通常將自變量的增量Δx稱為自變量的微分,記作dx,即:dx=Δx.于是:dy=df(x)=f′(x)dx從而:=f′(x).即導(dǎo)數(shù)是微商.求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分.解：y=x2在x=1處的微分:dy=(x2)′|x=1Δx=2Δx;y=x2在x=3處的微分:dy=(x2)′|x=3Δx=6Δx;求函數(shù)y=x3當(dāng)x=2,Δx=0.02時(shí)的微分.解：函數(shù)y=x3在任意點(diǎn)的微分為:dy=(x3)′Δx=3x2Δx.當(dāng)x=2,Δx=0.02時(shí)的微分為:dy=3·22·0.02=0.24.微分的幾何意義微分的幾何意義是：當(dāng)Δy是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),dy是曲線上的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.即當(dāng)|Δx|很小時(shí),|Δy-dy|比|Δx|小得多.從而在點(diǎn)M的附近,可以用切線段MP來近似代替曲線段MN基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則.基本初等函數(shù)的微分公式:1) dC=0; 2) dxμ=μxμ-1dx;3) dsinx=cosxdx; 4) dcosx=-sinxdx;5) dtanx=secxtanxdx; 6) dcotx=-cscxcotxdx;7) dsecx=secxtanxdx; 8) dcscx=-cscxcotxdx;9) dax=axlnadx; 10) dex=exdx;11) dlogax=dx 12) dlnx=dx;13) darcsinx=dx; 14) darccosx=-dx;15) darctanx=dx; 16)darccotx=-dx.函數(shù)和差積商的微分1） d(u±v)=du±dv 2) d(Cu)=Cdu3) d(uv)=vdu+udv 4) d (v≠0)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:(一階微分的形式不變性)設(shè)y=f(u)和u=φ(x)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的微分為:dy=yx′dx=f′(u)φ′(x)dx.由于φ′(x)dx=du,所以復(fù)合函數(shù)的微分公式也寫成:dy=f′(u)du或dy=yu′du此性質(zhì)稱為微分形式不變性.求下列函數(shù)的微分y=sin(2x+1);解：dy=2cos(2x+1)dx y=e1-3xcosx2;解：dy=d(e1-3x)?cosx2+e1-3xd(cosx2)=-e1-3x(3cosx2+2xsinx2)dx.y=[ln(1-x)]2;解：dy=2ln(1-x)?dln(1-x)=-2ln(1-x)?dxy=arctan.解：dy=d=?dx=dx.5）已知，求解：兩邊求微分：得，6）已知，求解： 7）設(shè)，確定函數(shù)，求 解：兩邊求微分：由得，代入得：填空：1）2)3)微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用如果y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)≠0且|Δx|很小時(shí),有:Δy≈dy=f′(x0)Δx.即 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈dy=f′(x0)Δx. 或 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx令 x0+Δx=x，則 f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0)特別當(dāng)x0=0時(shí),有:f(x)≈f(0)+f′(0)x當(dāng)|x|很小時(shí)，有常用近似計(jì)算公式：≈1+x;sinx≈x;tanx≈x;ex≈1+x; ln(1+x)≈x.計(jì)算:sin30°30′解：設(shè)f(x)=sinx,則f′(x)=cosx.取x0=π/6,則sin30°30′=sin(π/6+π/360)≈sin(π/6)+cos(π/6)?(π/360)≈0.5076.計(jì)算:.解：由≈1+x,則有 ≈1+?0.06=1.02有一批半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,試估計(jì)每只球需用多少克銅?(銅的密度為8.9g/cm3)解: V=4πR3/3, ?V≈4πR02?R,將 R0=1cm, ?R=0.01cm代入得:?V≈4×3.14×12×0.01≈0.13(cm3).所需銅為：0.13×8.9≈1.16(g)作業(yè)：高等數(shù)學(xué)A練習(xí)冊習(xí)題十四教學(xué)后記：教學(xué)參考書：思考題：若，則.講授內(nèi)容 第二章習(xí)題課教學(xué)目的與要求：理解導(dǎo)數(shù)的概念，熟悉掌握求導(dǎo)運(yùn)算法則及參數(shù)方程求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，對數(shù)求導(dǎo)，基本類型的高階導(dǎo)數(shù).教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)——各種類型的求導(dǎo)難點(diǎn)——導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)方法：以講授法為主，課堂討論為輔教學(xué)建議：留十分鐘左右讓學(xué)生進(jìn)行討論學(xué)時(shí)：